Условие Гёльдера

Тип непрерывности комплекснозначной функции

В математике действительная или комплекснозначная функция f в d -мерном евклидовом пространстве удовлетворяет условию Гельдера или является непрерывной по Гёльдеру , когда существуют действительные константы C ≥ 0 , α > 0 , такие, что для всех x и y в области выключенный .​ В более общем смысле условие можно сформулировать для функций между любыми двумя метрическими пространствами . Это число называется показателем условия Гёльдера. Функция на интервале, удовлетворяющая условию с α > 1, является постоянной (см. доказательство ниже). Если α = 1 , то функция удовлетворяет условию Липшица . Для любого α > 0 это условие означает, что функция равномерно непрерывна . Состояние названо в честь Отто Гёльдера . $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \alpha }$

Имеем следующую цепочку включений для функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале [ a , b ] вещественной прямой с a < b :

Непрерывно дифференцируемый ⊂ Липшицев непрерывный ⊂ -Гёльдеровский непрерывный ⊂ равномерно непрерывный ⊂ непрерывный , ${\displaystyle \alpha }$

где 0 < α ≤ 1 .

Пространства Гельдера

Пространства Гёльдера, состоящие из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, являются основными в областях функционального анализа , связанных с решением уравнений в частных производных , и в динамических системах . Пространство Гёльдера C ^{k , α} (Ω) , где Ω — открытое подмножество некоторого евклидова пространства и k ≥ 0 — целое число, состоит из тех функций на Ω, которые имеют непрерывные производные до порядка k и такие, что k -ые частные производные непрерывны по Гёльдеру с показателем α , где 0 < α ≤ 1 . Это локально выпуклое топологическое векторное пространство . Если коэффициент Гельдера конечен, то функция f называется (равномерно) непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω . В данном случае полунормой служит коэффициент Гёльдера . Если коэффициент Гельдера просто ограничен на компактных подмножествах Ω , то функция f называется локально непрерывной по Гёльдеру с показателем α в Ω . $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|x-y\right\|^{\alpha }}},}$$

Если функция f и ее производные до порядка k ограничены на замыкании Ω, то пространству Гёльдера можно присвоить норму , где β пробегает мультииндексы и ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

Эти полунормы и нормы часто обозначаются просто и или также и, чтобы подчеркнуть зависимость от области определения f . Если Ω открыто и ограничено, то является банаховым пространством относительно нормы . ${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$ ${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$ ${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$ ${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$ ${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$

Компактное вложение пространств Гёльдера.

Пусть Ω — ограниченное подмножество некоторого евклидова пространства (или, вообще, любого вполне ограниченного метрического пространства) и пусть 0 < α < β ≤ 1 два показателя Гельдера. Тогда существует очевидное отображение включения соответствующих пространств Гёльдера: оно непрерывно, поскольку по определению норм Гёльдера имеем: $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

Более того, это включение компактно, т.е. ограниченные множества в норме ‖ · ‖ _0,β относительно компактны в норме ‖ · ‖ _0,α . Это прямое следствие теоремы Асколи-Арсела . Действительно, пусть ( un ₎ — ограниченная последовательность в C ^0,β (Ω) . Благодаря теореме Асколи-Арсела мы можем без ограничения общности считать, что _un → u равномерно , а также можем предположить u = 0 . Тогда потому что $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ $${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

Примеры

• Если 0 < α ⩽ β ⩽ 1 , то все непрерывные по Гельдеру функции на ограниченном множестве Ω также непрерывны по Гёльдеру. Сюда также входит β = 1 , и, следовательно, все липшицевы функции на ограниченном множестве также являются C ^{0, α} непрерывными по Гельдеру. ${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$
• Функция f ( x ) = x ^β (при β ≤ 1 ), определенная на [0, 1], служит прототипным примером функции, которая является C ^{0, α} непрерывной по Гельдеру для 0 < α ≤ β , но не для α > β . Далее, если бы мы определили f аналогично на , то она была бы C ^0,α гельдеровской только при α = β . ${\displaystyle [0,\infty )}$
• Если функция непрерывна по Гельдеру на интервале, а затем постоянна. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1,}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство

Рассмотрим случай, когда . Тогда , так что фактор разности сходится к нулю при . Следовательно, существует и везде равен нулю. Теорема о среднем значении теперь подразумевает, что оно постоянно. КЭД ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right|\leq C|x-y|^{\alpha -1}}$ ${\displaystyle |x-y|\to 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$

Альтернативная идея: исправить и разделить файлы . Тогда как из-за . Таким образом . КЭД ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle x_{k}=x+{\frac {k}{n}}(y-x)}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x_{0})-f(x_{1})|+|f(x_{1})-f(x_{2})|+\ldots +|f(x_{n-1})-f(x_{n})|\leq \sum _{i=1}^{n}C\left({\frac {|x-y|}{n}}\right)^{\alpha }=C|x-y|^{\alpha }n^{1-\alpha }\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$

