Теория чисел

Математика целочисленных свойств

Распределение простых чисел является центральным вопросом изучения теории чисел. Эта спираль Улама служит иллюстрацией этого, намекая, в частности, на условную независимость между тем, чтобы быть простым и быть значением некоторых квадратичных многочленов.

Теория чисел (или арифметика или высшая арифметика в старом использовании) — это раздел чистой математики , посвященный в первую очередь изучению целых чисел и арифметических функций . Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) сказал: «Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». ^[1] Теоретики чисел изучают простые числа , а также свойства математических объектов , построенных из целых чисел (например, рациональных чисел ) или определяемых как обобщения целых чисел (например, алгебраических целых чисел ).

Целые числа можно рассматривать либо сами по себе, либо как решения уравнений ( Диофантова геометрия ). Вопросы теории чисел часто лучше всего понять посредством изучения аналитических объектов (например, дзета-функции Римана ), которые каким-либо образом кодируют свойства целых, простых чисел или других теоретико-числовых объектов ( аналитическая теория чисел ). Можно также изучать действительные числа по отношению к рациональным числам, например, при приближении последних ( диофантово приближение ).

Старый термин теории чисел — арифметика . К началу двадцатого века ее заменила «теория чисел». ^{[примечание 1]} (Слово « арифметика » используется широкой публикой для обозначения « элементарных вычислений »; оно также приобрело другие значения в математической логике , как в арифметике Пеано , и в информатике , как в арифметике с плавающей запятой .) Использование термина «арифметика» в теории чисел вновь приобрело популярность во второй половине 20-го века, возможно, отчасти из-за французского влияния. ^{[примечание 2]} В частности, арифметический обычно предпочтительнее прилагательного к теоретико-числовому .

История

Происхождение

Рассвет арифметики

Планшет Плимптон 322

Самая ранняя историческая находка арифметического характера — фрагмент таблицы: разбитая глиняная табличка Плимптон 322 ( Ларса, Месопотамия , ок. 1800 г. до н.э.) содержит список « пифагорейских троек », то есть целых чисел таких, что . Троек слишком много и они слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой . Заголовок над первой колонкой гласит: «Такилтум диагонали , вычтенной так, что ширина...» ^[2] ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Расположение таблицы позволяет предположить ^[3] , что она была построена с помощью того, что, выражаясь современным языком, означает тождество

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

что подразумевается в рутинных древневавилонских упражнениях. ^[4] Если использовался какой-то другой метод, ^[5] тройки сначала создавались, а затем переупорядочивались с помощью , предположительно для фактического использования в качестве «таблицы», например, с целью применения. ${\displaystyle c/a}$

Неизвестно, что это были за приложения и могли ли они быть; Вавилонская астрономия , например, по-настоящему вступила в свои права лишь позже. Вместо этого было высказано предположение, что таблица была источником числовых примеров для школьных задач. ^{[6] [примечание 3]}

Хотя вавилонская теория чисел — или то, что сохранилось от вавилонской математики и что можно так назвать, — состоит из этого единственного поразительного фрагмента, вавилонская алгебра (в школьном смысле слова « алгебра ») была исключительно хорошо развита. ^[7] Поздненеоплатонические источники ^[8] утверждают, что Пифагор учился математике у вавилонян. Гораздо более ранние источники ^[9] утверждают, что Фалес и Пифагор путешествовали и учились в Египте .

Евклид IX 21–34, весьма вероятно, был пифагорейцем; ^[10] это очень простой материал («нечетное число — четное», «если нечетное число измеряет [= делит] четное число, то оно также измеряет [= делит] половину его»), но это все, что необходимо доказать, что это иррационально . ^[11] Пифагорейские мистики придавали большое значение четному и нечетному. ^[12] Иррациональное открытие приписывается ранним пифагорейцам (до Теодора ). ^[13] Открыв (в современных терминах), что числа могут быть иррациональными, это открытие, похоже, спровоцировало первый фундаментальный кризис в математической истории; его доказательство или его разглашение иногда приписывают Гиппасу , который был исключен или отделился от пифагорейской секты. ^[14] Это заставило провести различие между числами (целыми и рациональными числами — предметами арифметики), с одной стороны, и длинами и пропорциями (которые мы отождествляли бы с действительными числами, рациональными или нет), с другой стороны. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пифагорейская традиция говорила также о так называемых многоугольных или фигурных числах . ^[15] Хотя квадратные числа , кубические числа и т. д. сейчас считаются более естественными, чем треугольные числа , пятиугольные числа и т. д., изучение сумм треугольных и пятиугольных чисел оказалось бы плодотворным в период раннего Нового времени (с XVII по начало 19 века).

Мы не знаем ни одного четко арифметического материала ни в древнеегипетских , ни в ведических источниках, хотя в каждом из них есть некоторая алгебраическая составляющая. Китайская теорема об остатках появляется как упражнение ^[16] в Суньцзы Суаньцзин (3, 4 или 5 века н. э.). ^[17] (В решении Сунци умалчивается один важный шаг: ^{[примечание 4]} это проблема, которая была позже решена Куттакой Арьябхаты – см. ниже.)

В китайской математике также присутствует некоторый числовой мистицизм, ^{[примечание 5]} , но, в отличие от мистицизма пифагорейцев, он, похоже, ни к чему не привел. Подобно совершенным числам Пифагора , магические квадраты из суеверия превратились в развлечение .

Классическая Греция и ранний эллинистический период

За исключением нескольких фрагментов, математика классической Греции известна нам либо по сообщениям современных ему нематематиков, либо по математическим трудам раннего эллинистического периода . ^[18] В случае теории чисел это означает, по большому счету, Платона и Евклида соответственно.

Хотя азиатская математика повлияла на греческое и эллинистическое обучение, похоже, что греческая математика также является местной традицией.

Евсевий , PE X, глава 4 упоминает Пифагора :

«Действительно, упомянутый Пифагор, усердно изучая мудрость каждого народа, посетил Вавилон, и Египет, и всю Персию, получая наставления от магов и жрецов: и вдобавок к этому он, как сообщается, учился у брахманов ( это индийские философы); и от одних он почерпнул астрологию, от других геометрию, от третьих арифметику и музыку, и разные вещи от разных народов, и только от мудрецов Греции он ничего не получил, поскольку они были женаты на бедность и недостаток мудрости: так, напротив, он сам стал автором наставления греков в знаниях, которые он приобрел из-за границы». ^[19]

Аристотель утверждал, что философия Платона тесно следовала учению пифагорейцев, ^[20] и Цицерон повторяет это утверждение: Platonemferunt Didicisse Pythagorea omnia («Говорят, что Платон изучил все пифагорейское»). ^[21]

Платон проявлял большой интерес к математике и четко различал арифметику и расчет. (Под арифметикой он частично имел в виду теоретизирование чисел, а не то, что стали означать арифметика или теория чисел .) Именно из одного из диалогов Платона, а именно «Теэтета », мы знаем, что Теодор доказал, что они иррациональны. Теэтет , как и Платон, был учеником Феодора; он работал над различением различных видов несоизмеримых величин и, таким образом, возможно, был пионером в изучении систем счисления . (Книга X « Начал» Евклида описана Паппом как во многом основанная на трудах Теэтета.) ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$

Евклид часть своих «Начал» посвятил простым числам и делимости — темам, которые однозначно принадлежат теории чисел и являются для нее основными (книги VII–IX «Начал» Евклида). В частности, он дал алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух чисел ( алгоритм Евклида ; «Начала », предложение VII.2) и первое известное доказательство бесконечности простых чисел ( «Начала », предложение IX.20).

В 1773 году Лессинг опубликовал эпиграмму , которую он нашел в рукописи во время работы библиотекарем; оно утверждало, что это письмо, отправленное Архимедом Эратосфену . ^{[22] [23]} В эпиграмме предлагалось то, что стало известно как проблема Архимеда со скотом ; его решение (отсутствующее в рукописи) требует решения неопределенного квадратного уравнения (которое сводится к тому, что позже будет ошибочно названо уравнением Пелла ). Насколько нам известно, такие уравнения впервые были успешно рассмотрены индийской школой. Неизвестно, имел ли сам Архимед метод решения.

Диофант

Титульный лист издания 1621 года «Арифметики » Диофанта Александрийского , переведенного на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком.

