Пер Энфло

Шведский математик и концертный пианист

Пер Х. Энфло ( швед.: [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; родился 20 мая 1944 года) — шведский математик, работавший в основном в области функционального анализа , в которой он решал проблемы , считавшиеся фундаментальными. Три из этих проблем оставались открытыми более сорока лет: ^[1]

• Базисная проблема и проблема аппроксимации ^[2] и позже
• проблема инвариантного подпространства для банаховых пространств . ^[3]

Решая эти проблемы, Энфло разработал новые методы, которые затем использовались другими исследователями в функциональном анализе и теории операторов в течение многих лет. Некоторые исследования Энфло были важны также в других математических областях, таких как теория чисел , и в компьютерных науках , особенно в компьютерной алгебре и алгоритмах аппроксимации .

Энфло работает в Университете штата Кент , где он имеет звание профессора университета. Ранее Энфло занимал должности в Институте фундаментальных исследований в области науки имени Миллера в Калифорнийском университете в Беркли , Стэнфордском университете , Политехнической школе ( Париж ) и Королевском технологическом институте в Стокгольме .

Энфло также является концертным пианистом .

Вклад Энфло в функциональный анализ и теорию операторов

В математике функциональный анализ занимается изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Он имеет свои исторические корни в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений. В функциональном анализе важный класс векторных пространств состоит из полных нормированных векторных пространств над действительными или комплексными числами, которые называются банаховыми пространствами . Важным примером банахова пространства является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения . Гильбертовы пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , стохастические процессы и анализ временных рядов . Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывные линейные операторы в пространствах функций.

Пятая проблема Гильберта и вложения

В Стокгольмском университете Ханс Радстрём предложил Энфло рассмотреть пятую проблему Гильберта в духе функционального анализа. ^[4] За два года, 1969–1970, Энфло опубликовал пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в Enflo (1970) вместе с кратким резюме. Некоторые результаты этих статей описаны в Enflo (1976) и в последней главе Benyamini and Lindenstrauss .

Приложения в области компьютерных наук

Методы Энфло нашли применение в информатике . Теоретики алгоритмов выводят алгоритмы приближения , которые встраивают конечные метрические пространства в маломерные евклидовы пространства с малым «искажением» (в терминологии Громова для категории Липшица ; см. расстояние Банаха–Мазура ). Конечно, маломерные задачи имеют меньшую вычислительную сложность . Что еще более важно, если задачи хорошо встраиваются либо в евклидову плоскость , либо в трехмерное евклидово пространство , то геометрические алгоритмы становятся исключительно быстрыми.

Однако такие методы встраивания имеют ограничения, как показано в теореме Энфло (1969): ^[5]

Для любого куб Хэмминга не может быть вложен с "искажением " (или меньше) в -мерное евклидово пространство, если . Следовательно, оптимальным вложением является естественное вложение, которое реализуется как подпространство -мерного евклидова пространства. ^[6] ${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle D<{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{m}}$ ${\displaystyle m}$

Эта теорема, «найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение для вложений в евклидовы пространства . Энфло рассматривал проблему равномерной вложимости среди банаховых пространств , и искажение было вспомогательным приемом в его доказательстве». ^[7]

Геометрия банаховых пространств

Равномерно выпуклое пространство — это банахово пространство , такое что для каждого существует такое , что для любых двух векторов с и ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|y\|\leq 1,}$

${\displaystyle \|x+y\|>2-\delta }$

подразумевает, что

${\displaystyle \|x-y\|<\epsilon .}$

Интуитивно понятно, что центр отрезка прямой внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только отрезок не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «всякое суперрефлексивное банахово пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму». ^{[8] [9]}

Базисная проблема и гусь Мазура

В одной статье, опубликованной в 1973 году, Пер Энфло решил три проблемы, которые десятилетиями ставили в тупик функциональных аналитиков: базисную проблему Стефана Банаха , « проблему гуся » Станислава Мазура и проблему аппроксимации Александра Гротендика . Гротендик показал, что его проблема аппроксимации является центральной проблемой в теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов .

Базисная задача Банаха

Базисную проблему поставил Стефан Банах в своей книге « Теория линейных операторов» . Банах задался вопросом , имеет ли каждое сепарабельное банахово пространство базис Шаудера .

Базис Шаудера или счетный базис похож на обычный (Гамель) базис векторного пространства ; разница в том, что для базисов Гамеля мы используем линейные комбинации , которые являются конечными суммами, тогда как для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховы пространства .

Базисы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году. ^{[10] [11]} Пусть V обозначает банахово пространство над полем F. Базис Шаудера — это последовательность ( b _n ) элементов V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность (α _n ) элементов в F такая, что

${\displaystyle v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,}$

где сходимость понимается относительно топологии нормы . Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическом векторном пространстве .

В 1937 году польский математик Станислав Мазур пообещал «живого гуся» в качестве приза за решение задачи 153 в « Шотландской книге» . В 1972 году Мазур вручил гуся Перу Энфло.

Задача 153 в шотландской книге: Гусь Мазура

В 1972 году Станислав Мазур наградил Энфло обещанным живым гусем за решение задачи в шотландской книге .

Банах и другие польские математики работали над математическими задачами в Scottish Café . Когда задача была особенно интересной и когда ее решение казалось сложным, задача записывалась в книгу задач, которая вскоре стала известна как Scottish Book . За задачи, которые казались особенно важными или сложными, или и тем, и другим, автор задачи часто обещал наградить за ее решение приз.

6 ноября 1936 года Станислав Мазур поставил задачу о представлении непрерывных функций. Формально записывая задачу 153 в « Шотландской книге» , Мазур обещал в качестве награды «живого гуся», особенно щедрую цену во время Великой депрессии и накануне Второй мировой войны .

Довольно скоро после этого стало ясно, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других проблем в Scottish Book решались регулярно. Однако, по проблеме Мазура и нескольким другим проблемам, которые стали известными открытыми проблемами для математиков по всему миру, прогресс был незначительным . ^[12]

Формулировка Гротендика проблемы аппроксимации

Работа Гротендика по теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов ввела свойство аппроксимации . Говорят, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации , если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга . Обратное всегда верно. ^[13]

В большой монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание функциональных аналитиков на решении вопроса, обладает ли каждое банахово пространство свойством аппроксимации. ^[13]

Решение Enflo

В 1972 году Пер Энфло построил сепарабельное банахово пространство, в котором отсутствует свойство аппроксимации и базис Шаудера. ^[14] В 1972 году Мазур наградил Энфло живым гусем на церемонии в Центре Стефана Банаха в Варшаве ; церемония «награждения гусем» транслировалась по всей Польше . ^[15]

Проблема инвариантного подпространства и многочлены

В функциональном анализе одной из наиболее важных проблем была проблема инвариантного подпространства , которая требовала оценки истинности следующего предложения:

Если задано комплексное банахово пространство H размерности > 1 и ограниченный линейный оператор T  :  H  →  H , то H имеет нетривиальное замкнутое T -инвариантное подпространство , т.е. существует замкнутое линейное подпространство W пространства H , которое отлично от {0}, и H такое, что T ( W ) ⊆ W .

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (Для гильбертовых пространств проблема инвариантного подпространства остается открытой .)

Энфло предложил решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав план в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, и сложность и длина статьи задержали ее публикацию до 1987 года ^[16] Длинная «рукопись Энфло имела всемирное распространение среди математиков» ^[17] , и некоторые из ее идей были описаны в публикациях помимо Энфло (1976). ^{[18] [19]} Работы Энфло вдохновили на аналогичное построение оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло. ^[16]

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантного подпространства в гильбертовых пространствах. ^[20]

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов

Основной идеей в конструкции Энфло была « концентрация многочленов низких степеней »: для всех положительных целых чисел и существует такое, что для всех однородных многочленов и степеней и (по переменным) тогда ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C(m,n)>0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle |PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,}$

где обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов . Энфло доказал, что не зависит от числа переменных . Первоначальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери . ^[21] ${\displaystyle |P|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C(m,n)}$ ${\displaystyle k}$

Этот результат был обобщен на другие нормы на векторном пространстве однородных многочленов . Из этих норм наиболее используемой является норма Бомбьери .

