Топологическое векторное пространство

Вектор пространства с понятием близости

В математике топологическое векторное пространство (также называемое линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или tvs ) является одной из основных структур, исследуемых в функциональном анализе . Топологическое векторное пространство — это векторное пространство , которое также является топологическим пространством со свойством, что операции векторного пространства (векторное сложение и скалярное умножение) также являются непрерывными функциями . Такая топология называется векторной топологией , и каждое топологическое векторное пространство имеет равномерную топологическую структуру , допускающую понятие равномерной сходимости и полноты . Некоторые авторы также требуют, чтобы пространство было хаусдорфовым пространством (хотя в этой статье это не так). Одной из наиболее широко изучаемых категорий TVS являются локально выпуклые топологические векторные пространства . В этой статье основное внимание уделяется TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми. Другие известные примеры TVS включают банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева .

Многие топологические векторные пространства являются пространствами функций или линейных операторов, действующих в топологических векторных пространствах, а топология часто определяется таким образом, чтобы охватить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

В этой статье скалярное поле топологического векторного пространства будет предполагаться представленным либо комплексными числами , либо действительными числами, если явно не указано иное. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Мотивация

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику , а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что ^{[ необходима цитата ]} :

1. Отображение сложения векторов, определенное с помощью , является (совместно) непрерывным относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника, которому подчиняется норма. ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. Скалярное отображение умножения, определяемое как , где — базовое скалярное поле, является (совместно) непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы. ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X,}$

Таким образом, все банаховы пространства и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но которые все еще представляют интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , а также пространства тестовых функций и пространства распределений на них. ^[1] Все это примеры пространств Монтеля . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не является нормируемым. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Топологическое поле — это топологическое векторное пространство над каждым из своих подполей .

Определение

Семейство окрестностей начала координат с указанными выше двумя свойствами однозначно определяет топологическое векторное пространство. Система окрестностей любой другой точки векторного пространства получается переносом .

Топологическое векторное пространство ( TVS ) — это векторное пространство над топологическим полем (чаще всего действительными или комплексными числами с их стандартными топологиями), которое наделено топологией, такой что сложение векторов и скалярное умножение являются непрерывными функциями (где области этих функций наделены топологиями произведений ). Такая топология называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$векторная топология илиТопология TVS на ${\displaystyle X.}$

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой относительно сложения.

предположение Хаусдорфа

Многие авторы (например, Вальтер Рудин ), но не эта страница, требуют, чтобы топология была T 1 ; тогда следует, что пространство является Хаусдорфовым и даже Тихоновым . Топологическое векторное пространство называется ${\displaystyle X}$разделен, если он Хаусдорфов; важно, что «разделенный» не означаетразделимый. Топологические и линейные алгебраические структуры могут быть связаны вместе еще теснее с дополнительными предположениями, наиболее распространенные из которых перечислены ниже.

Категория и морфизмы

Категория топологических векторных пространств над заданным топологическим полем обычно обозначается или . Объектами являются топологические векторные пространства над , а морфизмами — непрерывные линейные отображения одного объекта в другой. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Атопологический гомоморфизм векторного пространства (сокращенноГомоморфизм TVS ), также называемыйтопологический гомоморфизм [^2][3]представляет собойнепрерывное линейное отображение между топологическими векторными пространствами (TVS), такое, что индуцированное отображениеявляетсяоткрытым отображением,когда ,который является диапазоном или образом ,заданатопология подпространства,индуцированная ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

Атопологическое вложение векторного пространства (сокращенноВстраивание TVS ), также называемоеТопологический мономорфизм , являетсяинъективнымтопологическим гомоморфизмом. Эквивалентно, TVS-вложение является линейным отображением, которое также являетсятопологическим вложением.^[2]

Атопологический изоморфизм векторного пространства (сокращенноTVS-изоморфизм ), также называемыйтопологический векторный изоморфизм ^[4]илиизоморфизм в категории TVS , является биективнымлинейным гомеоморфизмом. Эквивалентно, этосюръективноевложение TVS^[2]

Многие изучаемые свойства TVS, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно изоморфизмов TVS.

Необходимое условие векторной топологии

Совокупность подмножеств векторного пространства называется аддитивной ^[5], если для каждого существует такая , что ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Характеристика непрерывности сложения в ^[5] ${\displaystyle 0}$  —  Если является группой (как и все векторные пространства), является топологией на и наделено топологией произведения , то отображение сложения (определяемое как ) непрерывно в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в является аддитивным. Это утверждение остается верным, если слово «окрестность» заменить на «открытая окрестность». ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Все вышеперечисленные условия, следовательно, являются необходимыми для того, чтобы топология формировала векторную топологию.

Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

Поскольку каждая векторная топология инвариантна относительно трансляции (что означает, что для всех отображений, определяемых с помощью , есть гомеоморфизм ), для определения векторной топологии достаточно определить для нее базис (или подбазис) окрестностей в начале координат. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

Теорема ^[6]  (Фильтр соседства начала координат)  —  Предположим, что является действительным или комплексным векторным пространством. Если является непустым аддитивным набором сбалансированных и поглощающих подмножеств , то является базой соседства в для векторной топологии на То есть, предположения таковы, что является базой фильтра , которая удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Каждый сбалансирован и поглощает ,​ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$аддитивно: для каждого существует такое, что ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq B,}$

Если удовлетворяет двум вышеуказанным условиям, но не является базой фильтра, то он будет формировать подбазис соседства в ( а не базис соседства) для векторной топологии в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

В общем случае множество всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базис окрестностей в начале координат ни для какой векторной топологии. ^[5]

Определение топологий с использованием строк

Пусть будет векторным пространством, а будет последовательностью подмножеств. Каждое множество в последовательности называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$узел и для каждогоиндексаназывается-ым узломМножествоназываетсяначаломПоследовательностьесть/есть:^[7][8][9] ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

• Суммативно, еслидля каждого индекса ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Сбалансированный (соответственно поглощающий , закрытый , ^{[примечание 1]} выпуклый , открытый , симметричный , бочкообразный , абсолютно выпуклый/дискообразный и т. д.), если это верно для каждого ${\displaystyle U_{i}.}$
• Строка ifявляется суммирующей, поглощающей и сбалансированной. ${\displaystyle U_{\bullet }}$
• Топологическая строка илисоседняя строка в TVSеслиэто строка и каждый из ее узлов является окрестностью начала координат в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Если — поглощающий диск в векторном пространстве , то последовательность, определяемая как , образует строку, начинающуюся с Это называется натуральной строкой ^[7]. Более того, если векторное пространство имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ ${\displaystyle U_{1}=U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Суммирующие последовательности множеств обладают особенно приятным свойством: они определяют неотрицательные непрерывные вещественные субаддитивные функции. Эти функции затем можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Теорема  ( -значная функция, индуцированная строкой) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ —  Пусть будет набором подмножеств векторного пространства таким, что и для всех Для всех пусть ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Определим , если и в противном случае пусть ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Тогда является субаддитивным (то есть для всех ) и на так, в частности, если все являются симметричными множествами , то и если все сбалансированы, то для всех скаляров таких, что и все Если является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала отсчета, то является непрерывным, где если в дополнение является Хаусдорфовым и образует базис сбалансированных окрестностей начала отсчета в , то является метрикой, определяющей векторную топологию на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство приведенной выше теоремы дано в статье о метризуемых топологических векторных пространствах .

Если и являются двумя наборами подмножеств векторного пространства , а если является скаляром, то по определению: ^[7] ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ содержит : тогда и только тогда, когда для каждого индекса ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Набор узлов : ${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Ядро : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Скалярное множитель : ${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Сумма : ${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Пересечение : ${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Если представляет собой совокупность последовательностей подмножеств , то говорят, что она направлена ​​( вниз ) относительно включения или просто направлена ​​вниз, если не пуста и для всех существует такая , что и (иначе говоря, тогда и только тогда, когда является предварительным фильтром относительно включения, определенного выше). ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Обозначение : Пусть будет множеством всех узлов всех струн в ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Теорема ^[7]  (Топология, индуцированная строками)  —  Если — топологическое векторное пространство, то существует множество ^{[доказательство 1]} соседних строк в , направленное вниз и такое, что множество всех узлов всех строк в является базисом соседства в начале координат для . Такой набор строк называется фундаментальным . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau }$

Наоборот, если — векторное пространство и если — набор строк в , направленный вниз, то множество всех узлов всех строк в образует базис соседства в начале координат для векторной топологии на В этом случае эта топология обозначается и называется топологией, порожденной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Если — множество всех топологических строк в TVS , то ^[7] Хаусдорфово TVS метризуемо тогда и только тогда, когда его топология может быть индуцирована одной топологической строкой. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Топологическая структура

Векторные пространства являются абелевыми группами относительно операции сложения, а в топологических векторных пространствах обратная операция всегда непрерывна (поскольку она совпадает с умножением на ). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Каждая TVS полностью регулярна , но TVS не обязательно должна быть нормальной . ^[11] ${\displaystyle -1}$

Пусть будет топологическим векторным пространством. При наличии подпространства фактор-пространство с обычной фактор-топологией является хаусдорфовым топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда замкнуто. ^{[примечание 2]} Это допускает следующую конструкцию: при наличии топологического векторного пространства (которое, вероятно, не является хаусдорфовым), образуем фактор-пространство, где является замыканием , тогда является хаусдорфовым топологическим векторным пространством, которое можно изучать вместо ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Инвариантность векторных топологий

Одним из наиболее используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топологияИнвариант перевода :

для всех отображение, определяемое является гомеоморфизмом , но если то оно не линейно и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом. Это означает, что если то линейное отображение, определяемое является гомеоморфизмом. Использование создает отображение отрицания, определяемое , которое, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом. ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto -x,}$

Если и любое подмножество , то ^[6] и, более того, если , то является окрестностью (соответственно открытой окрестностью, замкнутой окрестностью) в тогда и только тогда, когда то же самое верно для в начале координат. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Местные представления

Подмножество векторного пространства называется ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• поглощающий (в): если для каждогосуществует действительное числотакое, чтодля любого скаляра,удовлетворяющего ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in E}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
• сбалансированный или обведенный : еслидля каждого скаляра ^[12] ${\displaystyle tE\subseteq E}$ ${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• выпуклый : еслидля каждого действительного ^[12] ${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• диск или абсолютно выпуклый : если выпуклый и уравновешенный. ${\displaystyle E}$
• симметричный : еслиили, что эквивалентно, если ${\displaystyle -E\subseteq E,}$ ${\displaystyle -E=E.}$