О Диофанте Александрийском известно очень мало ; он, вероятно, жил в третьем веке нашей эры, то есть примерно через пятьсот лет после Евклида. Шесть из тринадцати книг « Арифметики» Диофанта сохранились в оригинальном греческом языке, а еще четыре сохранились в арабском переводе. Арифметика представляет собой набор разработанных задач, задача которых неизменно состоит в том, чтобы найти рациональные решения системы полиномиальных уравнений, обычно формы или . Таким образом, в настоящее время мы говорим о диофантовых уравнениях , когда говорим о полиномиальных уравнениях, для которых необходимо найти рациональные или целочисленные решения. ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$ ${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

Можно сказать, что Диофант изучал рациональные точки , т. е. точки, координаты которых рациональны, — на кривых и алгебраических многообразиях ; однако, в отличие от греков классического периода, которые делали то, что мы сейчас называем базовой алгеброй в геометрических терминах, Диофант делал то, что мы сейчас называем базовой алгебраической геометрией в чисто алгебраических терминах. В современном языке Диофант нашел рациональную параметризацию разновидностей; то есть, учитывая уравнение вида (скажем) , его цель состояла в том, чтобы найти (по существу) три рациональные функции такие, что для всех значений и установка для дает решение ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}$

Диофант также изучал уравнения некоторых нерациональных кривых, для которых невозможна рациональная параметризация. Ему удалось найти некоторые рациональные точки на этих кривых ( эллиптических кривых , как оказалось, это, по-видимому, первое известное их появление) с помощью того, что можно назвать касательной конструкцией: переведенной в координатную геометрию (которой не существовало во времена Диофанта). ), его метод можно было бы представить как проведение касательной к кривой в известной рациональной точке, а затем нахождение другой точки пересечения касательной с кривой; эта другая точка — новая рациональная точка. (Диофант также прибегал к тому, что можно было бы назвать частным случаем секущей конструкции.)

Хотя Диофанта в основном интересовали рациональные решения, он предполагал некоторые результаты о целых числах, в частности, что каждое целое число представляет собой сумму четырех квадратов (хотя он никогда не утверждал этого явно).

Арьябхата, Брахмагупта, Бхаскара

Хотя греческая астрономия, вероятно, повлияла на индийское образование, вплоть до введения тригонометрии , ^[24] похоже, что в остальном индийская математика является местной традицией; ^[25] в частности, нет никаких свидетельств того, что «Начала» Евклида достигли Индии до 18 века. ^[26]

Арьябхата (476–550 гг. н. э.) показал, что пары одновременных сравнений можно решить методом, который он назвал кутака , или распылителем ; ^[27] это процедура, близкая (обобщение) к алгоритму Евклида, который, вероятно, был открыт независимо в Индии. ^[28] Арьябхата, по-видимому, имел в виду приложения к астрономическим расчетам. ^[24] ${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$ ${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

Брахмагупта (628 г. н.э.) начал систематическое изучение неопределенных квадратных уравнений, в частности, ошибочно названного уравнения Пелла , которым, возможно, впервые заинтересовался Архимед и которое на Западе начали решать только во времена Ферма и Эйлера. Позже санскритские авторы последовали их примеру, используя техническую терминологию Брахмагупты. Общая процедура ( чакравала , или «циклический метод») решения уравнения Пелла была наконец найдена Джаядевой (цитируется в одиннадцатом веке; в противном случае его работа утеряна); самое раннее из сохранившихся изложений содержится в «Биджа-ганите» Бхаскары II (двенадцатый век). ^[29]

Индийская математика оставалась практически неизвестной в Европе до конца восемнадцатого века; ^[30] Работа Брахмагупты и Бхаскары была переведена на английский язык в 1817 году Генри Колбруком . ^[31]

Арифметика в золотой век ислама

Аль-Хайсам глазами Запада: на фронтисписе «Селенографии» Альхасен [ так в оригинале ] представляет знание через разум, а Галилей — знание через чувства.

В начале девятого века халиф Аль-Мамун заказал переводы многих греческих математических работ и, по крайней мере, одного санскритского труда (« Синдхинд» , который может ^[32] или не может ^[33] быть «Брахмасфутасиддхантой» Брахмагупты ) . Главный труд Диофанта, « Арифметика» , был переведен на арабский язык Кустой ибн Лукой (820–912). Часть трактата аль-Фахри ( аль-Караджи , 953 – ок. 1029) в некоторой степени опирается на него. По словам Рашида Рошди, современник Аль-Караджи Ибн аль-Хайсам знал ^[34] то, что позже будет названо теоремой Вильсона .

Западная Европа в средние века

За исключением трактата о квадратах в арифметической прогрессии Фибоначчи , который путешествовал и учился в Северной Африке и Константинополе, в Западной Европе в Средние века не существовало никакой теории чисел, о которой можно было бы говорить. Ситуация в Европе начала меняться в эпоху позднего Возрождения благодаря возобновлению изучения произведений греческой античности. Катализатором послужили текстовые исправления и перевод на латынь « Арифметики » Диофанта . ^[35]

Ранняя современная теория чисел

Ферма

Пьер де Ферма

Пьер де Ферма (1607–1665) никогда не публиковал своих сочинений; в частности, его работы по теории чисел почти полностью содержатся в письмах к математикам и в частных заметках на полях. ^[36] В своих записках и письмах он почти не писал никаких доказательств — у него не было образцов в этой области. ^[37]

За свою жизнь Ферма внес следующий вклад в эту область:

• Одним из первых интересов Ферма были совершенные числа (которые появляются у Евклида, «Начала IX») и дружественные числа ; ^{[примечание 6]} эти темы привели его к работе над целочисленными делителями , которые с самого начала были среди тем переписки (с 1636 г.), которая познакомила его с математическим сообществом того времени. ^[38]
• В 1638 году Ферма без доказательств заявил, что все целые числа могут быть выражены как сумма четырех квадратов или меньше. ^[39]
• Маленькая теорема Ферма (1640 г.): ^[40] если а не делится на простое число р , то ^{[примечание 7]} ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• Если a и b взаимно просты , то он не делится ни на одно простое число, конгруэнтное −1 по модулю 4; ^[41] и каждое простое число, соответствующее 1 по модулю 4, можно записать в виде . ^[42] Эти два заявления также датируются 1640 годом; в 1659 году Ферма заявил Гюйгенсу, что доказал последнее утверждение методом бесконечного спуска . ^[43] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• В 1657 году Ферма поставил перед английскими математиками задачу ее решения. Проблема была решена за несколько месяцев Уоллисом и Браункером. ^[44] Ферма посчитал их решение верным, но отметил, что они предоставили алгоритм без доказательства (как это сделали Джаядева и Бхаскара, хотя Ферма не знал об этом). Он заявил, что доказательство можно найти путем бесконечного спуска. ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• Ферма сформулировал и доказал (путем бесконечного спуска) в приложении к «Наблюдениям над Диофантом» (Obs. XLV) ^[45] , которая не имеет нетривиальных решений в целых числах. Ферма также упомянул своим корреспондентам, что не существует нетривиальных решений и что это также можно доказать бесконечным спуском. ^[46] Первое известное доказательство принадлежит Эйлеру (1753 г.; действительно, путем бесконечного спуска). ^[47] ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• Ферма утверждал ( Великая теорема Ферма ), что показал, что не существует решений для всех ; это утверждение появляется в его аннотациях на полях его копии Диофанта. ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Эйлер

Леонард Эйлер

Интерес Леонарда Эйлера (1707–1783) к теории чисел впервые возник в 1729 году, когда его друг, любитель ^{[примечание 8]} Гольдбах , указал ему на некоторые работы Ферма по этой теме. ^{[48] ​​[49]} Это было названо «возрождением» современной теории чисел, ^[50] после относительного отсутствия успеха Ферма в привлечении внимания своих современников к этому предмету. ^[51] Работы Эйлера по теории чисел включают следующее: ^[52]

• Доказательства утверждений Ферма. Сюда входит малая теорема Ферма (обобщенная Эйлером на непростые модули); тот факт, что тогда и только тогда, когда ; первоначальная работа по доказательству того, что каждое целое число является суммой четырех квадратов (первое полное доказательство принадлежит Жозефу-Луи Лагранжу (1770 г.), вскоре улучшенное самим Эйлером ^[53] ); отсутствие ненулевых целочисленных решений (подразумевается случай n=4 последней теоремы Ферма, случай n=3 , который Эйлер также доказал родственным методом). ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• Уравнение Пелла , впервые ошибочно названное Эйлером. ^[54] Он писал о связи между цепными дробями и уравнением Пелла. ^[55]
• Первые шаги к аналитической теории чисел. В своей работе о суммах четырех квадратов, разделах , пятиугольных числах и распределении простых чисел Эйлер впервые применил то, что можно рассматривать как анализ (в частности, бесконечные ряды) в теории чисел. Поскольку он жил до развития комплексного анализа , большая часть его работ ограничивается формальными манипуляциями со степенными рядами . Тем не менее, он провёл некоторые очень примечательные (хотя и не вполне строгие) ранние работы над тем, что позже будет названо дзета-функцией Римана . ^[56]
• Квадратичные формы . Следуя примеру Ферма, Эйлер провел дальнейшее исследование вопроса о том, какие простые числа могут быть выражены в форме , некоторые из которых являются прообразом квадратичной взаимности . ^{[57] [58] [59]} ${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$
• Диофантовы уравнения . Эйлер работал над некоторыми диофантовыми уравнениями рода 0 и 1. ^{[60] [61]} В частности, он изучал работы Диофанта; он пытался ее систематизировать, но время для такой попытки еще не пришло — алгебраическая геометрия все еще находилась в зачаточном состоянии. ^[62] Он заметил, что существует связь между диофантовыми задачами и эллиптическими интегралами , ^[62] исследование которых он сам инициировал.

