Предел (теория категорий)

Математическая концепция

В теории категорий , разделе математики , абстрактное понятие предела отражает существенные свойства универсальных конструкций, таких как произведения , обратные ограничения и обратные пределы . Двойственное понятие копредела обобщает такие конструкции, как непересекающиеся объединения , прямые суммы , копроизведения , выталкивания и прямые пределы .

Пределы и копределы, как и сильно связанные понятия универсальных свойств и сопряженных функторов , существуют на высоком уровне абстракции. Чтобы понять их, полезно сначала изучить конкретные примеры, которые эти концепции призваны обобщить.

Определение

Пределы и копределы в категории определяются с помощью диаграмм в . Формально диаграмма формы представляет собой функтор от до : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle F:J\to C.}$

Категория считается индексной категорией , а диаграмма — индексацией набора объектов и морфизмов, построенных по образцу . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$

Чаще всего интересует случай, когда категория является малой или даже конечной категорией. Диаграмма называется маленькой или конечной, когда бы она ни была. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Пределы

Пусть это диаграмма формы в категории . Конус to является объектом вместе с семейством морфизмов, индексированных объектами , так что для каждого морфизма в мы имеем . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$

Пределом диаграммы является конус к такой , что для каждого конуса существует единственный морфизм такой , что для всех в . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:N\to L}$ ${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

Универсальный конус

Говорят, что конус факторизуется через конус с единственной факторизацией . Морфизм иногда называют опосредующим морфизмом . ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Пределы также называют универсальными конусами , поскольку они характеризуются универсальным свойством (подробнее см. ниже). Как и любое универсальное свойство, приведенное выше определение описывает сбалансированное состояние общности: предельный объект должен быть достаточно общим, чтобы позволить любому конусу проходить через него; с другой стороны, должно быть достаточно конкретным, чтобы для каждого конуса была возможна только одна такая факторизация. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Пределы также можно охарактеризовать как конечные объекты в категории конусов F .

Возможно, что диаграмма вообще не имеет предела. Однако если диаграмма имеет предел, то этот предел по существу единственен: он уникален с точностью до единственного изоморфизма . По этой причине часто говорят о пределе F.

Копределы

Двойственные понятия пределов и конусов — это копределы и коконусы. Хотя их определения легко получить путем обращения всех морфизмов в приведенных выше определениях, мы явно сформулируем их здесь:

Коконус диаграммы — это объект вместе с семейством морфизмов . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$

для каждого объекта из , так что для каждого морфизма в мы имеем . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$

Копредел диаграммы — это коконус такой , что для любого другого коконуса диаграммы существует единственный морфизм такой, что для всех из . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:L\to N}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

Универсальный коконус

Копределы также называют универсальными коконусами . Их можно охарактеризовать как исходные объекты в категории коконусов из . ${\displaystyle F}$

Как и в случае с пределами, если диаграмма имеет копредел, то этот копредел уникален с точностью до единственного изоморфизма. ${\displaystyle F}$

Вариации

Пределы и копределы также можно определить для наборов объектов и морфизмов без использования диаграмм. Определения те же самые (обратите внимание, что в приведенных выше определениях нам никогда не приходилось использовать композицию морфизмов в ). Однако этот вариант не добавляет никакой новой информации. Любой набор объектов и морфизмов определяет (возможно, большой) ориентированный граф . Если мы позволим быть свободной категорией, порожденной , то существует универсальная диаграмма , образ которой содержит . Предел (или копредел) этой диаграммы такой же, как предел (или копредел) исходного набора объектов и морфизмов. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle G}$

Слабый предел и слабые копределы определяются так же, как пределы и копределы, за исключением того, что свойство уникальности опосредующего морфизма отбрасывается.

Примеры

Пределы

Определение пределов является достаточно общим, чтобы включить в него несколько конструкций, полезных в практических условиях. Далее мы рассмотрим предел ( L , φ ) диаграммы F  : J → C.

