Топология подпространства

В топологии и смежных областях математики подпространство топологического пространства X — это подмножество S пространства X , снабженное топологией , индуцированной топологией X , называемой топологией подпространства ^[1] (или относительной топологией , ^[1] или индуцированная топология [ ^1] или топология следа ). ^[2]

Определение

Учитывая топологическое пространство и подмножество , топология подпространства на определяется формулой $(X,\тау)$ $S$ $X$ $S$

\tau _{S} =\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace.

То есть подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда, когда оно является пересечением с открытым множеством в . Если оно снабжено топологией подпространства, то оно само по себе является топологическим пространством и называется подпространством . Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств оснащены топологией подпространства, если не указано иное. $S$ $S$ $(X,\тау)$ $S$ $(X,\тау)$

В качестве альтернативы мы можем определить топологию подпространства для подмножества как самую грубую топологию , для которой отображение включения $S$ $X$

\iota:S\hookrightarrow X

является непрерывным .

В более общем смысле, предположим, что это инъекция множества в топологическое пространство . Тогда топология подпространства на определяется как наиболее грубая топология, для которой непрерывна. Открытые множества в этой топологии в точности соответствуют форме open в . тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением . $\iota$ $S$ $X$ $S$ $\iota$ $\iota ^{-1}(U)$ $U$ $X$ $S$ $X$ $\iota$

Подпространство называется открытым подпространством , если инъекция представляет собой открытую карту , т. е. если прямой образ открытого множества открыт в . Аналогично оно называется замкнутым подпространством , если инъекция представляет собой замкнутое отображение . $S$ $\iota$ $S$ $X$ $\iota$

Терминология

Различие между множеством и топологическим пространством часто для удобства размывается в обозначениях, что может стать источником путаницы при первом знакомстве с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда является подмножеством , и является топологическим пространством, тогда неукрашенные символы « » и « » часто могут использоваться для обозначения как двух подмножеств , так и рассматриваемых как двух подмножеств , а также топологических пространств и как топологических пространств, связанных, как обсуждалось. выше. Таким образом, такие фразы, как « открытое подпространство » используются для обозначения открытого подпространства в том смысле, который использовался выше; то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства. $S$ $X$ $(X,\тау)$ $S$ $X$ $S$ $X$ $X$ $(S,\tau _{S})$ $(X,\тау)$ $S$ $X$ $(S,\tau _{S})$ $(X,\тау)$ $S\in \tau$ $S$

Примеры

Ниже представлены действительные числа с их обычной топологией. $\mathbb {R}$

Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство , является дискретной топологией . $\mathbb {R}$
Рациональные числа , рассматриваемые как подпространство, не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством, поскольку не существует открытого подмножества, пересечение которого с может привести только к одноэлементному {0} ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и закрыты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b является одновременно открытые и закрытые. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$
Множество [0,1] как подпространство одновременно открыто и замкнуто, тогда как как его подмножество только замкнуто. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
Как подпространство , [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством . $\mathbb {R}$
Пусть S = [0, 1) — подпространство вещественной прямой . Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыто в S , но не в (как, например, пересечение между (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) и S приводит к [0, 1 ⁄ 2 )). Аналогично [ 1 ⁄ 2 , 1) замкнуто в S , но не в S (поскольку не существует открытого подмножества, которое могло бы пересекаться с [0, 1) и давать [ 1 ⁄ 2 , 1)). S одновременно открыт и закрыт как подмножество самого себя, но не как подмножество . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Характеристики

Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Пусть – подпространство и – отображение включения. Тогда для любого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда, когда составное отображение непрерывно. $Y$ $X$ $я: Y\к X$ $Z$ $f:Z\to Y$ ${\ displaystyle i \ circ f}$

Характеристическое свойство топологии подпространства

Это свойство характерно в том смысле, что с его помощью можно определить топологию подпространства на . $Y$

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространства. В дальнейшем пусть будет подпространством . $S$ $X$

Если непрерывно, то ограничение на непрерывно. $f:X\to Y$ $S$
Если непрерывно, то непрерывно. $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to f (X)}$
Замкнутые множества в являются в точности пересечениями с закрытыми множествами в . $S$ $S$ $X$
Если является подпространством, то также является подпространством с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, которая наследуется от, такая же, как и та, которую она наследует от . $А$ $S$ $А$ $X$ $А$ $S$ $X$
Предположим, является открытым подпространством (так ). Тогда подмножество открыто в тогда и только тогда, когда оно открыто в . $S$ $X$ $S\in \tau$ $S$ $S$ $X$
Предположим, является замкнутым подпространством (так ). Тогда подмножество замкнуто в тогда и только тогда, когда оно замкнуто в . $S$ $X$ $X\setminus S\in \tau$ $S$ $S$ $X$
Если является основой для , то является основой для . $B$ $X$ $B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}$ $S$
Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства путем ограничения метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.

Сохранение топологических свойств

Если из топологического пространства, обладающего некоторым топологическим свойством, следует, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны иметь общее свойство, мы называем его слабо наследственным .

Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
Каждое замкнутое подпространство компакта компактно .
Хаусдорфово пространство передается по наследству.
Быть нормальным пространством слабо наследственно.
Полная ограниченность является наследственной.
Полная потеря связи передается по наследству.
Первая счетность и вторая счетность являются наследственными.

Смотрите также

Примечания

^ abc Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология, Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, номер домена : 10.4171/048, ISBN 978-3-03719-048-7, МР 2456045
^ Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая основа», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi : 10.1002/9781118984574.ch26, ISBN 9781118984574; см. раздел 26.2.4. Подмногообразия, с. 59