Каждая окрестность начала координат является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность ^[6] , поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . Начало координат даже имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых сбалансированных окрестностей если пространство локально выпукло, то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых сбалансированных окрестностей начала координат. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0;}$

Ограниченные подмножества

Подмножество топологического векторного пространства ограничено ^[13], если для любой окрестности начала координат существует такое, что . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV}$

Определение ограниченности можно немного ослабить; ограничено тогда и только тогда, когда каждое счетное его подмножество ограничено. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая из его подпоследовательностей является ограниченным множеством. ^[14] Кроме того, ограничено тогда и только тогда, когда для каждой сбалансированной окрестности начала существует такое, что Более того, когда локально выпукло, ограниченность можно охарактеризовать полунормами : подмножество ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма ограничена на ^[15] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E.}$

Каждое полностью ограниченное множество ограничено. ^[14] Если — векторное подпространство TVS , то подмножество ограничено в тогда и только тогда, когда оно ограничено в ^[14] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Метризуемость

Теорема Биркгофа–Какутани  —  Если— топологическое векторное пространство, то следующие четыре условия эквивалентны: ^{[16] [примечание 3]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Начало координат замкнуто и существует счетная база окрестностей в начале координат ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует инвариантная относительно трансляции метрика , которая индуцирует топологию , которая является заданной топологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle (X,\tau )}$является метризуемым топологическим векторным пространством . ^{[примечание 4]}

Из теоремы Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , инвариантная относительно трансляции.

TVS псевдометризуема тогда и только тогда, когда она имеет счетную окрестность в начале координат или эквивалентна ей, тогда и только тогда, когда ее топология порождается F -полунормой . TVS метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым , если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство является нормируемым тогда и только тогда, когда оно является хаусдорфовым и имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. ^[17]

Пусть будет недискретным локально компактным топологическим полем, например, действительными или комплексными числами. Хаусдорфово топологическое векторное пространство над локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно , то есть изоморфно для некоторого натурального числа ^[18] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Полнота и единообразие структуры

Каноническая однородность ^[19] на TVS — это уникальная трансляционно-инвариантная однородность , которая индуцирует топологию на ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Предполагается, что каждое TVS наделено этой канонической однородностью, которая превращает все TVS в однородные пространства . Это позволяет говорить ^{[ требуется разъяснение ]} о связанных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши и равномерная непрерывность и т. д., которые всегда предполагаются относительно этой однородности (если не указано иное). Это подразумевает, что каждое хаусдорфово топологическое векторное пространство является тихоновским . ^[20] Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено (для хаусдорфовых TVS полнота ограниченности множества эквивалентна его предкомпактности ). Но если TVS не хаусдорфово, то существуют компактные подмножества, которые не замкнуты. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфового TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

Относительно этой однородности сеть (или последовательность ) является сетью Коши тогда и только тогда, когда для каждой окрестности существует некоторый индекс такой, что всякий раз, когда и ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle j\geq n.}$

Каждая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши могут быть не ограниченными. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным ; в общем случае оно может быть неполным (в том смысле, что сходятся все фильтры Коши).

Операция сложения векторного пространства равномерно непрерывна и является открытым отображением. Скалярное умножение непрерывно по Коши, но в общем случае оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Из-за этого каждое топологическое векторное пространство может быть дополнено и, таким образом, является плотным линейным подпространством полного топологического векторного пространства .

• Каждое TVS имеет пополнение , и каждое Хаусдорфово TVS имеет Хаусдорфово пополнение. ^[6] Каждое TVS (даже те, которые являются Хаусдорфовыми и/или полными) имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
• Компактное подмножество TVS (не обязательно Хаусдорфово) является полным. ^[21] Полное подмножество TVS Хаусдорфа является замкнутым. ^[21]
• Если является полным подмножеством TVS, то любое подмножество, замкнутое в TVS, является полным. ^[21] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Последовательность Коши в хаусдорфовом TVS не обязательно является относительно компактной (то есть ее замыкание в не обязательно компактно). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления , то он сходится к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Если ряд сходится ^{[примечание 5]} в TVS , то в ^[22] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Самая тонкая и самая грубая векторная топология

Пусть — действительное или комплексное векторное пространство. ${\displaystyle X}$

Тривиальная топология

Тривиальная топология или недискретная топология всегда является топологией TVS на любом векторном пространстве и является самой грубой топологией TVS из возможных. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS на всегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (включая те, которые являются бесконечномерными), наделенное тривиальной топологией, является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Оно является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

Лучшая векторная топология

Существует топология TVS , называемая ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle X,}$наилучшая векторная топология на ,которая тоньше любой другой TVS-топологии на(то есть любая TVS-топология наобязательно является подмножеством).^[23][24]Каждое линейное отображение изв другой TVS обязательно непрерывно. Еслиимеет несчетныйбазис Гамеля, тонеявляетсялокально выпуклыминеметризуемым.^[24] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

