Двойная норма

Измерение в нормированном векторном пространстве

В функциональном анализе двойственная норма — это мера размера непрерывной линейной функции, определенной на нормированном векторном пространстве .

Определение

Пусть будет нормированным векторным пространством с нормой и пусть обозначим его непрерывное сопряженное пространство . Двойственная норма непрерывного линейного функционала, принадлежащего к , является неотрицательным действительным числом, определяемым ^[1] любой из следующих эквивалентных формул: где и обозначают супремум и инфимум , соответственно. Постоянное отображение является началом векторного пространства и оно всегда имеет норму Если тогда единственным линейным функционалом на является постоянное отображение и, более того, множества в последних двух строках будут оба пустыми и, следовательно, их супремумы будут равны вместо правильного значения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\|f\|&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|\leq 1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~:~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ for all }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1{\text{ or }}0~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ and }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|0\|=0.}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$ ${\displaystyle 0.}$

Важно отметить, что линейная функция , в общем случае, не гарантирует достижение своей нормы на замкнутом единичном шаре, что означает, что может не существовать никакого вектора нормы, такого что (если такой вектор существует и если то обязательно будет иметь единичную норму ). RC James доказал теорему Джеймса в 1964 году, которая гласит, что банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная линейная функция достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. ^[2] Из этого следует, в частности, что каждое нерефлексивное банахово пространство имеет некоторый ограниченный линейный функционал, который не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. Однако теорема Бишопа–Фелпса гарантирует, что множество ограниченных линейных функционалов, которые достигают своей нормы на единичной сфере банахова пространства, является нормоплотным подмножеством непрерывного сопряженного пространства . ^{[3] [4]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|=\sup\{|fx|:\|x\|\leq 1,x\in X\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|f\|=|fu|}$ ${\displaystyle f\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X^{*}}$

Отображение определяет норму на (См. теоремы 1 и 2 ниже.) Двойственная норма является частным случаем операторной нормы, определенной для каждого (ограниченного) линейного отображения между нормированными векторными пространствами. Поскольку основное поле ( или ) является полным , является банаховым пространством . Топология на , индуцированная оказывается сильнее, чем слабая-* топология на ${\displaystyle f\mapsto \|f\|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{*}.}$

Двойной дуал нормированного линейного пространства

Двойной дуал (или второй дуал) является дуалом нормированного векторного пространства . Существует естественное отображение . Действительно, для каждого в определить ${\displaystyle X^{**}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \varphi :X\to X^{**}}$ ${\displaystyle w^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ $${\displaystyle \varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).}$$

Отображение линейно , инъективно и сохраняет расстояние . ^[5] В частности, если является полным (т.е. банаховым пространством), то является изометрией на замкнутое подпространство . ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X^{**}}$

В общем случае отображение не является сюръективным. Например, если — банахово пространство, состоящее из ограниченных функций на вещественной прямой с супремум-нормой, то отображение не является сюръективным. (См. пространство ). Если — сюръективно, то называется рефлексивным банаховым пространством . Если то пространство является рефлексивным банаховым пространством. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Примеры

Двойственная норма для матриц

TheНорма Фробениуса , определяемая как самодвойственная, т.е. ее двойственная норма равна $${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.}$

Theспектральная норма , частный случай индуцированной нормы , когда, определяется максимальнымисингулярными значениямиматрицы, то есть имеет ядерную норму в качестве своей дуальной нормы, которая определяется как для любой матрицы,гдеобозначают сингулярные значения^{[ необходима ссылка ]}. ${\displaystyle p=2}$ $${\displaystyle \|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A),}$$ $${\displaystyle \|B\|'_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(B)}$

Если норма Шаттена на матрицах двойственна норме Шаттена . ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$

Конечномерные пространства

Пусть будет нормой на Соответствующая дуальная норма , обозначенная определяется как ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{*},}$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|\leq 1\}.}$$

(Можно показать, что это норма.) Двойственная норма может быть интерпретирована как операторная норма , интерпретируемая как матрица, с нормой на , и абсолютным значением на : ${\displaystyle z^{\intercal },}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{|z^{\intercal }x|:\|x\|\leq 1\}.}$$

Из определения дуальной нормы следует неравенство , которое выполняется для всех и ^[7] Двойственное к дуальной норме — это исходная норма: мы имеем для всех (Это не обязательно выполняется в бесконечномерных векторных пространствах.) $${\displaystyle z^{\intercal }x=\|x\|\left(z^{\intercal }{\frac {x}{\|x\|}}\right)\leq \|x\|\|z\|_{*}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle \|x\|_{**}=\|x\|}$ ${\displaystyle x.}$

Двойственной норме евклидовой является евклидова норма, поскольку $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{2}\leq 1\}=\|z\|_{2}.}$$

(Это следует из неравенства Коши–Шварца ; для ненулевого значения значение , которое максимизируется по , равно ) ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z^{\intercal }x}$ ${\displaystyle \|x\|_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\|z\|_{2}}}.}$

Двойственным к -норме является -норма: а двойственным к -норме является -норма. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{\infty }\leq 1\}=\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=\|z\|_{1},}$$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

В более общем смысле неравенство Гёльдера показывает, что двойственной к -норме является -норма, где удовлетворяет , то есть ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}.}$

В качестве другого примера рассмотрим - или спектральную норму на . Соответствующая дуальная норма есть которая оказывается суммой сингулярных значений, где Эту норму иногда называют ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sup\{\mathbf {tr} (Z^{\intercal }X):\|X\|_{2}\leq 1\},}$$ $${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal }Z}}),}$$ ${\displaystyle r=\mathbf {rank} Z.}$ядерная норма .^[8]

