Диофантово приближение

Рациональное приближение действительного числа

Лучшие рациональные аппроксимации для π (зеленый круг), e (синий ромб), ϕ (розовый продолговатый), (√3)/2 (серый шестиугольник), 1/√2 (красный восьмиугольник) и 1/√3 (оранжевый треугольник), вычисленные из их непрерывных дробных расширений, изображенные в виде наклонов y / x с ошибками относительно их истинных значений (черные штрихи)  

• в
• т
• е

В теории чисел изучение диофантовых приближений имеет дело с приближением действительных чисел рациональными числами . Оно названо в честь Диофанта Александрийского .

Первая задача состояла в том, чтобы узнать, насколько хорошо действительное число может быть приближено рациональными числами. Для этой задачи рациональное число p / q является «хорошим» приближением действительного числа α, если абсолютное значение разности между p / q и α не может уменьшиться, если p / q заменить другим рациональным числом с меньшим знаменателем. Эта задача была решена в 18 веке с помощью цепных дробей .

Зная "лучшие" приближения заданного числа, главная проблема поля состоит в том, чтобы найти точные верхние и нижние границы вышеуказанной разности, выраженные как функция знаменателя . Похоже, что эти границы зависят от природы действительных чисел, которые должны быть приближены: нижняя граница для приближения рационального числа другим рациональным числом больше нижней границы для алгебраических чисел , которая сама по себе больше нижней границы для всех действительных чисел. Таким образом, действительное число, которое может быть приближено лучше, чем граница для алгебраических чисел, безусловно, является трансцендентным числом .

Эти знания позволили Лиувиллю в 1844 году получить первое явное трансцендентное число. Позднее доказательства того, что π и e являются трансцендентными, были получены аналогичным методом.

Диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел — очень близкие области, которые разделяют много теорем и методов. Диофантовы приближения также имеют важные приложения в изучении диофантовых уравнений .

Медаль Филдса 2022 года была присуждена Джеймсу Мейнарду за его работу по диофантовым приближениям.

Наилучшие диофантовы приближения действительного числа

Для данного действительного числа α существует два способа определить наилучшее диофантово приближение α . Для первого определения ^[1] рациональное число p / q является наилучшим диофантовым приближением α , если

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

для каждого рационального числа p' / q', отличного от p / q, такого, что 0 < q ′ ≤  q .

Для второго определения ^{[2] [3]} указанное выше неравенство заменяется на

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Наилучшее приближение для второго определения также является наилучшим приближением для первого, но обратное в общем случае неверно. ^[4]

Теория цепных дробей позволяет нам вычислять наилучшие приближения действительного числа: для второго определения это подходящие дроби его выражения в виде правильной цепной дроби. ^{[3] [4] [5]} Для первого определения необходимо рассмотреть также полуподходящие дроби . ^[1]

Например, константа e = 2,718281828459045235... имеет (правильное) представление в виде цепной дроби

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Наилучшими приближениями для второго определения являются:

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

в то время как для первого определения они являются

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Мера точности приближений

Очевидная мера точности диофантова приближения действительного числа α рациональным числом p / q равна Однако эту величину всегда можно сделать сколь угодно малой, увеличив абсолютные значения p и q ; таким образом, точность приближения обычно оценивается путем сравнения этой величины с некоторой функцией φ знаменателя q , как правило, с его отрицательной степенью. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Для такого сравнения могут потребоваться верхние или нижние границы точности. Нижняя граница обычно описывается теоремой типа «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел и каждого рационального числа p / q имеем ». В некоторых случаях «каждое рациональное число» можно заменить на «все рациональные числа, за исключением конечного их числа», что равносильно умножению φ на некоторую константу, зависящую от α . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

Для верхних оценок следует учитывать, что не все «лучшие» диофантовы приближения, обеспечиваемые конвергентами, могут иметь желаемую точность. Поэтому теоремы принимают вид «для каждого элемента α некоторого подмножества действительных чисел существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что ». ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Плохо аппроксимируемые числа

Плохо приближаемое число — это x , для которого существует положительная константа c, такая, что для всех рациональных p / q имеем

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Плохо приближаемые числа – это как раз те, у которых ограниченные частичные частные . ^[6]

Эквивалентно, число плохо приближается тогда и только тогда, когда его константа Маркова конечна, а его простая цепная дробь ограничена.

