Шриниваса Рамануджан

Индийский математик (1887–1920).

Шриниваса Рамануджан ФРС ( / ˈ s r iː n ɪ v ɑː s ə r ɑː ˈ m ɑː n ʊ dʒ ən / SREE -nih-vah-sə rah- MAH -nuuj-ən ; ^[1] урожденный Шриниваса Рамануджан Айянгар , тамильский: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) ^{[2] [3]} — индийский математик . Хотя у него почти не было формального образования в области чистой математики , он внес существенный вклад в математический анализ , теорию чисел , бесконечные ряды и непрерывные дроби , включая решения математических проблем, которые тогда считались неразрешимыми.

Рамануджан первоначально разработал свои собственные математические исследования изолированно. По словам Ганса Айзенка , «он пытался заинтересовать своими работами ведущих профессиональных математиков, но по большей части потерпел неудачу. То, что он должен был им показать, было слишком новым, слишком незнакомым и к тому же представленным необычными способами; их это не могло беспокоить». ". ^[4] В поисках математиков, которые могли бы лучше понять его работу, в 1913 году он начал почтовую переписку с английским математиком Г.Х. Харди из Кембриджского университета , Англия. Признав работу Рамануджана выдающейся, Харди организовал его поездку в Кембридж. В своих заметках Харди отметил, что Рамануджан выдвинул новые новаторские теоремы , в том числе некоторые, которые «полностью меня победили; я никогда раньше не видел ничего подобного им» ^[5] , а также некоторые недавно доказанные, но весьма продвинутые результаты.

За свою короткую жизнь Рамануджан самостоятельно собрал около 3900 результатов (в основном тождества и уравнения ). ^[6] Многие из них были совершенно новыми; его оригинальные и весьма нетрадиционные результаты, такие как простое число Рамануджана , тета-функция Рамануджана , формулы разделения и ложные тета-функции , открыли совершенно новые области работы и вдохновили на огромное количество дальнейших исследований. ^[7] Из тысяч его результатов все, за исключением дюжины или двух, оказались верными. ^[8] The Ramanujan Journal , научный журнал , был основан для публикации работ во всех областях математики, на которые повлиял Рамануджан, ^[9] и его записные книжки, содержащие краткое изложение его опубликованных и неопубликованных результатов, анализировались и изучались на протяжении десятилетий с момента его публикации. смерть как источник новых математических идей. Еще в 2012 году исследователи продолжали обнаруживать, что простые комментарии в его трудах о «простых свойствах» и «похожих результатах» для определенных результатов сами по себе были глубокими и тонкими результатами теории чисел, о которых не подозревали почти столетие после его смерти. ^{[10] [11]} Он стал одним из самых молодых членов Королевского общества и только вторым индийским членом и первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже . О своих оригинальных письмах Харди заявил, что одного взгляда было достаточно, чтобы показать, что они могли быть написаны только математиком высочайшего уровня, сравнивая Рамануджана с математическими гениями, такими как Эйлер и Якоби .

В 1919 году плохое состояние здоровья (теперь считается, что это был печеночный амебиаз (осложнение от эпизодов дизентерии , перенесенной много лет назад)) вынудило Рамануджана вернуться в Индию, где он умер в 1920 году в возрасте 32 лет. Его последние письма к Харди, написанные в 1919 году Январь 1920 года показывает, что он все еще продолжал выдвигать новые математические идеи и теоремы. Его « потерянная тетрадь », содержащая открытия последнего года его жизни, вызвала большое волнение среди математиков, когда она была вновь обнаружена в 1976 году.

Ранний период жизни

Место рождения Рамануджана на улице Алахири, 18, Эрод , сейчас в Тамил Наду.