«Это была проблема, которую я, десятилетний ребенок, мог понять, и с того момента я знал, что никогда не отпущу ее. Я должен был ее решить». ^[63] — Сэр Эндрю Уайлс о доказательстве Великой теоремы Ферма .

Лагранж, Лежандр и Гаусс.

«Арифметические исследования» Карла Фридриха Гаусса, первое издание.

Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) был первым, кто дал полные доказательства некоторых работ и наблюдений Ферма и Эйлера, например, теоремы четырех квадратов и базовой теории ошибочно названного «уравнения Пелля» (для которого алгоритмическое Решение было найдено Ферма и его современниками, а до них — Джаядевой и Бхаскарой II.) Он также изучал квадратичные формы в полной общности (в отличие от ) — определяя их отношение эквивалентности, показывая, как приводить их в приведенной форме и т. д. ${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$

Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) был первым, кто сформулировал закон квадратичной взаимности. Он также выдвинул гипотезу о том, что представляет собой теорему о простых числах и теорему Дирихле об арифметических прогрессиях . Он дал полную трактовку уравнения ^[64] и работал над квадратичными формами в направлении, позднее полностью развитом Гауссом. ^[65] В старости он был первым, кто доказал Великую теорему Ферма для (завершив работу Питера Густава Лежена Дирихле и указав как на него, так и на Софи Жермен ). ^[66] ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ ${\displaystyle n=5}$

Карл Фридрих Гаусс

В своих Disquisitiones Arithmeticae (1798) Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал закон квадратичной взаимности и развил теорию квадратичных форм (в частности, определив их состав). Он также ввел некоторые основные обозначения ( сравнения ) и посвятил раздел вычислительным вопросам, включая тесты на простоту. ^[67] Последний раздел «Рассуждений » установил связь между корнями единицы и теорией чисел:

Теория деления круга... которая рассматривается в разд. 7 само по себе не принадлежит арифметике, но его принципы могут быть извлечены только из высшей арифметики. ^[68]

Таким образом, Гаусс, возможно, совершил первый набег как на работу Эвариста Галуа , так и на алгебраическую теорию чисел .

Зрелость и разделение на подполя

Эрнст Куммер

Питер Густав Лежен Дирихле

Начиная с начала девятнадцатого века, постепенно происходили следующие события:

• Возникновение самосознания теории чисел (или высшей арифметики ) как области исследования. ^[69]
• Развитие большей части современной математики, необходимой для базовой современной теории чисел: комплексный анализ , теория групп , теория Галуа , — сопровождаемое большей строгостью анализа и абстракцией в алгебре.
• Грубое подразделение теории чисел на ее современные подполя, в частности, на аналитическую и алгебраическую теорию чисел.

Можно сказать, что алгебраическая теория чисел началась с изучения взаимности и циклотомии , но по-настоящему приобрела свою актуальность с развитием абстрактной алгебры и ранней идеальной теории и теории оценки ; см. ниже. Обычной отправной точкой аналитической теории чисел является теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (1837 г.), ^{[70] , [71]} , доказательство которой ввело L-функции и включало некоторый асимптотический анализ и предельный процесс для действительной переменной. ^[72] Первое использование аналитических идей в теории чисел фактически восходит к Эйлеру (1730-е годы), ^{[73] [74]} , который использовал формальные степенные ряды и нестрогие (или неявные) ограничивающие аргументы. Использование комплексного анализа в теории чисел появилось позже: канонической отправной точкой стала работа Бернхарда Римана (1859) о дзета-функции ; ^[75] Предшествовавшая ей теорема Якоби о четырех квадратах (1839 г.) принадлежит к первоначально другому направлению, которое к настоящему времени заняло ведущую роль в аналитической теории чисел ( модулярных формах ). ^[76]

История каждого подполя кратко рассмотрена в отдельном разделе ниже; более полную информацию см. в основной статье каждого подраздела. Многие наиболее интересные вопросы в каждом направлении остаются открытыми и активно прорабатываются.

Основные подразделения

Элементарная теория чисел

Термин «элементарный» обычно обозначает метод, который не использует комплексный анализ . Например, теорема о простых числах была впервые доказана с помощью комплексного анализа в 1896 году, но элементарное доказательство было найдено только в 1949 году Эрдешем и Сельбергом . ^[77] Термин несколько неоднозначен: например, доказательства, основанные на сложных тауберовых теоремах (например, Винера–Икехары ), часто рассматриваются как весьма поучительные, но не элементарные, несмотря на использование анализа Фурье , а не комплексного анализа как такового. Здесь, как и везде, элементарное доказательство может оказаться для большинства читателей длиннее и сложнее, чем неэлементарное.

Теоретики чисел Пол Эрдеш и Теренс Тао в 1985 году, когда Эрдешу было 72 года, а Тао - 10.

Теория чисел имеет репутацию области, многие результаты которой могут быть изложены непрофессионалу. В то же время доказательства этих результатов не особенно доступны, отчасти потому, что диапазон используемых ими инструментов в математике необычайно широк. ^[78]

Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ( s ) в комплексной плоскости . Цвет точки s дает значение ζ( s ): темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок дает аргумент значения .

Действие модулярной группы на верхней полуплоскости . Область, выделенная серым цветом, представляет собой стандартную фундаментальную область .

Аналитическая теория чисел может быть определена

• с точки зрения его инструментов, как изучение целых чисел с помощью инструментов реального и комплексного анализа; ^[70] или
• с точки зрения его проблем, как исследование в рамках теории чисел оценок размера и плотности, а не тождеств. ^[79]

Некоторые предметы, обычно считающиеся частью аналитической теории чисел, например, теория решета ^{[примечание 9],} лучше охватываются вторым, а не первым определением: например, в некоторых разделах теории решета мало анализа, ^{[примечание 10]} тем не менее, оно принадлежит аналитической теории чисел.

Ниже приведены примеры проблем аналитической теории чисел: теорема о простых числах , гипотеза Гольдбаха (или гипотеза о простых числах-близнецах , или гипотезы Харди–Литтлвуда ), проблема Варинга и гипотеза Римана . Одними из наиболее важных инструментов аналитической теории чисел являются метод окружности , методы решета и L-функции (вернее, исследование их свойств). Теория модульных форм (и, в более общем смысле, автоморфных форм ) также занимает все более центральное место в арсенале аналитической теории чисел. ^[80]

Можно задавать аналитические вопросы об алгебраических числах и использовать аналитические средства для ответа на такие вопросы; таким образом пересекаются алгебраическая и аналитическая теории чисел. Например, можно определить простые идеалы (обобщения простых чисел в области алгебраических чисел) и спросить, сколько существует простых идеалов до определенного размера. На этот вопрос можно ответить посредством изучения дзета-функций Дедекинда , которые являются обобщениями дзета-функции Римана , ключевого аналитического объекта, лежащего в основе предмета. ^[81] Это пример общей процедуры в аналитической теории чисел: получение информации о распределении последовательности ( здесь простых идеалов или простых чисел) из аналитического поведения соответствующим образом построенной комплексной функции. ^[82]

Алгебраическая теория чисел

Алгебраическим числом называется любое комплексное число , являющееся решением некоторого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами; например, каждое решение ( скажем) является алгебраическим числом. Поля алгебраических чисел также называют полями алгебраических чисел или сокращенно числовыми полями . Алгебраическая теория чисел изучает поля алгебраических чисел. ^[83] Таким образом, аналитическая и алгебраическая теории чисел могут пересекаться и действительно пересекаются: первая определяется ее методами, вторая - ее объектами исследования. ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