Декартовы произведения

Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, множество всех функций , где несет свою обычную евклидову топологию . Это множество является действительным векторным пространством (где сложение и скалярное умножение определяются поточечно, как обычно), которое может быть отождествлено с (и действительно, часто определяется как) декартовым произведением , которое несет естественную топологию произведения . С этой топологией произведения становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией поточечной сходимости на Причина этого названия заключается в следующем: если является последовательностью (или, в более общем смысле, сетью ) элементов в и если то сходится к в тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа сходится к в Это TVS является полным , хаусдорфовым и локально выпуклым , но не метризуемым и, следовательно, не нормируемым ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии произведения содержит линии (то есть одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами вида с ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$

Конечномерные пространства

По теореме Ф. Рисса топологическое векторное пространство Хаусдорфа конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно , что происходит тогда и только тогда, когда оно имеет компактную окрестность начала координат.

Пусть обозначает или и наделяет его обычной нормированной по Хаусдорфу евклидовой топологией . Пусть будет векторным пространством над конечной размерности и так, что является векторным пространством, изоморфным (явно это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами и ). Это конечномерное векторное пространство всегда имеет единственную хаусдорфову векторную топологию, что делает его TVS-изоморфным , где наделяется обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией произведения ). Эта хаусдорфова векторная топология также является (единственной) наилучшей векторной топологией на имеет единственную векторную топологию тогда и только тогда, когда Если то хотя и не имеет уникальной векторной топологии, он имеет единственную хаусдорфову векторную топологию. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle n:=\dim X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

• Если то имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) является хаусдорфовой. Тривиальная топология на векторном пространстве является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность ${\displaystyle \dim X=0}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$
• Если то имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию и (нехаусдорфову) тривиальную топологию. ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$
  • Поскольку поле само по себе является -мерным топологическим векторным пространством над и поскольку оно играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются на всем функциональном анализе . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Схема доказательства

Доказательство этой дихотомии (то есть того, что векторная топология либо тривиальна, либо изоморфна ) является простым, поэтому дается только схема с важными наблюдениями. Как обычно, предполагается, что имеет (нормированную) евклидову топологию. Пусть для всех Пусть будет -мерным векторным пространством над Если и является шаром с центром в то всякий раз, когда содержит "неограниченную последовательность", под которой подразумевается последовательность вида где и является неограниченной в нормированном пространстве (в обычном смысле). Любая векторная топология на будет инвариантной относительно трансляции и инвариантной относительно ненулевого скалярного умножения, и для каждого отображение, заданное как, является непрерывной линейной биекцией. Поскольку для любого такого каждое подмножество из может быть записано как для некоторого уникального подмножества И если эта векторная топология на имеет окрестность начала координат, которая не равна всем из , то непрерывность скалярного умножения в начале координат гарантирует существование открытого шара с центром в и открытой окрестности начала координат в , такой что влечет, что не содержит никакой " неограниченной последовательности". Это подразумевает, что для каждого существует некоторое положительное целое число такое , что Из этого можно вывести, что если не несет тривиальной топологии и если то для любого центра шара в 0 в содержит открытую окрестность начала координат, в которой то доказывает, что является линейным гомеоморфизмом . ЧТЭК ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}}$ ${\displaystyle r>0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\cdot S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle M_{x}(a):=ax}$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Fx=M_{x}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle M_{x}(B)=Bx}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

• Если тогда имеет бесконечно много различных векторных топологий: ${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$ ${\displaystyle X}$
  • Некоторые из этих топологий теперь описаны: Каждый линейный функционал на , на котором является векторным пространством, изоморфным , индуцирует полунорму, определяемую соотношением где Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на , а полунормы с различными ядрами индуцируют различные топологии, так что, в частности, полунормы на , индуцируемые линейными функционалами с различными ядрами, будут индуцировать различные векторные топологии на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
  • Однако, в то время как на существует бесконечно много векторных топологий , когда с точностью до TVS-изоморфизма существуют только векторные топологии на Например, если то векторные топологии на состоят из тривиальной топологии, хаусдорфовой евклидовой топологии, а затем бесконечно много оставшихся нетривиальных неевклидовых векторных топологий на все TVS-изоморфны друг другу. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$ ${\displaystyle 1+\dim X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle n:=\dim X=2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Невекторные топологии

Дискретные и кофинитные топологии

Если — нетривиальное векторное пространство (то есть ненулевой размерности), то дискретная топология на (которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, поскольку, несмотря на то, что она делает сложение и отрицание непрерывными (что превращает ее в топологическую группу относительно сложения), она не делает скалярное умножение непрерывным. Кофинитная топология на (где подмножество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение конечно) также не является топологией TVS на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейные карты

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен на всей области определения. Более того, линейный оператор непрерывен, если ограничен (как определено ниже) для некоторой окрестности начала координат. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$

Гиперплоскость в топологическом векторном пространстве либо плотна, либо замкнута. Линейный функционал на топологическом векторном пространстве имеет либо плотное , либо замкнутое ядро. Более того, является непрерывным тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Типы

В зависимости от приложения дополнительные ограничения обычно накладываются на топологическую структуру пространства. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа не выполняются в общем случае для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике , теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство пространства разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые общие топологические векторные пространства, примерно в порядке возрастания «хорошести».