• Терминальные объекты . Если J — пустая категория, существует только одна диаграмма формы J : пустая (аналогично пустой функции в теории множеств).,по сути, просто объект C. Пределом F является любой объект, который однозначно учитывается всеми остальными объектами. Это всего лишь определение терминального объекта .
• Продукты . Если J — дискретная категория ,то диаграмма F , по сути, представляет собой не что иное, как семейство объектов C , индексированных J. Предел L функции F называется произведением этих объектов. Конус φ состоит из семейства морфизмов φ _X  : L → F ( X ), называемых проекциями произведения.Например,в категории множеств продукты представляют собой декартовы произведения , а проекции являются просто естественными проекциями на различные факторы.
  • Полномочия . Особый случай произведения — это когда диаграмма F является постоянным функтором объекта X объекта C. Предел этой диаграммы называется J - ^й степенью X и обозначается X ^J .
• Эквалайзеры . Если J — категория с двумя объектами и двумя параллельными морфизмами одного объекта в другой, то диаграмма формы J — это пара параллельных морфизмовв C. Предел L такой диаграммы называется эквалайзером этих морфизмов.
  • Ядра . Ядро— это частный случай эквалайзера, где один из морфизмов является нулевым морфизмом .
• Откаты . Пусть F — диаграмма, которая выбирает три объекта X , Y и Z в C , гдеединственными нетождественными морфизмами являются f  : X → Z и g  : Y → Z. Предел L функции F называется обратным ходом или расслоенным произведением . Его удобно представить в виде коммутативного квадрата :

• Обратные пределы . Пусть J — направленное множество (рассматриваемое как малая категория путем добавления стрелок i → j тогда и только тогда, когда i ≥ j ), и пусть F  : J ^op → C — диаграмма. Предел F называется обратным пределом или проективным пределом .
• Если J = 1 , категория с одним объектом и морфизмом, то диаграмма формы J по сути является просто объектом X из C. Конус объекта X — это просто морфизм с кодоменом X. Морфизм f  : Y → X является пределом диаграммы X тогда и только тогда, когда f — изоморфизм . В более общем смысле, если J — любая категория с начальным объектом i , то любая диаграмма формы J имеет предел, а именно любой объект, изоморфный F ( i ). Такой изоморфизм однозначно определяет универсальный конус F .
• Топологические пределы . Пределы функций — это частный случай пределов фильтров , которые связаны с категориальными пределами следующим образом. Для топологического пространства X обозначим через F набор фильтров на X , x ∈ X — точка, V ( x ) ∈ F — фильтр окрестности точки x , A ∈ F — конкретный фильтр и набор фильтров более тонких, чем A , и что сходятся к х . Фильтрам F придается небольшая и тонкая структура категорий путем добавления стрелки A → B тогда и только тогда, когда A ⊆ B . Инъекция становится функтором, и имеет место следующая эквивалентность: ${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$ ${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$

x является топологическим пределом A тогда и только тогда, когда A является категориальным пределом A. ${\displaystyle I_{x,A}}$

Копределы

Примеры копределов представлены двойными версиями приведенных выше примеров:

• Исходные объекты являются копределами пустых диаграмм.
• Копродукты — это копределы диаграмм, индексированных по дискретным категориям.
  • Костепени — это копределы постоянных диаграмм из дискретных категорий.
• Коэквалайзеры — это копределы параллельной пары морфизмов.
  • Коядра являются соэквалайзерами морфизма и параллельного нулевого морфизма.
• Pushouts — это копределы пары морфизмов с общей областью определения.
• Прямые пределы — это копределы диаграмм, индексированных направленными множествами.

Характеристики

Наличие ограничений

Данная диаграмма F  : J → C может иметь или не иметь предел (или копредел) в C . Действительно, у F может вообще не существовать конуса , не говоря уже об универсальном конусе.

Говорят, что категория C имеет пределы формы J , если каждая диаграмма формы J имеет предел в C. В частности, говорят, что категория C

• иметь продукты , если у него есть пределы формы J для каждой маленькой дискретной категории J (не обязательно иметь большие продукты),
• иметь эквалайзеры, если он имеет пределы формы (т.е. каждая параллельная пара морфизмов имеет эквалайзер), ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$
• иметь откат, если он имеет пределы формы (т.е. каждая пара морфизмов с общим кодоменом имеет откат). ${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$

Полная категория — это категория, которая имеет все малые пределы (т.е. все пределы формы J для каждой малой категории J ).