Можно утверждать, что простейший вид числовых полей (а именно, квадратичные поля) уже изучался Гауссом, поскольку обсуждение квадратичных форм в Disquisitiones arithmeticae можно переформулировать в терминах идеалов и норм в квадратичных полях. ( Квадратное поле состоит из всех чисел вида , где и – рациональные числа и представляет собой фиксированное рациональное число, квадратный корень которого не является рациональным.) В этом отношении метод чакравалы 11-го века представляет собой – в современных терминах – алгоритм для нахождения единиц действительного квадратичного числового поля. Однако ни Бхаскара, ни Гаусс не знали о числовых полях как таковых. ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle d}$

Основы предмета в том виде, в каком мы его знаем, были заложены в конце девятнадцатого века, когда были разработаны идеальные числа , теория идеалов и теория оценки ; это три взаимодополняющих способа решения проблемы отсутствия уникальной факторизации в полях алгебраических чисел. (Например, в поле, порожденном рациональными числами и , число может быть факторизовано как и ; все , , и несократимы и, таким образом, в наивном смысле аналогичны простым числам среди целых чисел.) Первоначальный стимул для Разработка идеальных чисел ( Куммером ), по-видимому, произошла в результате изучения высших законов взаимности, ^[84] , то есть обобщений квадратичной взаимности . ${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$

Числовые поля часто изучаются как расширения меньших числовых полей: поле L называется расширением поля K , если L содержит K. (Например, комплексные числа C являются расширением вещественных чисел R , а действительные числа R являются расширением рациональных чисел Q. ) Классификация возможных расширений данного числового поля является сложной и частично открытой проблемой. Абелевы расширения, то есть расширения L группы K такие, что группа Галуа ^{[примечание 11]} Gal( L / K ) группы L над K является абелевой группой , относительно хорошо изучены. Их классификация была предметом программы теории поля классов , которая была начата в конце 19 века (частично Кронекером и Эйзенштейном ) и осуществлена ​​в основном в 1900–1950 годах.

Примером активной области исследований в области алгебраической теории чисел является теория Ивасавы . Программа Ленглендса , один из основных нынешних крупномасштабных планов исследований в математике, иногда описывается как попытка обобщить теорию полей классов на неабелевы расширения числовых полей.

Диофантова геометрия

Центральная проблема диофантовой геометрии — определить, имеет ли диофантово уравнение решения и если да, то сколько. Принятый подход состоит в том, чтобы думать о решениях уравнения как о геометрическом объекте.

Например, уравнение с двумя переменными определяет кривую на плоскости. В более общем смысле уравнение или система уравнений с двумя или более переменными определяет кривую , поверхность или какой-либо другой подобный объект в n -мерном пространстве. В диофантовой геометрии спрашивают, есть ли на кривой или поверхности какие-либо рациональные точки (точки, все координаты которых являются рациональными) или целые точки (точки, все координаты которых являются целыми числами). Если такие точки есть, следующим шагом будет вопрос, сколько их и как они распределены. Основной вопрос в этом направлении состоит в том, имеется ли на данной кривой (или поверхности) конечное или бесконечное число рациональных точек.

В уравнении Пифагора мы хотели бы изучить его рациональные решения, то есть такие решения, что x и y оба рациональны. Это то же самое, что запросить все целочисленные решения для ; любое решение последнего уравнения дает нам решение первого . Это также то же самое, что запросить все точки с рациональными координатами на кривой, описываемой . (Эта кривая представляет собой круг радиуса 1 вокруг начала координат.) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle x=a/c}$ ${\displaystyle y=b/c}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Два примера эллиптической кривой , то есть кривой рода 1, имеющей хотя бы одну рациональную точку. (Любой граф можно рассматривать как срез тора в четырехмерном пространстве.)

Перефразирование вопросов об уравнениях в терминах точек на кривых оказывается удачным. Конечность или нет числа рациональных или целых точек на алгебраической кривой, то есть рациональных или целых решений уравнения , где – многочлен от двух переменных, решающим образом зависит от рода кривой. Род можно определить следующим образом: ^{[примечание 12]} позволяет переменным быть комплексными числами ; затем определяет двумерную поверхность в (проективном) четырехмерном пространстве (поскольку две комплексные переменные можно разложить на четыре действительные переменные, то есть четыре измерения). Если мы посчитаем количество отверстий (бубликов) на поверхности; мы называем это число родом . Другие геометрические понятия оказываются столь же важными. ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$

Существует также тесно связанная область диофантовых аппроксимаций : задано число , а затем выясняется, насколько хорошо оно может быть аппроксимировано рациональными числами. (Мы ищем приближения, которые хороши с точки зрения объема пространства, необходимого для записи рационального числа: вызовите (с ) хорошее приближение к if , где большое.) Этот вопрос представляет особый интерес, если — алгебраическое число. Если уравнение не может быть хорошо аппроксимировано, то некоторые уравнения не имеют целочисленных или рациональных решений. Более того, некоторые понятия (особенно понятие высоты ) оказываются критическими как в диофантовой геометрии, так и при изучении диофантовых приближений. Этот вопрос также представляет особый интерес в теории трансцендентных чисел : если число можно приблизить лучше, чем любое алгебраическое число, то оно является трансцендентным числом . Именно с помощью этого аргумента было показано, что π и e трансцендентны. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a/q}$ ${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Диофантову геометрию не следует путать с геометрией чисел , которая представляет собой совокупность графических методов для ответа на некоторые вопросы алгебраической теории чисел. Арифметическая геометрия , однако, является современным термином, обозначающим почти ту же область, что и термин « Диофантова геометрия» . Термин «арифметическая геометрия» , возможно, используется чаще всего, когда кто-то хочет подчеркнуть связь с современной алгебраической геометрией (как, например, в теореме Фалтингса ), а не с методами диофантовых приближений.

Другие подполя

Области ниже датируются не ранее середины двадцатого века, даже если они основаны на более древнем материале. Например, как объясняется ниже, тема алгоритмов в теории чисел очень стара, в некотором смысле старше, чем концепция доказательства; в то же время современные исследования вычислимости датируются лишь 1930-ми и 1940-ми годами, а теория сложности вычислений — 1970-ми годами.

Вероятностная теория чисел

Большую часть вероятностной теории чисел можно рассматривать как важный частный случай изучения переменных, которые почти, но не совсем, взаимно независимы . Например, событие, когда случайное целое число от одного до миллиона делится на два, и событие, когда оно делится на три, почти независимы, но не совсем.

Иногда говорят, что вероятностная комбинаторика использует тот факт, что все, что происходит с вероятностью большей, чем иногда должно происходить; С такой же справедливостью можно сказать, что многие приложения вероятностной теории чисел основаны на том факте, что все необычное должно быть редким. Если можно показать, что определенные алгебраические объекты (скажем, рациональные или целочисленные решения некоторых уравнений) находятся в хвосте определенных разумно определенных распределений, из этого следует, что их должно быть немного; это очень конкретное невероятностное утверждение, вытекающее из вероятностного. ${\displaystyle 0}$

Иногда нестрогий вероятностный подход приводит к ряду эвристических алгоритмов и открытых проблем, в частности, к гипотезе Крамера .

Арифметическая комбинаторика

Если мы начнем с довольно «толстого» бесконечного множества , много ли оно содержит элементов в арифметической прогрессии: , , скажем? Можно ли записывать большие целые числа как суммы элементов ? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$ ${\displaystyle A}$

Эти вопросы характерны для арифметической комбинаторики . В настоящее время это объединяющаяся область; она включает в себя аддитивную теорию чисел (которая занимается некоторыми очень специфическими наборами арифметических значений, такими как простые числа или квадраты) и, возможно, некоторые аспекты геометрии чисел вместе с некоторым быстро развивающимся новым материалом. Его внимание к проблемам роста и распределения частично объясняет его развивающиеся связи с эргодической теорией , теорией конечных групп , теорией моделей и другими областями. Также используется термин аддитивная комбинаторика ; однако изучаемые наборы не обязательно должны быть наборами целых чисел, а скорее подмножествами некоммутативных групп , для которых традиционно используется символ умножения, а не символ сложения; они также могут быть подмножествами колец , и в этом случае рост и · можно сравнивать. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Вычислительная теория чисел

Сито Лемера — примитивный цифровой компьютер , используемый для поиска простых чисел и решения простых диофантовых уравнений.

Хотя слово « алгоритм» известно лишь некоторым читателям аль-Хорезми , тщательные описания методов решения старше доказательств: такие методы (то есть алгоритмы) так же стары, как любая известная математика — древнеегипетская, вавилонская, ведическая, китайская. — тогда как доказательства появились только у греков классического периода.

