Теорема о простых числах

Характеристика того, сколько целых чисел являются простыми

В математике теорема о простых числах ( PNT ) описывает асимптотическое распределение простых чисел среди натуральных чисел. Он формализует интуитивную идею о том, что простые числа становятся менее распространенными по мере их увеличения, путем точного количественного определения скорости, с которой это происходит. Теорема была независимо доказана Жаком Адамаром ^[1] и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном ^[2] в 1896 году с использованием идей Бернхарда Римана (в частности, дзета-функции Римана ).

Первое найденное такое распределение — π ( N ) ~Н/журнал ( Н ), где π ( N ) — функция подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньше или равное N ) , а log( N ) — натуральный логарифм N . Это означает, что для достаточно большого N вероятность того , что случайное целое число, не большее N , является простым, очень близка к 1/log( N ) . Следовательно, случайное целое число, содержащее не более 2 n цифр (при достаточно большом n ), примерно в два раза реже будет простым, чем случайное целое число, содержащее не более n цифр. Например, среди натуральных чисел длиной не более 1000 цифр примерно одно из 2300 является простым ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302,6 ), тогда как среди натуральных чисел длиной не более 2000 цифр примерно одно из 4600 является простым ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605,2 ). Другими словами, средний разрыв между последовательными простыми числами среди первых N целых чисел примерно равен log( N ) . ^[3]

Заявление

График, показывающий отношение функции подсчета простых чисел π ( x ) к двум ее аппроксимациям, x / log x и Li( x ) . По мере увеличения x (обратите внимание, что ось x логарифмическая), оба отношения стремятся к 1. Отношение для x / log x сходится сверху очень медленно, тогда как соотношение для Li( x ) сходится быстрее снизу.

Логарифмический график, показывающий абсолютную ошибку x / log x и Li( x ) , двух приближений к функции подсчета простых чисел π ( x ) . В отличие от отношения, разница между π ( x ) и x / log x неограниченно увеличивается с увеличением x . С другой стороны, Li( x ) − π ( x ) меняет знак бесконечное число раз.

Пусть π ( x ) — функция подсчета простых чисел , определенная как количество простых чисел, меньших или равных x , для любого действительного числа  x . Например, π (10) = 4 , потому что есть четыре простых числа (2, 3, 5 и 7), меньшие или равные 10. Тогда теорема о простых числах утверждает, что x / log x является хорошим приближением к π ( x ) (где log здесь означает натуральный логарифм) в том смысле, что предел частного двух функций π ( x ) и x / log x при неограниченном увеличении x равен 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

известный как асимптотический закон распределения простых чисел . Используя асимптотические обозначения, этот результат можно переформулировать как

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Эти обозначения (и теорема) ничего не говорят о пределе разности двух функций при неограниченном увеличении x . Вместо этого теорема утверждает, что x / log x приближает π ( x ) в том смысле, что относительная ошибка этого приближения приближается к 0 по мере неограниченного увеличения x .

Теорема о простых числах эквивалентна утверждению, что n- е простое число p _n удовлетворяет условию

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

асимптотические обозначения, опять же, означают, что относительная ошибка этого приближения приближается к 0 по мере неограниченного увеличения n . Например,2 × 10 ¹⁷ -е простое число8 512 677 386 048 191 063 , ^[4] и (2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷ ) округляет до7 967 418 752 291 744 388 , относительная погрешность около 6,4%.

С другой стороны, следующие асимптотические соотношения логически эквивалентны: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}&=1.\end{aligned}}}$

Как указано ниже, теорема о простых числах также эквивалентна формуле

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

где ϑ и ψ — первая и вторая функции Чебышева соответственно, а

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^[6]

где функция Мертенса . ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

История доказательства асимптотического закона простых чисел

На основании таблиц Антона Фелькеля и Юрия Веги Адриен-Мари Лежандр в 1797 или 1798 году предположила, что π ( a ) аппроксимируется функцией a /( A log a + B ) , где A и B — неуказанные константы. Во втором издании своей книги по теории чисел (1808 г.) он затем сделал более точную гипотезу с A = 1 и B = -1,08366 . Карл Фридрих Гаусс рассматривал тот же вопрос в возрасте 15 или 16 лет «в 1792 или 1793 году», по его собственным воспоминаниям, в 1849 году. ^[7] В 1838 году Питер Густав Лежен Дирихле придумал свою собственную аппроксимирующую функцию — логарифмический интеграл li . ( x ) (при несколько ином виде ряда, который он сообщил Гауссу). Формулы Лежандра и Дирихле предполагают одну и ту же предполагаемую асимптотическую эквивалентность π ( x ) и x / log ( x ) , указанную выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать различия вместо частных.

