Метризуемое топологическое векторное пространство

Топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

В функциональном анализе и смежных областях математики метризуемое (соответственно псевдометризуемое ) топологическое векторное пространство (TVS) — это TVS , топология которого индуцируется метрикой (соответственно псевдометрикой ). LM -пространство является индуктивным пределом последовательности локально выпуклых метризуемых ТВС.

Псевдометрика и метрика

Псевдометрика на множестве — это отображение , удовлетворяющее следующим свойствам: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{ for all }}x\in X}$;
2. Симметрия : ; ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. Субаддитивность : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Псевдометрика называется метрикой , если она удовлетворяет:

4. Тождество неразличимых : для всех, еслитогда ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$

Ультрапсевдометрический

Псевдометрика называется ультрапсевдометрической или сильной псевдометрикой, если она удовлетворяет: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

5. Сильное / ультраметрическое неравенство треугольника : ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ for all }}x,y,z\in X.}$

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство — это пара , состоящая из множества и псевдометрики на такой, что ее топология идентична топологии на, индуцированной Мы называем псевдометрическое пространство метрическим пространством (соответственно ультрапсевдометрическим пространством ), когда является метрикой (соответственно ультрапсевдометрическим) . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

Топология, индуцированная псевдометрикой

Если это псевдометрика на множестве, то совокупность открытых шаров : пробегая и пробегая положительные действительные числа, образует основу для топологии, которая называется -топологией или псевдометрической топологией , индуцированной ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Соглашение : Если это псевдометрическое пространство и рассматривается как топологическое пространство , то, если не указано иное, следует предполагать, что оно наделено топологией, индуцированной ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Псевдометризуемое пространство

Топологическое пространство называется псевдометризуемым (соответственно метризуемым , ультрапсевдометризуемым ), если на нем существует псевдометрика (соответственно метрика, ультрапсевдометрическая), равная топологии, индуцированной ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d.}$

Псевдометрика и значения топологических групп

Аддитивная топологическая группа — это аддитивная группа, наделенная топологией, называемой топологией группы , при которой сложение и отрицание становятся непрерывными операторами.

Топология в вещественном или комплексном векторном пространстве называется векторной топологией или TVS-топологией, если она делает операции сложения векторов и скалярного умножения непрерывными (то есть, если она превращается в топологическое векторное пространство ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Каждое топологическое векторное пространство (TVS) представляет собой аддитивную коммутативную топологическую группу, но не все групповые топологии являются векторными топологиями. Это связано с тем, что, несмотря на то, что групповая топология в векторном пространстве делает сложение и отрицание непрерывными, она может не обеспечить непрерывность скалярного умножения. Например, дискретная топология любого нетривиального векторного пространства делает сложение и отрицание непрерывными, но не делает непрерывным скалярное умножение. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Инвариантные к трансляции псевдометрики

Если это аддитивная группа, то мы говорим, что псевдометрика на трансляционно - инвариантной или просто инвариантной, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

1. Трансляционная инвариантность :; ${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Значение/G-полунорма

Если это топологическая группа, то значение или G -полунорма ( G означает группу) является действительным отображением со следующими свойствами: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. Неотрицательный : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Субадитив : ; ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. Симметричный : ${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

где G-полунорму мы называем G-нормой , если она удовлетворяет дополнительному условию:

5. Итого / Положительно определенное : Если тогда ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Свойства значений

Если значение в векторном пространстве, то: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}$^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$и для всех и натуральных чисел ^[4] ${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Множество является аддитивной подгруппой из ^[3] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Эквивалентность на топологических группах

Теорема ^[2]  —  Предположим, что это аддитивная коммутативная группа. Если это псевдометрика, инвариантная к трансляции, то карта является значением, называемым значением, связанным с , и, более того, генерирует групповую топологию (т. е. -топология on превращается в топологическую группу). И наоборот, если значение on, то карта является трансляционно-инвариантной псевдометрикой on , а значение, связанное с, просто ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p.}$

Псевдометризуемые топологические группы

Теорема ^[2]  —  Если — аддитивная коммутативная топологическая группа , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle \tau }$индуцируется псевдометрикой; (т.е. псевдометризуема); ${\displaystyle (X,\tau )}$
2. ${\displaystyle \tau }$индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой;
3. единичный элемент в имеет счетный базис окрестности. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Если это Хаусдорф, то слово «псевдометрический» в приведенном выше утверждении можно заменить словом «метрический». Коммутативная топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Инвариантная псевдометрика, не индуцирующая векторную топологию.

