Экспоненциальный интеграл

Специальная функция, определяемая интегралом

График показательной интегральной функции E n(z) с n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике экспоненциальный интеграл Ei — это специальная функция на комплексной плоскости .

Он определяется как один определенный интеграл отношения между показательной функцией и ее аргументом .

Определения

Для действительных ненулевых значений  x экспоненциальный интеграл Ei( x ) определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}$

Алгоритм Риша показывает, что Ei не является элементарной функцией . Приведенное выше определение можно использовать для положительных значений  x , но интеграл следует понимать в терминах главного значения Коши из-за особенности подынтегральной функции в нуле.

Для комплексных значений аргумента определение становится неоднозначным из-за точек ветвления в точках 0 и . ^[1] Вместо Ei используются следующие обозначения: ^[2] ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi }$

График экспоненциальной интегральной функции Ei(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Для положительных значений  x мы имеем . ${\displaystyle -E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)}$

В общем случае разрез ветки делается на отрицательной действительной оси, и E ₁ может быть определено путем аналитического продолжения в другом месте комплексной плоскости.

Для положительных значений действительной части это можно записать ^[3] ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.}$

Поведение E ₁ вблизи среза ветки можно увидеть по следующему соотношению: ^[4]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Характеристики

Некоторые свойства экспоненциального интеграла, приведенные ниже, в некоторых случаях позволяют избежать его явного вычисления посредством приведенного выше определения.

Конвергентный ряд

График функции (вверху) и функции (внизу). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$

Для вещественных или сложных аргументов, отклоняющихся от отрицательной вещественной оси, их можно выразить как ^[5] ${\displaystyle E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}$

где – постоянная Эйлера–Машерони . Сумма сходится для всех комплексных , и мы берем обычное значение комплексного логарифма , имеющего разрез по отрицательной вещественной оси. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

Эту формулу можно использовать для вычислений с операциями с плавающей запятой для вещественных чисел от 0 до 2,5. Для результат неточен из-за отмены . ${\displaystyle E_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>2.5}$

Рамануджан нашел более быстро сходящийся ряд :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Эти чередующиеся ряды также можно использовать для получения хороших асимптотических оценок для малых ^x , ^{например :}

${\displaystyle 1-{\frac {3x}{4}}\leq {\rm {Ei}}(x)-\gamma -\ln x\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}}$

для . ${\displaystyle x\geq 0}$

Асимптотический (расходящийся) ряд

Относительная погрешность асимптотического приближения для различного числа членов усеченной суммы ${\displaystyle ~N~}$

К сожалению, сходимость приведенного выше ряда происходит медленно для аргументов большего модуля. Например, чтобы получить правильный ответ с точностью до трех значащих цифр для , требуется более 40 терминов . ^[6] Однако для положительных значений x существует аппроксимация расходящимся рядом, которую можно получить путем интегрирования по частям: ^[7] ${\displaystyle E_{1}(10)}$ ${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}$

Относительная ошибка приведенного выше приближения показана на рисунке справа для различных значений , количества членов в усеченной сумме ( красным, розовым). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=5}$

Асимптотика вне всех порядков

Интегрируя по частям, можно получить явную формулу ^[8]

$${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |e_{n}(z)|}$ ${\displaystyle n\sim |z|}$ ${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

Экспоненциальное и логарифмическое поведение: брекетинг

Брекетинг по элементарным функциям ${\displaystyle E_{1}}$

Из двух рядов, предложенных в предыдущих подразделах, следует, что ведет себя как отрицательная экспонента для больших значений аргумента и как логарифм для малых значений. Для положительных действительных значений аргумента элементарные функции могут быть заключены в скобки следующим образом: ^[9] ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

Левая часть этого неравенства показана на графике слева синим цветом; центральная часть показана черным, а правая часть — красным. ${\displaystyle E_{1}(x)}$

Определение Эйна

И то , и другое можно записать проще, используя всю функцию ^[10] , определенную как ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(обратите внимание, что это всего лишь знакопеременный ряд в приведенном выше определении ). Тогда у нас есть ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}}$