• F-пространства являются полными топологическими векторными пространствами с трансляционно-инвариантной метрикой. ^[25] Они включают пространства для всех ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>0.}$
• Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу , состоящую из выпуклых множеств . ^[25] С помощью техники, известной как функционалы Минковского, можно показать, что пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. ^[26] Локальная выпуклость является минимальным требованием для «геометрических» аргументов, таких как теорема Хана–Банаха . Пространства локально выпуклы (фактически, банаховы пространства) для всех , но не для ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$
• Бочечные пространства : локально выпуклые пространства, в которых справедлива теорема Банаха–Штейнгауза .
• Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы в любом локально выпуклом пространстве являются в точности ограниченными линейными операторами .
• Стереотипное пространство : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
• Пространство Монтеля : бочкообразное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное множество компактно .
• Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, где топология происходит из инвариантной относительно трансляции метрики или, что эквивалентно: из счетного семейства полунорм. Многие интересные пространства функций попадают в этот класс — это пространство Фреше относительно полунорм Локально выпуклое F-пространство является пространством Фреше. ^[25] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• Пространства LF являются пределами пространств Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами пространств Гильберта.
• Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что каждое ограниченное отображение из ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
• Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, топология которых может быть описана одной нормой или полунормой. В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
• Банаховы пространства : Полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств. Этот класс включает пространства с пространством функций ограниченной вариации и некоторые пространства мер. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle BV}$
• Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно изоморфные своим двойным дуальным (см. ниже), что гарантирует возможность проведения некоторых геометрических рассуждений. Важным примером, который не является рефлексивным, является , дуальный элемент которого есть , но строго содержится в дуальном элементе ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$
• Гильбертовы пространства : они имеют скалярное произведение ; хотя эти пространства могут быть бесконечномерными, большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям, могут быть выполнены в них. К ним относятся пространства, пространства Соболева и пространства Харди . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• Евклидовы пространства : или с топологией, индуцированной стандартным скалярным произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для данного конечного существует только одномерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Из этого следует, что любое конечномерное подпространство TVS замкнуто. Характеристика конечномерности заключается в том, что хаусдорфово TVS локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (следовательно, изоморфно некоторому евклидову пространству). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

Двойное пространство

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное сопряженное пространство — множество всех непрерывных линейных функционалов, то есть непрерывных линейных отображений из пространства в базовое поле Топология на сопряженном пространстве может быть определена как самая грубая топология, такая, что сопряженное спаривание каждой оценки точки непрерывно. Это превращает сопряженное пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется топологией weak-* . ^[27] Это может быть не единственной естественной топологией на сопряженном пространстве; например, сопряженное пространство нормированного пространства имеет естественную норму, определенную на нем. Однако оно очень важно в приложениях из-за его свойств компактности (см. теорему Банаха–Алаоглу ). Внимание: когда является ненормируемым локально выпуклым пространством, то сопряжение никогда не будет непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства мы выбираем на Топологическое векторное пространство имеет нетривиальное непрерывное сопряженное пространство тогда и только тогда, когда оно имеет собственную выпуклую окрестность начала координат. ^[28] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'.}$

Характеристики

Для любого TVS выпуклая (соответственно сбалансированная , дисковая , замкнутая выпуклая, замкнутая сбалансированная, замкнутая дисковая ) оболочка является наименьшим подмножеством , обладающим этим свойством и содержащим Замыкание (соответственно внутренняя часть, выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка, дисковая оболочка) множества иногда обозначается (соответственно, ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

Выпуклая оболочка подмножества равна множеству всех выпуклых комбинаций элементов, в которых есть конечные линейные комбинации вида , где — целое число, и в сумме дают ^[29] Пересечение любого семейства выпуклых множеств является выпуклым, а выпуклая оболочка подмножества равна пересечению всех выпуклых множеств, которые его содержат. ^[29] ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Районы и открытые пространства

Свойства окрестностей и открытых множеств

Каждое TVS связно ^[6] и локально связно ^[30] , и любое связное открытое подмножество TVS линейно связно . Если и является открытым подмножеством , то является открытым множеством в ^[6], и если имеет непустую внутреннюю часть , то является окрестностью начала отсчета. ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S-S}$

Открытые выпуклые подмножества TVS (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) — это в точности те, которые имеют вид для некоторого и некоторого положительного непрерывного сублинейного функционала на ^[28] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Если — поглощающий диск в TVS , а если — функционал Минковского , то [ ^31] , где, что важно, не предполагалось, что имеет какие-либо топологические свойства или является непрерывным (что происходит тогда и только тогда, когда является окрестностью начала координат). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Пусть и будут двумя векторными топологиями на Тогда тогда и только тогда, когда всякий раз, когда сеть в сходится в то в ^[32] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Пусть будет базисом окрестности начала координат в пусть и пусть Тогда тогда и только тогда, когда существует сеть в (индексированная ) такая, что в ^[33] Это показывает, в частности, что часто будет достаточно рассматривать сети, индексированные базисом окрестности начала координат, а не сети на произвольных направленных множествах. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$

Если — TVS, которое принадлежит второй категории в себе (то есть неразреженное пространство ), то любое замкнутое выпуклое поглощающее подмножество является окрестностью начала координат. ^[34] Это больше не гарантируется, если множество не является выпуклым (контрпример существует даже в ) или если не принадлежит второй категории в себе. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

