Полурефлексивное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , полурефлексивное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) X , такое, что каноническое оценочное отображение из X в его двунаправленное (которое является сильным дуальным X ) является биективным. Если это отображение также является изоморфизмом TVS , то оно называется рефлексивным .

Полурефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых TVS. Поскольку нормируемое TVS является полурефлексивным тогда и только тогда, когда оно рефлексивно, понятие полурефлексивности в основном используется с TVS, которые не являются нормируемыми.

Определение и обозначения

Краткое определение

Предположим, что X — топологическое векторное пространство (TVS) над полем (которое является либо действительными, либо комплексными числами), непрерывное двойственное пространство которого , , разделяет точки на X (т.е. для любого существует некоторое такое, что ). Пусть и оба обозначают сильное двойственное пространство X , которое является векторным пространством непрерывных линейных функционалов на X , наделенным топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X ; эта топология также называется сильной двойственной топологией и является топологией «по умолчанию», размещенной на непрерывном двойственном пространстве (если не указана другая топология). Если X — нормированное пространство, то сильное двойственное пространство X является непрерывным двойственным пространством с его обычной топологией нормы. Двойственное пространство X , обозначаемое , является сильным двойственным пространством ; то есть это пространство . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Для любого пусть определяется как , где называется оценочной картой в точке x ; поскольку обязательно непрерывно, то следует, что . Так как разделяет точки на X , отображение, определяемое как , является инъективным , где это отображение называется оценочной картой или канонической картой . Это отображение было введено Гансом Ханом в 1927 году. ^[2] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$

Мы называем X полурефлексивным, если оно биективно (или, что эквивалентно, сюръективно ), и мы называем X рефлексивным, если оно, кроме того, является изоморфизмом TVS. ^[1] Если X — нормированное пространство, то J является TVS-вложением, а также изометрией на его область значений; кроме того, по теореме Голдстайна ( доказанной в 1938 году) область значений J является плотным подмножеством бидуального . ^[2] Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно. Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар является -компактным. ^[2] ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$

Подробное определение

Пусть X — топологическое векторное пространство над числовым полем ( действительных чисел или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное сопряженное пространство , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в X. Пространство является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассмотреть его сильное сопряженное пространство , которое называется сильным двусторонним пространством для X. Оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией . Каждый вектор порождает отображение по следующей формуле: ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

Это непрерывный линейный функционал на , то есть . Получается карта, называемая оценочной картой или канонической инъекцией : ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

что является линейным отображением. Если X локально выпукло, из теоремы Хана–Банаха следует, что J инъективно и открыто (то есть для каждой окрестности нуля в X существует окрестность нуля V в , такая что ). Но оно может быть несюръективным и/или разрывным. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

Локально выпуклое пространство называется полурефлексивным, если отображение оценки сюръективно (следовательно, биективно); оно называется рефлексивным, если отображение оценки сюръективно и непрерывно, и в этом случае J будет изоморфизмом TVS ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

Характеристика полурефлексивных пространств

Если X — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то следующие условия эквивалентны:

1. X является полурефлексивным;
2. слабая топология на X имеет свойство Гейне-Бореля (то есть для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. Если линейная форма на этом непрерывна, когда имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда имеет слабую топологию; ^[3] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$является бочкообразным , где указывает топологию Макки на ; ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
5. X слабая слабая топология является квазиполной . ^[3] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

Теорема ^[4]  —  Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда с -топологией обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества слабо компактны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$

Достаточные условия

Каждое полумонтелевское пространство является полурефлексивным, и каждое монтелевское пространство является рефлексивным.

Характеристики

Если — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то каноническая инъекция из в его двусмысленное пространство является топологическим вложением тогда и только тогда, когда является инфрабочечным. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Сильное сопряженное пространство полурефлексивного пространства является бочкообразным . Каждое полурефлексивное пространство является квазиполным . ^[3] Каждое полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. ^[6] Сильное сопряженное пространство полурефлексивного пространства является бочкообразным. ^[7]

Рефлексивные пространства

Если X — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то следующие условия эквивалентны:

1. X является рефлексивным ;
2. X — полурефлексивный и бочкообразный ;
3. X является бочкообразным, а слабая топология на X имеет свойство Гейне-Бореля (что означает, что для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). ^[1] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$
4. X является полурефлексивным и квазибочкообразным . ^[8]

Если X — нормированное пространство , то следующие условия эквивалентны:

1. X рефлексивен;
2. замкнутый единичный шар компактен, когда X имеет слабую топологию . ^[9] ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
3. X — банахово пространство, рефлексивное. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Примеры

Каждое нерефлексивное бесконечномерное банахово пространство является выделенным пространством , которое не является полурефлексивным. ^[11] Если — плотное собственное векторное подпространство рефлексивного банахова пространства, то — нормированное пространство, которое не является полурефлексивным, но его сильное сопряженное пространство является рефлексивным банаховым пространством. ^[11] Существует полурефлексивное счетно-бочковое пространство , которое не является бочечным . ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Пространство Гротендика — обобщение, обладающее некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включающее в себя множество пространств, имеющих практическое значение.
• Рефлексивная операторная алгебра
• Рефлексивное пространство

Цитаты

1. Treves 2006, стр. 372–374.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 144.
4. Эдвардс 1965, 8.4.2.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 488–491.
6. Шефер и Вольф 1999, стр. 145.
7. Эдвардс 1965, 8.4.3.
8. Халилулла 1982, стр. 32–63.
9. Трев 2006, стр. 376.
10. Трев 2006, стр. 377.
11. Khaleelulla 1982, стр. 28–63.

Библиография

• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
• Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа , Springer, 1985.
• Джеймс, Роберт С. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. of Math. Studies, т. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Колмогоров, А. Н.; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.