Рефлексивное пространство

Локально выпуклое топологическое векторное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , рефлексивное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, для которого каноническое отображение оценки из в его двусмысленное (которое является сильным дуальным сильному дуальному для ) является гомеоморфизмом (или, что эквивалентно, TVS-изоморфизмом ). Нормированное пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда это каноническое отображение оценки сюръективно , в этом случае это (всегда линейное) отображение оценки является изометрическим изоморфизмом , а нормированное пространство является банаховым пространством . Те пространства, для которых каноническое отображение оценки сюръективно, называются полурефлексивными пространствами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В 1951 году RC James открыл банахово пространство, теперь известное как пространство Джеймса , которое не является рефлексивным (это означает, что каноническое оценочное отображение не является изоморфизмом), но тем не менее изометрически изоморфно своему двудуальному (любой такой изометрический изоморфизм обязательно не является каноническим оценочным отображением). Поэтому важно, чтобы банахово пространство было рефлексивным, недостаточно, чтобы оно было изометрически изоморфным своему двудуальному; в частности, именно каноническое оценочное отображение должно быть гомеоморфизмом.

Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых TVS и в теории банаховых пространств в частности. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховы пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Определение

Определение бидуального

Предположим, что — топологическое векторное пространство (TVS) над полем (которое является либо действительными, либо комплексными числами), непрерывное сопряженное пространство которого разделяет точки на (то есть для любого существует некоторое такое, что ). Пусть (в некоторых текстах пишут ) обозначает сильно сопряженное к , которое является векторным пространством непрерывных линейных функционалов на , наделенным топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ; эта топология также называется сильно сопряженной топологией и является топологией «по умолчанию», размещенной на непрерывном сопряженном пространстве (если не указана другая топология). Если — нормированное пространство, то сильно сопряженное к — это непрерывно сопряженное пространство с его обычной топологией нормы. Двусмысленное к , обозначаемое как , является сильно сопряженным к ; то есть это пространство ^[1] Если — нормированное пространство, то — непрерывно сопряженное пространство банахова пространства с его обычной топологией нормы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого пусть определяется как , где есть линейное отображение, называемое отображением оценки в ; так как обязательно непрерывно, то следует, что Так как разделяет точки на линейном отображении, определяемом как , является инъективным, где это отображение называется отображением оценки или каноническим отображением . Называем полурефлексивным, если является биективным (или, что эквивалентно, сюръективным ), и мы называем рефлексивным, если, кроме того, является изоморфизмом TVS. [1] Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только ^тогда , когда оно полурефлексивно или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда отображение оценки сюръективно. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Рефлексивные банаховы пространства

Предположим, что есть нормированное векторное пространство над числовым полем ( действительные числа или комплексные числа ) с нормой. Рассмотрим его двойственное нормированное пространство , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено двойственной нормой, определяемой соотношением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ $${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

Двойственное пространство является нормированным ( точнее банаховым ), а его двойственное нормированное пространство называется двусторонним пространством для Двустороннее пространство состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено нормой, двойственной к Каждый вектор порождает скалярную функцию по формуле: и является непрерывным линейным функционалом на то есть, Таким образом, получается отображение, называемое оценочным отображением , то есть линейное. Из теоремы Хана–Банаха следует, что является инъективным и сохраняет нормы: то есть изометрически отображается на свой образ в Более того, образ замкнут в , но он не обязательно равен ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Нормированное пространство называется рефлексивным , если оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ${\displaystyle X}$

1. оценочная карта сюръективна , ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. оценочная карта представляет собой изометрический изоморфизм нормированных пространств, ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. оценочная карта является изоморфизмом нормированных пространств. ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

Рефлексивное пространство является банаховым пространством, поскольку оно изометрично банахову пространству. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

Замечание

Банахово пространство рефлексивно, если оно линейно изометрично своему двудуальному пространству при этом каноническом вложении Пространство Джеймса является примером нерефлексивного пространства, которое линейно изометрично своему двудуальному пространству . Более того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении имеет коразмерность один в своем двудуальном пространстве. ^[2] Банахово пространство называется квазирефлексивным (порядка ), если фактор имеет конечную размерность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$ ${\displaystyle d.}$