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0}$

Связь с другими функциями

Уравнение Куммера

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

обычно решается с помощью конфлюэнтных гипергеометрических функций и Но когда и то есть, ${\displaystyle M(a,b,z)}$ ${\displaystyle U(a,b,z).}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1,}$

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

у нас есть

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

для всех з . Второе решение тогда дается E ₁ (− z ). Фактически,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

с производной, оцененной в Другая связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями состоит в том, что E ₁ представляет собой экспоненциальное произведение функции U (1,1, z ): ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

Экспоненциальный интеграл тесно связан с логарифмической интегральной функцией li( x ) формулой

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

для ненулевых действительных значений . ${\displaystyle x}$

Обобщение

Экспоненциальный интеграл также можно обобщить на

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

которую можно записать как частный случай верхней неполной гамма-функции : ^[11]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

Обобщенную форму иногда называют функцией Мисры ^[12] и определяют как ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Многие свойства этой обобщенной формы можно найти в цифровой библиотеке математических функций NIST.

Включение логарифма определяет обобщенную интегро-экспоненциальную функцию ^[13]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Неопределенный интеграл:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint e^{ab}\,da\,db}$

по форме аналогична обычной производящей функции для числа делителей : ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }d(n)x^{n}=\sum \limits _{a=1}^{\infty }\sum \limits _{b=1}^{\infty }x^{ab}}$

Производные

Производные обобщенных функций можно вычислить по формуле ^[14] ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что функцию легко вычислить (что делает эту рекурсию полезной), поскольку она всего лишь . ^[15] ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle e^{-z}/z}$

Экспоненциальный интеграл мнимого аргумента

${\displaystyle E_{1}(ix)}$против ; Реальная часть черная, мнимая часть красная. ${\displaystyle x}$

Если мнимое, оно имеет неотрицательную действительную часть, поэтому мы можем использовать формулу ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

чтобы получить связь с тригонометрическими интегралами и : ${\displaystyle \operatorname {Si} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ci} }$

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Действительная и мнимая части изображены на рисунке справа черными и красными кривыми. ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$

Приближения

Существует ряд приближений экспоненциальной интегральной функции. К ним относятся:

• Приближение Свами и Охиджи ^[16]
  $${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$$
  где
  $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$$
• Приближение Аллена и Гастингса ^{[16] [17]}
  $${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$$
  где
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$$
• Расширение непрерывной фракции ^[17]
  $${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$
• Аппроксимация Barry et al. ^[18]
  $${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$$
  где:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$$
  где константа Эйлера -Машерони . ${\displaystyle \gamma }$

Приложения

• Зависящая от времени теплопередача
• Неравновесный поток подземных вод в решении Тайса (называемый функцией скважины )
• Перенос излучения в звездных и планетных атмосферах
• Уравнение радиальной диффузии для неустановившегося или нестационарного течения с линейными источниками и стоками
• Решения уравнения переноса нейтронов в упрощенных одномерных геометриях ^[19]