Можно также дать двойственные определения. Категория имеет копредел формы J , если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C. Кополная категория — это категория, которая имеет все малые копределы.

Теорема существования пределов утверждает , что если категория C имеет эквалайзеры и все произведения индексированы классами Ob( J ) и Hom( J ), то C имеет все пределы формы J. ^{[1] : §V.2 Теор.1} В этом случае предел диаграммы F  : J → C можно построить как эквалайзер двух морфизмов ^{[1] : §V.2 Теор.2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

задано (в компонентной форме)

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

Существует двойственная теорема существования копределов в терминах коэквалайзеров и копроизведений. Обе эти теоремы дают достаточные и необходимые условия существования всех (ко)пределов формы J.

Универсальная собственность

Пределы и копределы — важные частные случаи универсальных конструкций .

Пусть C — категория, а J — категория малого индекса. Категорию функтора CJ ^можно рассматривать как категорию всех диаграмм формы J в C. Диагональный функтор

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

— это функтор, который отображает каждый объект N в C в постоянный функтор Δ( N ) : J → C в N . То есть Δ( N )( X ) = N для каждого объекта X в J и Δ( N )( f ) = id _N для каждого морфизма f в J .

Учитывая диаграмму F : J → C (мыслимую как объект в C ^J ), естественное преобразование ψ  : ∆( N ) → F (которое является просто морфизмом в категории C ^J ) — это то же самое, что конус из от Н до Ф. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что ∆( N )( X ) = N для всех X подразумевает, что компоненты ψ являются морфизмами ψ _X  : N → F ( X ), которые все имеют общую область определения N . Более того, требование коммутации диаграмм конуса справедливо просто потому, что это ψ является естественным преобразованием. (Двойственным образом естественное преобразование ψ  : F → Δ( N ) — это то же самое, что коконус из F в N .)

Следовательно, определения пределов и копределов можно затем переформулировать в виде:

• Предел F — это универсальный морфизм из ∆ в F .
• Копредел F — это универсальный морфизм из F в ∆.

Дополнения

Как и все универсальные конструкции, образование пределов и копределов носит функториальный характер. Другими словами, если каждая диаграмма формы J имеет предел в C (при малом J ), то существует предельный функтор

${\displaystyle \lim :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

которое ставит в соответствие каждой диаграмме ее предел и каждому естественному преобразованию η : F → G единственный морфизм lim η : lim F → lim G , коммутирующий с соответствующими универсальными конусами. Этот функтор правосопряжён к диагональному функтору ∆ : C → CJ ^. Это дополнение дает биекцию между множеством всех морфизмов от N до lim F и множеством всех конусов от N до F.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

что естественно в переменных N и F . Единицей этого присоединения является просто универсальный конус от lim F до F . Если индексная категория J связна (и непуста), то единица присоединения является изоморфизмом, так что lim — левая обратная к ∆ . Это не удастся, если J не подключен. Например, если J — дискретная категория, компонентами единицы являются диагональные морфизмы δ : N → N ^J .

Двойственно, если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C (для J малого), существует копредельный функтор

${\displaystyle \operatorname {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

который присваивает каждой диаграмме свой копредел. Этот функтор сопряжен слева с диагональным функтором ∆: ^{C → CJ} и имеет естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

Единицей этого присоединения является универсальный кокон от F до colim F. Если J связен (и непуст), то единица является изоморфизмом, так что colim является левым обратным числом ∆.

Обратите внимание, что как предельный, так и копредельный функторы являются ковариантными функторами.

Как представления функторов

Можно использовать функторы Hom, чтобы связать пределы и копределы в категории C с пределами в Set , категории множеств . Частично это следует из того факта, что ковариантный функтор Hom Hom( N , –) : C → Set сохраняет все пределы в C . В силу двойственности контравариантный функтор Hom должен доводить копределы до пределов.

Если диаграмма F  : J → C имеет предел в C , обозначаемый lim F , существует канонический изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

что естественно по переменной N. Здесь функтор Hom( N , F –) представляет собой композицию функтора Hom Hom( N , –) с F . Этот изоморфизм является единственным, соблюдающим предельные конусы.