Пусть — нетривиальное (т. е. ) вещественное или комплексное векторное пространство, и пусть — трансляционно-инвариантная тривиальная метрика on, определенная формулой и такая, что Топология , индуцирующая on, — это дискретная топология , которая при добавлении превращается в коммутативную топологическую группу, но не не образуют векторную топологию, поскольку она несвязна , но каждая векторная топология связна. Ошибка заключается в том, что скалярное умножение не является непрерывным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Этот пример показывает, что трансляционно-инвариантной (псевдо)метрики недостаточно, чтобы гарантировать векторную топологию, что приводит нас к определению паранорм и F -полунорм.

Аддитивные последовательности

Совокупность подмножеств векторного пространства называется аддитивной ^[5] , если для каждого существует такое , что ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Непрерывность сложения в точке 0.  Если  группа ( как и все векторные пространства), является топологией и наделена топологией произведения , то карта сложения (т. е. карта ) непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в аддитивно. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить на «открытое соседство». ^[5] ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Следовательно, все вышеперечисленные условия являются необходимыми для того, чтобы топология сформировала векторную топологию. Аддитивные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные субаддитивные функции с действительным знаком. Эти функции затем можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств, а также для демонстрации того, что хаусдорфова ТВС со счетным базисом окрестностей метризуема. Следующая теорема верна в более общем смысле для коммутативных аддитивных топологических групп .

Теорема  .  Пусть это набор подмножеств векторного пространства такой, что и для всех. Для всех пусть ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$ $${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Определите , если и в противном случае пусть ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$ $${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Тогда является субаддитивным (что означает ) и так далее , в частности. Если все являются симметричными множествами , то и если все сбалансированы, то для всех скаляров таких, что и все If является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала координат, то оно непрерывно, где если кроме того, является хаусдорфовой и образует базис сбалансированных окрестностей начала координат, тогда является метрикой, определяющей векторную топологию на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Паранормы

Если это векторное пространство над действительными или комплексными числами, то паранормой является G-полунорма (определенная выше), которая удовлетворяет любому из следующих дополнительных условий, каждое из которых начинается со слов «для всех последовательностей в и всех сходящихся последовательностей скаляров». ": ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. Непрерывность умножения : если скаляр и таковы, что и тогда ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. Оба условия:
   • если и если таково, что тогда ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • если тогда для каждого скаляра ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$ ${\displaystyle s.}$
3. Оба условия:
   • если и для некоторого скаляра , то ; ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • если тогда ${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. Отдельная непрерывность : ^[7]
   • если для некоторого скаляра , то для каждого ; ${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
   • если скаляр, и тогда . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$ ${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

Паранорма называется тотальной , если она дополнительно удовлетворяет:

• Итого / положительно определенное : подразумевается ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

Свойства паранормальных явлений

Если это паранорма в векторном пространстве , то карта, определенная как, является трансляционно-инвариантной псевдометрикой, которая определяет векторную топологию в ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если это паранорма в векторном пространстве, то: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

• множество является векторным подпространством из ^[8] ${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$ ${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$с ^[8] ${\displaystyle p(n)=0.}$
• Если паранорма удовлетворяет условиям и скалярам , ​​то она является абсолютно однородной (т.е. имеет место равенство) ^[8] и, следовательно, является полунормой . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Примеры паранормальных явлений

• Если является трансляционно-инвариантной псевдометрикой в ​​векторном пространстве , которая индуцирует векторную топологию на (т. е. является TVS), то отображение определяет непрерывную паранорму на ; более того, топология, которую определяет эта паранорма, такова ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
• Если это паранорма, то и карта тоже ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• Каждая положительная скалярная величина, кратная паранорме (соответственно полной паранорме), снова является такой паранормой (соответственно полной паранормой).
• Любая полунорма является паранормой. ^[8]
• Ограничение паранормы (соответственно полной паранормы) векторным подпространством является паранормой (соответственно полной паранормой). ^[9]
• Сумма двух паранорм и есть паранорма. ^[8]
• Если и являются паранормами, то то же самое относится и к тому, и Это превращает множество паранорм в условно полную решетку . ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$ ${\displaystyle X}$
• Каждая из следующих карт с действительным знаком является паранормальной : ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• Вещественнозначные отображения и не являются паранормами по ^[8] ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$
• Если это базис Гамеля в векторном пространстве , то вещественнозначное отображение, которое отправляет (где все скаляры, кроме конечного числа, равны 0), является паранормой, которая удовлетворяет всем и скалярам ^[8] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$
• Функция является паранормой, не сбалансированной , но тем не менее эквивалентной обычной норме. Обратите внимание, что функция субаддитивна. ^[10] ${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• Пусть — комплексное векторное пространство, и пусть обозначает , что оно рассматривается как векторное пространство над. Любая паранорма на также является паранормой на ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