Смотрите также

• Интеграл Гудвина – Стейтона
• Функции Бикли – Нейлора

Примечания

1. Абрамовиц и Стегун, с. 228
2. Абрамовиц и Стегун, с. 228, 5.1.1
3. Абрамовиц и Стегун, с. 228, 5.1.4 при n  = 1
4. Абрамовиц и Стегун, с. 228, 5.1.7
5. Абрамовиц и Стегун, с. 229, 5.1.11
6. Блейстейн и Хандельсман, с. 2
7. Блейстейн и Хандельсман, с. 3
8. О'Мэлли, Роберт Э. (2014), О'Мэлли, Роберт Э. (редактор), «Асимптотические аппроксимации», Историческое развитие сингулярных возмущений , Cham: Springer International Publishing, стр. 27–51, doi : 10.1007 /978-3-319-11924-3_2, ISBN 978-3-319-11924-3, получено 4 мая 2023 г.
9. Абрамовиц и Стегун, с. 229, 5.1.20
10. Абрамовиц и Стегун, с. 228, см. сноску 3.
11. Абрамовиц и Стегун, с. 230, 5.1.45
12. По Мисре (1940), с. 178
13. Милгрэм (1985)
14. Абрамовиц и Стегун, с. 230, 5.1.26
15. Абрамовиц и Стегун, с. 229, 5.1.24
16. Джао, Фам Хай (1 мая 2003 г.). «Возврат к аппроксимации функций скважины и простой метод сопоставления графических кривых для решения Тейса». Грунтовые воды . 41 (3): 387–390. doi :10.1111/j.1745-6584.2003.tb02608.x. ISSN  1745-6584. PMID  12772832. S2CID  31982931.
17. Ценг, Пэн-Сян; Ли, Тянь-Чанг (26 февраля 1998 г.). «Численная оценка экспоненциального интеграла: аппроксимация функции Тейса». Журнал гидрологии . 205 (1–2): 38–51. Бибкод : 1998JHyd..205...38T. дои : 10.1016/S0022-1694(97)00134-0.
18. Барри, Д.А.; Парланж, Ж.-Ю; Ли, Л (31 января 2000 г.). «Приближение экспоненциального интеграла (функция Тейсвелла)». Журнал гидрологии . 227 (1–4): 287–291. Бибкод : 2000JHyd..227..287B. дои : 10.1016/S0022-1694(99)00184-5.
19. Джордж И. Белл; Сэмюэл Гласстоун (1970). Теория ядерного реактора . Компания Ван Ностранд Рейнхольд.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Ирен Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Абрамовиц и Стегун . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0., Глава 5.
• Бендер, Карл М.; Стивен А. Орзаг (1978). Передовые математические методы для ученых и инженеров . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Блейстейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов . Дувр. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Басбридж, Ида В. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и вычислении некоторых связанных с ней интегралов». Кварта. Дж. Математика. (Оксфорд) . 1 (1): 176–184. Бибкод : 1950QJMat...1..176B. дои : 10.1093/qmath/1.1.176.
• Станкевич, А. (1968). «Таблицы интегро-показательных функций». Акта Астрономика . 18 : 289. Бибкод : 1968AcA....18..289S.
• Шарма, РР; Зохури, Бахман (1977). «Общий метод точного вычисления экспоненциальных интегралов E ₁ (x), x>0». Дж. Компьютер. Физ . 25 (2): 199–204. Бибкод : 1977JCoPh..25..199S. дои : 10.1016/0021-9991(77)90022-5.
• Кёлбиг, К.С. (1983). «Об интеграле exp(−μt)tν−1logmt dt». Математика. Вычислить . 41 (163): 171–182. дои : 10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1 .
• Милгрэм, MS (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция». Математика вычислений . 44 (170): 443–458. дои : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR  2007964. МР  0777276.
• Мишра, Рама Дхар; Борн, М. (1940). «Об устойчивости кристаллических решеток. II». Математические труды Кембриджского философского общества . 36 (2): 173. Бибкод : 1940PCPS...36..173M. дои : 10.1017/S030500410001714X. S2CID  251097063.
• Чикколи, К.; Лоренцутта, С.; Майно, Г. (1988). «О вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E _ν (x)». Дж. Компьютер. Физ . 78 (2): 278–287. Бибкод : 1988JCoPh..78..278C. дои : 10.1016/0021-9991(88)90050-2.
• Чикколи, К.; Лоренцутта, С.; Майно, Г. (1990). «Последние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов». Компьютерная математика. Приложение . 19 (5): 21–29. дои : 10.1016/0898-1221(90)90098-5.
• Маклауд, Аллан Дж. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 148 (2): 363–374. дои : 10.1016/S0377-0427(02)00556-3 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Темме, Нью-Мексико (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусоидальные интегралы», в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.

Внешние ссылки

• «Интегральная показательная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Документация NIST по обобщенному экспоненциальному интегралу
• Вайсштейн, Эрик В. «Экспоненциальный интеграл». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «En-Function». Математический мир .
• «Экспоненциальный интеграл Ei». Сайт функций Wolfram .
• Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусоидальные интегралы в DLMF .