Можно использовать приведенное выше соотношение , чтобы определить предел F в C. Первый шаг — заметить, что предел функтора Hom( N , F –) можно отождествить с множеством всех конусов от N до F :

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

Предельный конус задается семейством отображений π _X  : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ), где π _X ( ψ ) = ψ _X . Если дан объект L из C вместе с естественным изоморфизмом Φ  : Hom( L , –) → Cone(–, F ), объект L будет пределом F с предельным конусом, заданным Φ _L (id _L ). На причудливом языке это означает, что предел F является представлением функтора Cone(–, F ) : C → Set .

Двойственно, если диаграмма F  : J → C имеет копредел в C , обозначаемый colim F , существует единственный канонический изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

естественное по переменной N и учитывающее копредельные конусы. Отождествляя предел Hom( F –, N ) с множеством Cocone( F , N ), это соотношение можно использовать для определения копредела диаграммы F как представления функтора Cocone( F , –).

Обмен пределами и копределами множеств.

Пусть I — конечная категория, а J — небольшая фильтрованная категория . Для любого бифунктора

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

Другими словами, отфильтрованные копределы в Set коммутируют с конечными пределами. Также считается, что малые копределы коммутируют с малыми пределами. ^[2]

Функторы и пределы

Если F  : J → C — диаграмма в C и G  : C → D — функтор , то методом композиции (напомним, что диаграмма — это всего лишь функтор) получается диаграмма GF  : J → D. Тогда возникает естественный вопрос:

«Как пределы GF связаны с пределами F ?»

Сохранение ограничений

Функтор G  : C → D индуцирует отображение из Cone( F ) в Cone( GF ): если Ψ — конус из N в F , то GΨ — конус из GN в GF . Говорят, что функтор G сохраняет пределы F , если ( GL , Gφ ) является пределом GF , если ( L , φ ) является пределом F. (Обратите внимание, что если предел F не существует, то G бессмысленно сохраняет пределы F .)

Говорят, что функтор G сохраняет все пределы формы J , если он сохраняет пределы всех диаграмм F  : J → C . Например, можно сказать, что G сохраняет произведения, выравниватели, обратные преобразования и т. д. Непрерывный функтор — это тот, который сохраняет все малые пределы.

Аналогичные определения можно дать и для копределов. Например, функтор G сохраняет копределы F , если G ( L , φ ) является копределом GF , когда ( L , φ ) является копределом F. Конепрерывный функтор — это тот, который сохраняет все малые копределы.

Если C — полная категория , то по приведенной выше теореме существования пределов функтор G  : C → D непрерывен тогда и только тогда, когда он сохраняет (малые) произведения и эквалайзеры. Дуально группа G конепрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет (малые) копроизведения и коэквалайзеры.

Важным свойством сопряженных функторов является то, что каждый сопряженный справа функтор непрерывен, а каждый сопряженный слева функтор конепрерывен. Поскольку сопряженных функторов существует множество, это дает многочисленные примеры непрерывных и конепрерывных функторов.

Для данной диаграммы F  : J → C и функтора G  : C → D , если и F , и GF имеют указанные пределы, существует единственный канонический морфизм.

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

которое соблюдает соответствующие предельные конусы. Функтор G сохраняет пределы F тогда и только тогда, когда это отображение является изоморфизмом. Если категории C и D имеют все пределы формы J , то lim — функтор, а морфизмы τ _F образуют компоненты естественного преобразования

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

Функтор G сохраняет все пределы формы J тогда и только тогда, когда τ — естественный изоморфизм. В этом смысле можно сказать , что функтор G коммутирует с пределами ( с точностью до канонического естественного изоморфизма).

Сохранение пределов и копределов — это концепция, применимая только к ковариантным функторам. Для контравариантных функторов соответствующими понятиями будут функторы, переводящие копределы в пределы, или функторы, переводящие пределы в копределы.