Ранний случай — это то, что мы сейчас называем алгоритмом Евклида. В своей базовой форме (а именно, как алгоритм вычисления наибольшего общего делителя ) оно появляется как Предложение 2 Книги VII в «Началах» вместе с доказательством правильности. Однако в том виде, который часто используется в теории чисел (а именно, как алгоритм нахождения целочисленных решений уравнения или, что то же самое, для нахождения величин, существование которых обеспечивается китайской теоремой об остатках ), впервые появляется в работах Арьябхаты (V–VI века н.э.) как алгоритм, называемый кутака («измельчитель»), без доказательства правильности. ${\displaystyle ax+by=c}$

Есть два основных вопроса: «Можем ли мы это вычислить?» и «Можем ли мы это быстро вычислить?» Любой может проверить, является ли число простым, а если нет, разбить его на простые множители; сделать это быстро – другое дело. Теперь мы знаем быстрые алгоритмы проверки простоты , но, несмотря на большую работу (как теоретическую, так и практическую), по-настоящему быстрого алгоритма факторизации не существует.

Сложность вычислений может быть полезной: современные протоколы шифрования сообщений (например, RSA ) зависят от функций, которые известны всем, но чьи обратные значения известны только избранным, и для их вычисления потребуется слишком много времени. выйти самостоятельно. Например, эти функции могут быть такими, что их обратные значения можно вычислить только в том случае, если определенные большие целые числа факторизуются. Хотя известно множество сложных вычислительных задач, выходящих за рамки теории чисел, большинство работающих в настоящее время протоколов шифрования основаны на сложности нескольких теоретико-числовых задач.

Некоторые вещи вообще невозможно вычислить; на самом деле это можно доказать в некоторых случаях. Например, в 1970 году в качестве решения десятой проблемы Гильберта было доказано, что не существует машины Тьюринга , которая могла бы решить все диофантовы уравнения. ^[85] В частности, это означает, что для данного вычислимо перечислимого набора аксиом существуют диофантовы уравнения, для которых нет доказательства, начиная с аксиом, того, имеет или не имеет набор уравнений целочисленные решения. (Мы обязательно будем говорить о диофантовых уравнениях, для которых нет целочисленных решений, поскольку, если дано диофантово уравнение, имеющее хотя бы одно решение, само решение доказывает факт существования решения. Мы не можем доказать, что конкретное диофантово уравнение имеет хотя бы одно решение. уравнение именно такого типа, поскольку это означало бы, что оно не имеет решений.)

Приложения

Теоретик чисел Леонард Диксон (1874–1954) сказал: «Слава Богу, что теория чисел не запятнана никакими приложениями». Такая точка зрения больше не применима к теории чисел. ^[86] В 1974 году Дональд Кнут сказал: «Практически каждая теорема в элементарной теории чисел возникает естественным, мотивированным образом в связи с проблемой заставить компьютеры выполнять высокоскоростные численные вычисления». ^[87] Элементарная теория чисел преподается на курсах дискретной математики для специалистов по информатике ; с другой стороны, теория чисел также имеет приложения к непрерывному численному анализу . ^[88]

Теория чисел в настоящее время имеет несколько современных приложений, охватывающих различные области, такие как:

• Криптография : схемы шифрования с открытым ключом, такие как RSA, основаны на сложности разложения больших составных чисел на их простые множители. ^[89]
• Информатика : Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который используется для эффективного вычисления дискретного преобразования Фурье, имеет важные применения в обработке сигналов и анализе данных. ^[90]
• Физика : Гипотеза Римана связана с распределением простых чисел и изучалась на предмет ее потенциальных последствий в физике. ^[82]
• Коды с исправлением ошибок . Теория конечных полей и алгебраическая геометрия использовались для построения эффективных кодов с исправлением ошибок. ^[91]
• Связь. Проектирование сотовых телефонных сетей требует знания теории модульных форм , которая является частью аналитической теории чисел. ^[92]
• Изучение музыкальных гамм: концепция « равной темпераментности », лежащая в основе большинства современной западной музыки, предполагает деление октавы на 12 равных частей. ^[93] Это изучалось с использованием теории чисел и, в частности, свойств корня 12-й степени из 2.

Призы

Американское математическое общество присуждает премию Коула в области теории чисел . Более того, теория чисел — одна из трёх математических дисциплин, удостоенных премии Ферма .

Смотрите также

• Математический портал

• Поле алгебраической функции
• Конечное поле
• p-адическое число
• Список теоретико-числовых алгоритмов

Примечания

1. Уже в 1921 году Т. Л. Хиту пришлось объяснять: «Под арифметикой Платон имел в виду не арифметику в нашем понимании, а науку, которая рассматривает числа сами по себе, другими словами, то, что мы подразумеваем под теорией чисел». (Хит 1921, стр. 13)
2. Взять, к примеру, Серра 1973 . В 1952 году Давенпорту все же пришлось уточнить, что он имел в виду «Высшую арифметику» . Харди и Райт написали во введении к « Введению в теорию чисел» (1938): «Одно время мы предлагали изменить [название] на « Введение в арифметику» , более новое и в некотором смысле более подходящее название; но отмечалось, что это может привести к неправильному пониманию содержания книги». (Харди и Райт, 2008 г.) harvnb error: no target: CITEREFSerre1973 (help)
3. Робсон 2001, с. 201. Это спорно. См. Плимптон 322 . Статья Робсона написана полемически (Робсон 2001, стр. 202) с целью «возможно [...] сбить [Плимптон 322] с пьедестала» (Робсон 2001, стр. 167); в то же время он приходит к выводу, что

   [...] вопрос "как рассчитывался планшет?" не обязательно должен быть такой же ответ, как на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первый вопрос наиболее удовлетворительно можно ответить с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй - с помощью своего рода задач о прямоугольном треугольнике (Робсон 2001, стр. 202).

   Робсон не согласен с представлением о том, что писец, написавший «Плимптон 322» (которому приходилось «зарабатывать на жизнь работой» и не принадлежал к «праздному среднему классу»), мог руководствоваться собственным «праздным любопытством» в отсутствие «рынка новой математики» (Робсон 2001, стр. 199–200).

4. Суньцзы Суаньцзин , гл. 3, Задача 26, в Lam & Ang 2004, стр. 219–220:

   [26] Теперь есть неизвестное количество вещей. Если считать по тройкам, то останется 2; если считать пятерками, то в остатке 3; если считать по семеркам, то в остатке 2. Найдите количество вещей. Ответ : 23.
   

   Метод : Если мы считаем тройками и есть остаток 2, запишем 140. Если считаем пятёрками и есть остаток 3, запишем 63. Если считаем семерками и есть остаток 2, запишем 30. Сложите их, чтобы получить 233, и вычтите 210, чтобы получить ответ. Если считаем тройками и остался остаток 1, запишем 70. Если считаем пятерками и остаток 1, запишем 21. Если считаем семерками и остаток 1, проставим 15. Когда [ число] превышает 106, результат получается вычитанием 105.

5. См., например, Суньцзы Суаньцзин , гл. 3, Задача 36, в Lam & Ang 2004, стр. 223–224:

   [36] Сейчас есть беременная женщина, возраст которой 29 лет. Если срок беременности 9 месяцев, определите пол будущего ребенка. Ответ : Мужской.
   

   Метод : Запишите 49, прибавьте срок беременности и вычтите возраст. Из остатка уберите 1, представляющее небо, 2, землю, 3, человека, 4, четыре времени года, 5, пять фаз, 6, шесть смоляных труб, 7, семь звезд [Ковша], 8, восемь ветров, и 9 девять дивизий [Китая при Юе Великом]. Если остаток нечетный, то [пол] мужской, а если остаток четный, то [пол] женский.

   Это последняя проблема в прозаичном трактате Сунци.