В двух статьях 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутий Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ ( s ) для действительных значений аргумента « s », как в работах Леонарда Эйлера еще в 1737 году. Статьи Чебышева предшествовали знаменитым мемуарам Римана 1859 года, и ему удалось в доказательстве несколько более слабой формы асимптотического закона, а именно, что если предел при стремлении x к бесконечности для π ( x ) / ( x / log( x )) вообще существует, то он обязательно равен единице. ^[8] Ему удалось безоговорочно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами вблизи 1 для всех достаточно больших x . ^[9] Хотя статья Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки для π ( x ) были достаточно сильными, чтобы он мог доказать постулат Бертрана о том, что существует простое число между n и 2 n для любого целого числа n ≥ 2 .

Важным документом, посвященным распределению простых чисел, были мемуары Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины », единственная статья, которую он когда-либо писал на эту тему. Риман внес в эту тему новые идеи, главным образом, о том, что распределение простых чисел тесно связано с нулями аналитически расширенной дзета-функции Римана комплексной переменной. В частности, именно в этой работе зарождается идея применить методы комплексного анализа к исследованию действительной функции π ( x ) . Развивая идеи Римана, два доказательства асимптотического закона распределения простых чисел были независимо найдены Жаком Адамаром ^[1] и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном ^[2] и появились в одном и том же году (1896 г.). В обоих доказательствах использовались методы комплексного анализа, устанавливающие в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ ( s ) отлична от нуля для всех комплексных значений переменной s , которые имеют форму s = 1 + it с t > 0 . ^[10]

В 20 веке теорема Адамара и Валле Пуссена также стала известна как теорема о простых числах. Было найдено несколько различных доказательств этого, в том числе «элементарные» доказательства Атле Сельберга ^[11] и Пауля Эрдеша ^[12] (1949). Оригинальные доказательства Адамара и Валле Пуссена длинные и тщательно продуманные; более поздние доказательства вводили различные упрощения за счет использования тауберовых теорем , но оставались трудными для понимания. Краткое доказательство было обнаружено в 1980 году американским математиком Дональдом Дж. Ньюманом . ^{[13] [14]} Доказательство Ньюмана, возможно, является самым простым известным доказательством теоремы, хотя оно и неэлементарно в том смысле, что использует интегральную теорему Коши из комплексного анализа.

Эскиз доказательства

Вот набросок доказательства, упомянутого в одной из лекций Теренса Тао . ^[15] Как и большинство доказательств PNT, оно начинается с переформулировки проблемы в терминах менее интуитивной, но более эффективной функции подсчета простых чисел. Идея состоит в том, чтобы посчитать простые числа (или связанный с ними набор, например набор степеней простых чисел) с весами , чтобы получить функцию с более гладким асимптотическим поведением. Наиболее распространенной такой обобщенной считающей функцией является функция Чебышева ψ ( x ) , определяемая формулой

${\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\;.}$

Иногда это пишут как

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

где Λ ( n ) — функция Мангольдта , а именно

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Теперь относительно легко проверить, что PNT эквивалентно утверждению, что

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

Действительно, это следует из простых оценок

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\log x=\pi (x)\log x}$

и (используя обозначение big O ) для любого ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

Следующий шаг — найти полезное представление для ψ ( x ) . Пусть ζ ( s ) — дзета-функция Римана. Можно показать, что ζ ( s ) связана с функцией фон Мангольдта Λ ( n ) и, следовательно, с ψ ( x ) соотношением

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

Тонкий анализ этого уравнения и связанных с ним свойств дзета-функции с использованием преобразования Меллина и формулы Перрона показывает, что для нецелого числа x уравнение

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}$

где сумма ведется по всем нулям (тривиальным и нетривиальным) дзета-функции. Эта поразительная формула является одной из так называемых явных формул теории чисел и уже наводит на мысль о результате, который мы хотим доказать, поскольку член x (который считается правильным асимптотическим порядком ψ ( x ) ) появляется справа. -сторона, за которой следуют (предположительно) асимптотические члены низшего порядка.

Следующий шаг доказательства предполагает исследование нулей дзета-функции. Тривиальные нули −2, −4, −6, −8, ... можно обрабатывать отдельно:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

который исчезает при больших x . Нетривиальные нули, а именно нули в критической полосе 0 ⩽ Re( s ) ⩽ 1 , потенциально могут иметь асимптотический порядок, сравнимый с основным членом x , если Re( ρ ) = 1 , поэтому нам нужно показать, что все нули имеют действительные значения. часть строго меньше 1.

