Равномерная непрерывность

Равномерное ограничение изменения функций

Когда центр синего окна с реальной высотой и реальной шириной перемещается по графику в направлении , наступает точка, в которой график проникает (внутри) верха и/или низа этого окна. Это означает, что диапазон значений находится в интервале, большем или равном -интервалу, меньшему . Если бы существовало окно, верхняя и/или нижняя часть которого никогда не пересекается графиком движения окна по его области, то ширина этого окна должна была бы быть бесконечно малой (нереальной), то есть оно не было равномерно непрерывным. С другой стороны, функция равномерно непрерывна . ${\displaystyle 2\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 2\delta \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

В математике действительная функция действительных чисел называется равномерно непрерывной, если существует положительное действительное число, такое, что значения функции в любом интервале области функции такого размера настолько близки друг к другу, насколько мы хотим. Другими словами, для равномерно непрерывной действительной функции действительных чисел, если мы хотим, чтобы разности значений функции были меньше любого положительного действительного числа , тогда существует такое положительное действительное число, что в любом и в любом интервале функции размера . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$

Разница между равномерной непрерывностью и (обычной) непрерывностью заключается в том, что в равномерной непрерывности существует глобально применимый (размер интервала области определения функции, на котором различия значений функции меньше ), который зависит только от , тогда как в (обычной) непрерывности существует является локально применимым и зависит от обоих и . Таким образом, равномерная непрерывность является более сильным условием непрерывности, чем непрерывность; равномерно непрерывная функция является непрерывной, но непрерывная функция не обязательно является равномерно непрерывной. Понятия равномерной непрерывности и непрерывности можно расширить до функций, определенных между метрическими пространствами . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$

Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они не ограничены в ограниченной области, например, на , или если их наклоны становятся неограниченными в бесконечной области, например, на вещественной (числовой) прямой. Однако любое липшицево отображение метрических пространств равномерно непрерывно, в частности любая изометрия (отображение, сохраняющее расстояние). ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Хотя непрерывность можно определить для функций между общими топологическими пространствами, определение равномерной непрерывности требует большей структуры. Эта концепция основана на сравнении размеров окрестностей различных точек, поэтому для нее требуется метрическое пространство или, в более общем смысле, однородное пространство .

Определение функций в метрических пространствах

Для функции с метрическими пространствами и справедливы следующие определения равномерной непрерывности и (обычной) непрерывности. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$

Определение равномерной непрерывности

• ${\displaystyle f}$называется равномерно непрерывным, если для каждого действительного числа существует такое действительное число, что для каждого с имеем . Множество для каждого является окрестностью и множество для каждого является окрестностью по определению окрестности в метрическом пространстве . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
  • Если и являются подмножествами действительной линии , то и может быть стандартным одномерным евклидовым расстоянием , что дает следующее определение: для каждого действительного числа существует такое действительное число , что для каждого (где есть материальное условное утверждение, говорящее «если , затем "). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle A\implies B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Эквивалентно, говорят, что равномерно непрерывно, если . Здесь используются количественные оценки ( , , и ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in X}$ ${\displaystyle \forall y\in X}$
• Эквивалентно, является равномерно непрерывным, если допускает модуль непрерывности . ${\displaystyle f}$

Определение (обычной) непрерывности

• ${\displaystyle f}$называется непрерывным, если для каждого действительного числа существует такое действительное число, что для каждого с имеем . Множество представляет собой окрестность . Таким образом, (обычная) непрерывность является локальным свойством функции в точке . ${\displaystyle {\underline {{\text{at }}x}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Аналогично, функция называется непрерывной, если . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall x\in X\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$
• Альтернативно, функция называется непрерывной, если существует функция всех положительных действительных чисел и , представляющая максимальное положительное действительное число, такая, что при каждом if удовлетворяет then . При каждом – монотонно неубывающая функция. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$