• Существуют примеры равномерно непрерывных функций, которые не являются α -гельдеровскими ни при каком α . Например, функция, определенная на [0, 1/2] посредством f (0) = 0 и f ( x ) = 1/log( x ) , в противном случае является непрерывной и, следовательно, равномерно непрерывной по теореме Гейне-Кантора . Однако оно не удовлетворяет условию Гёльдера любого порядка.
• Функция Вейерштрасса определяется следующим образом: где – целое число и является непрерывным по α -Гельдеру с ^[1] $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ ${\displaystyle 0<a<1,b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$ $${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• Функция Кантора непрерывна по Гельдеру для любого показателя степени и не большего. В первом случае неравенство определения справедливо с константой C  := 2 . ${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$
• Кривые Пеано из [0, 1] на квадрат [0, 1] ² можно построить так, чтобы они были 1/2–непрерывными по Гельдеру. Можно доказать, что при этом образ -гельдеровской непрерывной функции от единичного интервала до квадрата не может заполнить квадрат. ${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \alpha }$
• Выборочные траектории броуновского движения почти наверняка всюду локально -гельдеровы для каждого . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$
• Функции, локально интегрируемые и интегралы которых удовлетворяют соответствующему условию роста, также являются гельдеровскими. Например, если мы пусть и u удовлетворяет , то u непрерывен по Гёльдеру с показателем α . ^[2] $${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$ $${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$
• Функции, колебания которых затухают с фиксированной скоростью относительно расстояния, являются непрерывными по Гельдеру с показателем степени, определяемым скоростью затухания. Например, если для некоторой функции u ( x ) выполняется для фиксированного λ с 0 < λ < 1 и всех достаточно малых значений r , то u непрерывна по Гёльдеру. $${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$ $${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$
• Функции в пространстве Соболева могут быть вложены в соответствующее пространство Гёльдера с помощью неравенства Морри , если пространственная размерность меньше показателя степени пространства Соболева. Точнее ^, если тогда существует константа C , зависящая только от p и n , такая ^, что ^:​​​​ ​переопределено на множестве меры 0. ${\displaystyle n<p\leq \infty }$ $${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$ ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$

Характеристики

• Замкнутая аддитивная подгруппа бесконечномерного гильбертова пространства H , соединенная α –гёльдеровыми дугами с α > 1/2 , является линейным подпространством. В H существуют замкнутые аддитивные подгруппы , а не линейные подпространства, соединенные 1/2–непрерывными по Гельдеру дугами. Примером может служить аддитивная ^{подгруппа} L2 ( R , Z ) гильбертова пространства L2 ⁽ R , R ) .
• Любая α –непрерывная по _{Гельдеру} функция f в метрическом пространстве X допускает липшицеву аппроксимацию с помощью последовательности функций ( fk ) такой, что _fk является k - _{липшицевой} и, наоборот, любая такая последовательность ( fk ) липшицевых функций сходится к α – Гёльдеровский непрерывный равномерный предел f . $${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$
• Любая α – функция Гельдера f на подмножестве X нормированного пространства E допускает равномерно непрерывное расширение на все пространство, которое является непрерывным по Гельдеру с той же константой C и тем же показателем α . Самое большое такое расширение: $${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• Образ любой относительно α –функции Гёльдера имеет не более хаусдорфовой размерности , где – хаусдорфова размерность . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$ ${\displaystyle \dim _{H}(U)}$ ${\displaystyle U}$
• Пространство неразделимо. ${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$
• Вложение не плотное. ${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$
• Если и удовлетворяют на гладкой дуге L условиям и соответственно, то функции и удовлетворяют условию на L , где . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle H(\mu )}$ ${\displaystyle H(\nu )}$ ${\displaystyle f(t)+g(t)}$ ${\displaystyle f(t)g(t)}$ ${\displaystyle H(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$

Смотрите также

• р -вариация

Примечания

1. Харди, GH (1916). «Недифференцируемая функция Вейерштрасса». Труды Американского математического общества . 17 (3): 301–325. дои : 10.2307/1989005. JSTOR  1989005.
2. См., например, Хан и Линь, глава 3, раздел 1. Первоначально этот результат был получен Серджио Кампанато .

Рекомендации

• Лоуренс К. Эванс (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество, Провиденс. ISBN 0-8218-0772-2.
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-41160-7..
• Хан, Цин; Линь, Фанхуа (1997). Эллиптические уравнения в частных производных . Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта . ISBN 0-9658703-0-8. ОСЛК  38168365. МР 1669352