Неисчезающее на Re( s ) = 1

Для этого примем как данность, что ζ ( s ) мероморфна в полуплоскости Re( s ) > 0 и аналитична там, за исключением простого полюса в точке s = 1 , и что существует формула произведения

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

для Re( s ) > 1 . Эта формула произведения следует из существования уникальной простой факторизации целых чисел и показывает, что ζ ( s ) никогда не равняется нулю в этой области, так что ее логарифм определен там и

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.}$

Напишите s = x + iy  ; затем

${\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)\;.}$

Теперь обратите внимание на тождество

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

так что

${\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}$

для всех х > 1 . Предположим теперь, что ζ (1 + iy ) = 0 . Конечно, y не равен нулю, поскольку ζ ( s ) имеет простой полюс в точке s = 1 . Предположим, что x > 1 и пусть x стремится к 1 сверху. Поскольку имеет простой полюс в точке s = 1 и ζ ( x + 2 iy ) остается аналитическим, левая часть предыдущего неравенства стремится к 0, противоречие. ${\displaystyle \zeta (s)}$

Наконец, мы можем заключить, что PNT эвристически верна. Чтобы строго завершить доказательство, необходимо преодолеть еще серьезные технические трудности, связанные с тем, что суммирование по дзета-нулим в явной формуле для ψ ( x ) сходится не абсолютно, а только условно и в смысле «главного значения». Существует несколько способов решения этой проблемы, но многие из них требуют весьма тонких комплексно-аналитических оценок. В книге Эдвардса ^[16] приводятся подробности. Другой метод — использовать тауберову теорему Икехары , хотя эту теорему доказать довольно сложно. Дж. Ньюман заметил, что для теоремы о простых числах не требуется полная сила теоремы Икехары, и можно обойтись частным случаем, который гораздо легче доказать.

Доказательство Ньюмана теоремы о простых числах

DJ Ньюман дает быстрое доказательство теоремы о простых числах (PNT). Доказательство является «неэлементарным», поскольку основано на комплексном анализе, но использует только элементарные методы из первого курса предмета: интегральную формулу Коши , интегральную теорему Коши и оценки комплексных интегралов. Вот краткая схема этого доказательства. Подробную информацию см. в ^{[14] .}

В доказательстве используются те же предварительные сведения, что и в предыдущем разделе, за исключением того , что вместо функции используется функция Чебышева , которая получается удалением некоторых членов из ряда для . Легко показать, что PNT эквивалентен . Аналогично вместо функции используется отбрасывание некоторых членов ряда для . Функции и отличаются функцией, голоморфной на . Поскольку, как было показано в предыдущем разделе, не имеет нулей на прямой , не имеет особенностей на . ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$ ${\textstyle \psi }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$ ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$ ${\displaystyle \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}}$ ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re s=1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re s=1}$ ${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$ ${\displaystyle \Re s=1}$

Еще одна часть информации, необходимая для доказательства Ньюмана и являющаяся ключом к оценкам в его простом методе, — это то, что она ограничена. Это доказывается остроумным и простым методом Чебышева. ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

Интегрирование по частям показывает, как и связаны между собой. Для , ${\displaystyle \vartheta (x)}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle \Re s>1}$

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

Метод Ньюмана доказывает PNT, показывая интеграл

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.}$

сходится, и поэтому подынтегральная функция обращается в ноль при , что и есть PNT. В общем, сходимость несобственного интеграла не означает, что подынтегральная функция обращается в ноль на бесконечности, поскольку она может колебаться, но поскольку она возрастает, это легко показать в этом случае. ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \vartheta }$

Чтобы показать сходимость , пусть ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Re z>0}$

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$ и где ${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$ ${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}$

затем

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1}$

что равно функции, голоморфной на прямой . ${\displaystyle \Re z=0}$

Сходимость интеграла и, следовательно, PNT доказывается, показывая, что . Это предполагает изменение порядка пределов, поскольку это можно записать и, следовательно, классифицировать как тауберову теорему. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$ ${\textstyle \lim _{T\to \infty }\lim _{z\to 0}g_{T}(z)=\lim _{z\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$

Разница выражается с использованием интегральной формулы Коши , а затем показывается, что она мала при большом путем оценки подынтегральной функции. Зафиксируйте и такой, который голоморфен в области где , и пусть – граница этой области. Поскольку 0 находится внутри области, интегральная формула Коши дает ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle |z|\leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

где – множитель, введенный Ньюманом, который не меняет интеграл, поскольку целочислен и . ${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(0)=1}$