Дом Рамануджана на улице Сарангапани Саннидхи, Кумбаконам

Рамануджан (буквально «младший брат Рамы », индуистского божества) ^[12] родился 22 декабря 1887 года в семье тамильского брамина Айенгара в Эроде , на территории современного штата Тамил Наду . ^[13] Его отец, Куппусвами Шриниваса Айенгар, родом из района Танджавур , работал клерком в магазине сари . ^{[14] [2]} Его мать, Комалатаммаль, была домохозяйкой и пела в местном храме. ^[15] Они жили в небольшом традиционном доме на улице Сарангапани Саннидхи в городе Кумбаконам . ^[16] Семейный дом теперь является музеем. Когда Рамануджану было полтора года, его мать родила сына Садагопана, который умер менее чем через три месяца. В декабре 1889 года Рамануджан заболел оспой , но выздоровел, в отличие от 4000 других людей, умерших в плохой год в районе Танджавур примерно в это же время. Он переехал с матерью в дом ее родителей в Канчипураме , недалеко от Мадраса (ныне Ченнаи ). Его мать родила еще двоих детей в 1891 и 1894 годах, оба умерли, не дожив до первого дня рождения. ^[12]

1 октября 1892 года Рамануджан был зачислен в местную школу. ^[17] После того, как его дед по материнской линии потерял работу судебного чиновника в Канчипураме, ^[18] Рамануджан и его мать вернулись в Кумбаконам , и он был зачислен в начальную школу Кангаян. ^[19] Когда его дедушка по отцовской линии умер, его отправили обратно к бабушке и дедушке по материнской линии, которые тогда жили в Мадрасе. Ему не нравилась школа в Мадрасе, и он старался избегать ее посещения. Его семья наняла местного констебля, чтобы он следил за тем, чтобы он посещал школу. Через шесть месяцев Рамануджан вернулся в Кумбаконам. ^[19]

Поскольку отец Рамануджана большую часть дня был на работе, о мальчике заботилась его мать, и у них были близкие отношения. От нее он узнал о традициях и пуранах , пении религиозных песен, посещении пудж в храме и соблюдении определенных привычек в еде — все это часть культуры брахманов . ^[20] В начальной школе Кангаян Рамануджан учился хорошо. Незадолго до того, как ему исполнилось 10 лет, в ноябре 1897 года, он сдал начальные экзамены по английскому, тамильскому языку , географии и арифметике, получив лучшие результаты в округе. ^[21] В том же году Рамануджан поступил в городскую среднюю школу , где впервые столкнулся с формальной математикой. ^[21]

Будучи вундеркиндом к 11 годам, он исчерпал математические знания двух студентов колледжа, которые проживали в его доме. Позже ему одолжили книгу С. Л. Лони по продвинутой тригонометрии. ^{[22] [23]} Он освоил это к 13 годам, самостоятельно открывая сложные теоремы. К 14 годам он получил грамоты и академические награды, которые продолжались на протяжении всей его школьной карьеры, и он помогал школе в распределении 1200 учеников (каждый с разными потребностями) к примерно 35 учителям. ^[24] Он сдал математические экзамены вдвое быстрее отведенного времени и показал знакомство с геометрией и бесконечными рядами . Рамануджану показали, как решать кубические уравнения в 1902 году. Позже он разработал свой собственный метод решения квартики . В 1903 году он пытался решить квинтику , не зная, что с радикалами ее решить невозможно. ^[25]

В 1903 году, когда ему было 16 лет, Рамануджан получил от друга библиотечный экземпляр «Краткого обзора элементарных результатов в области чистой и прикладной математики» , сборника Г.С. Карра, состоящего из 5000 теорем. ^{[26] [27]} Сообщается, что Рамануджан подробно изучил содержание книги. ^[28] В следующем году Рамануджан самостоятельно разработал и исследовал числа Бернулли и рассчитал константу Эйлера-Машерони с точностью до 15 десятичных знаков. ^[29] Его сверстники в то время говорили, что «редко понимали его» и «испытывали к нему почтительный трепет». ^[24]