Локальная непрерывность и глобальная единая непрерывность

В определениях разница между равномерной непрерывностью и непрерывностью состоит в том, что в равномерной непрерывности существует глобально применимая (размер окрестности в, в которой значения метрики для значений функции в меньше ), которая зависит только от времени в непрерывности существует локально применимый вариант , который зависит от обоих и . Непрерывность — это локальное свойство функции, то есть функция непрерывна или нет в определенной точке области определения функции , и это можно определить, рассматривая только значения функции в сколь угодно малой окрестности этой области. точка. Когда мы говорим о функции, непрерывной на отрезке , мы имеем в виду, что функция непрерывна в каждой точке отрезка. Напротив, равномерная непрерывность является глобальным свойством , в том смысле, что стандартное определение равномерной непрерывности относится к каждой точке . С другой стороны, можно дать определение, локальное в терминах естественного расширения (характеристики которого в нестандартных точках определяются глобальными свойствами ), но невозможно дать локальное определение равномерного расширения. непрерывность для произвольной гипервещественнозначной функции, см. ниже. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Математическое определение непрерывности функции на интервале и определение равномерно непрерывности структурно аналогичны, как показано ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

Непрерывность функции для метрических пространств и в каждой точке интервала (т. е. непрерывность на интервале ) выражается формулой, начинающейся с квантификации ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$,

(метрики и для множества действительных чисел ) . ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$ ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для равномерной непрерывности порядок первого, второго и третьего количественных показателей ( , и ) меняется: ${\displaystyle \forall x\in I}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Таким образом, для непрерывности на отрезке берут произвольную точку отрезка и тогда должно существовать расстояние ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

тогда как для равномерной непрерывности один должен работать равномерно для всех точек интервала, ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

Характеристики

Любая равномерно непрерывная функция непрерывна , но обратное неверно. Рассмотрим, например, непрерывную функцию где – множество действительных чисел . Учитывая положительное действительное число , равномерная непрерывность требует существования такого положительного действительного числа, что для всех с мы имеем . Но ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

и поскольку значение будет все выше и выше, оно должно быть все ниже и ниже, чтобы удовлетворить положительные действительные числа и заданное . Это означает, что не существует определенного (независимо от того, насколько оно мало) положительного действительного числа, удовлетворяющего условию равномерной непрерывности, поэтому оно не является равномерно непрерывным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Любая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна. С другой стороны, функция Кантора равномерно непрерывна, но не абсолютно непрерывна.

Образ вполне ограниченного подмножества относительно равномерно непрерывной функции вполне ограничен. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывной функции не обязательно должен быть ограниченным: в качестве контрпримера рассмотрим тождественную функцию от целых чисел, наделенных дискретной метрикой, до целых чисел, наделенных обычной евклидовой метрикой .

Теорема Гейне -Кантора утверждает, что каждая непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна . В частности, если функция непрерывна на замкнутом ограниченном интервале вещественной прямой, она равномерно непрерывна на этом интервале . Из этой теоремы почти непосредственно следует интегрируемость по Дарбу непрерывных функций.

Если вещественная функция непрерывна и существует (и конечна), то она равномерно непрерывна. В частности, каждый элемент пространства непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, равномерно непрерывен. Это обобщение упомянутой выше теоремы Гейне-Кантора, поскольку . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$

Примеры и непримеры

Примеры

• Линейные функции являются простейшими примерами равномерно непрерывных функций. ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$
• Любая непрерывная функция на отрезке также равномерно непрерывна, т. к. является компактом. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Если функция дифференцируема на открытом интервале и ее производная ограничена, то функция равномерно непрерывна на этом интервале.
• Каждое липшицево непрерывное отображение между двумя метрическими пространствами равномерно непрерывно. В более общем смысле, каждая непрерывная по Гельдеру функция равномерно непрерывна.
• Функция абсолютного значения равномерно непрерывна, несмотря на то, что она не дифференцируема при . Это показывает, что равномерно непрерывные функции не всегда дифференцируемы. ${\displaystyle x=0}$
• Несмотря на то, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, она равномерно непрерывна.
• Каждый член равномерно равнонепрерывного множества функций равномерно непрерывен.

