Бочковое пространство

Тип топологического векторного пространства

В функциональном анализе и смежных областях математики бочковое пространство (также называемое бочковое пространство ) — это топологическое векторное пространство (TVS), для которого каждое бочковое множество в пространстве является окрестностью нулевого вектора . Бочкообразное множество или бочка в топологическом векторном пространстве — это множество , которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . Бочковые пространства изучаются потому, что для них все еще справедлива форма теоремы Банаха – Штейнгауза . Бочковые пространства были введены Бурбаки  (1950).

Бочки

Выпуклое и сбалансированное подмножество вещественного или комплексного векторного пространства называется диском , и его называют дисковым , абсолютно выпуклым или выпукло сбалансированным .

Абочка илибочкообразное множество втопологическом векторном пространстве(ТВП) — подмножество, представляющее собойзамкнутый поглощающийдиск; то есть бочка представляет собой выпуклое, сбалансированное, закрытое и поглощающее подмножество.

В каждой бочке должно быть указано происхождение. Если и если является каким-либо подмножеством , то является выпуклым, сбалансированным и поглощающим множеством тогда и только тогда, когда все это верно для любого -мерного векторного подпространства, таким образом, если тогда требование, чтобы бочка была замкнутым подмножеством , является единственным определяющее свойство, которое не зависит исключительно от векторных подпространств (или более низкой) размерности ${\displaystyle \dim X\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle \dim X>2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X.}$

Если есть какой-либо TVS, то каждая замкнутая выпуклая и сбалансированная окрестность начала координат обязательно является бочкой (поскольку каждая окрестность начала координат обязательно является поглощающим подмножеством). Фактически, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет в начале базис окрестности, полностью состоящий из бочек. Однако в целом могут существовать бочки, не являющиеся окрестностями происхождения; «бочковые пространства» — это именно те ТВС, в которых каждая бочка обязательно является окрестностью начала координат. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство является бочоночным пространством, поэтому примеры бочек, которые не являются окрестностями начала координат, можно найти только в бесконечномерных пространствах. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Примеры бочек и небочек

Замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества представляет собой бочку. Это связано с тем, что этим же свойством обладает замыкание любого выпуклого (соответственно любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества.

Семейство примеров : Предположим, что оно равно (если рассматривать как комплексное векторное пространство) или равно (если рассматривать как вещественное векторное пространство). Независимо от того, является ли векторное пространство реальным или комплексным, каждая бочка в нем обязательно является окрестностью начала координат (как и пример бочоночного пространства). Пусть - любая функция, и для каждого угла пусть обозначается замкнутый отрезок прямой от начала координат до точки. Пусть Тогда всегда является поглощающим подмножеством (действительного векторного пространства), но оно является поглощающим подмножеством (комплексного векторного пространства) тогда и только если это окрестность начала координат. Более того, является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда для каждого (если это так, то и полностью определяются значениями ' на ), но является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда это открытый или закрытый шар с центром в начале координат. (радиуса ). В частности, бочки в — это в точности те замкнутые шары с центром в начале координат и радиусом в. Если тогда — замкнутое подмножество, поглощающее, но не поглощающее и не являющееся ни выпуклым, ни сбалансированным, ни окрестностью начала координат в. По соответствующему выбору Также возможно иметь сбалансированное и поглощающее подмножество функции , которое не является ни замкнутым, ни выпуклым. Чтобы иметь сбалансированное, поглощающее и замкнутое подмножество, которое не является ни выпуклым, ни окрестностью начала координат, определите его следующим образом: for let (альтернативно это может быть любая положительная функция на нем, которая непрерывно дифференцируема, что гарантирует то и то замкнуто, и это также удовлетворяет тому, что не позволяет быть окрестностью начала координат), а затем распространяется на, определяя , какие гарантии сбалансированы в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle S_{\theta }}$ ${\displaystyle R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$ ${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R(\theta )=R(\pi +\theta )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (0,\infty ].}$ ${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,}$ ${\displaystyle R(\theta ):=\pi -\theta }$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$ ${\displaystyle R(\theta ):=R(\theta -\pi ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Свойства бочек