норма Бомбьери

Норма Бомбьери определяется в терминах следующего скалярного произведения : Для всех имеем ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$

${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$если ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Для каждого мы определяем ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$ ${\displaystyle ||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},}$

где мы используем следующие обозначения: если , то мы пишем и и ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$ ${\displaystyle |\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$ ${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$

Самым замечательным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

Пусть — два однородных многочлена соответственно степени и с переменными, тогда справедливо следующее неравенство: ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d^{\circ }(P)}$ ${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.}$

В приведенном выше утверждении неравенство Бомбьери является неравенством левой части; неравенство правой части означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры многочленов при умножении.

Неравенство Бомбьери подразумевает, что произведение двух многочленов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя граница является фундаментальной в таких приложениях, как факторизация многочленов (или в конструкции Энфло оператора без инвариантного подпространства).

Приложения

Идея Энфло о «концентрации многочленов в низких степенях» привела к важным публикациям в теории чисел ^[22], алгебраической и диофантовой геометрии ^[23] и разложении многочленов на множители ^[24 ] .

Математическая биология: Динамика популяции

В области прикладной математики Пер Энфло опубликовал несколько работ по математической биологии , в частности по динамике популяций .

Эволюция человека

Энфло также публиковал работы по популяционной генетике и палеоантропологии . ^[25]

Сегодня все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens , которая разделена видовым барьером. Однако, согласно модели «Из Африки», это не первый вид гоминидов: первый вид рода Homo , Homo habilis , появился в Восточной Африке по крайней мере 2 млн лет назад, и представители этого вида заселили разные части Африки за относительно короткое время. Homo erectus появился более 1,8 млн лет назад и к 1,5 млн лет назад распространился по всему Старому Свету .

Антропологи разделились во мнениях относительно того, развивалась ли современная человеческая популяция как единая взаимосвязанная популяция (как постулируется гипотезой мультирегиональной эволюции ) или же она развивалась только в Восточной Африке, видообразовалась , а затем мигрировала из Африки и заменила человеческие популяции в Евразии (так называемая модель «из Африки» или модель «полного замещения»).

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе в течение нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неизвестна. ^[26] Современные люди, возможно, впервые мигрировали в Европу 40–43 000 лет назад. ^[27] Неандертальцы, возможно, жили еще 24 000 лет назад в убежищах на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как пещера Горхэма . ^{[28] [29]} Было высказано предположение о взаимонаслоении останков неандертальцев и современных людей, ^[30] но это оспаривается. ^[31]

Совместно с Хоуксом и Вулпоффом , Энфло опубликовал объяснение ископаемых свидетельств ДНК неандертальцев и современных людей . В этой статье делается попытка разрешить спор в эволюции современных людей между теориями, предполагающими либо многорегиональное , либо единое африканское происхождение. В частности, вымирание неандертальцев могло произойти из-за волн современных людей, пришедших в Европу – технически говоря, из-за «непрерывного притока современной человеческой ДНК в генофонд неандертальцев». ^{[32] [33] [34]}

Энфло также писал о динамике популяции дрейссены в озере Эри . ^[35]

Концертный пианист Пер Энфло дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. ^[36]

Фортепиано

Пер Энфло также является концертным пианистом .