Ф-полунормы

Если это векторное пространство над действительными или комплексными числами, то F -полунорма на ( расшифровывается как Фреше ) представляет собой действительнозначное отображение со следующими четырьмя свойствами: ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Неотрицательный : ${\displaystyle p\geq 0.}$
2. Субаддитив : для всех ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$
3. Сбалансированный :длявсех скаляров,удовлетворяющих ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • Это условие гарантирует, что каждое множество вида или для некоторых является сбалансированным множеством . ${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$ ${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$
4. Для каждого как ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
   • Последовательность можно заменить любой положительной последовательностью, сходящейся к нулю. ^[12] ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$

F- полунорма называется F -нормой , если она, кроме того, удовлетворяет:

5. Итого / положительно определенное : подразумевается ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0.}$

F- полунорма называется монотонной, если она удовлетворяет:

6. Монотонный : для всех ненулевых и всех действительных и таких, что ^[12] ${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s<t.}$

Ф-полунормальные пространства

F -полунормированное пространство ( соответственно F -нормированное пространство ) ^[12] — это пара , состоящая из векторного пространства и F -полунормы (соответственно F -нормы) на ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Если и являются F -полунормированными пространствами, то отображение называется изометрическим вложением ^[12], если ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (Z,q)}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

Всякое изометрическое вложение одного F -полунормированного пространства в другое является топологическим вложением , но обратное, вообще говоря, неверно. ^[12]

ПримерыФ-полунормы

• Каждый положительный скаляр, кратный F -полунорме (соответственно F -норме, полунорме), снова является F -полунормой (соответственно F -норме, полунорме).
• Сумма конечного числа F -полунорм (соответственно F -норм) является F -полунормой (соответственно F -нормой).
• Если и являются F -полунормами на , то то же самое верно и для верхней границы любого непустого конечного семейства F -полунорм на ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$ ${\displaystyle X.}$
• Ограничение F -полунормы (соответственно F -нормы) на векторное подпространство представляет собой F -полунорму (соответственно F -норму). ^[9]
• Неотрицательная вещественная функция на является полунормой тогда и только тогда, когда она является выпуклой F -полунормой или, что то же самое, тогда и только тогда, когда она является выпуклой сбалансированной G -полунормой. ^[10] В частности, каждая полунорма является F -полунормой. ${\displaystyle X}$
• Для любого отображения , определенного посредством, является F -норма, не являющаяся нормой. ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
• Если — линейное отображение и если является F -полунормой на, то является F -полунормой на ^[12] ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть – комплексное векторное пространство, и пусть обозначает , что оно рассматривается как векторное пространство над. Любая F -полунорма на также является F -полунормой на ^[9] ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

СвойстваФ-полунормы

Каждая F -полунорма является паранормой, и каждая паранорма эквивалентна некоторой F -полунорме. ^[7] Каждая F -полунорма в векторном пространстве является значением на В частности, и для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Топология, индуцированная однимФ-полунорма

Теорема ^[11]  —  Пусть F -полунорма в векторном пространстве. Тогда отображение , определенное как, является трансляционно-инвариантной псевдометрикой, которая определяет векторную топологию в. Если является F -нормой, то является метрикой. Если оно наделено этой топологией, то является непрерывным отображением на ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Сбалансированные множества как диапазоны положительных действительных чисел образуют базис окрестности в начале координат этой топологии, состоящей из замкнутого множества. Точно так же сбалансированные множества как диапазоны положительных действительных чисел образуют базис соседства в начале этой топологии, состоящей из открытых множеств. ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}$ ${\displaystyle r}$

Топология, индуцированная семействомФ-полунормы

Предположим, что это непустой набор F -полунорм в векторном пространстве и для любого конечного подмножества и любого пусть ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