6. Совершенные и особенно дружественные числа в настоящее время мало или совсем не интересуют. То же самое было не так в средние века – будь то на Западе или в арабоязычном мире – отчасти из-за того значения, которое придавал им неопифагореец (и, следовательно, мистик) Никомах (ок. 100 г. н.э.), написавший примитивное, но влиятельное « Введение в арифметику ». См. van der Waerden 1961, Ch. IV.
7. Здесь, как обычно, для двух целых чисел a и b и ненулевого целого числа m мы пишем (читай: « a конгруэнтно b по модулю m »), что означает, что m делит a  −  b , или, что то же самое, a и b оставляют одинаковый остаток при делении на m . На самом деле эти обозначения появились намного позже, чем у Ферма; впервые оно появляется в разделе 1 « Арифметических исследований» Гаусса . Маленькая теорема Ферма является следствием того факта , что порядок элемента группы делит порядок группы. Современное доказательство было бы в пределах возможностей Ферма (и действительно было дано позже Эйлером), даже несмотря на то, что современная концепция группы появилась намного позже Ферма или Эйлера. (Полезно знать, что обратные существуют по модулю p , то есть, учитывая, что a не делится на простое число p , существует целое число x такое, что ); этот факт (который, выражаясь современным языком, объединяет остатки по модулю p в группу и который уже был известен Арьябхате; см. выше) был знаком Ферма благодаря его повторному открытию Баше (Weil 1984, стр. 7). Далее Вейль говорит, что Ферма признал бы, что аргумент Баше по сути является алгоритмом Евклида. ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xa\equiv 1{\bmod {p}}}$
8. Вплоть до второй половины семнадцатого века академические должности были очень редки, и большинство математиков и ученых зарабатывали на жизнь каким-то другим способом (Weil 1984, стр. 159, 161). (Уже существовали некоторые узнаваемые черты профессиональной практики , а именно: поиск корреспондентов, посещение иностранных коллег, создание частных библиотек (Weil 1984, стр. 160–161). Ситуация начала меняться в конце 17 века (Weil 1984, стр. 161); были основаны научные академии в Англии ( Королевское общество , 1662), Франции ( Академия наук , 1666) и России (1724). Место в этой последней было предложено Эйлеру в 1726; он согласился, приехав в Санкт-Петербург. В этом контексте термин «любитель», обычно применяемый к Гольдбаху, имеет четкое определение и имеет некоторый смысл: его описывают как литератора, который зарабатывал на жизнь шпионажем (Трусделл 1984, стр. xv); цитируется по Варадараджану 2006, стр. 9). Обратите внимание, однако, что Гольдбах опубликовал несколько работ по математике и иногда занимал академические должности.
9. Теория решета фигурирует как одна из основных областей аналитической теории чисел во многих стандартных трактовках; см., например, Iwaniec & Kowalski 2004 или Montgomery & Vaughan 2007.
10. Это относится к маленьким ситам (в частности, к некоторым комбинаторным ситам, таким как сито Брюна ), а не к большим ситам ; изучение последнего теперь включает идеи гармонического и функционального анализа .
11. Группа Галуа расширения L/K состоит из операций ( изоморфизмов ), которые отправляют элементы L в другие элементы L, оставляя при этом все элементы K фиксированными. Так, например, Gal(C/R) состоит из двух элементов: единичного элемента (переводящего каждый элемент x  +  iy из C в себя) и комплексного сопряжения (отображения, переводящего каждый элемент x  +  iy в x  −  iy ). Группа Галуа расширения сообщает нам многие из ее важнейших свойств. Изучение групп Галуа началось с Эвариста Галуа ; Говоря современным языком, главный результат его работы состоит в том, что уравнение f ( x ) = 0 может быть решено в радикалах (то есть x может быть выражено через четыре основные операции вместе с квадратными корнями, кубическими корнями и т. д.). ) тогда и только тогда, когда расширение рациональных чисел корнями уравнения f ( x ) = 0 имеет группу Галуа, разрешимую в смысле теории групп. («Разрешимость» в смысле теории групп — это простое свойство, которое легко проверить для конечных групп.)
12. Если мы хотим изучить кривую . Мы позволяем x и y быть комплексными числами: . По сути, это система двух уравнений с четырьмя переменными, поскольку и действительная, и мнимая части с каждой стороны должны совпадать. В результате мы получаем поверхность (двумерную) в четырехмерном пространстве. После того, как мы выберем удобную гиперплоскость для проецирования поверхности (это означает, что, скажем, мы решили игнорировать координату a ), мы можем построить результирующую проекцию, которая представляет собой поверхность в обычном трехмерном пространстве. Тогда становится ясно, что в результате получается тор , грубо говоря, поверхность бублика (несколько растянутая). У пончика одна дырка; следовательно, род равен 1. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+7}$ ${\displaystyle (a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7}$