Примеры

1. Каждое конечномерное нормированное пространство рефлексивно, просто потому, что в этом случае пространство, его двойственное и двудвойственное имеют одинаковую линейную размерность, следовательно, линейная инъекция из определения является биективной по теореме о ранге–ничтожности . ${\displaystyle J}$
2. Банахово пространство скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженное супремум-нормой, не рефлексивно. Из общих свойств ниже следует, что и не рефлексивны, поскольку изоморфно двойственному к и изоморфно двойственному к ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. Все гильбертовы пространства рефлексивны, как и пространства Lp для Более обобщенно: все равномерно выпуклые банаховы пространства рефлексивны согласно теореме Мильмана–Петтиса . Пространства и не рефлексивны (если только они не конечномерны, что происходит, например, когда является мерой на конечном множестве). Аналогично, банахово пространство непрерывных функций на не рефлексивно. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$
4. Пространства операторов в классе Шаттена в гильбертовом пространстве равномерно выпуклы, следовательно, рефлексивны, когда Когда размерность бесконечна, то ( класс следов ) не рефлексивен, поскольку содержит подпространство, изоморфное , а (ограниченные линейные операторы в ) не рефлексивен, поскольку содержит подпространство, изоморфное В обоих случаях подпространство может быть выбрано в качестве операторов, диагональных относительно заданного ортонормированного базиса ${\displaystyle S_{p}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{1}(H)}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle H.}$

Характеристики

Поскольку каждое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством , только бесконечномерные пространства могут быть нерефлексивными.

Если банахово пространство изоморфно рефлексивному банахову пространству, то оно рефлексивно. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Каждое замкнутое линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное сопряженное рефлексивному пространству рефлексивно. Каждое фактор-пространство рефлексивного пространства по замкнутому подпространству рефлексивно. ^[4]

Пусть — банахово пространство. Следующие условия эквивалентны. ${\displaystyle X}$

1. Пространство рефлексивно. ${\displaystyle X}$
2. Продолжительный дуальный тип является рефлексивным. ^[5] ${\displaystyle X}$
3. Замкнутый единичный шар компактен в слабой топологии . (Это известно как теорема Какутани.) ^[6] ${\displaystyle X}$
4. Каждая ограниченная последовательность в имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. ^[7] ${\displaystyle X}$
5. Утверждение леммы Рисса справедливо, когда действительное число ^{[примечание 1]} равно в точности ^[8] Явно, для каждого замкнутого собственного векторного подпространства существует некоторый вектор единичной нормы такой, что для всех ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$ ${\displaystyle y\in Y.}$
   • Используя для обозначения расстояния между вектором и множеством , это можно переформулировать на более простом языке так: является рефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого собственного векторного подпространства существует некоторый вектор на единичной сфере , который всегда находится на расстоянии не менее от подпространства. ${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • Например, если рефлексивное банахово пространство наделено обычной евклидовой нормой и является плоскостью, то точки удовлетворяют заключению . Если же вместо этого является -осью , то каждая точка, принадлежащая единичной окружности на плоскости, удовлетворяет заключению. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle d(u,Y)=1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x-y}$
6. Каждый непрерывный линейный функционал на достигает своей верхней грани на замкнутом единичном шаре в ^[9] ( теорема Джеймса ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Так как замкнутые по норме выпуклые подмножества в банаховом пространстве слабо замкнуты, ^[10] из третьего свойства следует, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества рефлексивного пространства слабо компактны. Таким образом, для любой убывающей последовательности непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств пересечение непусто. Как следствие, любая непрерывная выпуклая функция на замкнутом выпуклом подмножестве такого , что множество непусто и ограничено для некоторого действительного числа, достигает своего минимального значения на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle C.}$

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств заключается в следующем: если — замкнутое непустое выпуклое подмножество рефлексивного пространства, то для любого существует такое , что минимизирует расстояние между и точками Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций, примененного к Обратите внимание, что хотя минимальное расстояние между и однозначно определяется точкой не является. Ближайшая точка единственна, когда равномерно выпукла. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \|x-c\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X}$

Рефлексивное банахово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно его непрерывное сопряженное пространство. Это следует из того факта, что для любого нормированного пространства сепарабельность непрерывного сопряженного пространства влечет сепарабельность ^[11] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y.}$

Суперрефлексивное пространство

Неформально, суперрефлексивное банахово пространство обладает следующим свойством: если задано произвольное банахово пространство , то если все конечномерные подпространства имеют очень похожую копию, находящуюся где-то в , то оно должно быть рефлексивным. По этому определению само пространство должно быть рефлексивным. В качестве элементарного примера, каждое банахово пространство , двумерные подпространства которого изометричны подпространствам , удовлетворяет закону параллелограмма , следовательно, ^[12] является гильбертовым пространством, поэтому оно рефлексивно. Так что оно суперрефлексивно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\ell ^{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Формальное определение не использует изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство конечно представимо [ ^13] в банаховом пространстве , если для каждого конечномерного подпространства и для каждого существует подпространство такое , что мультипликативное расстояние Банаха–Мазура между и удовлетворяет условию ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ $${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