Набор образует базу фильтра, которая также образует базис окрестности в начале координат для векторной топологии, обозначенной ^[12]. Каждое является сбалансированным и поглощающим подмножеством из ^[12]. Эти наборы удовлетворяют ^[12] ${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$ ${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$- это самая грубая векторная топология, позволяющая сделать каждую непрерывную. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда для любого ненулевого существует такое , что ^[12] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle p(x)>0.}$
• Если – множество всех непрерывных F -полунорм на то ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$
• Если - множество всех поточечных верхних непустых конечных подмножеств , то - направленное семейство F -полунорм и ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$

Комбинация Фреше

Предположим, что это семейство неотрицательных субаддитивных функций в векторном пространстве. ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Комбинация Фреше ^[8] определяется как действительнозначное отображение ${\displaystyle p_{\bullet }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}$$

КакФ-полунорма

Предположим, что — возрастающая последовательность полунорм на , и пусть — комбинация Фреше. Тогда — F -полунорма на , которая индуцирует ту же локально выпуклую топологию, что и семейство полунорм. ^[13] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$

Поскольку увеличивается, база открытых окрестностей начала координат состоит из всех множеств вида как диапазоны по всем положительным целым числам и диапазоны по всем положительным действительным числам. ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r>0}$

Трансляционно -инвариантная псевдометрика на, индуцированная этой F -полунормой , равна ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

Эта метрика была открыта Фреше в его диссертации 1906 года для пространств вещественных и комплексных последовательностей с поточечными операциями. ^[14]

Как паранорма

Если каждая паранорма является паранормой, то она таковая и, более того, порождает ту же топологию, что и семейство паранорм. ^[8] Это также верно в отношении следующих паранормальных явлений : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^[8]

Обобщение

Комбинацию Фреше можно обобщить с помощью ограниченной функции реметризации.

Аограниченная функция реметризации ^[15]представляет собой непрерывное неотрицательное неубывающее отображение, имеющее ограниченный диапазон значений,субаддитивное(то есть для всех) и удовлетворяющеетогда и только тогда, когда ${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$ ${\displaystyle s,t\geq 0}$ ${\displaystyle R(s)=0}$ ${\displaystyle s=0.}$

Примеры ограниченных функций ^{реметризации} включают :​​​^​ ${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$ ${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\circ d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d.}$

Предположим, что семейство неотрицательных F- полунорм в векторном пространстве является ограниченной функцией реметризации и представляет собой последовательность положительных действительных чисел, сумма которых конечна. Затем определяет ограниченную F -полунорму, которая равномерно эквивалентна ^[16]. Она обладает тем свойством, что для любой сети в том и только в том случае, если для всех ^[16] является F -нормой тогда и только тогда, когда отдельные точки на ^[16] ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$ ${\displaystyle p_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Характеристики

О (псевдо)метриках, индуцированных (полу)нормами

Псевдометрика (соответственно метрика) индуцируется полунормой (соответственно нормой) в векторном пространстве тогда и только тогда, когда она трансляционно-инвариантна и абсолютно однородна , что означает, что для всех скаляров и во всех случаях функция, определенная, является полунормой. (соответственно норма), а псевдометрика (соответственно метрика), индуцированная ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d.}$

О псевдометризуемых TVS

Если это топологическое векторное пространство (TVS) (особенно обратите внимание, что оно считается векторной топологией), то следующие условия эквивалентны: ^[11] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle X}$псевдометризуема (т.е. векторная топология индуцирована псевдометрикой на ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$имеет счетную базу окрестностей в начале координат.
3. Топология на индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Топология на индуцирована F -полунормой. ${\displaystyle X}$
5. Топология наведена паранормой. ${\displaystyle X}$

Из метризуемых ТВС

Если это TVS, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$метризуема.
2. ${\displaystyle X}$хаусдорфово и псевдометризуемо.
3. ${\displaystyle X}$является Хаусдорфом и имеет в начале координат счетную базу окрестностей. ^{[11] [12]}
4. Топология на индуцирована трансляционно-инвариантной метрикой на ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. Топология на индуцирована F -нормой. ^{[11] [12]} ${\displaystyle X}$
6. Топология на индуцирована монотонной F -нормой. ^[12] ${\displaystyle X}$
7. Топология индуцирована полной паранормальностью. ${\displaystyle X}$

Теорема Биркгофа – Какутани.  Если  этотопологическое векторное пространство, то следующие три условия эквивалентны: ^{[17] [примечание 1]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Начало координат замкнуто в и существует счетный базис окрестностей для in. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует трансляционно-инвариантная метрика , которая индуцирует топологию , которая является заданной топологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$

По теореме Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , которая является трансляционно-инвариантной.

