Пространство в бочке

Тип топологического векторного пространства

В функциональном анализе и смежных областях математики бочкообразное пространство (также пишется как бочкообразное пространство ) — это топологическое векторное пространство (TVS), для которого каждое бочкообразное множество в пространстве является окрестностью для нулевого вектора . Бочечное множество или бочка в топологическом векторном пространстве — это множество , которое является выпуклым , сбалансированным , поглощающим и замкнутым . Бочечные пространства изучаются, поскольку для них все еще справедлива форма теоремы Банаха–Штейнгауза . Бочечные пространства были введены Бурбаки  (1950).

Бочки

Выпуклое и сбалансированное подмножество действительного или комплексного векторного пространства называется диском , и говорят, что оно является дисковым , абсолютно выпуклым или выпукло сбалансированным .

Абочка илиБочечное множество втопологическом векторном пространстве(TVS) — это подмножество, представляющее собойзамкнутый поглощающийдиск; то есть бочка — это выпуклое, сбалансированное, замкнутое и поглощающее подмножество.

Каждая бочка должна содержать начало координат. Если и если есть любое подмножество то есть выпуклое, сбалансированное и поглощающее множество тогда и только тогда, когда все это верно для для каждого -мерного векторного подпространства таким образом, если то требование, чтобы бочка была замкнутым подмножеством , является единственным определяющим свойством, которое не зависит исключительно от (или более низких) -мерных векторных подпространств ${\displaystyle \dim X\geq 2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle \dim X>2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle X.}$

Если — любой TVS, то каждая замкнутая выпуклая и сбалансированная окрестность начала координат обязательно является бочкой (потому что каждая окрестность начала координат обязательно является поглощающим подмножеством). Фактически, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет базис окрестностей в своем начале координат, состоящий полностью из бочек. Однако, в общем случае, могут существовать бочки, которые не являются окрестностями начала координат; «бочки» — это именно те TVS, в которых каждая бочка обязательно является окрестностью начала координат. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство является бочкообразным пространством, поэтому примеры бочек, которые не являются окрестностями начала координат, можно найти только в бесконечномерных пространствах. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Примеры бочек и небочек

Замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества является бочкой. Это потому, что замыкание любого выпуклого (соответственно, любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества имеет то же самое свойство.

Семейство примеров : Предположим, что равно (если рассматривать как комплексное векторное пространство) или равно (если рассматривать как действительное векторное пространство). Независимо от того, является ли это действительным или комплексным векторным пространством, каждая бочка в обязательно является окрестностью начала координат (так что является примером бочкообразного пространства). Пусть будет любой функцией и для каждого угла пусть обозначит замкнутый отрезок прямой от начала координат до точки Пусть Тогда всегда является поглощающим подмножеством (действительного векторного пространства), но оно является поглощающим подмножеством (комплексного векторного пространства) тогда и только тогда, когда оно является окрестностью начала координат. Более того, является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда для каждого (если это так, то и полностью определяются значениями на ), но является сбалансированным подмножеством тогда и только тогда, когда оно является открытым или замкнутым шаром с центром в начале координат (радиуса ). В частности, бочки в — это в точности те замкнутые шары с центром в начале координат с радиусом в Если то — замкнутое подмножество, которое поглощает в , но не поглощает в и которое не является ни выпуклым, ни сбалансированным, ни окрестностью начала координат в Подходящим выбором функции также возможно иметь сбалансированное и поглощающее подмножество , которое не является ни замкнутым, ни выпуклым. Чтобы иметь сбалансированное, поглощающее и замкнутое подмножество , которое не является ни выпуклым, ни окрестностью начала координат, определите на следующим образом: для пусть (в качестве альтернативы это может быть любая положительная функция на , которая непрерывно дифференцируема, что гарантирует, что и что является замкнутым, и что также удовлетворяет , что предотвращает от того, чтобы быть окрестностью начала координат), а затем расширить до , определив , что гарантирует, что является сбалансированным в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:[0,2\pi )\to (0,\infty ]}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ),}$ ${\displaystyle S_{\theta }}$ ${\displaystyle R(\theta )e^{i\theta }\in \mathbb {C} .}$ ${\textstyle S:=\bigcup _{\theta \in [0,2\pi )}S_{\theta }.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R(\theta )=R(\pi +\theta )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<r\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (0,\infty ].}$ ${\displaystyle R(\theta ):=2\pi -\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,}$ ${\displaystyle R(\theta ):=\pi -\theta }$ ${\displaystyle [0,\pi )}$ ${\textstyle \lim _{\theta \searrow 0}R(\theta )=R(0)>0}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{\theta \nearrow \pi }R(\theta )=0,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\pi ,2\pi )}$ ${\displaystyle R(\theta ):=R(\theta -\pi ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Свойства бочек