Рекомендации

1. Лонг 1972, с. 1.
2. Нойгебауэр и Сакс 1945, с. 40. Термин такилтум проблематичен. Робсон предпочитает интерпретацию «Удерживающий квадрат диагонали, из которого вырвана единица, так что короткая сторона поднимается вверх...». Робсон 2001, с. 192
3. Робсон 2001, с. 189. Другие источники дают современную формулу . Ван дер Варден приводит как современную формулу, так и форму, которую предпочитает Робсон (ван дер Варден 1961, стр. 79). ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$
4. ван дер Варден 1961, с. 184.
5. Нойгебауэр (Neugebauer 1969, стр. 36–40) подробно обсуждает таблицу и упоминает при передаче метод Евклида в современных обозначениях (Neugebauer 1969, стр. 39).
6. Фриберг 1981, с. 302.
7. ван дер Варден 1961, с. 43.
8. Ямвлих , Жизнь Пифагора (перевод, например, Гатри 1987), цитируется в ван дер Вардене 1961, стр. 108. См. также Порфирий , Жизнь Пифагора , параграф 6, в Guthrie 1987. Ван дер Варден (van der Waerden 1961, стр. 87–90) поддерживает точку зрения, что Фалес знал вавилонскую математику.
9. Геродот (II. 81) и Исократ ( Бусирис 28), цитируется по: Huffman 2011. О Фалесе см. Eudemus ap. Прокл, 65.7 (например, Морроу 1992, стр. 52), цитируется по: O'Grady 2004, стр. 52. 1. Прокл использовал труд Евдема Родосского (ныне утерянный) « Каталог геометров» . См. также введение, Morrow 1992, с. xxx о надежности Прокла.
10. Беккер 1936, с. 533, цитируется по: van der Waerden 1961, p. 108.
11. Беккер 1936.
12. ван дер Варден 1961, с. 109.
13. Платон, Теэтет , с. 147 B (например, Jowett 1871), цитируется по von Fritz 2004, p. 212: «Теодор выписывал нам что-то о корнях, например о корнях трех или пяти, показывая, что они несоизмеримы по единице;...» См. также Спираль Теодора .
14. фон Фриц 2004.
15. Хит 1921, с. 76.
16. Суньцзы Суаньцзин , глава 3, задача 26. Это можно найти в Lam & Ang 2004, стр. 219–220, где содержится полный перевод Суань Цзин (на основе Цянь 1963). См. также обсуждение в Lam & Ang 2004, стр. 138–140.
17. Дата текста была сужена до 220–420 гг. н.э. (Янь Дуньцзе) или 280–473 гг. н.э. (Ван Лин) на основании внутренних данных (= системы налогообложения, предполагаемые в тексте). См. Лам и Анг, 2004, стр. 27–28.
18. Бойер и Мерцбах 1991, с. 82.
19. «Евсевий Кесарийский: Praeparatio Evangelica (Подготовка к Евангелию). Тр. Э. Х. Гиффорд (1903) - Книга 10». Архивировано из оригинала 11 декабря 2016 г. Проверено 20 февраля 2017 г.
20. Метафизика, 1.6.1 (987a)
21. Туск. Спор. 17.1.39.
22. Варди 1998, стр. 305–319.
23. Вейль 1984, стр. 17–24.
24. Plofker 2008, с. 119.
25. Любые ранние контакты между вавилонской и индийской математикой остаются предположительными (Плофкер 2008, стр. 42).
26. Мамфорд 2010, с. 387.
27. Арьябхата, Арьябхатия, Глава 2, стихи 32–33, цитируется по: Plofker 2008, стр. 134–140. См. также Clark 1930, стр. 42–50. Несколько более подробное описание куттаки было позже дано в Brahmagupta , Brahmasphutasiddhānta , XVIII, 3–5 (в Colebrooke 1817, стр. 325, цитировано в Clark 1930, стр. 42).
28. Мамфорд 2010, с. 388.
29. Плофкер 2008, с. 194.
30. Плофкер 2008, с. 283.
31. Коулбрук 1817.
32. Колбрук 1817, с. lxv, цитируется по Hopkins 1990, p. 302. См. также предисловие к Sachau 1888, цитируемое Smith 1958, стр. 168. harvnb error: no target: CITEREFSachau1888 (help)
33. Pingree 1968, стр. 97–125, и Pingree 1970, стр. 103–123, цитируется по Plofker 2008, p. 256.
34. Рашед 1980, стр. 305–321.
35. Баше , 1621 г., после первой попытки Ксиландра , 1575 г.
36. Вейль 1984, стр. 45–46.
37. Вейль 1984, с. 118. Это было более справедливо в теории чисел, чем в других областях (замечание в Mahoney 1994, стр. 284). Доказательства Баше были «до смешного неуклюжими» (Weil 1984, стр. 33).
38. Махони 1994, стр. 48, 53–54. Первоначальные темы переписки Ферма включали делители («аликвотные части») и многие предметы, выходящие за рамки теории чисел; см. список в письме Ферма Робервалю от 22 IX 1636 г., Tannery & Генри, 1891, Vol. II, стр. 72, 74, цитируется по Mahoney 1994, p. 54.
39. Фолкнер, Николас; Хош, Уильям Л. (2017). Числа и измерения. Британская энциклопедия. ISBN 978-1538300428. Архивировано из оригинала 01 марта 2023 г. Проверено 6 августа 2019 г.
40. Таннери и Генри 1891, Том. II, с. 209, Письмо XLVI Ферма к Френиклю, 1640 г., цитируется по Weil 1984, p. 56
41. Таннери и Генри 1891, Том. II, с. 204, цитируется по Weil 1984, p. 63. Все следующие цитаты из «Вариа-оперы» Ферма взяты из Weil 1984, Chap. II. Стандартная работа Таннери и Генри включает переработку посмертной Varia Opera Mathematica Ферма , первоначально подготовленную его сыном (Ферма, 1679).
42. Таннери и Генри 1891, Том. II, с. 213.
43. Таннери и Генри 1891, Том. II, с. 423.
44. Вейль 1984, с. 92.
45. Таннери и Генри 1891, Том. Я, стр. 340–341.
46. Вейль 1984, с. 115.
47. Вейль 1984, стр. 115–116.
48. Вейль 1984, стр. 2, 172.
49. Варадараджан 2006, с. 9.
50. Вейль 1984, стр. 1–2.
51. Вейль 1984, с. 2 и Варадараджан 2006, с. 37
52. Варадараджан 2006, с. 39 и Вейль 1984, стр. 176–189.
53. Вейль 1984, стр. 178–179.
54. Вейль 1984, с. 174. Эйлер был щедр, отдавая должное другим (Варадараджан 2006, стр. 14), но не всегда правильно.
55. Вейль 1984, с. 183.
56. Варадараджан 2006, стр. 45–55; см. также главу III.
57. Варадараджан 2006, стр. 44–47.
58. Вейль 1984, стр. 177–179.
59. Эдвардс 1983, стр. 285–291.
60. Варадараджан 2006, стр. 55–56.
61. Вейль 1984, стр. 179–181.
62. Вейль 1984, с. 181.
63. «Эндрю Уайлс о решении Ферма». ВГБХ . Ноябрь 2000 г. Архивировано из оригинала 17 марта 2016 г. Проверено 16 марта 2016 г.
64. Вейль 1984, стр. 327–328.
65. Вейль 1984, стр. 332–334.
66. Вейль 1984, стр. 337–338.
67. Гольдштейн и Шаппахер 2007, с. 14.
68. Из предисловия к Disquisitiones Arithmeticae ; перевод взят из Goldstein & Schappacher 2007, с. 16
69. См. обсуждение в разделе 5 Goldstein & Schappacher 2007. Ранние признаки застенчивости присутствуют уже в письмах Ферма: таким образом, его замечания о том, что такое теория чисел, и о том, что «работа Диофанта [...] на самом деле не принадлежит к [ему]» (цитата по Weil 1984, стр. 25).
70. Апостол 1976, с. 7.
71. Давенпорт и Монтгомери 2000, стр. 1.
72. См. доказательство в Davenport & Montgomery 2000, раздел 1.
73. Иванец и Ковальски 2004, с. 1.
74. Варадараджан 2006, разделы 2.5, 3.1 и 6.1.
75. Гранвиль 2008, стр. 322–348.
76. См. комментарий о важности модульности в Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1
77. Голдфельд 2003.
78. См., например, первоначальный комментарий в Iwaniec & Kowalski 2004, p. 1.
79. Granville 2008, раздел 1: «Основное отличие состоит в том, что в алгебраической теории чисел [...] обычно рассматриваются вопросы, ответы на которые даются точными формулами, тогда как в аналитической теории чисел [...] ищут хорошие приближения ."
80. См. примечания во введении к Iwaniec & Kowalski 2004, стр. 1: «Однако гораздо сильнее...».
81. Granville 2008, раздел 3: «[Риман] определил то, что мы теперь называем дзета-функцией Римана [...] глубокая работа Римана породила наш предмет [...]»
82. См., например, Montgomery & Vaughan 2007, p. 1.
83. Милн 2017, с. 2.
84. Эдвардс 2000, с. 79.
85. Дэвис, Мартин ; Матиясевич Юрий ; Робинсон, Джулия (1976). «Десятая проблема Гильберта: диофантовы уравнения: положительные аспекты отрицательного решения». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 323–378. ISBN 978-0-8218-1428-4. Збл  0346.02026.Перепечатано в Собрании сочинений Джулии Робинсон и Соломона Фефермана , редактора, стр. 269–378, Американское математическое общество, 1996.
86. Необоснованная эффективность теории чисел , Стефан Андрус Берр, Джордж Э. Эндрюс, Американская математическая общество, 1992, ISBN 978-0-8218-5501-0 
87. Информатика и ее связь с математикой» Д. Е. Кнут – The American Mathematical Monthly, 1974
88. «Применение теории чисел к численному анализу», Ло-кенг Хуа, Луогенг Хуа, Юань Ван, Springer-Verlag, 1981, ISBN 978-3-540-10382-0 
89. Введение в теорию чисел с криптографией (2-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. 2018. дои : 10.1201/9781351664110. ISBN 978-1-351-66411-0. Архивировано из оригинала 01 марта 2023 г. Проверено 22 февраля 2023 г.
90. Кришна, Хари (2017). Алгоритмы цифровой обработки сигналов: теория чисел, свертка, быстрые преобразования Фурье и приложения. Лондон. ISBN 978-1-351-45497-1. OCLC  1004350753. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. Проверено 22 февраля 2023 г.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
91. Бэйлис, Джон (2018). Коды, исправляющие ошибки: математическое введение. Рутледж. дои : 10.1201/9780203756676. ISBN 978-0-203-75667-6. Архивировано из оригинала 01 марта 2023 г. Проверено 22 февраля 2023 г.
92. Ливне, Р. (2001), Силиберто, Чиро; Хирцебрух, Фридрих; Миранда, Рик; Тейчер, Мина (ред.), «Сети связи и модульные формы Гильберта», Приложения алгебраической геометрии к теории кодирования, физике и вычислениям , Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 255–270, номер документа : 10.1007/978-94-010- 1011-5_13, ISBN 978-1-4020-0005-8, заархивировано из оригинала 1 марта 2023 г. , получено 22 февраля 2023 г.
93. Картрайт, Джулиан HE; Гонсалес, Диего Л.; Пиро, Оресте; Станциаль, Доменико (1 марта 2002 г.). «Эстетика, динамика и музыкальные гаммы: золотая связь». Журнал исследований новой музыки . 31 (1): 51–58. дои : 10.1076/jnmr.31.1.51.8099. hdl : 10261/18003 . ISSN  0929-8215. S2CID  12232457.