О локально выпуклых псевдометризуемых TVS

Если TVS, то следующие условия эквивалентны: ^[13] ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$локально выпукло и псевдометризуемо.
2. ${\displaystyle X}$имеет счетную базу окрестностей в начале координат, состоящую из выпуклых множеств.
3. Топология индуцирована счетным семейством (непрерывных) полунорм. ${\displaystyle X}$
4. Топология индуцируется счетной возрастающей последовательностью (непрерывных) полунорм (возрастание означает, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. Топология индуцирована F -полунормой вида: где – (непрерывные) полунормы на ^[18] ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

Коэффициенты

Пусть – векторное подпространство топологического векторного пространства ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

• Если — псевдометризуемая TVS, то таковой является и ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M.}$
• Если — полное псевдометризуемое TVS и замкнутое векторное подпространство, то оно полно. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Если TVS метризуемо и является замкнутым векторным подпространством, то метризуемо. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$
• Если является F -полунормой на , то отображение , определяемое как F -полунорма на , индуцирует обычную фактортопологию на ^[11]. Если кроме того есть F -норма на и если является замкнутым векторным подпространством, то является F - норма по ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры и достаточные условия

• Каждое полунормированное пространство псевдометризуемо с канонической псевдометрикой, заданной для всех ^[19] . ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• Если это псевдометрический TVS с псевдометрикой, инвариантной к трансляции, то он определяет паранорму. ^[20] Однако, если это трансляционно-инвариантная псевдометрика в векторном пространстве (без условия сложения, которое является псевдометрическим TVS ), то она не обязательно должна быть ни F -полунормой ^[21] , ни паранормой. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$
• Если ТВС имеет ограниченную окрестность начала координат, то она псевдометризуема; обратное, вообще говоря, неверно. ^[14]
• Если хаусдорфова ТВС имеет ограниченную окрестность начала координат, то она метризуема. ^[14]
• Пусть — либо DF-пространство , либо LM-пространство . Если — секвенциальное пространство , то оно либо метризуемо, либо является монтелевским DF-пространством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если хаусдорфова локально выпуклая TVS , то с сильной топологией метризуема тогда и только тогда, когда существует счетное множество ограниченных подмножеств таких, что каждое ограниченное подмножество содержится в некотором элементе из ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Сильное двойственное пространство к метризуемому локально выпуклому пространству (например, к пространству Фреше ^[23] ) является DF-пространством . ^[24] Сильным двойственным DF-пространством является пространство Фреше . ^[25] Сильным двойником рефлексивного пространства Фреше является борнологическое пространство . ^[24] Сильное бидуальное пространство (то есть сильное двойственное к сильному двойственному пространству) метризуемому локально выпуклому пространству является пространством Фреше. ^[26] Если это метризуемое локально выпуклое пространство, то его сильное двойственное пространство обладает одним из следующих свойств тогда и только тогда, когда оно обладает всеми этими свойствами: (1) борнологическое , (2) инфрабочкообразное , (3) бочкообразное . ^[26] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Нормируемость

Топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. Более того, ТВС нормируема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и полунормируема. ^[14] Всякая метризуемая TVS в конечномерном векторном пространстве является нормируемой локально выпуклой полной TVS , будучи TVS-изоморфной евклидову пространству . Следовательно, любая метризуемая ТВС, не являющаяся нормируемой, должна быть бесконечномерной.

Если – метризуемая локально выпуклая ТВС , обладающая счетной фундаментальной системой ограниченных множеств, то нормируема. ^[27] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$это нормально .
2. ${\displaystyle X}$имеет (фон Неймановскую) ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное дуальное пространство нормировано . ^[28] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

и если это локально-выпуклое пространство также метризуемо, то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle X}$

4. сильное дуальное пространство метризуемо. ^[28] ${\displaystyle X}$
5. сильное двойственное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . ^[23] ${\displaystyle X}$