• В любом топологическом векторном пространстве (ТВП) каждая бочка поглощает каждое компактное выпуклое подмножество из ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• В любой локально выпуклой хаусдорфовой ТВС каждая бочка поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество из ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если локально выпукло, то подмножество -ограничено тогда и только тогда, когда существует бочка в таком, что ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$
• Пусть – спаривание и – локально выпуклая топология, согласованная с двойственностью. Тогда подмножество является бочкой в ​​том и только том случае, если является поляром некоторого -ограниченного подмножества из ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Пусть - векторное подпространство конечной коразмерности в локально-выпуклом пространстве , и если - бочка (соответственно рождённая бочка, рождённый диск) в , то существует бочка (соответственно рождённая бочка, рождённый диск) в такая, что ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Характеристики бочковых пространств

Обозначим через пространство непрерывных линейных отображений из в ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Если это топологическое векторное пространство Хаусдорфа (TVS) с непрерывным двойственным пространством , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$является бочкообразным.
2. Определение : Каждый ствол вявляется окрестностью начала координат. ${\displaystyle X}$
   • Это определение похоже на характеристику ТВС Бэра, доказанную Саксоном [1974], который доказал, что ТВС с топологией, отличной от недискретной, является пространством Бэра тогда и только тогда, когда каждое поглощающее сбалансированное подмножество является окрестностью некоторой точки (не обязательно происхождение). ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
3. Для любой хаусдорфовой ТВС каждое поточечно ограниченное подмножество равнонепрерывно. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
4. Для любого F-пространства каждое поточечно ограниченное подмножество равнонепрерывно. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • F-пространство — это полная метризуемая TVS .
5. Всякий замкнутый линейный оператор из полной метризуемой ТВС непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Линейное отображение называется замкнутым , если его график представляет собой замкнутое подмножество ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
6. Любая ТВС-топология Хаусдорфа, на которой имеет базис окрестностей начала координат, состоящий из -замкнутого множества, конечно, чем ^[5] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Если это локально выпуклое пространство, то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle (X,\tau )}$

7. Существует TVS, не несущий недискретной топологии (в частности, ) такой, что каждое поточечно ограниченное подмножество равнонепрерывно. ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
8. Для любого локально выпуклого TVS любое поточечно ограниченное подмножество равнонепрерывно. ^[2] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • Из двух приведенных выше характеристик следует, что в классе локально выпуклых TVS бочечными пространствами являются именно те пространства, для которых справедлив принцип равномерной ограниченности.
9. Каждое -ограниченное подмножество непрерывного дуального пространства равнонепрерывно (это обеспечивает частичное обращение к теореме Банаха-Штайнхауза ). ^{[2] [6]} ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$несет сильную двойственную топологию ^[2] ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$
11. Любая полунепрерывная снизу полунорма на непрерывна. ^[2] ${\displaystyle X}$
12. Всякое линейное отображение в локально выпуклое пространство почти непрерывно. ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Линейное отображение называется ${\displaystyle F:X\to Y}$почти непрерывен , если для каждой окрестностиначала координат взамыканииесть окрестность начала в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
13. Всякое сюръективное линейное отображение локально выпуклого пространства почти открыто . ^[2] ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$
    • Это означает, что для каждой окрестности 0 в замыкании есть окрестность 0 в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F(V)}$ ${\displaystyle X.}$
14. Если — локально выпуклая топология на такой, которая имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из -замкнутых множеств, то она слабее, чем ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau .}$

Если это хаусдорфово локально выпуклое пространство, то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