Источники

• Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер . ISBN 978-0-387-90163-3. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Апостол, Том М. (nd). «Введение в теорию чисел». (Обзор Харди и Райта.) Математические обзоры (MathSciNet). Американское математическое общество . MR  0568909. Архивировано из оригинала 01 марта 2016 г. Проверено 28 февраля 2016 г. {{cite journal}}: Требуется цитирование журнала |journal=( помощь ) (требуется подписка)
• Беккер, Оскар (1936). «Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente». Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik . Abteilung B:Studien (на немецком языке). 3 : 533–553.
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (1991) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли . ISBN 978-0-471-54397-8.Издание 1968 года на archive.org
• Кларк, Уолтер Юджин (пер.) (1930). Арьябхатия Арьябхаты: древний индийский труд по математике и астрономии. Издательство Чикагского университета . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Коулбрук, Генри Томас (1817). Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары. Лондон: Дж. Мюррей . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Давенпорт, Гарольд ; Монтгомери, Хью Л. (2000). Мультипликативная теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 74 (переработанное 3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-0-387-95097-6.
• Эдвардс, Гарольд М. (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и квадратичная взаимность». Журнал «Математика» . 56 (5): 285–291. дои : 10.2307/2690368. JSTOR  2690368.
• Эдвардс, Гарольд М. (2000) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Тексты для аспирантов по математике. Том. 50 (перепечатка изд. 1977 г.). Спрингер Верлаг . ISBN 978-0-387-95002-0.
• Ферма, Пьер де (1679). Varia Opera Mathematica (на французском и латыни). Тулуза: Жоаннис Печ . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Фриберг, Йоран (август 1981 г.). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника». История математики . 8 (3): 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
• фон Фриц, Курт (2004). «Открытие несоизмеримости Гиппасом Метапонтумским». В Кристианидисе, Дж. (ред.). Классика в истории греческой математики . Берлин: Клювер (Шпрингер). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Гаусс, Карл Фридрих ; Уотерхаус, Уильям К. (пер.) (1966) [1801]. Арифметические исследования. Спрингер. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Голдфельд, Дориан М. (2003). «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2016 г. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Гольдштейн, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт (2007). «Книга в поисках дисциплины». В Гольдштейне, К.; Шаппахер, Н.; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Берлин и Гейдельберг: Springer. стр. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Гранвилл, Эндрю (2008). «Аналитическая теория чисел». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11880-2. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Порфир ; Гатри, К.С. (пер.) (1920). Жизнь Пифагора. Альпайн, Нью-Джерси: Platonist Press. Архивировано из оригинала 29 февраля 2020 г. Проверено 10 апреля 2012 г.
• Гатри, Кеннет Сильван (1987). Справочник и библиотека по Пифагору . Гранд-Рапидс, Мичиган: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-921986-5. МР  2445243.
• Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики, Том 1: От Фалеса до Евклида. Оксфорд: Кларендон Пресс . Проверено 28 февраля 2016 г.
• Хопкинс, JFP (1990). «Географическая и навигационная литература». Ин Янг, MJL; Лэтэм, доктор медицинских наук; Сержант, РБ (ред.). Религия, обучение и наука в период Аббасидов . Кембриджская история арабской литературы. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-32763-3.
• Хаффман, Карл А. (8 августа 2011 г.). "Пифагор". В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2011 г.). Архивировано из оригинала 2 декабря 2013 года . Проверено 7 февраля 2012 г.
• Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Платон ; Джоуэтт, Бенджамин (пер.) (1871). Теэтет. Архивировано из оригинала 9 июля 2011 г. Проверено 10 апреля 2012 г.
• Лам, Лей Йонг ; Анг, Тянь Се (2004). Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае (переработанное издание). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Лонг, Кэлвин Т. (1972). Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.). Лексингтон, Вирджиния: DC Heath and Company . LCCN  77171950.
• Махони, MS (1994). Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 (Переиздание, 2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-03666-3. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Милн, Дж.С. (18 марта 2017 г.). «Алгебраическая теория чисел» . Проверено 7 апреля 2020 г.
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел: I, Классическая теория. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Морроу, Гленн Рэймонд (пер., ред.); Прокл (1992). Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02090-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Мамфорд, Дэвид (март 2010 г.). «Математика в Индии: рецензия Дэвида Мамфорда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (3): 387. ISSN  1088-9477. Архивировано (PDF) из оригинала 06 мая 2021 г. Проверено 28 апреля 2021 г.
• Нойгебауэр, Отто Э. (1969). Точные науки в древности. Том. 9 (исправленная перепечатка изд. 1957 г.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID  14884919. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 г. Проверено 2 марта 2016 г. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
• Нойгебауэр, Отто Э .; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945). Математические клинописные тексты . Американский восточный сериал. Том. 29. Американское восточное общество и т. д.
• О'Грейди, Патрисия (сентябрь 2004 г.). «Фалес Милетский». Интернет-энциклопедия философии. Архивировано из оригинала 6 января 2016 года . Проверено 7 февраля 2012 г.
• Пингри, Дэвид ; Якуб, ибн Тарик (1968). «Фрагменты произведений Якуба ибн Тарика». Журнал ближневосточных исследований . 26 .
• Пингри, Д. ; аль-Фазари (1970). «Фрагменты произведений аль-Фазари». Журнал ближневосточных исследований . 28 .
• Плофкер, Ким (2008). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Цянь, Баоконг, изд. (1963). Суаньцзин ши шу (Десять математических классиков) (на китайском языке). Пекин: Чжунхуа Шуцзюй. Архивировано из оригинала 2 ноября 2013 г. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Рашед, Рошди (1980). «Ибн аль-Хайсам и теория Вильсона». Архив истории точных наук . 22 (4): 305–321. дои : 10.1007/BF00717654. S2CID  120885025.
• Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» (PDF) . История математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317. Архивировано из оригинала (PDF) 21 октября 2014 г.
• Сахау, Эдуард ; Бируни, Мухаммад ибн Ахмад (1888). Индия Альберуни: отчет о религии, философии, литературе, географии, хронологии, астрономии и астрологии Индии, Том. 1. Лондон: Кеган, Пол, Тренч, Трюбнер и компания. Архивировано из оригинала 03 марта 2016 г. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики. Тексты для аспирантов по математике. Том. 7. Спрингер . ISBN 978-0-387-90040-7.
• Смит, Делавэр (1958). История математики, Том I. Нью-Йорк: Dover Publications.
• Таннери, Пол ; Ферма, Пьер де (1891). Чарльз Генри (ред.). Творения Ферма. (4 тома) (на французском и латыни). Париж: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils.Том 1 Том 2 Том 3 Том 4 (1912)
• Ямвлих ; Тейлор, Томас (пер.) (1818). Жизнь Пифагора или Пифагорова жизнь. Лондон: Дж. М. Уоткинс. Архивировано из оригинала 21 июля 2011 г.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)Другие издания см. в Iamblichus # Список изданий и переводов.
• Трусделл, Калифорния (1984). «Леонард Эйлер, высший геометр». В Хьюлетте, Джон (пер.) (ред.). Леонард Эйлер, Элементы алгебры (переиздание 1840 г., 5-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96014-2.В этом предварительном просмотре книги «Элементы алгебры» в Google отсутствует введение Трусделла, которое перепечатано (слегка сокращено) в следующей книге:
• Трусделл, Калифорния (2007). «Леонард Эйлер, высший геометр». В Данэме, Уильям (ред.). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве . Второй том празднования 300-летия Эйлера МАА. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-558-4. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Варди, Илан (апрель 1998 г.). «Проблема скота Архимеда» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 105 (4): 305–319. CiteSeerX  10.1.1.383.545 . дои : 10.2307/2589706. JSTOR  2589706. Архивировано (PDF) из оригинала 15 июля 2012 г. Проверено 8 апреля 2012 г.
• ван дер Варден, Бартель Л .; Дрезден, Арнольд (транс) (1961). Пробуждение науки . Том. 1 или 2. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета .
• Вейль, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю – от Хаммурапи до Лежандра. Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3141-3. Проверено 28 февраля 2016 г.

• В эту статью включены материалы из статьи Citizendium «Теория чисел», которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не под лицензией GFDL .

дальнейшее чтение

Два наиболее популярных введения в эту тему:

• Г.Х. Харди ; Э.М. Райт (2008) [1938]. Введение в теорию чисел (ред. Д. Р. Хита-Брауна и Дж. Х. Сильвермана, 6-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-921986-5. Проверено 2 марта 2016 г.
• Виноградов, И.М. (2003) [1954]. Элементы теории чисел (переиздание изд. 1954 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications.

Книга Харди и Райта представляет собой всеобъемлющую классику, хотя ее ясность иногда страдает из-за того, что авторы настаивают на элементарных методах (Апостол nd). Главная привлекательность Виноградова состоит в комплексе проблем, которые быстро приводят к собственным исследовательским интересам Виноградова; сам текст очень простой и близкий к минимальному. Другие популярные первые знакомства:

• Иван М. Нивен ; Герберт С. Цукерман; Хью Л. Монтгомери (2008) [1960]. Введение в теорию чисел (перепечатка 5-го изд. 1991 г.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-81-265-1811-1. Проверено 28 февраля 2016 г.
• Кеннет Х. Розен (2010). Элементарная теория чисел (6-е изд.). Образование Пирсона . ISBN 978-0-321-71775-7. Проверено 28 февраля 2016 г.

Популярные варианты второго учебника включают:

• Боревич А.И. ; Шафаревич, Игорь Робертович (1966). Теория чисел. Чистая и прикладная математика. Том. 20. Бостон, Массачусетс: Академик Пресс . ISBN 978-0-12-117850-5. МР  0195803.
• Серр, Жан-Пьер (1996) [1973]. Курс арифметики. Тексты для аспирантов по математике . Том. 7. Спрингер. ISBN 978-0-387-90040-7.

Внешние ссылки

• Запись о теории чисел в математической энциклопедии
• Теория чисел Интернет