Равномерно выпуклое пространство

Понятие в математике векторных пространств

В математике равномерно выпуклые пространства (или равномерно округлые пространства ) являются распространенными примерами рефлексивных банаховых пространств . Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймсом А. Кларксоном в 1936 году.

Определение

Равномерно выпуклое пространство — это нормированное векторное пространство , такое что для каждого существует такое , что для любых двух векторов с и условием ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$ ${\displaystyle \|y\|=1,}$

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$

подразумевает, что:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$

Интуитивно понятно, что центр отрезка прямой внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только отрезок не короткий.

Характеристики

• Единичную сферу можно заменить на замкнутый единичный шар в определении. А именно, нормированное векторное пространство равномерно выпукло тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое такое, что для любых двух векторов и в замкнутом единичном шаре (т.е. и ) при , имеем (обратите внимание, что при задании соответствующее значение может быть меньше, чем то, которое дается исходным более слабым определением). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|y\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$ ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

• Теорема Мильмана –Петтиса утверждает , что каждое равномерно выпуклое банахово пространство рефлексивно , тогда как обратное неверно.
• Каждое равномерно выпуклое банахово пространство является пространством Радона–Рисса , то есть если — последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве, которая слабо сходится к и удовлетворяет условию , то сильно сходится к , то есть . ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$
• Банахово пространство равномерно выпукло тогда и только тогда, когда его сопряженное пространство равномерно гладко . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$
• Каждое равномерно выпуклое пространство является строго выпуклым . Интуитивно, строгая выпуклость означает более сильное неравенство треугольника , когда являются линейно независимыми, в то время как равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство было верно равномерно. ${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$ ${\displaystyle x,y}$

Примеры

• Каждое пространство внутреннего продукта равномерно выпукло. ^[1]
• Каждое замкнутое подпространство равномерно выпуклого банахова пространства равномерно выпукло.
• Из неравенств Кларксона следует, что пространства L p равномерно выпуклы. ${\displaystyle (1<p<\infty )}$
• Наоборот, не является равномерно выпуклым. ${\displaystyle L^{\infty }}$

Смотрите также

• Модуль и характеристика выпуклости
• Равномерно выпуклая функция
• Равномерно гладкое пространство

Ссылки

Цитаты

1. Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 524, пример 16.2.3. ISBN 978-1-58488-866-6.

Общие ссылки

• Кларксон, JA (1936). «Равномерно выпуклые пространства». Trans. Amer. Math. Soc . 40 (3). Американское математическое общество: 396–414. doi : 10.2307/1989630 . JSTOR  1989630..
• Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости L p {\displaystyle L^{p}} и l p {\displaystyle l^{p}}». Ark. Mat . 3 : 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 ..
• Бозами, Бернард (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4.
• Per Enflo (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Israel Journal of Mathematics . 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802.
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Иоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ . Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.