В частности, если метризуемое локально выпуклое пространство (такое как пространство Фреше ) не нормируемо, то его сильное двойственное пространство не является пространством Фреше – Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство также не является ни метризуемым, ни нормируемым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Другим следствием этого является то, что если является рефлексивным локально выпуклым TVS, сильный двойник которого метризуем, то он обязательно является рефлексивным пространством Фреше, является DF-пространством , оба и обязательно являются полными хаусдорфовыми ультраборнологическими выделенными перепончатыми пространствами , и, более того, является нормируемым, если и только тогда, когда нормируется тогда и только тогда, когда является Фреше–Урысоном тогда и только тогда, когда метризуемо. В частности, такое пространство либо банахово , либо даже не является пространством Фреше–Урысона. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Метрически ограниченные множества и ограниченные множества

Предположим, что это псевдометрическое пространство и множество метрически ограничено или -ограничено , если существует такое действительное число, что для всех ; наименьший из них тогда называется диаметром или -диаметром ^[14]. Если он ограничен в псевдометризуемой TVS, то он метрически ограничен; обратное, вообще говоря, неверно, но верно для локально выпуклых метризуемых TVS. ^[14] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle d(x,y)\leq R}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Свойства псевдометризуемых ТВС.

Теорема ^[29]  —  Все бесконечномерные сепарабельные полные метризуемые ТВС гомеоморфны .

• Всякое метризуемое локально выпуклое TVS является квазибочоночным пространством , ^[30] борнологическим пространством и пространством Макки .
• Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочоночным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, нетощим). ^[31] Однако существуют метризуемые пространства Бэра, которые не являются полными . ^[31]
• Если — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное двойственное пространство борнологично тогда и только тогда, когда оно бочкообразно , тогда и только тогда, когда оно инфрабочкообразно . ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если — полное псевдометризуемое TVS и замкнутое векторное подпространство, то оно полно. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• Сильным двойником локально выпуклой метризуемой TVS является перепончатое пространство . ^[32]
• Если и являются полными метризуемыми ТВС (т.е. F-пространствами ) и если грубее, чем тогда ; ^[33] уже не гарантируется, что это верно, если какая-либо из этих метризуемых TVS не является полной. ^[34] Другими словами, если и являются обоими F-пространствами , но с разными топологиями, то ни одно из них и не содержит другого как подмножество. Одним из конкретных последствий этого является, например, то, что if является банаховым пространством и является некоторым другим нормированным пространством, топология которого, индуцированная нормой, тоньше (или, альтернативно, грубее), чем топология (т.е. если или если для некоторой константы ), тогда единственный способ, которым пространство может быть банаховым (т. е. также быть полным), состоит в том, что эти две нормы и эквивалентны ; если они не эквивалентны, то не может быть банаховым пространством. Как другое следствие, если — банахово пространство и пространство Фреше , то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда пространство Фреше является TVS (здесь банахово пространство рассматривается как TVS, что означает, что его норма равна « забыт », но его топология запоминается). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =\nu }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p\leq Cq}$ ${\displaystyle q\leq Cp}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
• Метризуемое локально выпуклое пространство нормируется тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство является локально выпуклым пространством Фреше–Урысона . ^[23]
• Любое произведение полных метризуемых TVS является пространством Бэра . ^[31]
• Произведение метризуемых ТВС метризуемо тогда и только тогда, когда все эти ТВС, за исключением не более чем счетного числа, имеют размерность ^[35] ${\displaystyle 0.}$
• Произведение псевдометризуемых ТВС псевдометризуемо тогда и только тогда, когда все эти ТВС, кроме не более чем счетного числа, имеют тривиальную топологию.
• Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочоночным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, нетощим). ^[31]
• Размерность полной метризуемой ТВС либо конечна, либо несчетна. ^[35]

Полнота

Каждое топологическое векторное пространство (и, в более общем плане, топологическая группа ) имеет каноническую равномерную структуру , индуцированную его топологией, которая позволяет применять к нему понятия полноты и равномерной непрерывности. Если это метризуемая TVS и метрика, определяющая его топологию, то возможно, что она полна как TVS (т.е. относительно ее однородности), но метрика не является полной метрикой ( такие метрики существуют даже для ). Таким образом, если ТВС, топология которого индуцирована псевдометрикой, то понятие полноты (как ТВС) и понятие полноты псевдометрического пространства не всегда эквивалентны. Следующая теорема дает условие, когда они эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Теорема . Если  —  псевдометризуемая TVS, топология которой индуцирована трансляционно-инвариантной псевдометрикой , то она является полной псевдометрикой тогда и только тогда, когда она полна как TVS. ^[36] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^{[37] [38]}  (Кли) . Пусть  —  любая ^{[примечание 2]} метрика векторного пространства такая, что топология, индуцированная on, превращается в топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное ТВС. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Теорема  :  If — TVS, топология которого индуцирована паранормой, тогда она полна тогда и только тогда, когда для каждой последовательности из if then сходится в ^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