Банахово пространство, конечно представимое в является гильбертовым пространством. Каждое банахово пространство конечно представимо в Пространство Lp конечно представимо в ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

Банахово пространство является сверхрефлексивным, если все банаховы пространства, конечно представимые в , являются рефлексивными, или, другими словами, если ни одно нерефлексивное пространство не является конечно представимым в . Понятие ультрапроизведения семейства банаховых пространств ^[14] допускает краткое определение: банахово пространство является сверхрефлексивным, если его ультрастепени рефлексивны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Джеймс доказал, что пространство является сверхрефлексивным тогда и только тогда, когда его дуальное пространство является сверхрефлексивным. ^[13]

Конечные деревья в банаховых пространствах

Одна из характеристик суперрефлексивности Джеймса использует рост разделенных деревьев. ^[15] Описание векторного бинарного дерева начинается с корневого бинарного дерева, помеченного векторами: дерево высоты в банаховом пространстве представляет собой семейство векторов , которое может быть организовано в последовательные уровни, начиная с уровня 0, который состоит из одного вектора — корня дерева , за которым следует семейство из 2 векторов, образующих уровень , которые являются потомками вершин уровня В дополнение к структуре дерева здесь требуется, чтобы каждый вектор, который является внутренней вершиной дерева, был средней точкой между его двумя потомками: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\varnothing },}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle k:}$ $${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$ ${\displaystyle k-1.}$ $${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

При наличии положительного действительного числа дерево называется -разделенным , если для каждой внутренней вершины два дочерних узла -разделены в заданной норме пространства: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

Теорема. ^[15] Банахово пространство является суперрефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого существует число такое, что каждое -разделенное дерево, содержащееся в единичном шаре, имеет высоту меньше, чем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$ ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(t).}$

Равномерно выпуклые пространства являются сверхрефлексивными. ^[15] Пусть будет равномерно выпуклым, с модулем выпуклости и пусть будет действительным числом из По свойствам модуля выпуклости, -разделенное дерево высоты, содержащееся в единичном шаре, должно иметь все точки уровня, содержащиеся в шаре радиуса По индукции следует, что все точки уровня содержатся в шаре радиуса ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,2].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$ ${\displaystyle n-k}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

Если бы высота была настолько большой, то две точки первого уровня не могли бы быть разделены, вопреки предположению. Это дает искомую связанную функцию только. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n(t),}$ ${\displaystyle \delta _{X}(t)}$

Используя древовидную характеристику, Энфло доказал ^[16] , что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве являются особым случаем векторнозначных мартингалов . Добавив методы из скалярной теории мартингалов, Пизье улучшил результат Энфло, показав ^[17] , что суперрефлексивное пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет, для некоторой константы и некоторого действительного числа ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle q\geq 2,}$ $${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические векторные пространства следующим образом.

Пусть будет топологическим векторным пространством над числовым полем ( действительных чисел или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное сопряженное пространство , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией , то есть ,, топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в Пространство является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассмотреть его сильное сопряженное пространство , которое называется сильно двусмысленным пространством для Оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией Каждый вектор порождает отображение по следующей формуле: Это непрерывный линейный функционал на , то есть ,, Это индуцирует отображение, называемое оценочным отображением : Это отображение линейно. Если является локально выпуклым, из теоремы Хана–Банаха следует, что является инъективным и открытым (то есть для каждой окрестности нуля в существует окрестность нуля в , такая что ). Но оно может быть несюръективным и/или разрывным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Локально выпуклое пространство называется ${\displaystyle X}$

• полурефлексивным, если оценочная карта сюръективна (следовательно, биективна), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• рефлексивным, если отображение оценки сюръективно и непрерывно (в этом случае является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[18] ). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J}$

Теорема ^[19]  —  Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда с -топологией обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества слабо компактны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^{[20] [21]}  —  Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и бочечно . ${\displaystyle X}$

Теорема ^[22]  —  Сильный дуал полурефлексивного пространства является бочечным.