• В любом топологическом векторном пространстве (TVS) каждая бочка поглощает каждое компактное выпуклое подмножество ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• В любом локально выпуклом хаусдорфовом TVS каждая бочка в поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество ^[1] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если локально выпукло, то подмножество является -ограниченным тогда и только тогда, когда существует бочка в такая, что ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$
• Пусть будет сопряжением и пусть будет локально выпуклой топологией на согласованной с двойственностью. Тогда подмножество из является бочкой в ​​тогда и только тогда, когда является полярой некоторого -ограниченного подмножества из ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим, что — векторное подпространство конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве и если — бочка (соответственно, рождающаяся бочка, рождающийся диск) в , то существует бочка (соответственно, рождающаяся бочка, рождающийся диск) в , такая, что ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Характеристика бочкообразных пространств

Обозначим через пространство непрерывных линейных отображений из в ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Если — хаусдорфово топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$бочкообразный.
2. Определение : Каждая бочкаявляется окрестностью начала координат. ${\displaystyle X}$
   • Это определение похоже на характеристику TVS Бэра, доказанную Саксоном [1974], который доказал, что TVS с топологией, которая не является индискретной топологией, является пространством Бэра тогда и только тогда, когда каждое поглощающее сбалансированное подмножество является окрестностью некоторой точки (не обязательно начала координат). ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
3. Для любого хаусдорфова TVS каждое поточечно ограниченное подмножество является равностепенно непрерывным. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
4. Для любого F-пространства каждое точечно ограниченное подмножество является равностепенно непрерывным. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • F-пространство — это полное метризуемое TVS .
5. Каждый замкнутый линейный оператор из в полную метризуемую TVS непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Линейное отображение называется замкнутым, если его график является замкнутым подмножеством ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
6. Каждая топология TVS Хаусдорфа , имеющая базис окрестности начала координат, состоящий из -замкнутого множества, конечно, чем ^[5] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Если — локально выпуклое пространство, то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle (X,\tau )}$

7. Существует TVS, не несущий недискретной топологии (в частности, ), такой, что каждое поточечно ограниченное подмножество является равностепенно непрерывным. ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
8. Для любого локально выпуклого TVS каждое поточечно ограниченное подмножество является равностепенно непрерывным. ^[2] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
   • Из двух приведенных выше характеристик следует, что в классе локально выпуклых TVS бочкообразные пространства — это в точности те, для которых выполняется принцип равномерной ограниченности.
9. Каждое -ограниченное подмножество непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно (это обеспечивает частичное обращение теоремы Банаха-Штейнгауза ). ^{[2] [6]} ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$несет сильную двойственную топологию ^[2] ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right).}$
11. Всякая нижняя полунепрерывная полунорма на непрерывна. ^[2] ${\displaystyle X}$
12. Всякое линейное отображение в локально выпуклое пространство почти непрерывно. ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Линейная карта называется ${\displaystyle F:X\to Y}$почти непрерывно , если для каждой окрестностиначала координат взамыканииесть окрестность начала координат в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
13. Каждое сюръективное линейное отображение из локально выпуклого пространства почти открыто . ^[2] ${\displaystyle F:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$
    • Это означает, что для каждой окрестности 0 в замыкании существует окрестность 0 в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F(V)}$ ${\displaystyle X.}$
14. Если — локально выпуклая топология на такая, что имеет базис окрестностей в начале координат, состоящий из -замкнутых множеств, то слабее, чем ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau .}$

