В функциональном анализе , дисциплине в математике, локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) называется инфрабочкообразным (также пишется инфрабочкообразным ), если каждый ограниченный бочонок является окрестностью начала координат.
Аналогично, квазибочечные пространства являются топологическими векторными пространствами (TVS), для которых каждое рождающееся бочечное множество в пространстве является окрестностью начала координат. Квазибочечные пространства изучаются, поскольку они являются ослаблением определяющего условия бочечных пространств , для которого справедлива форма теоремы Банаха–Штейнгауза .
Определение
Подмножество топологического векторного пространства (TVS) называется пожирающим , если оно поглощает все ограниченные подмножества ; то есть, если для каждого ограниченного подмножества существует некоторый скаляр такой, что Бочкообразный набор
или бочка в TVS — это множество , которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . Квазибочечное пространство — это TVS, для которого каждое пожирающее бочкообразное множество в пространстве является окрестностью начала отсчета.
Характеристика
Если — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то каноническая инъекция из в его двусмысленное пространство является топологическим вложением тогда и только тогда, когда является инфрабочечным.
Хаусдорфово топологическое векторное пространство является квазибочечным тогда и только тогда, когда каждый ограниченный замкнутый линейный оператор из в полный метризуемый TVS является непрерывным.
По определению линейный оператор называется замкнутым , если его график является замкнутым подмножеством
Для локально выпуклого пространства с непрерывным сопряженным следующие условия эквивалентны:
- является квазиствольным.
- Всякая ограниченная полунепрерывная снизу полунорма на непрерывна.
- Каждое -ограниченное подмножество непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно.
Если — метризуемое локально выпуклое TVS, то следующие условия эквивалентны:
- Сильный дуал — квазибочкообразный.
- Сильный дуал — бочкообразный.
- Сильный дуал от слова борнологический .
Характеристики
Каждое квазиполное инфраствольное пространство является бочкообразным.
Локально выпуклое хаусдорфово квазибочкообразное пространство, которое является секвенциально полным, является бочечным.
Локально выпуклое хаусдорфово квазибочечное пространство является пространством Макки , квази-M-бочечным и счетно квазибочечным.
Локально выпуклое квазибочкообразное пространство, которое также является σ-бочечным пространством, обязательно является бочечным пространством .
Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и квазибочкообразно.
Примеры
Каждое бочкообразное пространство является инфрабочек.
Замкнутое векторное подпространство инфрабочекого пространства, однако, не обязательно является инфрабочек.
Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма любого семейства инфраствольных пространств инфраствольны.
Каждое разделенное частное инфраствольного пространства инфраствольно.
Каждое хаусдорфово бочечное пространство и каждое хаусдорфово борнологическое пространство квазибочечное.
Таким образом, каждое метризуемое TVS квазибочечное.
Обратите внимание, что существуют квазибочечные пространства, которые не являются ни бочечными, ни борнологическими.
Существуют пространства Макки , которые не являются квазибочечными.
Существуют выделенные пространства , DF-пространства и -бочечные пространства, которые не являются квазибочечными.
Сильное сопряженное пространство пространства Фреше выделяется тогда и только тогда, когда является квазибочечным. [10]
Контрпримеры
Существует DF-пространство , которое не является квазибочечным.
Существует квазибочечное DF-пространство , которое не является борнологическим .
Существует квазибочечное пространство, которое не является σ-бочечным пространством .
Смотрите также
Ссылки
- ^ Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)
Библиография
- Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
- Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
- Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
- Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR 0500064. OCLC 316549583.
- Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
- Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
- Wong, Yau-Chuen (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.