Теорема ^[23]  —  Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то каноническая инъекция из в его двусмысленное является топологическим вложением тогда и только тогда, когда является инфрабочечным . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Полурефлексивные пространства

Характеристика

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным;
2. Слабая топология на имеет свойство Гейне-Бореля (то есть для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Если линейная форма на этом непрерывном множестве имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна и тогда, когда имеет слабую топологию; ^[24] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$имеет бочкообразный вид; ^[24]
5. ${\displaystyle X}$со слабой топологией является квазиполным . ^[24] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Характеристика рефлексивных пространств

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным;
2. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и инфраствольным ; ^[23]
3. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и бочкообразным ;
4. ${\displaystyle X}$является бочкообразным , а слабая топология на имеет свойство Гейне-Бореля (то есть для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным и квазибочкообразным . ^[25]

Если — нормированное пространство, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным;
2. Замкнутый единичный шар компактен, когда имеет слабую топологию ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$является банаховым пространством и рефлексивным. ^[27] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
4. Каждая последовательность с для всех непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств имеет непустое пересечение. ^[28] ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[29]  —  Действительное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда любая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью .

Теорема Джеймса  —  Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый непрерывный линейный функционал надостигает своей верхней грани на замкнутом единичном шаре в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Достаточные условия

Нормированные пространства

Нормированное пространство, которое является полурефлексивным, является рефлексивным банаховым пространством. ^[30] Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства является рефлексивным. ^[23]

Пусть будет банаховым пространством и замкнутым векторным подпространством Если два из и рефлексивны, то они все рефлексивны. ^[23] Вот почему рефлексивность называется свойством трехмерного пространства . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,M,}$ ${\displaystyle X/M}$

Топологические векторные пространства

Если бочкообразное локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то оно рефлексивно. ^[1]

Сильный дуал рефлексивного пространства рефлексивен. ^[31] Каждое пространство Монтеля рефлексивно. ^[26] И сильный дуал пространства Монтеля является пространством Монтеля (и, таким образом, рефлексивен). ^[26]

Характеристики

Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа является бочкообразным . Если — нормированное пространство, то — изометрия на замкнутое подпространство ^[30]. Эта изометрия может быть выражена как: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

Предположим, что — нормированное пространство, а — его двудуальное, снабженное двудуальной нормой. Тогда единичный шар плотен в единичном шаре для слабой топологии ^[30] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

Примеры

1. Каждое конечномерное хаусдорфово топологическое векторное пространство рефлексивно, поскольку является биективным по линейной алгебре, и поскольку на конечномерном векторном пространстве существует единственная топология хаусдорфова векторного пространства. ${\displaystyle J}$
2. Нормированное пространство рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того факта, что для нормированного пространства его дуальное нормированное пространство совпадает как топологическое векторное пространство с сильным дуальным пространством . Как следствие, оценочное отображение совпадает с оценочным отображением , и следующие условия становятся эквивалентными: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$является рефлексивным нормированным пространством (то есть является изоморфизмом нормированных пространств), ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$является рефлексивным локально выпуклым пространством (то есть является изоморфизмом топологических векторных пространств ^[18] ), ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$является полурефлексивным локально выпуклым пространством (то есть сюръективным). ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. (Несколько искусственный) пример полурефлексивного пространства, которое не является рефлексивным, получается следующим образом: пусть будет бесконечномерным рефлексивным банаховым пространством, и пусть будет топологическим векторным пространством, то есть векторным пространством, снабженным слабой топологией. Тогда непрерывное сопряженное для и является тем же набором функционалов, а ограниченные подмножества (то есть слабо ограниченные подмножества ) ограничены по норме, следовательно, банахово пространство является сильным сопряженным для Поскольку является рефлексивным, непрерывное сопряженное для равно образу при каноническом вложении, но топология на (слабая топология ) не является сильной топологией , которая равна топологии нормы ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Пространства Монтеля являются рефлексивными локально выпуклыми топологическими векторными пространствами. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, являются рефлексивными локально выпуклыми пространствами: ^[32]
   • пространство гладких функций на произвольном (действительном) гладком многообразии и его сильно сопряженное пространство распределений с компактным носителем на ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком многообразии и его сильно сопряженное пространство распределений на ${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии и его сильно сопряженное пространство аналитических функционалов на ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • пространство Шварца на и его сильное дуальное пространство темперированных распределений на ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Контрпримеры

• Существует нерефлексивный локально выпуклый TVS, сильный двойственный которому рефлексивен. ^[33]

Другие типы рефлексивности

Стереотипное пространство, или полярно-рефлексивное пространство, определяется как топологическое векторное пространство (TVS), удовлетворяющее аналогичному условию рефлексивности, но с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных подмножествах (вместо ограниченных подмножеств) в определении двойственного пространства. Точнее, TVS называется полярно-рефлексивным ^[34] или стереотипным, если отображение оценки во второе двойственное пространство является изоморфизмом топологических векторных пространств . ^[18] Здесь стереотипно-двойственное пространство определяется как пространство непрерывных линейных функционалов, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (а стереотипно-второе двойственное пространство является пространством, двойственным к в том же смысле). ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$ ${\displaystyle X^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