Вундеркинд в музыке и математике, Энфло выиграл Шведский конкурс молодых пианистов в возрасте 11 лет в 1956 году, и он выиграл тот же конкурс в 1961 году. [ ^37] В возрасте 12 лет Энфло появился в качестве солиста с Королевским оперным оркестром Швеции. Он дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. Учителями Энфло были Бруно Зайдльхофер , Геза Анда и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля). ^[36]

В 1999 году Энфло принял участие в первом ежегодном Международном конкурсе пианистов для выдающихся любителей, организованном Фондом Ван Клиберна. Архивировано 19 апреля 2009 г. в Wayback Machine . [ ^38]

Энфло регулярно выступает в Кенте и в серии Моцарта в Колумбусе, штат Огайо (с Triune Festival Orchestra). Его сольные фортепианные концерты появлялись в Classics Network радиостанции WOSU , которая спонсируется Университетом штата Огайо . ^[36]

Ссылки

Примечания

1. Страница 586 в Halmos 1990.
2. Per Enflo: Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах. Acta Mathematica т. 130, № 1, июль 1973 г.
3. * Энфло, Пер (1976). «О проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах». Семинар Мори-Шварца (1975–1976) Espaces L ^p , приложения radonifiantes и геометрия пространств Банаха, Exp. №№ 14-15 . Центр математики, Политехническая школа, Палезо. п. 7. МР  0473871.
   • Энфло, Пер (1987). «О проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств». Acta Mathematica . 158 (3): 213–313. doi : 10.1007/BF02392260 . ISSN  0001-5962. MR  0892591.
4. Радстрём сам опубликовал несколько статей по пятой проблеме Гильберта с точки зрения теории полугрупп . Радстрём был также (первоначальным) научным руководителем Мартина Рибе, который написал диссертацию о метрических линейных пространствах, которые не обязаны быть локально выпуклыми; Рибе также использовал несколько идей Энфло по метрической геометрии , особенно «округлость», при получении независимых результатов о равномерных и липшицевых вложениях (Беньямини и Линденштраус). В этой ссылке также описываются результаты Энфло и его учеников по таким вложениям.
5. Теорема 15.4.1 в Матушеке.
6. Матоушек 370.
7. Матоушек 372.
8. Бозами 1985, стр. 298.
9. Пизье.
10. Шаудер Дж (1927). «Zur Theorie statiger Abbildungen in Funktionalraumen» (PDF) . Mathematische Zeitschrift . 26 : 47–65. дои : 10.1007/BF01475440. hdl :10338.dmlcz/104881. S2CID  123042807.
11. Шаудер Дж (1928). «Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems». Mathematische Zeitschrift . 28 : 317–320. дои : 10.1007/BF01181164. S2CID  120228356.
12. Молдин
13. Йорам Линденштраусс и Л. Цафрири.
14. «Сенсация» Энфло обсуждается на стр. 287 в Pietsch, Albrecht (2007). История банаховых пространств и линейных операторов. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. стр. xxiv+855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. МР  2300779.Введения к решению Энфло написали Халмош, Джонсон, Квапень, Линденштраус и Цафрири, Недевский и Троянский, а также Зингер.
15. Калужа, Сакс, Эгглтон, Молдин.
16. Beauzamy 1988; Ядав.
17. Ядав, стр. 292.
18. Например, Раджави и Розенталь (1982).
19. Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства». The Mathematical Intelligencer . 4 (1): 33–37. doi :10.1007/BF03022994. S2CID  122811130.