Интерьер

Если и имеет непустую внутренность, то и ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

Топологическая внутренность диска не пуста тогда и только тогда, когда эта внутренность содержит начало координат. [ ^35] В более общем смысле, если является сбалансированным множеством с непустой внутренностью в TVS, то обязательно будет сбалансированным; ^[6] следовательно, будет сбалансированным тогда и только тогда, когда он содержит начало координат. ^{[доказательство 2]} Для того, чтобы это (т.е. ) было истинным, достаточно, чтобы также было выпуклым (в дополнение к сбалансированности и непустой внутренности).; ^[6] Вывод может быть ложным, если также не является выпуклым; ^[35] например, внутри замкнутого и сбалансированного множества есть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Если является выпуклым и тогда ^[36] Явно это означает, что если является выпуклым подмножеством TVS (не обязательно хаусдорфовым или локально выпуклым), и тогда открытый отрезок прямой, соединяющий и , принадлежит внутренней части , то есть ^{[37] [38] [доказательство 3]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

Если — любая сбалансированная окрестность начала координат в , то где — множество всех скаляров, таких что ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1.}$

Если принадлежит внутренней части выпуклого множества , а затем полуоткрытому отрезку прямой и ^[37] Если является сбалансированной окрестностью в и тогда, рассматривая пересечения вида (которые являются выпуклыми симметричными окрестностями в реальном TVS ), следует, что: и, кроме того, если , то и если , то ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$ $${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$ $${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$ ${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$ ${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

Нехаусдорфовы пространства и замыкание начала координат

Топологическое векторное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда является замкнутым подмножеством или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда Поскольку является векторным подпространством того же самого, то верно его замыкание , которое называется замыканием начала координат в Это векторное пространство удовлетворяет , так что, в частности, каждая окрестность начала координат в содержит векторное пространство как подмножество. Топология подпространства на всегда является тривиальной топологией , что, в частности, подразумевает, что топологическое векторное пространство является компактным пространством (даже если его размерность ненулевая или даже бесконечная) и, следовательно, также ограниченным подмножеством На самом деле, векторное подпространство TVS является ограниченным тогда и только тогда, когда оно содержится в замыкании ^[14] Каждое подмножество из также несет тривиальную топологию и, таким образом, само является компактным и, таким образом, также полным подпространством (см. сноску для доказательства). ^{[доказательство 4]} В частности, если не является хаусдорфовым, то существуют подмножества, которые являются как компактными, так и полными, но не замкнутыми в ; ^[39] например, это будет верно для любого непустого собственного подмножества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Если компактно, то и это множество компактно. Таким образом, замыкание компактного подмножества TVS компактно (иначе говоря, все компактные множества относительно компактны ), ^[40] что не гарантируется для произвольных нехаусдорфовых топологических пространств . ^{[примечание 6]} ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Для каждого подмножества и, следовательно, если открыто или замкнуто в то ^{[доказательство 5]} (так что это произвольное открытое или замкнутое подмножество может быть описано как «труба», вертикальной стороной которой является векторное пространство ). Для любого подмножества этого TVS следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle S}$является полностью ограниченным .
• ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$полностью ограничен. ^[41]
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$полностью ограничен. ^{[42] [43]}
• Изображение под каноническим отображением фактора полностью ограничено. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$

Если — векторное подпространство TVS, то оно является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда замкнуто в Более того, фактор-отображение всегда является замкнутым отображением на (обязательно) хаусдорфово TVS. ^[44] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Каждое векторное подпространство , которое является алгебраическим дополнением (то есть векторное подпространство , которое удовлетворяет и ), является топологическим дополнением Следовательно , если является алгебраическим дополнением в , то отображение сложения, определяемое с помощью , является TVS-изоморфизмом, где обязательно является хаусдорфовым и имеет недискретную топологию . ^[45] Более того, если является хаусдорфовым пополнением , то является пополнением ^[41] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}$ ${\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Закрытые и компактные наборы

Компактные и полностью ограниченные множества

Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . ^[39] Таким образом, в полном топологическом векторном пространстве замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. ^[39] Подмножество TVS полностью ограничено тогда и только тогда, когда полностью ограничено, ^{[42] [43]} тогда и только тогда, когда его образ при каноническом фактор-отображении полностью ограничен. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ $${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$$

Каждое относительно компактное множество полностью ограничено ^[39] , а замыкание полностью ограниченного множества полностью ограничено. ^[39] Образ полностью ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) полностью ограничен. ^[39] Если — подмножество TVS, такое, что каждая последовательность в имеет точку кластера в , то полностью ограничено. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Если — компактное подмножество TVS и — открытое подмножество, содержащее , то существует окрестность 0 такая, что ^[46] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K+N\subseteq U.}$

Закрытие и закрытый набор

Замыкание любого выпуклого (соответственно, любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества любого TVS имеет то же свойство. В частности, замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества является бочкой .