Непримеры

• Функции, неограниченные в ограниченной области, не являются равномерно непрерывными. Касательная функция непрерывна на интервале , но не является равномерно непрерывной на этом интервале, поскольку она стремится к бесконечности при . ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle x\to \pi /2}$
• Функции, производная которых стремится к бесконечности при увеличении, не могут быть равномерно непрерывными. Показательная функция непрерывна всюду на вещественной прямой, но не является равномерно непрерывной на прямой, поскольку ее производная равна , и as . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}\to \infty }$ ${\displaystyle x\to \infty }$

Визуализация

Для равномерно непрерывной функции для каждого положительного действительного числа существует такое положительное действительное число, что два значения функции и имеют максимальное расстояние всякий раз, когда и находятся в пределах максимального расстояния . Таким образом, если в каждой точке графика мы нарисуем прямоугольник высотой чуть меньше и шириной чуть меньше, чем вокруг этой точки, то график полностью лежит в пределах высоты прямоугольника, т. е. график не проходит через высоту прямоугольника. верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно; для этих функций график может лежать внутри высоты прямоугольника в какой-то точке графика, но на графике есть точка, где график находится выше или ниже прямоугольника. (график проходит через верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника.) ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

• 
  Для равномерно непрерывных функций для каждого положительного действительного числа существует такое положительное действительное число, что, когда мы рисуем прямоугольник вокруг каждой точки графика с шириной чуть меньше и высотой чуть меньше , график полностью лежит внутри высоты прямоугольник. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\delta }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$
• 
  Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, существует такое положительное действительное число, что для каждого положительного действительного числа есть точка на графике, так что, когда мы рисуем прямоугольник с высотой немного меньше и шириной немного меньше, чем вокруг этой точки , значение функции находится непосредственно над или под прямоугольником. Может существовать точка графика, в которой график полностью находится внутри высоты прямоугольника, но это не верно для каждой точки графика. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

История

Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было дано Гейне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязательно должна быть равномерно непрерывной. Доказательства почти дословно даны Дирихле в его лекциях по определенным интегралам в 1854 году. Определение равномерной непрерывности появляется ранее в работе Больцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом отрезке не обязательно должны быть равномерно непрерывными. Кроме того, он также утверждает, что непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна, но не дает полного доказательства. ^[1]

Другие характеристики

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе вещественная функция действительной переменной является микронепрерывной в определенной точке именно в том случае, если разность бесконечно мала всякий раз, когда она бесконечно мала. Таким образом , непрерывно на множестве в точности тогда, когда микронепрерывно в каждой вещественной точке . Равномерная непрерывность может быть выражена как условие того, что (естественное расширение) микронепрерывно не только в реальных точках в , но и во всех точках своего нестандартного аналога (естественного расширения) в . Заметим, что существуют гипердействительнозначные функции, удовлетворяющие этому критерию, но не являющиеся равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гипердействительнозначные функции, не удовлетворяющие этому критерию, однако такие функции не могут быть выражены в виде для любой вещественнозначной функции . ( более подробную информацию и примеры см. в разделе «Нестандартное исчисление »). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{*}(a+\delta )-f^{*}(a)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ^{*}A}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Преемственность Коши

Для функции между метрическими пространствами равномерная непрерывность влечет непрерывность Коши (Фитцпатрик, 2006). Точнее, пусть это будет подмножество . Если функция равномерно непрерывна, то для любой пары последовательностей и такой, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0}$