Если — локально выпуклое пространство Хаусдорфа, то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

15. Теорема о замкнутом графике : Каждый замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве непрерывен. ^[7] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$
    • Линейный оператор называется замкнутым, если его график является замкнутым подмножеством ${\displaystyle X\times Y.}$
16. Для любого подмножества непрерывного сопряженного пространства следующие свойства эквивалентны: [ 6 ^] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$
    1. равностепенно непрерывный;
    2. относительно слабо компактен;
    3. сильно ограниченный;
    4. слабо ограничен.
17. Базисы 0-окрестностей в и фундаментальные семейства ограниченных множеств в соответствуют друг другу по полярности . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Если — метризуемое топологическое векторное пространство , то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

18. Для любого полного метризуемого TVS каждая поточечно ограниченная последовательность в является равностепенно непрерывной. ^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$

Если — локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство , то этот список можно расширить, добавив: ${\displaystyle X}$

19. (Свойство S ): Слабая* топология наявляется последовательно полной . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
20. (Свойство C ): Каждое слабо* ограниченное подмножествоявляется-относительно счетно компактным . ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
21. (𝜎-бочкообразный ): Каждое счетное слабо* ограниченное подмножествоявляется равностепенно непрерывным. ^[8] ${\displaystyle X^{\prime }}$
22. (Бэровски ):не является объединением возрастающей последовательности нигде не плотных дисков . ^[8] ${\displaystyle X}$

Примеры и достаточные условия

Каждое из следующих топологических векторных пространств является бочкообразным:

1. TVS, которые являются пространством Бэра .
   • Следовательно, каждое топологическое векторное пространство, которое само по себе принадлежит ко второй категории, является бочкообразным.
2. F-пространства , пространства Фреше , банаховы пространства и гильбертовы пространства .
   • Однако существуют нормированные векторные пространства , которые не являются бочкообразными. Например, если -пространство топологизировано как подпространство , то оно не является бочкообразным. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$
3. Полные псевдометризуемые TVS. ^[9]
   • Следовательно, каждый конечномерный TVS является бочкообразным.
4. Пространства Монтеля .
5. Сильно двойственные пространства пространств Монтеля (поскольку они обязательно являются пространствами Монтеля).
6. Локально выпуклое квазибочкообразное пространство , которое также является σ-бочечным пространством . ^[10]
7. Последовательно полное квазибочкообразное пространство .
8. Квазиполное хаусдорфово локально выпуклое инфрабочковое пространство . [ ^2]
   • TVS называется квазиполным, если каждое замкнутое и ограниченное подмножество является полным.
9. TVS с плотным бочкообразным векторным подпространством. ^[2]
   • Таким образом, завершение бочкообразного пространства является бочкообразным.
10. Хаусдорфово локально выпуклое TVS с плотным инфрабочечным векторным подпространством. ^[2]
    • Таким образом, завершение инфрабочечного хаусдорфова локально выпуклого пространства является бочонком. ^[2]
11. Вектор подпространства бочкообразного пространства, имеющего счетную коразмерность. ^[2]
    • В частности, конечное коразмерное векторное подпространство бочечного пространства является бочечным.
12. Локально выпуклый ультрабочкообразный TVS. ^[11]
13. Хаусдорфово локально выпуклое TVS, такое, что каждое слабо ограниченное подмножество его непрерывного сопряженного пространства равностепенно непрерывно. ^[12] ${\displaystyle X}$
14. Локально выпуклое TVS, такое, что для любого банахова пространства замкнутое линейное отображение в обязательно непрерывно. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$
15. Продукт семейства бочечных пространств. ^[14]
16. Локально выпуклая прямая сумма и индуктивный предел семейства бочечных пространств. ^[15]
17. Частное бочкообразного пространства. ^{[16] [15]}
18. Хаусдорфово последовательно полное квазибочечное ограниченно суммирующее TVS. ^[17]
19. Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа является бочкообразным.