20. Страница 401 в Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). «О квазинильпотентных операторах. III». Журнал теории операторов . 54 (2): 401–414.. Метод Энфло («прямых») «минимальных векторов» также отмечен в обзоре этой исследовательской статьи Жиля Кассье в Mathematical Reviews : MR 2186363. Метод Энфло минимального вектора более подробно описан в обзорной статье Энфло и Виктора Ломоносова по проблеме инвариантного подпространства , которая опубликована в Handbook of the Geometry of Banach Spaces (2001).
21. Шмидт, стр. 257.
22. Монтгомери. Шмидт. Бозами и Энфло. Бозами, Бомбьери, Энфло и Монтгомери
23. Бомбьери и Габлер
24. Кнут, Бозами, Энфло и Ван.
25. Модель эволюции популяционной генетики человека (разработанная Энфло и его соавторами) была опубликована на обложке крупной шведской газеты. Йенсфельт, Анника (14 января 2001 г.). «Новые бренды обсуждают вопросы, связанные с мужскими детьми». Svenska Dagbladet (на шведском языке): 1.
26. Мелларс, П. (2006). «Новая радиоуглеродная революция и расселение современных людей в Евразии». Nature . 439 (7079): 931–935. Bibcode :2006Natur.439..931M. doi :10.1038/nature04521. PMID  16495989. S2CID  4416359.
27. Бэнкс, Уильям Э.; Франческо д'Эррико; А. Таунсенд Петерсон; Маса Кагеяма; Адриана Сима; Мария-Фернанда Санчес-Гони (24 декабря 2008 г.). Харпендинг, Генри (ред.). «Вымирание неандертальцев в результате конкурентного исключения». ПЛОС ОДИН . 3 (12). Публичная научная библиотека: e3972. Бибкод : 2008PLoSO...3.3972B. дои : 10.1371/journal.pone.0003972 . ISSN  1932-6203. ПМК 2600607 . ПМИД  19107186. 
28. Ринкон, Пол (13 сентября 2006 г.). «Последнее каменное убежище неандертальцев». BBC News . Получено 11 октября 2009 г.
29. Финлейсон, К., Ф. Г. Пачеко, Х. Родригес-Видал, Д. А. Фа, Дж. М. Лопес, А. С. Перес, Г. Финлейсон, Э. Аллю, Дж. Б. Прейслер, И. Касерес, Дж. С. Каррион, Ю. Ф. Джалво, К. П. Глид-Оуэн, Ф.Д.Дж. Эспехо, П. Лопес, Х.А.Л. Саес, Ж.А.Р. Канталь, А.С. Марко, Ф.Г. Гусман, К. Браун, Н. Фуэнтес, К.А. Валарино, А. Вильяльпандо, CB Стрингер, Ф.М. Руис и Т. Сакамото. 2006. Позднее выживание неандертальцев на самой южной окраине Европы. Продвинутое онлайн-издание Nature .
30. Gravina, B.; Mellars, P.; Ramsey, CB (2005). «Радиоуглеродное датирование интерстратифицированных поселений неандертальцев и ранних современных людей на типовой стоянке Шательперрон». Nature . 438 (7064): 51–56. Bibcode :2005Natur.438...51G. doi :10.1038/nature04006. PMID  16136079. S2CID  4335868.
31. Зильян, Жуан; Франческо д'Эррико; Жан-Гийом Борд; Арно Ленобль; Жан-Пьер Тексье; Жан-Филипп Риго (2006). «Анализ ориньякской интерстратификации на участке типа Шательперрон и последствия для поведенческой современности неандертальцев». ПНАС . 103 (33): 12643–12648. Бибкод : 2006PNAS..10312643Z. дои : 10.1073/pnas.0605128103 . ПМК 1567932 . ПМИД  16894152. 
32. Страница 665:
    • Паабо, Сванте и др. «Генетический анализ древней ДНК». Анну. Преподобный Жене. 38, 645–679 (2004).
33. Йенсфельт, Анника (14 января 2001 г.). «Новые бренды обсуждают вопросы, связанные с мужскими детьми». Svenska Dagbladet (на шведском языке): 1.
34. «Теория Пера Энфло чрезвычайно хорошо продумана и имеет высочайшее значение»… сказал американский антрополог Милфорд Вулпофф , профессор Мичиганского университета». (Страница 14 в Jensfelt, Annika (14 января 2001 г.) «Ny Brandfackla tänder debatten om manniskans ursprung». Svenska Dagbladet (на шведском языке): 14–15.)
35. Саксон
36. * Серия концертов камерной музыки Chagrin Valley 2009-2010. Архивировано 11 ноября 2012 г. на Wayback Machine .
37. Саксон.
38. Майкл Киммельман (8 августа 1999 г.). «Возвращение вундеркинда». The New York Times Magazine . Раздел 6, стр. 30.