у нас есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.}$

Связь с проблемой расширения

Пусть – метрическое пространство, подмножество , полное метрическое пространство и непрерывная функция. Вопрос, требующий ответа: когда можно расширить до непрерывной функции на всех ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Если замкнуто в , то ответ дается теоремой о продолжении Титце . Таким образом, необходимо и достаточно расшириться до замыкания в : т. е. мы можем без ограничения общности предполагать, что оно плотно в , и это имеет еще одно приятное следствие: если расширение существует, то оно единственно. Достаточным условием продолжения до непрерывной функции является то, что она непрерывна по Коши , т. е. образ под последовательностью Коши остается Коши. Если полно (и, следовательно, пополнение ), то каждая непрерывная функция из в метрическое пространство является непрерывной по Коши. Следовательно, когда функция полна, она продолжается до непрерывной функции тогда и только тогда, когда она непрерывна по Коши. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$

Легко видеть, что всякая равномерно непрерывная функция непрерывна по Коши и, следовательно, продолжается до . Обратное неверно, поскольку функция , как видно выше, не является равномерно непрерывной, но она непрерывна и, следовательно, непрерывна по Коши. В общем, для функций, определенных на неограниченных пространствах типа , равномерная непрерывность является довольно сильным условием. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно вывести расширяемость. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle R}$

Например, предположим, что это действительное число. На уровне предварительного исчисления функции можно дать точное определение только для рациональных значений (при условии существования корней q-й степени из положительных действительных чисел, применение теоремы о промежуточном значении ). Хотелось бы расширить функцию, определенную для всех . Личность ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

показывает, что оно не является равномерно непрерывным на множестве всех рациональных чисел; однако для любого ограниченного интервала ограничение на равномерно непрерывно, следовательно, непрерывно по Коши и, следовательно, распространяется до непрерывной функции на . Но поскольку это справедливо для каждого , то существует единственное расширение до непрерывной функции на всех . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q\cap I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

В более общем смысле, непрерывная функция , ограничение которой на каждое ограниченное подмножество равномерно непрерывно, расширяема до и обратное верно, если она локально компактна . ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Типичным применением продолжаемости равномерно непрерывной функции является доказательство формулы обратного преобразования Фурье . Сначала докажем, что формула верна для пробных функций, их плотно много. Затем мы расширяем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; таким образом, равномерно непрерывен.

Обобщение на топологические векторные пространства

В частном случае двух топологических векторных пространств и понятие равномерной непрерывности отображения принимает вид: для любой окрестности нуля в существует окрестность нуля в такой, что влечет за собой ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$ ${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Для линейных преобразований равномерная непрерывность эквивалентна непрерывности. Этот факт часто неявно используется в функциональном анализе для расширения линейного отображения плотного подпространства банахова пространства . ${\displaystyle f:V\to W}$

Обобщение на однородные пространства

Подобно тому, как наиболее естественной и общей средой для изучения непрерывности являются топологические пространства , наиболее естественной и общей средой для изучения равномерной непрерывности являются равномерные пространства . Функция между равномерными пространствами называется равномерно непрерывной, если для каждого окружения в существует окружение в такое, что для каждого из мы имеем в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$ ${\displaystyle V}$

В этом случае верно также, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши.

Каждый компакт Хаусдорфа обладает ровно одной однородной структурой, совместимой с топологией. Следствием является обобщение теоремы Гейне-Кантора: каждая непрерывная функция из компактного хаусдорфова пространства в равномерное пространство равномерно непрерывна.

Смотрите также

• Картирование сжатия  – функция, уменьшающая расстояние между всеми точками.
• Равномерный изоморфизм  - Равномерно непрерывный гомеоморфизм.

Рекомендации

1. Руснок и Керр-Лоусон 2005.

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николя . Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. ISBN 0-387-19374-Х.Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным пространствам.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Академическая пресса.
• Фитцпатрик, Патрик (2006). Продвинутое исчисление . Брукс/Коул. ISBN 0-534-92612-6.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90125-6.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Равномерная непрерывность», Энциклопедия Математики , EMS Press
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-07-054235-8.
• Руснок, П.; Керр-Лоусон, А. (2005), «Больцано и равномерная непрерывность», Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi : 10.1016/j.hm.2004.11.003