Нижние границы для диофантовых приближений

Приближение рационального числа другими рациональными числами

Рациональное число может быть очевидно и идеально приближено с помощью для каждого положительного целого числа i . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

Если у нас есть ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

поскольку является положительным целым числом и, следовательно, не меньше 1. Таким образом, точность аппроксимации плоха по сравнению с иррациональными числами (см. следующие разделы). ${\displaystyle |aq-bp|}$

Можно заметить, что предыдущее доказательство использует вариант принципа ящика : неотрицательное целое число, отличное от 0, не меньше 1. Это, казалось бы, тривиальное замечание используется почти в каждом доказательстве нижних оценок диофантовых приближений, даже самых сложных.

Подводя итог, можно сказать, что рациональное число идеально аппроксимируется самим собой, но плохо аппроксимируется любым другим рациональным числом.

Приближение алгебраических чисел, результат Лиувилля

В 1840-х годах Жозеф Лиувилль получил первую нижнюю границу для приближения алгебраических чисел : если x — иррациональное алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существует константа c ( x ) > 0 такая, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

справедливо для всех целых чисел p и q, где q > 0 .

Этот результат позволил ему получить первый доказанный пример трансцендентного числа — константу Лиувилля.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

что не удовлетворяет теореме Лиувилля, какая бы степень n ни была выбрана.

Эта связь между диофантовыми приближениями и трансцендентной теорией чисел продолжается и по сей день. Многие из методов доказательства являются общими для этих двух областей.

Приближение алгебраических чисел, теорема Туэ–Зигеля–Рота

На протяжении более чем столетия было предпринято много попыток улучшить теорему Лиувилля: каждое улучшение границы позволяет нам доказать, что больше чисел являются трансцендентными. Основные улучшения принадлежат Акселю Туэ  (1909), Зигелю  (1921), Фримену Дайсону  (1947) и Клаусу Роту  (1955), что в конечном итоге привело к теореме Туэ–Зигеля–Рота: если x — иррациональное алгебраическое число и ε > 0 , то существует положительное действительное число c ( x , ε ) такое, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

справедливо для любых целых чисел p и q, таких что q > 0 .

В некотором смысле этот результат является оптимальным, поскольку теорема была бы ложной при ε  = 0. Это является непосредственным следствием верхних границ, описанных ниже.

Одновременные приближения алгебраических чисел

Впоследствии Вольфганг М. Шмидт обобщил это на случай одновременных приближений, доказав, что: Если x ₁ , ..., x _n — алгебраические числа, такие, что 1, x ₁ , ..., x _n линейно независимы над рациональными числами, а ε — любое заданное положительное действительное число, то существует лишь конечное число рациональных n -кортежей ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) таких, что

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Опять же, этот результат является оптимальным в том смысле, что из показателя степени можно не удалять ε .

Эффективные границы

Все предыдущие нижние оценки неэффективны в том смысле, что доказательства не предоставляют никакого способа вычисления константы, подразумеваемой в утверждениях. Это означает, что нельзя использовать результаты или их доказательства для получения оценок размера решений связанных диофантовых уравнений. Однако эти методы и результаты часто можно использовать для оценки числа решений таких уравнений.

Тем не менее, уточнение теоремы Бейкера Фельдманом дает эффективную границу: если x — алгебраическое число степени n над рациональными числами, то существуют эффективно вычислимые константы c ( x ) > 0 и 0 <  d ( x ) <  n такие, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

справедливо для всех рациональных целых чисел.

Однако, как и для любой эффективной версии теоремы Бейкера, константы d и 1/ c настолько велики, что этот эффективный результат невозможно использовать на практике.

Верхние границы для диофантовых приближений

Общая верхняя граница

Первым важным результатом о верхних границах диофантовых приближений является теорема Дирихле об аппроксимации , которая подразумевает, что для каждого иррационального числа α существует бесконечно много дробей таких, что ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Из этого сразу следует, что нельзя исключить ε из формулировки теоремы Туэ-Зигеля-Рота.

Адольф Гурвиц (1891) ^[7] усилил этот результат, доказав, что для каждого иррационального числа α существует бесконечно много дробей таких, что ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Следовательно, является верхней границей для диофантовых приближений любого иррационального числа. Константа в этом результате не может быть улучшена без исключения некоторых иррациональных чисел (см. ниже). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Эмиль Борель (1903) ^[8] показал, что на самом деле для любого иррационального числа α и трех последовательных подходящих дробей α по крайней мере одна из них должна удовлетворять неравенству, приведенному в теореме Гурвица.