• «Объявлены лауреаты премии «Выдающийся ученый» 2005 года в Университете штата Кент», eInside , 11 апреля 2005 г. Получено 4 февраля 2007 г.

Библиография

• Энфло, Пер. (1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп (Стокгольмский университет). Диссертация Энфло содержит перепечатки ровно пяти статей:
  • Энфло, Пер (1969a). «Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно». Math. Scand . 24 : 195–197. doi : 10.7146/math.scand.a-10930 .
  • Per Enflo (1969). "О несуществовании равномерных гомеоморфизмов между пространствами Lp". Ark. Mat . 8 (2): 103–5. Bibcode :1970ArM.....8..103E. doi : 10.1007/BF02589549 .
  • Энфло, Пер (1969б). «Об одной задаче Смирнова». Ark. Mat . 8 (2): 107–109. Bibcode :1970ArM.....8..107E. doi : 10.1007/bf02589550 .
  • Энфло, Пер (1970a). «Однородные структуры и квадратные корни в топологических группах I ». Israel Journal of Mathematics . 8 (3): 230–252. doi :10.1007/BF02771560. S2CID  189773170.
  • Энфло, Пер (1970b). «Однородные структуры и квадратные корни в топологических группах II ». Israel Journal of Mathematics . 8 (3): 253–272. doi :10.1007/BF02771561. S2CID  121193430.
    • Энфло, Пер. 1976. Равномерные гомеоморфизмы банаховых пространств. Séminaire Maurey-Schwartz (1975–1976), Espaces, , Radonifiantes Applications et Géométrie des Espaces de Banach ${\displaystyle L^{p}}$ , Exp. № 18, 7 стр. Центр математики, Политехническая школа, Палезо. MR 0477709 (57 #17222) [Основные статьи по пятой проблеме Гильберта и независимым результатам Мартина Рибе, другого ученика Ганса Родстрема]
• Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Israel Journal of Mathematics . 13 (3–4): 281–288. doi :10.1007/BF02762802. MR  0336297. S2CID  120895135.
• Энфло, Пер (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Mathematica . 130 : 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . MR  0402468.
• Энфло, Пер (1976). «О проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах» (PDF) . Семинар Морей-Шварца (1975–1976) Espaces L ^p , приложения radonifiantes и геометрия пространств Банаха, Exp. №№ 14–15 . Центр математики, Политехническая школа, Палезо. стр. 1–7. МР  0473871.
• Энфло, Пер (1987). «О проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств». Acta Mathematica . 158 (3): 213–313. doi : 10.1007/BF02392260 . ISSN  0001-5962. MR  0892591.
• Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico ; Enflo, Per; Montgomery, Hugh L. (1990). «Произведения многочленов от многих переменных». Journal of Number Theory . 36 (2): 219–245. doi :10.1016/0022-314X(90)90075-3. hdl : 2027.42/28840 . MR  1072467.
• Бозами, Бернард; Энфло, Пер; Ванг, Пол (октябрь 1994 г.). «Количественные оценки полиномов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел до символических и массивно-параллельных вычислений». Mathematics Magazine . 67 (4): 243–257. JSTOR  2690843.(доступно для читателей, имеющих степень бакалавра по математике)
• P. Enflo, John D. Hawks , M. Wolpoff . "Простая причина, по которой происхождение неандертальцев может соответствовать текущей информации о ДНК". American Journal Physical Anthropology , 2001
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств . Т. I. Амстердам: Северная Голландия. С. 533–559.
• Бартл, РГ (1977). "Обзор работы Пера Энфло "Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах" Acta Mathematica 130 (1973), 309–317". Mathematical Reviews . 130 : 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . MR  0402468.
• Бозами, Бернард (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. МР  0889253.
• Бозами, Бернард (1988). Введение в теорию операторов и инвариантных подпространств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70521-X. МР  0967989.
• Энрико Бомбьери и Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Cambridge UP ISBN 0-521-84615-3.