Для оценки интеграла разобьем контур на две части, где и . Тогда где . Поскольку , и, следовательно , ограничено, пусть – верхняя граница абсолютного значения . Эта связь вместе с оценкой для дает, что первый интеграл по абсолютной величине равен . Подынтегральное выражение во втором интеграле является целым , поэтому по интегральной теореме Коши контур можно преобразовать в полукруг радиуса в левой полуплоскости без изменения интеграла, и тот же аргумент, что и для первого интеграла, дает абсолютное значение второго интеграла . Наконец, полагая , третий интеграл обращается в ноль, так как и, следовательно , обращается в ноль на контуре. Объединив две оценки и предел, получим ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=C_{+}+C_{-}}$ ${\displaystyle C_{+}=C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$ ${\displaystyle C_{-}\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$ ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)dtdz-\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)dtdz+\int _{C_{-}}g(z)F(z){\frac {dz}{2\pi iz}}}$ ${\displaystyle H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2\pi i}$ ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle |F|\leq 2\exp(T\Re z)|\Re z|/R}$ ${\displaystyle |z|=R}$ ${\displaystyle \leq B/R}$ ${\displaystyle C_{-}}$ ${\displaystyle C_{-}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \leq B/R}$ ${\displaystyle T\to \infty }$ ${\displaystyle e^{zT}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.}$

Это справедливо для любого so , и отсюда следует PNT. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}$

Функция подсчета простых чисел в терминах логарифмического интеграла

В рукописной заметке к переизданию своей статьи 1838 года « Sur l'usage des infinies dans la theorie des nombres », которую он отправил Гауссу, Дирихле предположил (в несколько иной форме, апеллирующей к ряду, а не к интегралу), что еще лучшее приближение к π ( x ) дается смещенной логарифмической интегральной функцией Li( x ) , определенной формулой

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Действительно, этот интеграл убедительно свидетельствует о том, что «плотность» простых чисел вокруг t должна быть 1/log t . Эта функция связана с логарифмом асимптотическим разложением

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Итак, теорему о простых числах также можно записать как π ( x ) ~ Li ( x ) . Действительно, в другой работе ^[17] 1899 г. де ла Валле Пуссен доказал, что

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

для некоторой положительной константы a , где O ( ...) — это большое обозначение O. Это было улучшено до

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$где . ^[18] ${\displaystyle A=0.2098}$

В 2016 году Труджиан доказал явную верхнюю границу разницы между и : ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

для . ^[19] ${\displaystyle x\geq 229}$

Связь между дзета-функцией Римана и π ( x ) является одной из причин, по которой гипотеза Римана имеет большое значение в теории чисел: если она будет установлена, она даст гораздо лучшую оценку ошибки, связанной с теоремой о простых числах, чем доступна сегодня. Более конкретно, Хельге фон Кох показал в 1901 году ^[20] , что если гипотеза Римана верна, то член ошибки в приведенном выше соотношении можно улучшить до

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(последняя оценка фактически эквивалентна гипотезе Римана). Константа, входящая в обозначение большого О , была оценена в 1976 году Лоуэллом Шенфельдом : ^[21] приняв гипотезу Римана:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

для всех x ≥ 2657 . Он также получил аналогичную оценку для функции Чебышева, считающей простые числа ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

для всех x ≥ 73,2  . Было показано, что эта последняя граница выражает отклонение от закона средней степени (если рассматривать его как случайную функцию над целыми числами) и1/ ж  шума и также соответствовать распределению Пуассона для соединения Твиди . (Распределения Твиди представляют собой семейство масштабно-инвариантных распределений, которые служат фокусами сходимости для обобщения центральной предельной теоремы . ^[22] ).

Логарифмический интеграл li( x ) больше π ( x ) для «маленьких» значений x . Это потому, что он (в некотором смысле) считает не простые числа, а степени простых чисел, где степень p ⁿ простого числа p считается как1/ н простого числа. Это говорит о том, что li( x ) обычно должно быть примерно больше π ( x ) и, в частности, всегда должно быть больше π ( x ) . Однако в 1914 году Дж. Э. Литтлвуд доказал, что меняет знак бесконечно часто. ^[23] Первое значение x , при котором π ( x ) превышает li ( x ), вероятно, составляет около x ~ 10. ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$ ${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$³¹⁶ ; более подробную информациюсм. в статье ономере Скьюза(С другой стороны,смещенный логарифмический интеграл Li( x )меньше π ( x )уже для x = 2; действительно,Li(2) = 0, а π (2) = 1.)

Элементарные доказательства

В первой половине двадцатого века некоторые математики (особенно Г.Х. Харди ) полагали, что в математике существует иерархия методов доказательства в зависимости от того, какие виды чисел ( целые , действительные , комплексные ) требуются для доказательства, и что теорема о простых числах (PNT) является «глубокой» теоремой, поскольку требует комплексного анализа . ^[24] Это убеждение было несколько поколеблено доказательством PNT, основанным на тауберовой теореме Винера , хотя от этого можно было бы отказаться, если бы считалось, что теорема Винера имеет «глубину», эквивалентную таковой у методов комплексных переменных.