Снятие ограничений

Говорят, что функтор G  : C → D снимает пределы диаграммы F  : J → C , если всякий раз, когда ( L , φ ) является пределом GF , существует предел ( L ′, φ ′) диаграммы F такой, что G ( L ′, φ ′) знак равно ( L , φ ). Функтор G снимает пределы формы J , если он снимает пределы для всех диаграмм формы J. Поэтому можно говорить о подъеме произведений, уравнителях, откатах и ​​т. д. Наконец, говорят, что G снимает ограничения , если оно снимает все ограничения. Существуют двойственные определения снятия копределов.

Функтор G однозначно снимает пределы для диаграммы F , если существует единственный конус прообраза ( L ′, φ ′) такой, что ( L ′, φ ′) является пределом F и G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ). Можно показать, что G снимает ограничения однозначно тогда и только тогда, когда он снимает ограничения и является амнезиаком .

Снятие ограничений явно связано с сохранением ограничений. Если G снимает ограничения для диаграммы F и GF имеет предел, то F также имеет предел, и G сохраняет пределы F . Следует, что:

• Если G снимает ограничения всей формы J , а D имеет все пределы формы J , то C также имеет все пределы формы J , а G сохраняет эти пределы.
• Если G снимает все малые пределы и D полно, то C также полно и G непрерывно.

Двойственные утверждения для копределов одинаково верны.

Создание и отражение ограничений

Пусть F  : J → C — диаграмма. Говорят, что функтор G  : C → D

• создать пределы для F , если всякий раз, когда ( L , φ ) является пределом GF , существует единственный конус ( L ′, φ ′) в F такой, что G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ), и, кроме того, этот конус является пределом F .
• отражать пределы для F , если каждый конус в F , образ которого под G является пределом GF, уже является пределом F .

Двойственно можно определить создание и отражение копределов.

Следующие утверждения, как легко видеть, эквивалентны:

• Функтор G создает пределы.
• Функтор G однозначно снимает ограничения и отражает ограничения.

Существуют примеры функторов, которые однозначно снимают пределы, но не создают и не отражают их.

Примеры

• Каждый представимый функтор C → Set сохраняет пределы (но не обязательно копределы). В частности, для любого объекта A из C это верно для ковариантного функтора Hom Hom( A ,–) : C → Set .
• Функтор забывания U  : Grp → Set создает (и сохраняет) все малые пределы и отфильтрованные копределы ; однако U не сохраняет копродукции. Эта ситуация типична для алгебраических забывчивых функторов.
• Свободный функтор F :  Set → Grp ( сопоставляющий каждому множеству S свободную группу над S ) сопряжен слева с забывчивым функтором U и, следовательно, конепрерывен. Это объясняет, почему свободное произведение двух свободных групп G и H является свободной группой, порожденной несвязным объединением генераторов G и H.
• Функтор включения Ab → Grp создает пределы, но не сохраняет копроизведения (копроизведение двух абелевых групп является прямой суммой ).
• Забывчивый функтор Top → Set однозначно снимает пределы и копределы, но не создает ни того, ни другого.
• Пусть Met _c — категория метрических пространств с непрерывными функциями для морфизмов. Функтор забывчивости Met _c → Set снимает конечные пределы, но не снимает их однозначно.

Примечание о терминологии

В старой терминологии пределы назывались «обратными пределами» или «проективными пределами», а копределы - «прямыми пределами» или «индуктивными пределами». Это стало источником большой путаницы.

Есть несколько способов запомнить современную терминологию. Прежде всего,

• коядра,
• побочные продукты,
• коэквалайзеры и
• кодомены

являются типами копределов, тогда как

• ядра,
• продукты
• эквалайзеры и
• домены

это виды лимитов. Во-вторых, префикс «co» подразумевает «первую переменную «. Такие термины, как «когомологии» и «кофибрация», имеют несколько более сильную связь с первой переменной, то есть контравариантной переменной, бифунктора . ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Смотрите также

• Декартова замкнутая категория  - Тип категории в теории категорий.
• Эквалайзер (математика)  – набор аргументов, в которых две или более функции имеют одинаковое значение.
• Обратный предел  - конструкция в теории категорий
• Продукт (теория категорий)  - обобщенный объект в теории категорий.

Рекомендации

1. Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
2. коммутативность пределов и копределов в n Lab

дальнейшее чтение

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Борсо, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-44178-1.

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры пределов и копределов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
• Лимит в n Lab