Единичная сфера

Сфера радиуса один, обычно с центром в начале пространства.

Некоторые 1-сферы: ‖ x ‖ ₂ является нормой для евклидова пространства.

В математике единичная сфера — это сфера единичного радиуса : набор точек, находящихся на евклидовом расстоянии 1 от некоторой центральной точки в трехмерном пространстве . В более общем смысле, единичная сфера ${\displaystyle n}$ представляет собой сферу единичного радиуса в многомерном евклидовом пространстве ; единичный круг — частный случай, единичная сфера на плоскости . ( Открытый ) единичный шар — это область внутри единичной сферы, набор точек, находящихся на расстоянии менее 1 от центра. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle 1}$

Сфера или шар с единичным радиусом и центром в начале пространства называется единичной сферой или единичным шаром. Любую произвольную сферу можно преобразовать в единичную сферу комбинацией перевода и масштабирования , поэтому исследование сфер в целом часто можно свести к изучению единичной сферы.

Единичная сфера часто используется в качестве модели сферической геометрии, поскольку она имеет постоянную кривизну сечения , равную 1, что упрощает расчеты. В тригонометрии длина дуги окружности на единичной окружности называется радианами и используется для измерения углового расстояния ; В сферической тригонометрии площадь поверхности на единице сферы называется стерадианом и используется для измерения телесного угла .

В более общем контексте единичная сфера — это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где разные нормы могут использоваться в качестве общих понятий «расстояния», а (открытый) единичный шар — это область внутри.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве измерений единичная -мерная сфера представляет собой совокупность всех точек , удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Открытый единичный шар — это совокупность всех точек, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$

а замкнутый единичный шар — это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Объем и площадь

Графики объемов ( V ) и площадей поверхности ( S ) единицы n -шариков.

Классическое уравнение единичной сферы представляет собой уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей -, - или -: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

Объем единичного шара в евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара, который мы обозначаем, можно выразить с помощью гамма-функции . Это ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n},}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$

где двойной факториал . ${\displaystyle n!!}$

Гиперобъем -мерной единичной сферы ( т . е . «площадь» границы -мерного единичного шара), который мы обозначаем, можно выразить как ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1},}$

${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$

Например, это «площадь» границы единичного шара , которая просто подсчитывает две точки. Тогда – это «площадь» границы единичного круга, которая представляет собой длину окружности единичного круга. — площадь границы единичного шара , которая является площадью поверхности единичной сферы . ${\displaystyle A_{0}=2}$ ${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=2\pi }$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

Площади поверхности и объемы для некоторых значений таковы: ${\displaystyle n}$

где десятичные расширенные значения округляются до отображаемой точности. ${\displaystyle n\geq 2}$

Рекурсия

Значения удовлетворяют рекурсии: ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=2}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$для . ${\displaystyle n>1}$

Значения удовлетворяют рекурсии: ${\displaystyle V_{n}}$

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$для . ${\displaystyle n>1}$

Неотрицательные действительные измерения

Значение при неотрицательных действительных значениях иногда используется для нормализации меры Хаусдорфа. ^{[1] [2]} ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ ${\displaystyle n}$

Другие радиусы

Площадь поверхности -сферы с радиусом равна , а объем -шара с радиусом равна Например, площадь соответствует двумерной поверхности трехмерного шара с радиусом. Объем соответствует трехмерному шару с радиусом. радиус  . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Открытый единичный шар нормированного векторного пространства с нормой имеет вид ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$

Это топологическая внутренность замкнутого единичного шара ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$

Последняя представляет собой разрозненный союз первых и их общей границы, единой сферы ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$

«Форма» единичного шара целиком зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и например может выглядеть так в случае с макс-нормой в . Получается естественно круглый шар как единичный шар, принадлежащий обычной норме гильбертова пространства , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно понимают под единичной сферой . ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Определим обычную норму для as: ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

Тогда – обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие необходимо при определении нормы , так как единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым вследствие неравенства треугольника . Обозначим через max-норму или -норму . ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|x\|_{1}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

Обратите внимание, что для одномерных окружностей двумерных единичных шаров мы имеем: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$это минимальное значение.

${\displaystyle C_{2}=2\pi }$

${\displaystyle C_{\infty }=8}$это максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три приведенных выше определения могут быть непосредственно обобщены на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а в некоторых метрических пространствах единичная сфера может даже быть пустой.

Квадратичные формы

Если это линейное пространство с действительной квадратичной формой , то его можно назвать единичной сферой ^{[3] [4]} или единичной квазисферой . Например, квадратичная форма , если ее установить равной единице, создает единичную гиперболу , которая играет роль «единичного круга» в плоскости расщепленных комплексных чисел . Точно так же квадратичная форма дает пару линий для единичной сферы на двойственной числовой плоскости. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Смотрите также

• Мяч
• ${\displaystyle n}$-сфера
• Сфера
• Суперэллипс
• Единичный круг
• Единичный диск
• Единичный касательный пучок
• Единица площади

Примечания и ссылки

1. Китайский университет Гонконга, Math 5011, Глава 3, Меры Лебега и Хаусдорфа
2. Манин, Юрий И. «Понятие размерности в геометрии и алгебре» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 43 (2): 139–161 . Проверено 17 декабря 2021 г.
3. Такаши Оно (1994) Вариации на тему Эйлера: квадратичные формы, эллиптические кривые и карты Хопфа , глава 5: Квадратичные сферические карты, страница 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4 
4. Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки , «Обобщенные сферы», стр. 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 

• Махлон М. Дэй (1958) Нормированные линейные пространства , стр. 24, Springer-Verlag .
• Деза, Э .; Деза, М. (2006), Словарь расстояний , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Рецензия опубликована в информационном бюллетене Европейского математического общества 64 (июнь 2007 г.), стр. 57. Эта книга представляет собой список расстояний многих типов, каждый из которых имеет краткое описание.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичная сфера». Математический мир .