В марте 1948 года Атле Сельберг «элементарными» средствами установил асимптотическую формулу

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

где

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

для простых чисел p . ^[11] К июлю того же года Сельберг и Пол Эрдеш ^[12] получили элементарные доказательства PNT, оба используя асимптотическую формулу Сельберга в качестве отправной точки. ^{[24] [25]} Эти доказательства фактически положили конец представлению о том, что PNT был «глубоким» в этом смысле, и показали, что технически «элементарные» методы были более мощными, чем считалось. Об истории элементарных доказательств PNT, включая спор о приоритете Эрдеша-Сельберга , см. статью Дориана Голдфельда . ^[24]

Существуют некоторые споры о значении результата Эрдеша и Сельберга. В теории чисел не существует строгого и общепринятого определения понятия элементарного доказательства , поэтому неясно, в каком именно смысле их доказательство является «элементарным». Хотя он не использует сложный анализ, на самом деле он гораздо более технический, чем стандартное доказательство PNT. Одно из возможных определений «элементарного» доказательства — это «то, которое может быть выполнено с помощью арифметики Пеано первого порядка ». Существуют теоретико-числовые утверждения (например, теорема Пэрис-Харрингтона ), доказуемые с использованием методов второго , но не первого порядка , но такие теоремы на сегодняшний день редки. Доказательство Эрдеша и Сельберга, безусловно, можно формализовать в арифметике Пеано, а в 1994 году Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос доказали, что их доказательство можно формализовать в очень слабом фрагменте PA, а именно I ∆ ₀ + exp . ^[26] Однако это не решает вопрос о том, может ли стандартное доказательство PNT быть формализовано в PA.

Компьютерные проверки

В 2005 году Авигад и др. использовал средство доказательства теоремы Изабель, чтобы разработать проверенный на компьютере вариант доказательства PNT Эрдеша – Сельберга. ^[27] Это было первое подтвержденное машиной доказательство PNT. Авигад решил формализовать доказательство Эрдеша-Сельберга, а не аналитическое, потому что, хотя библиотека Изабель в то время могла реализовать понятия предела, производной и трансцендентной функции , в ней почти не было теории интегрирования, о которой можно было бы говорить. ^{[27] : 19}

В 2009 году Джон Харрисон использовал HOL Light для формализации доказательства с помощью комплексного анализа . ^[28] Разработав необходимый аналитический аппарат, включая интегральную формулу Коши , Харрисон смог формализовать «прямое, современное и элегантное доказательство вместо более сложного« элементарного »аргумента Эрдеша-Сельберга».

Теорема о простых числах для арифметических прогрессий

Пусть π _{d , a} ( x ) обозначает количество простых чисел в арифметической прогрессии a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... которые меньше x . Дирихле и Лежандр предположили, а де ла Валле Пуссен доказали, что если a и d взаимно просты , то

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

где φ — функция тотента Эйлера . Другими словами, простые числа распределяются равномерно среди классов вычетов [ a ] по модулю d с НОД( a , d ) = 1  . Это сильнее, чем теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (которая лишь утверждает, что в каждом классе существует бесконечное число простых чисел) и может быть доказана с использованием аналогичных методов, использованных Ньюманом для доказательства теоремы о простых числах. ^[29]

Теорема Зигеля –Вальфиса дает хорошую оценку распределения простых чисел в классах вычетов.

Беннетт и др. ^{В [30]} доказана следующая оценка, имеющая явные константы A и B (теорема 1.3): Пусть d — целое число, и пусть a — целое число, взаимно простое с d . Тогда существуют положительные константы A и B такие, что ${\displaystyle \geq 3}$

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

где

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

и

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

Гонка за простыми числами

График функции для n ≤ 30000 ${\displaystyle \ \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)\ }$

Хотя у нас, в частности,

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

эмпирически простые числа, соответствующие 3, более многочисленны и почти всегда опережают в этой «гонке простых чисел»; первый разворот происходит в точке x = 26861 . ^{[31] : 1–2} Однако в 1914 г. Литтлвуд показал ^{[31] : 2} , что существует бесконечно много смен знака функции

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

поэтому лидерство в гонке меняется туда и обратно бесконечное число раз. Явление того, что π _4,3 ( x ) большую часть времени опережает, называется смещением Чебышева . Гонка простых чисел распространяется на другие модули и является предметом многочисленных исследований; Пал Туран спросил, всегда ли π ( x ; a , c ) и π ( x ; b , c ) меняются местами, когда a и b взаимно просты с c . ^[32] Гранвиль и Мартин дают подробное изложение и обзор. ^[31]

