Сильное двойное пространство

Непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах

В функциональном анализе и смежных областях математики сильное двойственное пространство топологического векторного пространства (TVS) — это непрерывное двойственное пространство , снабженное сильной ( двойственной ) топологией или топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах , где эта топология обозначается или Самая грубая полярная топология называется слабой топологией . Сильное двойственное пространство играет такую ​​важную роль в современном функциональном анализе, что непрерывное двойственное пространство обычно предполагается имеющим сильную двойственную топологию, если не указано иное. Чтобы подчеркнуть, что непрерывное двойственное пространство, имеет сильную двойственную топологию, или может быть записано. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Сильная двойная топология

Везде предполагается, что все векторные пространства находятся над полем либо действительных чисел , либо комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Определение из дуальной системы

Пусть — двойственная пара векторных пространств над полем действительных чисел или комплексных чисел. Для любого и любого определяем ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

Ни то, ни другое не имеет топологии, так что, скажем, подмножество называется ограниченным подмножеством, если для всех Таким образом, подмножество называется ограниченным тогда и только тогда, когда Это эквивалентно обычному понятию ограниченных подмножеств , когда задана слабая топология, индуцированная которой, является хаусдорфовой локально выпуклой топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Пусть обозначает семейство всех подмножеств , ограниченных элементами ; то есть, это множество всех подмножеств таких, что для каждого Тогда сильная топология на также обозначается или просто или, если подразумевается спаривание , определяется как локально выпуклая топология на , порожденная полунормами вида ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$ ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

Определение сильной двойственной топологии теперь происходит так же, как в случае TVS. Заметим, что если — TVS, непрерывное двойственное пространство которого разделяет точки на , то является частью канонической двойственной системы , где В частном случае, когда — локально выпуклое пространство , сильная топология на (непрерывном) двойственном пространстве (то есть на пространстве всех непрерывных линейных функционалов ) определяется как сильная топология и совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в , т.е. с топологией на , порожденной полунормами вида , где пробегает семейство всех ограниченных множеств в Пространство с этой топологией называется сильно двойственным пространством пространства и обозначается как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

Определение на TVS

Предположим, что — топологическое векторное пространство (TVS) над полем Пусть — любая фундаментальная система ограниченных множеств из ; то есть — семейство ограниченных подмножеств из , такое, что каждое ограниченное подмножество из является подмножеством некоторого ; множество всех ограниченных подмножеств из образует фундаментальную систему ограниченных множеств из Базис замкнутых окрестностей начала координат в задается полярами : при пробеге по ). Это локально выпуклая топология, которая задается набором полунорм на : при пробеге по ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если является нормируемым , то таковым является и фактически будет банахово пространство . Если является нормированным пространством с нормой, то имеет каноническую норму ( операторную норму ), заданную как ; топология, которую эта норма индуцирует, идентична сильной двойственной топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Двусторонний

Двудуальное или второе дуальное пространство TVS, часто обозначаемое как , является сильным дуальным пространством сильного дуального пространства : где обозначает , наделенное сильной дуальной топологией Если не указано иное, векторное пространство обычно предполагается наделенным сильной дуальной топологией, индуцированной на нем с помощью , в этом случае оно называется сильным двудуальным пространством ; то есть, где векторное пространство наделено сильной дуальной топологией ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

Характеристики

Пусть — локально выпуклый TVS. ${\displaystyle X}$

• Выпуклое сбалансированное слабо компактное подмножество ограничено в ^[1] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• Каждое слабо ограниченное подмножество является сильно ограниченным. ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Если - бочкообразное пространство , то топология идентична сильной двойственной топологии и топологии Макки на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное сопряженное к является борнологическим пространством тогда и только тогда, когда оно является инфрабочечным пространством , тогда и только тогда, когда оно является бочечным пространством . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если TVS — локально выпуклое по Хаусдорфу, то оно метризуемо тогда и только тогда, когда существует счетное множество ограниченных подмножеств, такое, что каждое ограниченное подмножество содержится в некотором элементе ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• Если локально выпукло, то эта топология тоньше всех других -топологий при рассмотрении только тех , множества которых являются подмножествами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то — полное . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

Если — бочкообразное пространство , то его топология совпадает с сильной топологией на и с топологией Макки на , порожденной спариванием ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

Примеры

Если - нормированное векторное пространство , то его (непрерывное) сопряженное пространство с сильной топологией совпадает с сопряженным банаховым пространством ; то есть с пространством с топологией, индуцированной операторной нормой . Обратно, -топология на идентична топологии, индуцированной нормой на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств
• Полярная топология  – двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств
• Рефлексивное пространство  – локально выпуклое топологическое векторное пространство
• Полурефлексивное пространство
• Сильная топология
• Топологии на пространствах линейных отображений

Ссылки

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 141.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 142.
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 153.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.