15. Теорема о замкнутом графике : Каждый замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве непрерывен. ^[7] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Линейный оператор называется замкнутым, если его график представляет собой замкнутое подмножество ${\displaystyle X\times Y.}$
16. Для каждого подмножества непрерывного дуального пространства следующие свойства эквивалентны: является ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$
    1. равнонепрерывный;
    2. относительно слабо компактный;
    3. сильно ограничен;
    4. слабо ограничено.
17. Базы 0-окрестности в и фундаментальные семейства ограниченных множеств в соответствуют друг другу по полярности . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Если это метризуемое топологическое векторное пространство , то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

18. Для любого полного метризуемого TVS каждая поточечно ограниченная последовательность в равностепенно непрерывна. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Если это локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство , то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

19. (Свойство S ): Слабая топология наявляется секвенциально полной . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
20. (Свойство С ): Каждое слабо* ограниченное подмножество-относительносчетно компактно . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
21. (𝜎-бочкообразное ): Каждое счетное слабо* ограниченное подмножестворавнонепрерывно. ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
22. (Бэровская ):не является объединением возрастающей последовательности нигде не плотных дисков . ^[8] ${\displaystyle X}$

Примеры и достаточные условия

Каждое из следующих топологических векторных пространств является бочоночным:

1. ТВС, являющиеся пространством Бэра .
   • Следовательно, каждое топологическое векторное пространство, которое само по себе относится ко второй категории , является бочоночным.
2. F-пространства , пространства Фреше , банаховы пространства и гильбертовы пространства .
   • Однако существуют нормированные векторные пространства , которые не являются бочоночными. Например, если -пространство топологизировано как подпространство, то оно не является бочкообразным. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$
3. Полные псевдометризуемые ТВС. ^[9]
   • Следовательно, каждая конечномерная ТВС является бочкообразной.
4. Пространства Монтеля .
5. Сильно двойственные пространства к пространствам Монтеля (поскольку они обязательно являются пространствами Монтеля).
6. Локально выпуклое квазибочечное пространство , которое также является σ-бочечным пространством . ^[10]
7. Секвенциально полное квазибочкообразное пространство .
8. Квазиполное хаусдорфово локально выпуклое инфрабочечное пространство . ^[2]
   • TVS называется квазиполным, если каждое замкнутое и ограниченное подмножество полно.
9. TVS с плотным бочкообразным векторным подпространством. ^[2]
   • Таким образом, завершение бочкового пространства является бочоночным.
10. Хаусдорфова локально выпуклая ТВС с плотным инфрабочечным векторным подпространством. ^[2]
    • Таким образом, пополнение инфрабочечного локально выпуклого пространства Хаусдорфа является бочоночным. ^[2]
11. Векторное подпространство бочоночного пространства, имеющее счетную коразмерность. ^[2]
    • В частности, конечное коразмерное векторное подпространство бочечного пространства является бочоночным.
12. Локально-выпуклая ультрабочкообразная ТВС. ^[11]
13. Хаусдорфова локально выпуклая ТВС такая, что каждое слабо ограниченное подмножество ее непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно. ^[12] ${\displaystyle X}$
14. Локально выпуклая TVS такая, что для любого банахова пространства замкнутое линейное отображение в обязательно непрерывно. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$
15. Продукт семейства бочкообразных пространств. ^[14]
16. Локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел семейства бочечных пространств. ^[15]
17. Частное бочкообразного пространства. ^{[16] [15]}
18. Хаусдорфова секвенциально полная квазибочковая ТВС с ограниченным суммированием. ^[17]
19. Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа имеет бочкообразную форму.