Неасимптотические границы функции счета простых чисел

Теорема о простых числах является асимптотическим результатом. Это дает неэффективную оценку π ( x ) как прямое следствие определения предела: для всех ε > 0 существует S такое, что для всех x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

Однако известны лучшие оценки π ( x ) , например , Пьера Дюсара .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

Первое неравенство справедливо для всех x ≥ 599 , а второе — для x ≥ 355991 . ^[33]

Более слабая, но иногда полезная оценка для x ≥ 55 : ^[34]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

В диссертации Пьера Дюсара есть более сильные версии неравенства этого типа, справедливые для больших x . Позже в 2010 году Дюсарт доказал: ^[35]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)\;&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

Доказательство де ла Валле Пуссена подразумевает следующее: для каждого ε > 0 существует S такое, что для всех x > S ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

Приближения для n-го простого числа

Как следствие теоремы о простых числах, получается асимптотическое выражение для n - го простого числа, обозначаемого pn _:

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$

Лучшее приближение: ^[36]

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Опять учитывая2 × 10 ¹⁷ -е простое число8 512 677 386 048 191 063 , это дает оценку8 512 681 315 554 715 386 ; первые 5 цифр совпадают, и относительная ошибка составляет около 0,00005%.

Теорема Россера утверждает, что

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Это можно улучшить с помощью следующей пары оценок: ^{[34] [37]}

${\displaystyle \log n+\log \log n-1<{\frac {p_{n}}{n}}<\log n+\log \log n\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

Таблица π ( x ) , x / log x и li ( x )

В таблице сравниваются точные значения π ( x ) с двумя приближениями x / log x и li ( x ) . Последний столбец, x / π ( x ) , представляет собой средний разрыв простых чисел ниже  x .

Значение π (10 ²⁴ ) первоначально было рассчитано с учетом гипотезы Римана ; ^[38] с тех пор это было подтверждено безоговорочно. ^[39]

Аналог для неприводимых многочленов над конечным полем

Существует аналог теоремы о простых числах, описывающий «распределение» неприводимых многочленов по конечному полю ; форма, которую он принимает, поразительно похожа на случай классической теоремы о простых числах.

Точнее говоря, пусть F = GF( q ) будет конечным полем с q элементами для некоторого фиксированного q , и пусть N _n будет числом монических неприводимых многочленов над F , степень которых равна n . То есть мы рассматриваем полиномы с коэффициентами, выбранными из F , которые нельзя записать как произведения полиномов меньшей степени. В этом случае эти многочлены играют роль простых чисел, поскольку все остальные монические многочлены состоят из их произведений. Тогда можно доказать, что

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Если мы сделаем замену x = q ⁿ , то правая часть будет просто

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

что делает аналогию более понятной. Поскольку существует ровно qn монических полиномов степени ⁿ (включая приводимые), это можно перефразировать следующим образом: если монический многочлен степени n выбран случайно, то вероятность того, что он будет неприводимым, равна примерно 1/н.

Можно даже доказать аналог гипотезы Римана, а именно, что

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Доказательства этих утверждений гораздо проще, чем в классическом случае. Он включает в себя короткий комбинаторный аргумент, который ^{в [40]} резюмируется следующим образом: каждый элемент расширения F степени n является корнем некоторого неприводимого многочлена, степень d которого делит n ; подсчитав эти корни двумя разными способами, можно установить, что

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

где сумма ведется по всем делителям d числа n . Тогда обращение Мёбиуса дает

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

где µ ( k ) — функция Мёбиуса . (Эта формула была известна Гауссу.) Главный член встречается при d = n , и нетрудно оценить остальные члены. Утверждение «гипотезы Римана» основано на том факте , что наибольший собственный делитель n не может быть больше, чемн/2.

Смотрите также

• Абстрактная аналитическая теория чисел для получения информации об обобщениях теоремы.
• Теорема Ландау о простых идеалах для обобщения на простые идеалы в полях алгебраических чисел.
• Гипотеза Римана