В отличие от классических рефлексивных пространств класс Ste стереотипных пространств очень широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и, таким образом, все банаховы пространства ), он образует замкнутую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определенные внутри Ste ) построения новых пространств, такие как взятие замкнутых подпространств, факторпространств, проективных и инъективных пределов, пространства операторов, тензорных произведений и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогично можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в в определении двойственного пространства другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в – пространства, определяемые соответствующим условием рефлексивности, называются рефлективными , ^{[35] [36]} и они образуют еще более широкий класс, чем Ste , но не ясно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, аналогичными свойствам Ste . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• пространство Гротендика
  • Обобщением, обладающим некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включающим в себя множество пространств, имеющих практическое значение, является концепция пространства Гротендика .
• Рефлексивная операторная алгебра  – операторная алгебра, имеющая достаточно инвариантных подпространств, чтобы ее охарактеризовать.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

Примечания

1. Утверждение леммы Рисса включает в себя только одно действительное число, которое в статье о лемме Рисса обозначено как . Лемма всегда верна для всех действительных Но для банахова пространства лемма верна для всех тогда и только тогда, когда пространство рефлексивно. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <1.}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$

Цитаты

1. Trèves 2006, стр. 372–374.
2. Роберт С. Джеймс (1951). «Нерефлексивное банахово пространство, изометричное своему второму сопряженному пространству». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 37 (3): 174–177. Bibcode :1951PNAS...37..174J. doi : 10.1073/pnas.37.3.174 . PMC  1063327 . PMID  16588998.
3. Предложение 1.11.8 в Меггинсоне (1998, стр. 99).
4. Меггинсон (1998, стр. 104–105).
5. Следствие 1.11.17, стр. 104 в Megginson (1998).
6. Конвей 1985, Теорема V.4.2, стр. 135.
7. Поскольку слабая компактность и слабая секвенциальная компактность совпадают по теореме Эберлейна–Шмульяна .
8. Дистель 1984, стр. 6.
9. Теорема 1.13.11 в Меггинсоне (1998, стр. 125).
10. Теорема 2.5.16 в Меггинсоне (1998, стр. 216).
11. Теорема 1.12.11 и следствие 1.12.12 в Megginson (1998, стр. 112–113).
12. см. эту характеристику гильбертова пространства среди банаховых пространств
13. Джеймс, Роберт С. (1972), «Суперрефлексивные банаховы пространства», Can. J. Math. 24 :896–904.
14. Дакунья-Кастель, Дидье; Кривин, Жан-Луи (1972), «Приложения ультрапродуктов в изучении пространств и алгебр Банаха» (на французском языке), Studia Math. 41 : 315–334.
15. см. Джеймс (1972).
16. Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно придать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Israel Journal of Mathematics . 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802.
17. Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Israel Journal of Mathematics . 20 (3–4): 326–350. doi :10.1007/BF02760337.
18. Изоморфизм топологических векторных пространств — это линейное и гомеоморфное отображение ${\displaystyle \varphi :X\to Y.}$
19. Эдвардс 1965, 8.4.2.
20. Шефер 1966, 5.6, 5.5.
21. Эдвардс 1965, 8.4.5.
22. Эдвардс 1965, 8.4.3.
23. Narici & Beckenstein 2011, стр. 488–491.
24. Шефер и Вольф 1999, стр. 144.
25. Халилулла 1982, стр. 32–63.
26. Trèves 2006, стр. 376.
27. Трев 2006, стр. 377.
28. Бернардес 2012.
29. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 212.
30. Trèves 2006, стр. 375.
31. Шефер и Вольф 1999, стр. 145.
32. Эдвардс 1965, 8.4.7.
33. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
34. Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства И. Спрингер Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Спрингер. ISBN 978-3-642-64988-2.
35. Гарибей Боналес, Ф.; Тригос-Арриета, Ф. Дж.; Вера Мендоса, Р. (2002). «Характеристика двойственности Понтрягина-ван Кампена для локально выпуклых пространств». Топология и ее приложения . 121 (1–2): 75–89. doi : 10.1016/s0166-8641(01)00111-0 .
36. Акбаров, СС; Шавгулидзе, ЭТ (2003). «О двух классах пространств, рефлексивных по Понтрягину». Матем. сборник . 194 (10): 3–26.

Общие ссылки

• Бернардес, Нильсон К. младший (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах , т. 389, Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561.
• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Springer.
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
• Джеймс, Роберт С. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. of Math. Studies, т. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Колмогоров, А. Н.; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: The Macmillan Company.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.