Теорема Пэли – Винера

В математике теорема Пэли-Винера — это любая теорема, которая связывает свойства распада функции или распределения на бесконечности с аналитичностью ее преобразования Фурье . Она названа в честь Раймонда Пейли (1907–1933) и Норберта Винера (1894–1964), которые в 1934 году представили различные версии теоремы. ^[1] Исходные теоремы не использовали язык распределений , а вместо этого применялись к интегрируемым с квадратом функциям . Первая такая теорема с использованием распределений принадлежит Лорану Шварцу . Эти теоремы в значительной степени основаны на неравенстве треугольника (для замены абсолютного значения и интегрирования).

Оригинальная работа Пейли и Винера также используется как одноименная в областях теории управления и гармонического анализа ; введение условия Пэли-Винера для спектральной факторизации и критерия Пэли-Винера для негармонических рядов Фурье соответственно. ^[2] Это связанные математические концепции, которые помещают свойства затухания функции в контекст проблем устойчивости .

Голоморфные преобразования Фурье

Классические теоремы Пэли – Винера используют голоморфное преобразование Фурье на классах интегрируемых с квадратом функций, носимых на вещественной прямой. Формально идея состоит в том, чтобы взять интеграл, определяющий (обратное) преобразование Фурье

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

и позвольте быть комплексным числом в верхней полуплоскости . Затем можно ожидать дифференцирования по интегралу, чтобы проверить, что уравнения Коши – Римана выполняются и, таким образом, определяют аналитическую функцию. Однако этот интеграл не может быть четко определен даже для in ; действительно, поскольку находится в верхней полуплоскости, модуль растет экспоненциально как ; поэтому о дифференцировании под знаком интеграла не может быть и речи. Чтобы гарантировать корректность определения этого интеграла, необходимо наложить дополнительные ограничения . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle e^{ix\zeta }}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle F}$

Первое такое ограничение заключается в том, что поддерживается : то есть . Теорема Пэли-Винера теперь утверждает следующее: ^[3] Голоморфное преобразование Фурье , определяемое формулой ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

ибо в верхней полуплоскости — голоморфная функция. Более того, по теореме Планшереля имеем ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

и посредством доминирующей конвергенции ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Обратно, if — голоморфная функция в верхней полуплоскости, удовлетворяющая условию ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

тогда существует такое, что является голоморфным преобразованием Фурье . ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

В абстрактных терминах эта версия теоремы явно описывает пространство Харди . Теорема утверждает, что ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

Это очень полезный результат, поскольку он позволяет перейти к преобразованию Фурье функции в пространстве Харди и выполнить вычисления в легко понимаемом пространстве функций, интегрируемых с квадратом, опирающихся на положительную ось. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$

Налагая альтернативное ограничение с компактным носителем , можно получить еще одну теорему Пэли – Винера. ^[4] Предположим, что поддерживается в , так что . Тогда голоморфное преобразование Фурье ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [-A,A]}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

— целая функция экспоненциального типа , что означает, что существует такая константа, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

и, более того, интегрируемо с квадратом по горизонтальным прямым: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

И наоборот, любая целая функция экспоненциального типа , интегрируемая с квадратом по горизонтальным прямым, является голоморфным преобразованием Фурье функции, поддерживаемой в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle [-A,A]}$

Теорема Шварца Пэли – Винера

Теорема Шварца Пэли – Винера утверждает, что преобразование Фурье распределения компактного носителя на является целой функцией на , и дает оценки ее роста на бесконечности. Это было доказано Лораном Шварцем (1952). Представленная здесь формулировка взята из работы Хёрмандера ^{( 1976 )} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ harvtxt error: no target: CITEREFHörmander1976 (help)

Как правило, преобразование Фурье можно определить для любого умеренного распределения ; более того, любое распределение компактной поддержки является умеренным распределением. Если — распределение компактного носителя и бесконечно дифференцируемая функция, то выражение ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

хорошо определен.

Можно показать, что преобразование Фурье - это функция (в отличие от общего умеренного распределения), заданная со значением ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

и что эта функция может быть расширена до значений в комплексном пространстве . Это расширение преобразования Фурье в комплексную область называется преобразованием Фурье – Лапласа . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Теорема Шварца  .  Целая функция на является преобразованием Фурье – Лапласа распределения с компактным носителем тогда и только тогда, когда для всех , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

для некоторых констант , , . Распределение фактически будет поддерживаться в замкнутом шаре центра и радиуса . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$

Дополнительные условия роста всей функции накладывают на распределение свойства регулярности . Например: ^[5] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$

Теорема  .  Если для каждого положительного значения существует такая константа, что для всех , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}}$

тогда – бесконечно дифференцируемая функция, и наоборот. ${\displaystyle v}$

Более точные результаты, дающие хороший контроль над сингулярным носителем , были сформулированы Хёрмандером (1990). В частности, в ^[6] пусть – выпуклый компакт с опорной функцией , определенный формулой ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Тогда сингулярный носитель содержится тогда и только тогда, когда существуют константа и последовательность констант такие, что ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{m}}$

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

для ${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

Примечания

1. Пейли и Винер 1934.
2. Пейли и Винер 1934, стр. 14–20, 100.
3. Рудин 1987, Теорема 19.2; Стрихарц 1994, Теорема 7.2.4; Йосида 1968, §VI.4
4. Рудин 1987, Теорема 19.3; Стрихарц 1994, Теорема 7.2.1.
5. Стрихарц 1994, Теорема 7.2.2; Хёрмандер 1990, Теорема 7.3.1.
6. Хёрмандер 1990, Теорема 7.3.8.

Рекомендации

• Хёрмандер, Л. (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Springer Verlag.
• Пейли, Раймонд EAC ; Винер, Норберт (1934). Преобразования Фурье в комплексной области . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157.
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа в распределениях», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. сем.] , 1952 : 196–206, МР  0052555.
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Academic Press.