Эквивалентные действительные числа

Определение : Два действительных числа называются эквивалентными ^{[9] [10],} если существуют целые числа с такими, что: ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle a,b,c,d\;}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Итак, эквивалентность определяется целочисленным преобразованием Мёбиуса на действительных числах или членом Модулярной группы , множества обратимых матриц 2 × 2 над целыми числами. Каждое рациональное число эквивалентно 0; таким образом, рациональные числа являются классом эквивалентности для этого отношения. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

Эквивалентность может быть прочитана в представлении регулярной цепной дроби, как показано в следующей теореме Серрета :

Теорема : Два иррациональных числа x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют два положительных целых числа h и k, такие, что представления x и y в виде правильной цепной дроби

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

удовлетворять

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

для каждого неотрицательного целого числа i . ^[11]

Таким образом, за исключением конечной начальной последовательности, эквивалентные числа имеют одинаковое представление в виде цепной дроби.

Эквивалентные числа приближаются в одинаковой степени в том смысле, что они имеют одинаковую константу Маркова .

Спектр Лагранжа

Как сказано выше, константа в теореме Бореля не может быть улучшена, как показал Адольф Гурвиц в 1891 году. ^[12] Пусть будет золотым сечением . Тогда для любой действительной константы c с существует только конечное число рациональных чисел p / q таких, что ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Следовательно, улучшение может быть достигнуто только в том случае, если исключить числа, эквивалентные . Точнее: ^{[13] [14]} Для каждого иррационального числа , которое не эквивалентно , существует бесконечное множество дробей таких, что ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Путем последовательных исключений — далее необходимо исключить числа, эквивалентные — все большего и большего числа классов эквивалентности, нижняя граница может быть еще больше расширена. Значения, которые могут быть получены таким образом, являются числами Лагранжа , которые являются частью спектра Лагранжа . Они сходятся к числу 3 и связаны с числами Маркова . ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теорема Хинчина о метрических диофантовых приближениях и расширениях

Пусть будет положительной действительной функцией от положительных целых чисел (т.е. положительной последовательности) такой, что является невозрастающей. Действительное число x (не обязательно алгебраическое) называется - аппроксимируемым, если существует бесконечно много рациональных чисел p / q таких, что ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle q\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Александр Хинчин доказал в 1926 году, что если ряд расходится, то почти каждое действительное число (в смысле меры Лебега ) является -аппроксимируемым, а если ряд сходится, то почти каждое действительное число не является -аппроксимируемым. Круг идей, окружающих эту теорему и родственные ей теоремы, известен как метрические диофантовы приближения или метрическая теория диофантовых приближений (не путать с высотными "метриками" в диофантовой геометрии ) или метрическая теория чисел . ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Даффин и Шеффер (1941) доказали обобщение результата Хинчина и выдвинули то, что сейчас известно как гипотеза Даффина–Шеффера об аналоге дихотомии Хинчина для общих, не обязательно убывающих, последовательностей . Бересневич и Велани (2006) доказали, что аналог меры Хаусдорфа гипотезы Даффина–Шеффера эквивалентен исходной гипотезе Даффина–Шеффера, которая априори слабее. В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили о доказательстве гипотезы. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \psi }$

Хаусдорфова размерность исключительных множеств

Важным примером функции, к которой может быть применена теорема Хинчина, является функция , где c  > 1 — действительное число. Для этой функции соответствующий ряд сходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждая точка не является -аппроксимируемой. Таким образом, множество чисел, которые -аппроксимируемы, образует подмножество действительной прямой меры Лебега нуль. Теорема Ярника-Безиковича, принадлежащая В. Ярнику и А. С. Безиковичу , утверждает, что размерность Хаусдорфа этого множества равна . ^[19] В частности, множество чисел, которые -аппроксимируемы для некоторых (известное как множество очень хорошо аппроксимируемых чисел ), имеет размерность Хаусдорфа один, в то время как множество чисел, которые -аппроксимируемы для всех (известное как множество чисел Лиувилля ), имеет размерность Хаусдорфа нуль. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$