Если — замкнутое векторное подпространство полной псевдометризуемой ТВС, то фактор-пространство полно. ^[40] Если — полное векторное подпространство метризуемого TVS , и если факторпространство полно, то оно также полно. ^[40] Если оно не полное, то , но не полное, векторное подпространство ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M:=X,}$ ${\displaystyle X.}$

Сепарабельная по Бэру топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она космична. ^[23]

Подмножества и подпоследовательности

• Пусть – сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство, – его пополнение. Если — ограниченное подмножество, то существует ограниченное подмножество такое , что ^[41] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• Каждое вполне ограниченное подмножество локально выпуклой метризуемой ТВС содержится в замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке некоторой последовательности, в которой сходится к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0.}$
• В псевдометризуемом TVS каждое рожденное животное является окрестностью источника. ^[42]
• Если — трансляционно-инвариантная метрика в векторном пространстве, то для всех и каждого положительного целого числа ^[43] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n.}$
• Если - нулевая последовательность (т. е. сходящаяся к началу координат) в метризуемом TVS, то существует последовательность положительных действительных чисел, расходящаяся к такой, что ^[43] ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• Подмножество полного метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. Если пространство неполное, то это замкнутое подмножество, которое не является полным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если — метризуемая локально выпуклая TVS, то для любого ограниченного подмножества существует ограниченный диск в таком, что и оба , и вспомогательное нормированное пространство индуцируют одну и ту же топологию подпространства в ^[44] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

Теорема Банаха-Сакса ^[45]  —  Еслиэто последовательность в локально выпуклой метризуемой TVS , которая слабо сходитсяк некоторым, то существует последовательностьвтакой, чтови каждыйявляется выпуклой комбинацией конечного числа ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Условие счетности Макки ^[14]  .  Предположим, что это локально выпуклая метризуемая TVS и это счетная последовательность ограниченных подмножеств. Тогда существует ограниченное подмножество и последовательность положительных действительных чисел такие, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i.}$

Обобщенная серия

Как описано в разделе этой статьи, посвященном обобщенным рядам , для любого индексированного семейства векторов из TVS можно определить их сумму как предел сети конечных частичных сумм , где область определения направлена , если и , например, то обобщенный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится безусловно в обычном смысле (что для действительных чисел эквивалентно абсолютной сходимости ). Если обобщенный ряд сходится в метризуемом ТВС, то множество обязательно счетно (т. е. либо конечно, либо счетно бесконечно ); ^{[доказательство 1]} другими словами, все, кроме не более чем счетного числа, будут равны нулю, и поэтому этот обобщенный ряд на самом деле представляет собой сумму не более чем счетного числа ненулевых членов. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

Линейные карты

Если — псевдометризуемая TVS и отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества, то она непрерывна. ^[14] Разрывные линейные функционалы существуют на любой бесконечномерной псевдометризуемой TVS. ^[46] Таким образом, псевдометризуемый TVS конечномерен тогда и только тогда, когда его непрерывное двойственное пространство равно его алгебраическому двойственному пространству . ^[46] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$

Если - линейное отображение между TVS и метризуемо, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$является непрерывным;
2. ${\displaystyle F}$является (локально) ограниченным отображением (то есть отображает (фон Нейман) ограниченные подмножества в ограниченные подмножества ); ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$является секвенциально непрерывным ; ^[12]
4. образ каждой нулевой последовательности в является ограниченным множеством ^[12], где по определению нулевая последовательность — это последовательность, которая сходится к началу координат. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$отображает нулевые последовательности в нулевые последовательности;

Открытые и почти открытые карты

Теорема : Если — полная псевдометризуемая ТВС, хаусдорфова ТВС и замкнутая и почти открытая линейная сюръекция, то — открытое отображение. ^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Если — сюръективный линейный оператор из локально выпуклого пространства в бочоночное пространство (например, каждое полное псевдометризуемое пространство является бочоночным), то он почти открыт . ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Если — сюръективный линейный оператор из TVS в пространство Бэра , то он почти открыт. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Теорема : Предположим, что это непрерывный линейный оператор из полной псевдометризуемой ТВС в хаусдорфовую ТВС. Если образ нетощего , то это сюръективное открытое отображение и полное метризуемое пространство. ^[47] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