Л пи ℓппространства

Для p -норма (также называемая -нормой) вектора равна ${\displaystyle p\in [1,\infty ],}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}~:=~\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Если удовлетворяют , то и нормы двойственны друг другу, и то же самое верно для и норм, где — некоторое пространство меры . В частности, евклидова норма самодвойственна, поскольку для двойственная норма имеет положительное определение. ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ ${\displaystyle p=q=2.}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{\mathrm {T} }Qx}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {y^{\mathrm {T} }Q^{-1}y}}}$ ${\displaystyle Q}$

Для -нормы даже индуцируется каноническим внутренним произведением , что означает, что для всех векторов Это внутреннее произведение может быть выражено в терминах нормы с использованием тождества поляризации . На этом ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$Евклидово скалярное произведение определяется как , в то время как для пространства,связанного смерой пространства, состоящего из всехквадратично интегрируемых функций, это скалярное произведение является Нормы непрерывных двойственных пространствиудовлетворяюттождеству поляризации, и поэтому эти двойственные нормы могут быть использованы для определения скалярных произведений. С этим скалярным произведением это двойственное пространство также являетсягильбертовым пространством. $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Характеристики

Даны нормированные векторные пространства и пусть ^[9] — совокупность всех ограниченных линейных отображений (или операторов ) из в Тогда можно задать каноническую норму. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$

Теорема 1  —  Пусть и — нормированные пространства. Приписывание каждому непрерывному линейному оператору скаляра определяет норму на , которая превращает в нормированное пространство. Более того, если — банахово пространство, то и оно является ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in L(X,Y)}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y).}$

Когда есть скалярное поле (т.е. или ), то есть двойственное пространство ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема 2  —  Пусть — нормированное пространство и для каждого пусть , где по определению — скаляр. Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ $${\displaystyle \left\|x^{*}\right\|~:=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x\in X{\text{ with }}\|x\|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle \langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)}$

1. ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R} }$это норма , которая создает банахово пространство. ^[13] ${\displaystyle X^{*}}$
2. Если — замкнутый единичный шар, то для каждого Следовательно, — ограниченный линейный функционал на с нормой ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|x\|~&=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x^{*}\in B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left|x^{*}(x)\right|~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1{\text{ with }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|x^{*}\|~=~\|x\|.}$
3. ${\displaystyle B^{*}}$является слабым*-компактным.

Как обычно, обозначим каноническую метрику, индуцированную нормой на , а расстояние от точки до подмножества обозначим через Если — ограниченный линейный функционал на нормированном пространстве, то для каждого вектора [ ^17] , где обозначает ядро ${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle d(x,S)~:=~\inf _{s\in S}d(x,s)~=~\inf _{s\in S}\|x-s\|.}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle |f(x)|=\|f\|\,d(x,\ker f),}$$ ${\displaystyle \ker f=\{k\in X:f(k)=0\}}$ ${\displaystyle f.}$

Смотрите также

• Выпуклое сопряжение  – Обобщение преобразования Лежандра
• Неравенство Гельдера  – Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Пространство Lp  – Функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства p-нормы
• Норма оператора  – мера «размера» линейных операторов.
• Поляризационное тождество  – формула, связывающая норму и скалярное произведение в пространстве скалярных произведений.

Примечания

1. Рудин 1991, стр. 87
2. Дистель 1984, стр. 6.
3. Бишоп, Эрретт ; Фелпс, RR (1961). «Доказательство того, что каждое банахово пространство субрефлексивно». Бюллетень Американского математического общества . 67 : 97–98. doi : 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4 . MR  0123174.
4. Ломоносов, Виктор (2000). «Контрпример к теореме Бишопа-Фелпса в комплексных пространствах». Israel Journal of Mathematics . 115 : 25–28. doi :10.1007/bf02810578. MR  1749671. S2CID  53646715.
5. Рудин 1991, раздел 4.5, стр. 95
6. Рудин 1991, стр. 95
7. Это неравенство является строгим в следующем смысле: для любого существует такое неравенство , при котором неравенство выполняется с равенством. (Аналогично, для любого существует такое , которое дает равенство.) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$
8. Бойд и Ванденберге 2004, стр. 637
9. Каждое из них является векторным пространством с обычными определениями сложения и скалярного умножения функций; это зависит только от структуры векторного пространства , а не от . ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
10. Рудин 1991, стр. 92
11. Рудин 1991, стр. 93
12. Рудин 1991, стр. 93
13. Алипрантис и Бордер 2006, с. 230
14. Рудин 1991, Теорема 3.3 Следствие, стр. 59
15. Рудин 1991, Теорема 3.15 Алгоритм теоремы Банаха–Алаоглу , стр. 68
16. Рудин 1991, стр. 94
17. Хашимото, Накамура и Охару 1986, стр. 281.

Ссылки

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 9783540326960.
• Бойд, Стивен ; Ванденберг, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Cambridge University Press . ISBN 9780521833783.
• Diestel, Joe (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Хасимото, Кадзуо; Накамура, генерал; Охару, Шинноске (1 января 1986 г.). «Лемма Рисса и ортогональность в нормированных пространствах» (PDF) . Хиросимский математический журнал . 16 (2). Университет Хиросимы – математический факультет. дои : 10.32917/hmj/1206130429. ISSN  0018-2079.
• Колмогоров, А. Н .; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Внешние ссылки

• Заметки о проксимальном картировании Ливена Ванденберге