Другим важным примером является функция , где — действительное число. Для этой функции соответствующий ряд расходится, и поэтому теорема Хинчина говорит нам, что почти каждое число является -аппроксимируемым. Это то же самое, что сказать, что каждое такое число является хорошо аппроксимируемым , где число называется хорошо аппроксимируемым, если оно не является плохо аппроксимируемым. Поэтому подходящий аналог теоремы Ярника-Безиковича должен касаться размерности Хаусдорфа множества плохо аппроксимируемых чисел. И действительно, В. Ярник доказал, что размерность Хаусдорфа этого множества равна единице. Этот результат был улучшен В. М. Шмидтом , который показал, что множество плохо аппроксимируемых чисел является несжимаемым , то есть если — последовательность билипшицевых отображений, то множество чисел x , для которых все плохо аппроксимируемы, имеет размерность Хаусдорфа один. Шмидт также обобщил теорему Ярника на более высокие измерения, что является значительным достижением, поскольку аргумент Ярника по сути одномерен и основан на аппарате цепных дробей. ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Равномерное распределение

Другая тема, которая получила тщательное развитие, — это теория равномерного распределения mod 1. Возьмем последовательность a ₁ , a ₂ , ... действительных чисел и рассмотрим их дробные части . То есть, более абстрактно, рассмотрим последовательность в , которая является окружностью. Для любого интервала I на окружности мы смотрим на долю элементов последовательности, которые лежат в нем, вплоть до некоторого целого числа N , и сравниваем ее с долей окружности, занимаемой I . Равномерное распределение означает, что в пределе, по мере роста N , доля попаданий на интервал стремится к «ожидаемому» значению. Герман Вейль доказал основной результат , показывающий, что это эквивалентно границам для показательных сумм, образованных из последовательности. Это показало, что результаты диофантовых приближений тесно связаны с общей проблемой сокращения показательных сумм, которая встречается во всей аналитической теории чисел при ограничении членов погрешности. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

С равномерным распределением связана тема неравномерности распределения , которая имеет комбинаторный характер.

Алгоритмы

Гротшель, Ловас и Шрайвер описывают алгоритмы для нахождения приблизительно наилучших диофантовых приближений, как для отдельных действительных чисел, так и для набора действительных чисел. Последняя задача называется одновременным диофантовым приближением . ^{[20] : Раздел 5.2}

Нерешенные проблемы

В диофантовых приближениях все еще остаются просто сформулированные нерешенные проблемы, например, гипотеза Литтлвуда и гипотеза одинокого бегуна . Также неизвестно, существуют ли алгебраические числа с неограниченными коэффициентами в их разложении в цепную дробь.

Последние события

В своем пленарном докладе на Международном математическом конгрессе в Киото (1990) Григорий Маргулис изложил широкую программу, основанную на эргодической теории , которая позволяет доказывать результаты теории чисел, используя динамические и эргодические свойства действий подгрупп полупростых групп Ли . Работы Д. Клейнбока, Г. Маргулиса и их сотрудников продемонстрировали мощь этого нового подхода к классическим проблемам в диофантовых приближениях. Среди его заметных успехов — доказательство гипотезы Оппенгейма десятилетней давности Маргулисом с более поздними расширениями Дани и Маргулисом и Эскиным–Маргулисом–Мозесом, а также доказательство гипотез Бейкера и Спринджука в диофантовых приближениях на многообразиях Клейнбоком и Маргулисом. Различные обобщения приведенных выше результатов Александра Хинчина в метрических диофантовых приближениях также были получены в рамках этой структуры.

Смотрите также

• Теорема Дэвенпорта–Шмидта
• Теорема Даффина–Шеффера
• Хайльбронн сет
• Последовательность с низким расхождением

Примечания

1. Хинчин 1997, стр. 21
2. Касселс 1957, стр. 2
3. Lang 1995, стр. 9
4. Хинчин 1997, стр. 24
5. Касселс 1957, стр. 5–8.
6. Бюжо 2012, стр. 245
7. Гурвиц 1891, стр. 279
8. Перрон 1913, Глава 2, Теорема 15
9. Гурвиц 1891, стр. 284
10. Харди и Райт 1979, Глава 10.11
11. См. Perron 1929, Глава 2, Теорема 23, стр. 63.
12. Харди и Райт 1979, стр. 164
13. Касселс 1957, стр. 11
14. Гурвиц 1891
15. Касселс 1957, стр. 18
16. См. Мишель Вальдшмидт: Введение в диофантовы методы, иррациональность и трансцендентность. Архивировано 09.02.2012 на Wayback Machine , стр. 24–26.
17. Кукулопулос, Д.; Мейнард, Дж. (2019). «О гипотезе Даффина–Шеффера». arXiv : 1907.04593 [math.NT].
18. Сломан, Лейла (2019). «Новое доказательство решает 80-летнюю проблему иррациональных чисел». Scientific American .
19. Берник и др. 2013, стр. 24
20. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, г-н  1261419