• Роджер Б. Эгглтон (1984). «Обзор книги Молдина «Шотландская книга: математика из шотландского кафе ». Математические обзоры . MR  0666400.
• Гротендик, А .: Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires . Памятка. амер. Математика. Соц. 16 (1955).
• Халмош, Пол Р. (1978). «Базисы Шаудера». American Mathematical Monthly . 85 (4): 256–257. doi :10.2307/2321165. JSTOR  2321165. MR  0488901.
• Пол Р. Халмош , «Замедлился ли прогресс в математике?» Amer. Math. Monthly 97 (1990), № 7, 561–588. MR 1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в книге Роберта Г. Бартла (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу , Математическая ассоциация Америки.
• Калужа, Роман (1996). Энн Костант и Войбор Войчински (ред.). Глазами репортера: жизнь Стефана Банаха. Биркхойзер. ISBN 0-8176-3772-9. МР  1392949.
• Кнут, Дональд Э. (1997). "4.6.2 Факторизация многочленов". Получисленные алгоритмы . Искусство программирования . Том 2 (Третье изд.). Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. С. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.
• Квапинь, С. «На примере Энфло банахового пространства без свойства аппроксимации». Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972–1973: Equations aux dérivées partielles et Analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Центр математики, Политехническая школа, Париж, 1973. MR 407569.
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Иоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ, публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Линденштраус, Дж .; Цафрири, Л.: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , 1977. Springer-Verlag.
• Матушек, Иржи (2002). Лекции по дискретной геометрии. Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-95373-1..
• R. Daniel Mauldin, ed. (1981). The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café (включая избранные доклады, представленные на Scottish Book Conference, состоявшейся в North Texas State University, Denton, Tex., May 1979) . Boston, Mass.: Birkhäuser. стр. xiii+268 стр. (2 пластины). ISBN 3-7643-3045-7. МР  0666400.
• Недевский, П.; Троянский, С. (1973). "П. Энфло решил отрицательно проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства". Физ.-мат. списк. Болгар. Акад. Наук . 16 (49): 134–138. MR  0458132.
• Pietsch, Albrecht (2007). История банаховых пространств и линейных операторов]. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. стр. xxiv+855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. МР  2300779.
• Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Israel Journal of Mathematics . 20 (3–4): 326–350. doi :10.1007/BF02760337. MR  0394135. S2CID  120947324.
• Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства». The Mathematical Intelligencer . 4 (1): 33–37. doi :10.1007/BF03022994. S2CID  122811130.
• Карен Сакс , «Введение в функциональный анализ» , Учебники по математике для студентов , 2002 Springer-Verlag, Нью-Йорк. (На страницах 122–123 дается набросок биографии Пера Энфло.)
• Шмидт, Вольфганг М. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) Диофантовы приближения . Конспект лекций по математике 785. Springer.
• Певец Иван. Базисы в банаховых пространствах. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii+880 стр.  ISBN 3-540-10394-5 . МР 610799 
• Ядав, Б.С. (2005). «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства». Milan Journal of Mathematics . 73 : 289–316. doi :10.1007/s00032-005-0048-7. ISSN  1424-9286. MR  2175046. S2CID  121068326.

Внешние источники

• Биография Пера Энфло в колледже Канизиус
• Домашняя страница Пера Энфло в Университете штата Кент
• Enflo, Per (25 апреля 2011 г.). «Личные заметки, написанные моими собственными словами». perenflo.com. Архивировано из оригинала 26 апреля 2012 г. Получено 13 декабря 2011 г.

• Пер Энфло в проекте «Генеалогия математики»