Цитаты

1. Адамар, Жак (1896), «Sur la Distribution des Zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences arithmétiques.», Bulletin de la Société Mathématique de France , Société Mathématique de France, 24 : 199–220, заархивировано из оригинал от 17 июля 2012 г.
2. de la Vallée Poussin, Шарль-Жан (1896), «Аналитические исследования по теории премьер-министров», Annales de la Société scientifique de Bruxelles , Imprimeur de l'Académie Royale de Belgique, 20 B, 21 B: 183 –256, 281–352, 363–397, 351–368
3. Хоффман, Пол (1998). Человек, который любил только цифры . Нью-Йорк: Книги Гипериона. п. 227. ИСБН 978-0-7868-8406-3. МР  1666054.
4. "Prime Curios!: 8512677386048191063" . Премьер-любопытство! . Университет Теннесси в Мартине. 09.10.2011.
5. М. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике (1-е изд.). Спрингер. стр. 80–82. дои : 10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4.
6. М. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике (1-е изд.). Спрингер. стр. 92–94. дои : 10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4.
7. Гаусс, CF (1863), Werke, том. 2 (1-е изд.), Геттинген: Тойбнер, стр. 444–447..
8. Коста Перейра, Н. (август – сентябрь 1985 г.). «Краткое доказательство теоремы Чебышева». Американский математический ежемесячник . 92 (7): 494–495. дои : 10.2307/2322510. JSTOR  2322510.
9. Наир, М. (февраль 1982 г.). «О неравенствах типа Чебышева для простых чисел». Американский математический ежемесячник . 89 (2): 126–129. дои : 10.2307/2320934. JSTOR  2320934.
10. Ингхэм, AE (1990). Распределение простых чисел . Издательство Кембриджского университета. стр. 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
11. Сельберг, Атл ​​(1949), «Элементарное доказательство теоремы о простых числах», Annals of Mathematics , 50 (2): 305–313, doi : 10.2307/1969455, JSTOR  1969455, MR  0029410, S2CID  124153092
12. Эрдеш, Пол (1949-07-01), «О новом методе в элементарной теории чисел, который приводит к элементарному доказательству теоремы о простых числах» (PDF) , Труды Национальной академии наук , США: Национальная академия наук, 35 (7): 374–384, Бибкод : 1949PNAS...35..374E, doi : 10.1073/pnas.35.7.374 , PMC 1063042 , PMID  16588909 
13. Ньюман, Дональд Дж. (1980). «Простое аналитическое доказательство теоремы о простых числах». Американский математический ежемесячник . 87 (9): 693–696. дои : 10.2307/2321853. JSTOR  2321853. MR  0602825.
14. Загер, Дон (1997). «Краткое доказательство Ньюмана теоремы о простых числах». Американский математический ежемесячник . 104 (8): 705–708. дои : 10.2307/2975232. JSTOR  2975232. MR  1476753.
15. Тао, Теренс (10 декабря 2014 г.). «254A, Примечания 2: Комплексно-аналитическая мультипликативная теория чисел». Блог Теренса Тао .
16. Эдвардс, Гарольд М. (2001). Дзета-функция Римана . Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-41740-0.
17. де ла Валле Пуссен, Шарль-Жан (1899), «Sur la fonction ζ (s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs a une limite donnée», Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique , Imprimeur de l' Королевская академия Бельгии, 59 : 1–74.
18. Кевин Форд (2002). «Интеграл Виноградова и границы дзета-функции Римана» (PDF) . Учеб. Лондонская математика. Соц . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . дои : 10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
19. Тим Трудджиан (февраль 2016 г.). «Обновление ошибки в теореме о простых числах». Журнал Рамануджана . 39 (2): 225–234. arXiv : 1401.2689 . дои : 10.1007/s11139-014-9656-6. S2CID  11013503.
20. фон Кох, Хельге (1901). «Sur la Distribution des Nombres Premiers» [О распределении простых чисел]. Acta Mathematica (на французском языке). 24 (1): 159–182. дои : 10.1007/BF02403071 . MR  1554926. S2CID  119914826.
21. Шенфельд, Лоуэлл (1976). «Уточнение оценок для функций Чебышева ϑ ( x ) и ψ ( x ) . II». Математика вычислений . 30 (134): 337–360. дои : 10.2307/2005976. JSTOR  2005976. МР  0457374.
22. Йоргенсен, Бент; Мартинес, Хосе Рауль; Цао, Мин (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Скандинавский статистический журнал . 21 (3): 223–243. JSTOR  4616314. MR  1292637.
23. Литтлвуд, Дж. Э. (1914). «Сюр-ла-распространение имен премьер-министров». Комптес Рендус . 158 : 1869–1872. ЖФМ  45.0305.01.
24. Голдфельд, Дориан (2004). «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . В Чудновском, Дэвид; Чудновский, Григорий; Натансон, Мелвин (ред.). Теория чисел (Нью-Йорк, 2003) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 179–192. дои : 10.1007/978-1-4419-9060-0_10. ISBN 978-0-387-40655-8. МР  2044518.
25. Баас, Нильс А.; Скау, Кристиан Ф. (2008). «Повелитель чисел Атле Сельберг. О его жизни и математике» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 617–649. дои : 10.1090/S0273-0979-08-01223-8 . МР  2434348.
26. Корнарос, Хараламбос; Димитракопулос, Костас (1994). «Теорема о простых числах и фрагменты PA» (PDF) . Архив математической логики . 33 (4): 265–281. дои : 10.1007/BF01270626. MR  1294272. S2CID  29171246. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 г.
27. Авигад, Джереми; Доннелли, Кевин; Грей, Дэвид; Рафф, Пол (2008). «Формально проверенное доказательство теоремы о простых числах». Транзакции ACM в вычислительной логике . 9 (1): 2. arXiv : cs/0509025 . дои : 10.1145/1297658.1297660. МР  2371488. S2CID  7720253.
28. Харрисон, Джон (2009). «Формализация аналитического доказательства теоремы о простых числах». Журнал автоматизированного рассуждения . 43 (3): 243–261. CiteSeerX 10.1.1.646.9725 . дои : 10.1007/s10817-009-9145-6. МР  2544285. S2CID  8032103. 
29. Сопроунов, Иван (1998). «Краткое доказательство теоремы о простых числах для арифметических прогрессий». Огайо: Государственный университет Кливленда .
30. Беннетт, Майкл А.; Мартин, Грег; О'Брайант, Кевин; Рехницер, Эндрю (2018). «Явные оценки простых чисел в арифметических прогрессиях». Иллинойс Дж. Математика . 62 (1–4): 427–532. arXiv : 1802.00085 . дои : 10.1215/ijm/1552442669. S2CID  119647640.
31. Гранвиль, Эндрю ; Мартин, Грег (2006). «Гонки за простые числа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (1): 1–33. дои : 10.2307/27641834. JSTOR  27641834. МР  2202918.
32. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . А4. ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.
33. Дюсар, Пьер (26 мая 1998 г.). Автор функции, которая является именем премьер-министра. Департамент математики (докторская диссертация) (на французском языке). Лимож, Франция: Университет Лиможа.
34. Россер, Баркли (1941). «Явные оценки некоторых функций простых чисел». Американский журнал математики . 63 (1): 211–232. дои : 10.2307/2371291. JSTOR  2371291. MR  0003018.
35. Дюсар, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без учета RH». arXiv : 1002.0442 [math.NT].
36. Чезаро, Эрнесто (1894). «Sur une Formulae Empirique de M. Pervouchine». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 119 : 848–849.
37. Дюсар, Пьер (1999). «K-е простое число больше k(log k + log log k−1) для k ≥ 2». Математика вычислений . 68 (225): 411–415. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01037-6 . МР  1620223.
38. «Условное вычисление π (1024)» . Крис К. Колдуэлл. Архивировано из оригинала 4 августа 2010 г. Проверено 3 августа 2010 г.
39. Платт, Дэвид (2015). «Аналитическое вычисление π ( x ) ». Математика вычислений . 84 (293): 1521–1535. arXiv : 1203.5712 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02884-6. MR  3315519. S2CID  119174627.
40. Чеболу, Сунил; Минач, Ян (декабрь 2011 г.). «Подсчет неприводимых многочленов над конечными полями с использованием принципа исключения π ». Журнал «Математика» . 84 (5): 369–371. arXiv : 1001.0409 . дои : 10.4169/math.mag.84.5.369. JSTOR  10.4169/math.mag.84.5.369. S2CID  115181186.

