Логарифмическая интегральная функция

Специальная функция, определяемая интегралом

График логарифмической интегральной функции li(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике логарифмическая интегральная функция или интегральный логарифм li( x ) является специальной функцией . Он актуален в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме о простых числах , это очень хорошее приближение к функции подсчета простых чисел , которая определяется как количество простых чисел, меньших или равных заданному значению . ${\displaystyle x}$

График логарифмической интегральной функции

Интегральное представление

Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определяемое для всех положительных действительных чисел x  ≠ 1 определенным интегралом

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Здесь ln обозначает натуральный логарифм . Функция 1/(ln t ) имеет особенность при t = 1 , а интеграл при x > 1 интерпретируется как главное значение Коши :

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

Смещенный логарифмический интеграл

Логарифмический интеграл смещения или логарифмический интеграл Эйлера определяется как

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Эквивалентно,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

Особые значения

Функция li( x ) имеет единственный положительный ноль; это происходит при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; это число известно как константа Рамануджана-Сольднера .

li(Li^-1(0)) = li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284

Вот где неполная гамма-функция . Его следует понимать как главное значение функции Коши. ${\displaystyle -(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )}$ ${\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}$

Представление серии

Функция li( x ) связана с экспоненциальным интегралом Ei( x ) уравнением

${\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!}$

что справедливо для x  > 0. Это тождество обеспечивает последовательное представление li( x ) как

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,}$

где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 — постоянная Эйлера–Машерони . Более быстро сходящийся ряд Рамануджана ^[1] имеет вид

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Асимптотическое расширение

Асимптотическое поведение при x  → ∞ имеет вид

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

где большая буква О ? Полное асимптотическое разложение есть ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

или

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Это дает следующее более точное асимптотическое поведение:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

В качестве асимптотического разложения этот ряд не сходится : он является разумным приближением только в том случае, если ряд усекается при конечном числе членов и используются только большие значения x . Это разложение непосредственно следует из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .

Это означает, например, что мы можем заключить li в скобки:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

для всех . ${\displaystyle \ln x\geq 11}$

Теоретико-числовое значение

Логарифмический интеграл важен в теории чисел , поскольку появляется в оценках количества простых чисел , меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах гласит:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

где обозначает количество простых чисел, меньших или равных . ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

Принимая гипотезу Римана , мы получаем еще более сильную: ^[2]

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

Фактически гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$для любого . ${\displaystyle a>0}$

Для небольших , но разница меняет знак по мере увеличения бесконечное число раз, и первый раз это происходит где-то между 10 ¹⁹ и 1,4×10 ³¹⁶ . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Йорген Педерсен Грам
• номер Скьюса
• Список интегралов логарифмических функций

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмический интеграл». Математический мир .
2. Абрамовиц и Стегун, с. 230, 5.1.20

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 5». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 228. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Темме, Нью-Мексико (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусоидальные интегралы», в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.