Последовательно завершено

В математике, в частности в топологии и функциональном анализе , подпространство S однородного пространства X называется секвенциально полным или полуполным , если каждая последовательность Коши в S сходится к элементу в S. X называется секвенциально полным, если оно является своим секвенциально полным подмножеством .

Последовательно полные топологические векторные пространства

Каждое топологическое векторное пространство является однородным пространством , поэтому к ним можно применить понятие последовательной полноты.

Свойства последовательно полных топологических векторных пространств

1. Ограниченный последовательно полный диск в хаусдорфовом топологическом векторном пространстве является банаховым диском . ^[1]
2. Хаусдорфово локально выпуклое пространство, которое является секвенциально полным и борнологическим, является ультраборнологическим . ^[2]

Примеры и достаточные условия

1. Каждое полное пространство последовательно полно, но не наоборот.
2. Для метризуемых пространств секвенциальная полнота подразумевает полноту. Вместе с предыдущим свойством это означает, что секвенциальная полнота и полнота эквивалентны над метризуемыми пространствами.
3. Каждое полное топологическое векторное пространство является квазиполным , а каждое квазиполное топологическое векторное пространство является последовательно полным. ^[3]

Смотрите также

• сетка Коши
• Полное пространство
• Полное топологическое векторное пространство
• Квазиполное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Равномерное пространство

Ссылки

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–442.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 449.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 155–176.

Библиография

• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.