Когда в 1904 году он окончил городскую среднюю школу, Рамануджан был награжден премией К. Ранганатхи Рао по математике от директора школы Кришнасвами Айера. Айер представил Рамануджана как выдающегося ученика, заслуживающего оценок выше максимальных. ^[30] Он получил стипендию для обучения в Государственном колледже искусств в Кумбаконаме , ^{[31] [32]} , но был настолько увлечен математикой, что не мог сосредоточиться ни на каких других предметах и ​​провалил большинство из них, потеряв при этом стипендию. ^[33] В августе 1905 года Рамануджан сбежал из дома, направляясь в сторону Вишакхапатнама , и пробыл в Раджамандри ^[34] около месяца. ^[33] Позже он поступил в колледж Пачайяппы в Мадрасе. Там он сдал экзамен по математике, предпочитая только пытаться задавать вопросы, которые его интересовали, а остальные оставлял без ответа, но показал плохие результаты по другим предметам, таким как английский, физиология и санскрит. ^[35] Рамануджан провалил экзамен на степень магистра искусств в декабре 1906 года и снова год спустя. Не имея степени FA, он бросил колледж и продолжил проводить независимые исследования в области математики, живя в крайней нищете и часто на грани голодной смерти. ^[36]

В 1910 году, после встречи 23-летнего Рамануджана с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айером , Рамануджан начал получать признание в математических кругах Мадраса, что привело к его включению в качестве исследователя Мадрасского университета. . ^[37]

Взрослая жизнь в Индии

14 июля 1909 года Рамануджан женился на Джанаки (Джанакиаммал; 21 марта 1899 - 13 апреля 1994), ^[38] девушке, которую его мать выбрала для него годом ранее, которой было десять лет, когда они поженились. ^{[39] [40] [41]} Тогда не было ничего необычного в том, что браки заключались с девочками в молодом возрасте. Джанаки был родом из Раджендрама, деревни недалеко от железнодорожной станции Марудур ( район Карур ). Отец Рамануджана не участвовал в церемонии бракосочетания. ^[42] Как это было принято в то время, Джанаки продолжала оставаться в своем материнском доме в течение трех лет после замужества, пока не достигла половой зрелости. В 1912 году она и мать Рамануджана присоединились к Рамануджану в Мадрасе. ^[43]

Рамануджан сидит один

После свадьбы у Рамануджана развилась гидроцеле яичка . ^[44] Это состояние можно было вылечить с помощью обычной хирургической операции, которая высвободила бы заблокированную жидкость в мошонке, но его семья не могла позволить себе операцию. В январе 1910 года врач вызвался провести операцию бесплатно. ^[45]

После успешной операции Рамануджан начал искать работу. Он остановился в доме друга и ходил от двери к двери Мадраса в поисках канцелярской должности. Чтобы заработать деньги, он обучал студентов Президентского колледжа, которые готовились к экзамену на степень магистра искусств. ^[46]

В конце 1910 года Рамануджан снова заболел. Он опасался за свое здоровье и велел своему другу Р. Радакришне Айеру «передать [его тетради] профессору Сингаравелу Мудалиару [профессору математики в колледже Пачайяппы] или британскому профессору Эдварду Б. Россу из Мадрасского христианского колледжа . " ^[47] После того, как Рамануджан выздоровел и забрал свои записные книжки у Айера, он сел на поезд из Кумбаконама в Виллупурам , город под контролем Франции. ^{[48] ​​[49]} В 1912 году Рамануджан переехал со своей женой и матерью в дом на улице Сайва Мутайя Мудали в Джорджтауне , Мадрас , где они прожили несколько месяцев. ^[50] В мае 1913 года, получив исследовательскую должность в Мадрасском университете, Рамануджан переехал со своей семьей в Трипликан . ^[51]

Стремление к карьере в области математики

В 1910 году Рамануджан познакомился с заместителем коллекционера В. Рамасвами Айером , основателем Индийского математического общества. ^[52] Желая получить работу в налоговом отделе, где работал Айер, Рамануджан показал ему свои тетради по математике. Как позже вспоминал Айер:

Меня поразили необычайные математические результаты, содержащиеся в [тетради]. У меня не было намерения задушить его гений назначением на самые низшие ступени налогового департамента. ^[53]