Рекомендации

• Гранвилл, Эндрю (1995). «Харальд Крамер и распределение простых чисел» (PDF) . Скандинавский актуарный журнал . 1 :12–28. CiteSeerX  10.1.1.129.6847 . дои : 10.1080/03461238.1995.10413946.
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Акта Математика . 41 : 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . S2CID  53405990.
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1-е изд. 1938], «Введение в теорию чисел» , отредактированное Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом , с предисловием Эндрю Уайлса (6-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8
• Наркевич, Владислав (2000), Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда , Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-13157-2, ISBN 978-3-540-66289-1, ISSN  1439-7382

Внешние ссылки

• «Распределение простых чисел», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблица простых чисел Антона Фелькеля.
• Короткое видео, визуализирующее теорему о простых числах.
• Формулы простых чисел и теорема о простых числах в MathWorld .
• Сколько существует простых чисел? Архивировано 15 октября 2012 г. в Wayback Machine и The Gaps Between Primes Крисом Колдуэллом, Университет Теннесси в Мартине .
• Таблицы функций счета простых чисел Томаса Оливейры и Сильвы
• Эберл, Мануэль и Полсон, LC Теорема о простых числах (разработка формального доказательства в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)
• Теорема о простых числах: «элементарное» доказательство — изложение элементарного доказательства теоремы о простых числах Атле Сельберга и Пауля Эрдеша на www.dimostriamogoldbach.it/en/