Замыкание векторного подпространства TVS является векторным подпространством. Каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфова TVS замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. ^[6] Если является векторным подпространством и является замкнутой окрестностью начала координат в , такой что замкнуто в , то замкнуто в ^[46] Сумма компактного множества и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух замкнутых подмножеств может не быть замкнутой ^[6] (см. эту сноску ^{[примечание 7]} для примеров). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Если и является скаляром, то где если является Хаусдорфовым, то равенство имеет место: В частности, каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества является замкнутым. Если и если является множеством скаляров, ни одно из которых не содержит нуля, то ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}$

Если то выпукло. ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

Если то ^[6] и следовательно, если замкнуто, то замкнуто и ^[47] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}$$ ${\displaystyle R+S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}$

Если — действительный TVS и тогда левая часть не зависит от топологии , причем если — выпуклая окрестность начала координат, то равенство имеет место. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$

Для любого подмножества , где есть любая окрестность в начале координат для ^[48] Однако, и возможно, что это включение будет собственным ^[49] (например, если и есть рациональные числа). Из этого следует, что для любой окрестности начала координат в ^[50] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Закрытые корпуса

В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это неверно для TVS в общем случае. ^[14]

• Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества, то есть равна ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$
• Замкнутая сбалансированная оболочка множества равна замыканию сбалансированной оболочки этого множества, то есть равна ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}$
• Замкнутая дисковая оболочка множества равна замыканию дисковой оболочки этого множества; то есть равна ^[51] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}$

Если и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств или компактна, то ^[51] Если каждое из них имеет замкнутую выпуклую оболочку, которая компактна (то есть и компактны), то ^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}$$

Корпуса и компактность

В общем TVS замкнутая выпуклая оболочка компактного множества может не быть компактной. Сбалансированная оболочка компактного (соответственно, полностью ограниченного ) множества обладает тем же свойством. ^[6] Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова компактна и выпукла. ^[6]

Другие свойства

Скудный, нигде не густой, и Бэр

Диск в TVS не является нигде плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является окрестностью начала координат. ^[9] Вектор подпространства TVS, которое замкнуто, но не открыто, нигде не плотен . ^[9]

Предположим , что TVS не несет недискретной топологии . Тогда является пространством Бэра тогда и только тогда, когда не имеет сбалансированного поглощающего нигде не плотного подмножества. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

TVS является пространством Бэра тогда и только тогда, когда является неразреженным , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества такого, что ^[9] Каждое неразреженное локально выпуклое TVS является бочкообразным пространством . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

Важные алгебраические факты и распространённые заблуждения

Если то ; если выпукло, то равенство выполняется. Для примера, где равенство не выполняется, пусть будет ненулевым и множество также работает. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle 2S\subseteq S+S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{-x,x\};}$ ${\displaystyle S=\{x,2x\}}$

Подмножество является выпуклым тогда и только тогда, когда для всех положительных действительных чисел ^[29] или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда для всех ^[52] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

Выпуклая сбалансированная оболочка множества равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки , то есть она равна Но в общем случае включение может быть строгим, поскольку сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно должна быть выпуклой (контрпримеры существуют даже в ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Если и — скаляр, то ^[6] Если — выпуклые непустые непересекающиеся множества и тогда или ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.}$$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\not \in R\cup S,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}$

В любом нетривиальном векторном пространстве существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых равно ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Другие свойства

Каждая топология TVS может быть сгенерирована семейством F - полунорм . [ ^53]

Если — некоторый унарный предикат (истинное или ложное утверждение, зависящее от ), то для любого ^{[доказательство 6]} Так, например, если обозначает " ", то для любого Аналогично, если — скаляр, то Элементы этих множеств должны располагаться в векторном пространстве (то есть в ), а не только в подмножестве, иначе эти равенства больше не гарантируются; аналогично, должны принадлежать этому векторному пространству (то есть ). ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in X}$

Свойства, сохраняемые операторами множеств

• Сбалансированная оболочка компактного (соответственно, полностью ограниченного , открытого) множества обладает тем же свойством. ^[6]
• Сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, сбалансированных, выпуклых) множеств обладает тем же свойством. ^[6] Но сумма двух замкнутых множеств не обязательно должна быть замкнутой.
• Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества сбалансирована (соответственно, открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой. ^[6] И выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.

В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, сохраняется ли заданное свойство подмножеств (указанное именем столбца, например, «выпуклый») при операторе множества (указанном именем строки, например, «замыкание»). Если в каждом TVS свойство сохраняется при указанном операторе множества, то эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае она будет окрашена в красный цвет. ${\displaystyle X}$

Так, например, поскольку объединение двух поглощающих множеств снова поглощает, ячейка в строке " " и столбце "Поглощение" окрашена в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке "Произвольные пересечения (не менее 1 множества)" и столбце "Поглощение" окрашена в красный цвет. Если ячейка не окрашена, то эта информация еще не заполнена. ${\displaystyle R\cup S}$

Смотрите также

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным
• Полное поле  – алгебраическая структура, полная относительно метрики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Жидкое векторное пространство  – Концепция в сжатой математике
• Нормированное пространство  – векторное пространство, на котором определено расстояние.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа  – топологическая группа, для которой базовая топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально компактная квантовая группа  – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  – векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа  – топологическая группа, группа которой абелеваPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое поле  – алгебраическая структура со сложением, умножением и делениемPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическая группа  – группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо  – кольцо, в котором операции кольца непрерывны.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая полугруппа  – полугруппа с непрерывной операциейPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая векторная решетка