Контрпримеры

• Бочковое пространство не обязательно должно быть монтелевским , полным , метризуемым , неупорядоченным, подобным Бэру, или индуктивным пределом банаховых пространств.
• Не все нормированные пространства являются бочкообразными. Однако все они инфраствольные. ^[2]
• Замкнутое подпространство бочечного пространства не обязательно является счетно-квазибочечным (и, следовательно, не обязательно бочоночным). ^[18]
• Существует плотное векторное подпространство бочоночного пространства Фреше , которое не является бочоночным. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• Существуют полные локально выпуклые ТВС, не имеющие бочкообразной формы. ^[2]
• Наилучшая локально выпуклая топология в бесконечномерном векторном пространстве — это бочковое пространство Хаусдорфа, которое является скудным подмножеством самого себя (и, следовательно, не является пространством Бэра ). ^[2]

Свойства бочковых пространств

Обобщение Банаха – Штейнгауза

Важность бочкообразных пространств обусловлена ​​главным образом следующими результатами.

Теорема ^[19]  —  Пусть TVS бочкообразный, а TVS локально выпуклый. Пусть – подмножество пространства непрерывных линейных отображений из в . Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$ограничен для топологии поточечной сходимости;
2. ${\displaystyle H}$ограничен в топологии ограниченной сходимости;
3. ${\displaystyle H}$является равнонепрерывным .

Теорема Банаха -Штайнхауза является следствием приведенного выше результата. ^[20] Если векторное пространство состоит из комплексных чисел, то также справедливо следующее обобщение. ${\displaystyle Y}$

Теорема ^[21]  —  Если это бочкообразный TVS над комплексными числами и является подмножеством непрерывного двойственного пространства , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle H}$слабо ограничен;
2. ${\displaystyle H}$сильно ограничен;
3. ${\displaystyle H}$является равнонепрерывным;
4. ${\displaystyle H}$относительно компактен в слабой дуальной топологии.

Напомним, что линейное отображение называется замкнутым , если его график представляет собой замкнутое подмножество ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Теорема о замкнутом графе ^[22]  —  Любой замкнутый линейный оператор из хаусдорфовой бочкообразной TVS в полную метризуемую TVS непрерывен.

Другие объекты недвижимости

• Каждое бочкообразное пространство Хаусдорфа является квазибочоночным . ^[23]
• Линейное отображение бочоночного пространства в локально выпуклое пространство почти непрерывно.
• Линейное отображение локально выпуклого пространства в бочкообразное почти открыто .
• Отдельно непрерывное билинейное отображение произведения бочечных пространств в локально выпуклое пространство гипонепрерывно . ^[24]
• Линейное отображение с замкнутым графом из бочкообразной TVS в -полную TVS обязательно непрерывно. ^[13] ${\displaystyle B_{r}}$

Смотрите также

• Ствольный набор
• Счетное пространство
• Выдающееся пространство  – TVS, сильный двойник которого заперт
• Квазибочковое пространство
• Ультраствольное пространство
• Принцип равномерной ограниченности # Обобщения  - теорема, утверждающая, что из поточечной ограниченности следует равномерная ограниченность.
• Теорема Урсеску  - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Перепончатое пространство  - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
3. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 39.
4. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 43.
5. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 32.
6. Schaefer & Wolff 1999, стр. 127, 141Trèves 2006, стр. 350.
7. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 477.
8. Narici & Beckenstein 2011, с. 399.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 383.
10. Халилулла 1982, стр. 28–63.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 418–419.
12. Тревес 2006, с. 350.
13. Schaefer & Wolff 1999, стр. 166.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 138.
15. Schaefer & Wolff 1999, стр. 61.
16. Тревес 2006, с. 346.
17. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 77.
18. Шефер и Вольф 1999, стр. 103–110.
19. Тревес 2006, с. 347.
20. Тревес 2006, с. 348.
21. Тревес 2006, с. 349.
22. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 41.
23. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 70–73.
24. Тревес 2006, с. 424.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. ОСЛК  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Осборн, Мейсон Скотт (2013). Локально выпуклые пространства . Тексты для аспирантов по математике. Том. 269. Чам Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-02045-7. ОКЛК  865578438.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . стр. 65–75.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.

• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-030-32945-7. ОСЛК  1145563701.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.