Контрпримеры

• Бочечнообразное пространство не обязательно должно быть пространством Монтеля , полным , метризуемым , неупорядоченным пространством типа Бэра или индуктивным пределом банаховых пространств.
• Не все нормированные пространства являются бочкообразными. Однако все они являются инфрабочкообразными. ^[2]
• Замкнутое подпространство бочечного пространства не обязательно является счетно квазибочечным (и, следовательно, не обязательно бочечным). ^[18]
• Существует плотное векторное подпространство бочечного пространства Фреше , которое не является бочечным. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• Существуют полные локально выпуклые TVS, которые не являются бочкообразными. ^[2]
• Наилучшей локально выпуклой топологией на бесконечномерном векторном пространстве является хаусдорфово бочкообразное пространство, которое является скудным подмножеством самого себя (и, следовательно, не является пространством Бэра ). ^[2]

Свойства бочечных пространств

Обобщение Банаха – Штейнгауза

Важность бочкообразных пространств обусловлена ​​главным образом следующими результатами.

Теорема ^[19]  —  Пусть — бочкообразный TVS и — локально выпуклый TVS. Пусть — подмножество пространства непрерывных линейных отображений из в . Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$ограничен для топологии поточечной сходимости;
2. ${\displaystyle H}$ограничено для топологии ограниченной сходимости;
3. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным .

Теорема Банаха-Штейнгауза является следствием приведенного выше результата. ^[20] Когда векторное пространство состоит из комплексных чисел, то также справедливо следующее обобщение. ${\displaystyle Y}$

Теорема ^[21]  —  Если — бочкообразный TVS над комплексными числами и — подмножество непрерывного сопряженного пространства , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle H}$слабо ограничен;
2. ${\displaystyle H}$сильно ограничен;
3. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным;
4. ${\displaystyle H}$относительно компактен в слабой двойственной топологии.

Напомним, что линейное отображение называется замкнутым , если его график является замкнутым подмножеством ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Теорема о замкнутом графике ^[22]  —  Каждый замкнутый линейный оператор из хаусдорфовой бочкообразной TVS в полную метризуемую TVS непрерывен.

Другие свойства

• Каждое бочечное пространство Хаусдорфа является квазибочечным . ^[23]
• Линейное отображение из бочкообразного пространства в локально выпуклое пространство почти непрерывно.
• Линейное отображение локально выпуклого пространства на бочкообразное пространство почти открыто .
• Отдельно непрерывное билинейное отображение из произведения бочечных пространств в локально выпуклое пространство является гипонепрерывным . ^[24]
• Линейное отображение с замкнутым графом из бочкообразного TVS в -полный TVS обязательно непрерывно. ^[13] ${\displaystyle B_{r}}$

Смотрите также

• Ствольный набор
• Счетно-бочкообразное пространство
• Выделенное пространство  – TVS, сильный дуал которого забаррален
• Квазибочечное пространство
• Ультрабомбардное пространство
• Принцип равномерной ограниченности#Обобщения  – Теорема, утверждающая, что точечная ограниченность влечет равномерную ограниченность.
• Теорема Урсеску  – Обобщение замкнутого графика, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Сетчатое пространство  – пространство, в котором справедливы теоремы об открытом отображении и замкнутом графике.

Ссылки

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
3. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 39.
4. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 43.
5. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 32.
6. Schaefer & Wolff 1999, стр. 127, 141Trèves 2006, стр. 350.
7. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 477.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 399.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 383.
10. Халилулла 1982, стр. 28–63.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 418–419.
12. Трев 2006, стр. 350.
13. Schaefer & Wolff 1999, стр. 166.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 138.
15. Schaefer & Wolff 1999, стр. 61.
16. Трев 2006, стр. 346.
17. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 77.
18. Шефер и Вольф 1999, стр. 103–110.
19. Трев 2006, стр. 347.
20. Трев 2006, стр. 348.
21. Трев 2006, стр. 349.
22. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 41.
23. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 70–73.
24. Трев 2006, стр. 424.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1950). «Наверное, пространство векторной топологии». Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР  0042609.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Osborne, Mason Scott (2013). Локально выпуклые пространства . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 269. Cham Heidelberg New York Dordrecht London: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-02045-7. OCLC  865578438.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . С. 65–75.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

• Voigt, Jürgen (2020). Курс по топологическим векторным пространствам . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.