Примечания

1. Топологические свойства, конечно, также требуют, чтобы это был TVS. ${\displaystyle X}$
2. В частности, является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда множество замкнуто (то есть является пространством T 1 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$
3. На самом деле это верно для топологической группы, поскольку доказательство не использует скалярные умножения.
4. Также называется метрическим линейным пространством , что означает, что это действительное или комплексное векторное пространство вместе с трансляционно-инвариантной метрикой, для которой сложение и скалярное умножение непрерывны.
5. Говорят, что ряд сходится в TVS , если последовательность частичных сумм сходится. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$
6. В общей топологии замыкание компактного подмножества нехаусдорфова пространства может не быть компактным (например, частная точечная топология на бесконечном множестве). Этот результат показывает, что этого не происходит в нехаусдорфовых TVS. компактно, потому что является образом компактного множества при отображении непрерывного сложения Напомним также, что сумма компактного множества (то есть ) и замкнутого множества замкнута, поэтому замкнута в ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$
7. В сумме -оси и график которой является дополнением -оси , является открытым в В сумме Минковского является счетным плотным подмножеством поэтому не замкнутым в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Доказательства

1. Это условие выполняется, если обозначает множество всех топологических строк в ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
2. Это происходит потому, что каждое непустое сбалансированное множество должно содержать начало координат, и потому, что тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}$
3. Исправим так, что осталось показать, что принадлежит Заменяя на при необходимости, мы можем предположить без потери общности, что и так, что осталось показать, что является окрестностью начала отсчета. Пусть так, что Так как скалярное умножение на является линейным гомеоморфизмом Так как и следует, что где так как является открытым, существует некоторый , который удовлетворяет Определим по который является гомеоморфизмом, так как Таким образом, множество является открытым подмножеством , которое, кроме того, содержит Если то так как является выпуклым, и что доказывает, что Таким образом, является открытым подмножеством , которое содержит начало отсчета и содержится в QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$
4. Поскольку имеет тривиальную топологию, то и каждое из его подмножеств имеет ее, что делает их все компактными. Известно, что подмножество любого равномерного пространства компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$
5. Если то Поскольку если замкнуто, то равенство выполняется. Используя тот факт, что является векторным пространством, легко проверить, что дополнение в любого множества, удовлетворяющего равенству, также должно удовлетворять этому равенству (когда заменяется на ). ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S}$
6. и так используя и тот факт, что это равно QED $${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}$$ ${\displaystyle y=z+x}$ ${\displaystyle z+X=X,}$ $${\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Рудин 1991, стр. 4-5 §1.3.
2. Köthe 1983, стр. 91.
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 74–78.
4. Гротендик 1973, стр. 34–36.
5. Wilansky 2013, стр. 40–47.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
7. Adasch, Ernst & Keim 1978, стр. 5–9.
8. Шехтер 1996, стр. 721–751.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 371–423.
10. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 10–15.
11. Вилански 2013, стр. 53.
12. Рудин 1991, стр. 6 §1.4.
13. Рудин 1991, стр. 8.
14. Narici & Beckenstein 2011, стр. 155–176.
15. Рудин 1991, стр. 27-28 Теорема 1.37.
16. Кёте 1983, раздел 15.11.
17. "Топологическое векторное пространство", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
18. Рудин 1991, стр. 17 Теорема 1.22.
19. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–19.
20. Шефер и Вольф 1999, стр. 16.
21. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
22. Шварц 1992, стр. 27–29.
23. "Быстрое применение теоремы о замкнутом графике". Что нового . 2016-04-22 . Получено 2020-10-07 .
24. Narici & Beckenstein 2011, стр. 111.
25. Рудин 1991, стр. 9 §1.8.
26. Рудин 1991, стр. 27 Теорема 1.36.
27. Рудин 1991, с. 62–68 §3.8–3.14.
28. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–220.
29. Рудин 1991, стр. 38.
30. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
31. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 119-120.
32. Вилански 2013, стр. 43.
33. Вилански 2013, стр. 42.
34. Rudin 1991, стр. 55.
35. Narici & Beckenstein 2011, стр. 108.
36. Jarchow 1981, стр. 101–104.
37. Schaefer & Wolff 1999, стр. 38.
38. Конвей 1990, стр. 102.
39. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
40. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156.
41. Schaefer & Wolff 1999, стр. 12–35.
42. Schaefer & Wolff 1999, стр. 25.
43. Jarchow 1981, стр. 56–73.
44. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–112.
45. Вилански 2013, стр. 63.
46. Narici & Beckenstein 2011, стр. 19–45.
47. Wilansky 2013, стр. 43–44.
48. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 80.
49. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 108–109.
50. Jarchow 1981, стр. 30–32.
51. Narici & Beckenstein 2011, стр. 109.
52. Рудин 1991, стр. 6.
53. Шварц 1992, стр. 35.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.

Дальнейшее чтение

• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы». Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Получено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Рединг, Массачусетс–Лондон–Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (ред.). Topics in Locally Convex Spaces . Vol. 67. Amsterdam New York, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534.
• Voigt, Jürgen (2020). Курс по топологическим векторным пространствам . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с топологическими векторными пространствами на Wikimedia Commons