Ссылки

• Бересневич, Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип переноса масс и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Annals of Mathematics . 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . doi :10.4007/annals.2006.164.971. S2CID  14475449. Zbl  1148.11033.
• Берник, В.; Бересневич В.; Гетце, Ф.; Куксо, О. (2013). «Распределение алгебраических чисел и метрическая теория диофантова приближения». В Эйхельсбахере, Питер; Эльснер, Гвидо; Кестерс, Хольгер; Лёве, Матиас; Меркль, Франц; Роллес, Силке (ред.). Предельные теоремы в теории вероятностей, статистике и теории чисел: в честь Фридриха Гетце . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 42. Гейдельберг: Шпрингер. стр. 23–48. дои : 10.1007/978-3-642-36068-8_2. МР  3079136. S2CID  55652124.
• Бюжо, Ян (2012). Распределение по модулю один и диофантовы приближения . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 193. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0. Збл  1260.11001.
• Касселс, Дж. В. С. (1957). Введение в диофантовы приближения . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том 45. Издательство Кембриджского университета .
• Даффин, Р. Дж.; Шеффер, А. К. (1941). «Проблема Хинчина в метрических диофантовых приближениях». Duke Mathematical Journal . 8 (2): 243–255. doi :10.1215/s0012-7094-41-00818-9. ISSN  0012-7094. Zbl  0025.11002.
• Дайсон, Фримен Дж. (1947). «Приближение алгебраических чисел рациональными числами». Acta Mathematica . 79 : 225–240. doi : 10.1007/BF02404697 . ISSN  0001-5962. MR  0023854. Zbl  0030.02101.
• Харди, ГХ ; Райт, ЭМ (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853170-8. МР  0568909.
• Гурвиц, А. (1891). «Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch рациональное Brüche» [О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 39 (2): 279–284. дои : 10.1007/BF01206656. MR  1510702. S2CID  119535189.
• Хинчин, А. Я. (1997) [1964]. Цепные дроби . Дувр. ISBN 0-486-69630-8.
• Клейнбок, DY; Маргулис, GA (1998). «Потоки на однородных пространствах и диофантовы приближения на многообразиях». Ann. Math . 148 (1): 339–360. arXiv : math/9810036 . Bibcode : 1998math.....10036K. doi : 10.2307/120997. JSTOR  120997. MR  1652916. S2CID  8471125. Zbl  0922.11061.
• Ланг, Серж (1995). Введение в диофантовы приближения (Новое расширенное издание). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94456-7. Збл  0826.11030.
• Маргулис, GA (2002). «Диофантовы приближения, решетки и потоки на однородных пространствах». В Wüstholz, Gisbert (ред.). Панорама теории чисел или вид из сада Бейкера . Кембридж: Cambridge University Press . стр. 280–310. ISBN 0-521-80799-9. МР  1975458.
• Перрон, Оскар (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Теория непрерывных дробей ] (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Перрон, Оскар (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Теория непрерывных дробей ] (на немецком языке) (2-е изд.). Челси.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Рот, Клаус Фридрих (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Mathematika . 2 : 1–20, 168. doi :10.1112/S0025579300000644. ISSN  0025-5793. MR  0072182. Zbl  0064.28501.
• Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантово приближение . Конспект лекций по математике. Том. 785 (изд. 1996 г.). Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-09762-7. Збл  0421.10019.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Т. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Збл  0754.11020.
• Сигель, Карл Людвиг (1921). «Аппроксимационный алгебраист Зален». Mathematische Zeitschrift . 10 (3): 173–213. дои : 10.1007/BF01211608. ISSN  0025-5874. S2CID  119577458.
• Спринджук, Владимир Г. (1979). Метрическая теория диофантовых приближений . Scripta Series in Mathematics. Перевод с русского и ред. Ричарда А. Сильвермана. С предисловием Дональда Дж. Ньюмена. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-26706-2. MR  0548467. Zbl  0482.10047.
• Туэ, А. (1909). «Über Annäherungswerte алгебраический Zahlen». Журнал для королевы и математики . 1909 (135): 284–305. дои : 10.1515/crll.1909.135.284. ISSN  0075-4102. S2CID  125903243.

Внешние ссылки

• Диофантовы приближения: исторический обзор Архивировано 14.02.2012 на Wayback Machine . Из курса «Введение в диофантовы методы» Мишеля Вальдшмидта .
• «Диофантовы приближения», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]