Свойство расширения Хана-Банаха

Векторное подпространство TVS обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на может быть расширен до непрерывного линейного функционала на ^[22] Скажем, что TVS обладает свойством расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство имеет расширение свойство. ^[22] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Хана -Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых ТВС имеет место обратное:

Теорема  (Калтона)  .  Любая полная метризуемая ТВС со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукла. ^[22]

Если векторное пространство имеет несчетную размерность и если мы наделим его тончайшей векторной топологией , то это TVS с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. ^[22] ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Асимметричная норма  - Обобщение понятия нормы.
• Полное метрическое пространство  - Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  - TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся к одной точке.
• Эквивалентность метрик
• F-пространство  - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
• Пространство Фреше  - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Обобщенная метрика  – Метрическая геометрия
• K-пространство (функциональный анализ)
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Метрическое пространство  - математическое пространство с понятием расстояния.
• Псевдометрическое пространство  - Обобщение метрических пространств в математике.
• Связь норм и метрик  - Математическое пространство с понятием расстояния.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Полунорма  - неотрицательная вещественнозначная функция в вещественном или комплексном векторном пространстве, удовлетворяющая неравенству треугольника и абсолютно однородная.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сублинейная функция  - тип функции в линейной алгебре.
• Единообразное пространство  - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Теорема Урсеску  - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Примечания

1. На самом деле это верно для топологической группы, поскольку в доказательстве не используются скалярные умножения.
2. Не предполагается, что он инвариантен к трансляции.

Доказательства

1. Предположим, что сеть сходится к некоторой точке метризуемого TVS , где, напомним, областью этой сети является ориентированное множество. Как и любая сходящаяся сеть, эта сходящаяся сеть частичных сумм является сетью Коши , что для этой конкретной сети означает (по определению), что для в каждой окрестности начала координат существует конечное подмножество такое , что для всех конечных надмножеств из этого следует, что для каждого (принимая и ). Поскольку метризуема, она имеет счетную окрестную базу в начале координат, пересечение которой обязательно (поскольку является хаусдорфовой ТВС). Для каждого положительного целого числа выберите конечное подмножество такое, что для каждого если принадлежит то принадлежит к Таким образом, для каждого индекса , который не принадлежит счетному множеству ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (\operatorname {FiniteSubsets} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1–18.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 37–40.
3. Шварц 1992, с. 15.
4. Вилански 2013, с. 17.
5. Wilansky 2013, стр. 40–47.
6. Вилански 2013, с. 15.
7. Schechter 1996, стр. 689–691.
8. Wilansky 2013, стр. 15–18.
9. Шехтер 1996, с. 692.
10. Шехтер 1996, с. 691.
11. Narici & Beckenstein 2011, стр. 91–95.
12. Jarchow 1981, стр. 38–42.
13. Narici & Beckenstein 2011, с. 123.
14. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
15. Schechter 1996, с. 487.
16. Schechter 1996, стр. 692–693.
17. Кете 1983, раздел 15.11.
18. Шехтер 1996, с. 706.
19. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
20. Виланский 2013, стр. 15–16.
21. Шефер и Вольф 1999, стр. 91–92.
22. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
23. Габриелян, С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями (2014)»
24. Schaefer & Wolff 1999, стр. 154.
25. Шефер и Вольф 1999, стр. 196.
26. Schaefer & Wolff 1999, стр. 153.
27. Шефер и Вольф 1999, стр. 68–72.
28. Treves 2006, стр. 201.
29. Вилански 2013, с. 57.
30. Ярчоу 1981, с. 222.
31. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
32. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 459–483.
33. Кете 1969, с. 168.
34. Вилански 2013, с. 59.
35. Schaefer & Wolff 1999, стр. 12–35.
36. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–50.
37. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
38. Клее, В.Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 3 (3): 484–487. дои : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
39. Виланский 2013, стр. 56–57.
40. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
41. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
42. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 172–173.
43. Рудин 1991, с. 22.
44. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
45. Рудин 1991, с. 67.
46. Narici & Beckenstein 2011, с. 125.
47. Narici & Beckenstein 2011, стр. 466–468.

Библиография

• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чальджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. ОСЛК  4493665.