Айер отправил Рамануджана с рекомендательными письмами своим друзьям-математикам в Мадрасе. ^[52] Некоторые из них просмотрели его работу и дали ему рекомендательные письма к Р. Рамачандре Рао , районному коллекционеру Неллора и секретарю Индийского математического общества. ^{[54] [55] [56]} Рао был впечатлен исследованием Рамануджана, но сомневался, что это была его собственная работа. Рамануджан упомянул переписку, которую он имел с профессором Салдханой, известным бомбейским математиком, в которой Салдхана выразил непонимание его работы, но пришел к выводу, что он не был мошенником. ^[57] Друг Рамануджана К.В. Раджагопалачари пытался развеять сомнения Рао в академической честности Рамануджана. Рао согласился дать ему еще один шанс и послушал, как Рамануджан обсуждал эллиптические интегралы , гипергеометрические ряды и свою теорию расходящихся рядов , что, по словам Рао, в конечном итоге убедило его в гениальности Рамануджана. ^[57] Когда Рао спросил его, чего он хочет, Рамануджан ответил, что ему нужна работа и финансовая поддержка. Рао согласился и отправил его в Мадрас. Он продолжил свои исследования при финансовой помощи Рао. С помощью Айера Рамануджан опубликовал свою работу в Журнале Индийского математического общества. ^[58]

К Ананда Рау сидит с Рамануджаном

Одной из первых задач, которые он поставил в журнале ^[30] , было нахождение значения:

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

Он ждал решения по трем вопросам в течение шести месяцев, но не получил ни одного. В конце концов, Рамануджан сам предложил неполное ^[59] решение проблемы. На странице 105 своей первой записной книжки он сформулировал уравнение, которое можно было использовать для решения проблемы бесконечно вложенных радикалов .

${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\cdots }}}}}}}$

Используя это уравнение, ответ на вопрос, заданный в Журнале, был просто 3, полученный путем установки x = 2 , n = 1 и a = 0 . ^[60] Рамануджан написал свою первую официальную статью для журнала о свойствах чисел Бернулли . Он обнаружил одно свойство: знаменатели дробей чисел Бернулли (последовательность A027642 в OEIS ) всегда делятся на шесть. Он также разработал метод вычисления B _n на основе предыдущих чисел Бернулли. Один из этих методов следующий:

Заметим, что если n четно, но не равно нулю,

1. B _n — дробь, а числительБ _н/нв самом простом смысле это простое число,
2. знаменатель B _n содержит каждый из множителей 2 и 3 один и только один раз,
3. 2 ^н (2 ^н - 1)Б _н/нявляется целым числом и, следовательно , 2(2 ⁿ − 1) B _n является нечетным целым числом.

В своей 17-страничной статье «Некоторые свойства чисел Бернулли» (1911 г.) Рамануджан дал три доказательства, два следствия и три гипотезы. ^[61] Первоначально его сочинения имели много недостатков. Как отметил редактор журнала М.Т. Нараяна Айенгар:

Методы г-на Рамануджана были настолько краткими и новыми, а его изложениям настолько недоставало ясности и точности, что обычный [математический читатель], не привыкший к такой интеллектуальной гимнастике, едва мог следовать за ним. ^[62]

Позже Рамануджан написал еще одну статью, а также продолжал публиковать проблемы в журнале . ^[63] В начале 1912 года он получил временную работу в офисе генерального бухгалтера Мадраса с ежемесячной зарплатой в 20 рупий. Он продержался всего несколько недель. ^[64] Ближе к концу этого назначения он подал заявку на должность главного бухгалтера Мадрасского портового треста .

В письме от 9 февраля 1912 года Рамануджан писал:

Сэр,
 насколько я понимаю, в вашем офисе есть вакансия клерка, и я прошу подать на нее заявление. Я сдал вступительные экзамены и учился в FA, но мне помешали продолжить учебу из-за нескольких неблагоприятных обстоятельств. Однако я посвятил все свое время математике и развитию этого предмета. Могу сказать, что вполне уверен, что смогу достойно выполнить свою работу, если меня назначат на эту должность. Поэтому я прошу вас быть настолько любезными, чтобы назначить меня на эту должность. ^[65]

К его заявлению была приложена рекомендация от Э. У. Миддлмаста , профессора математики Президентского колледжа , который написал, что Рамануджан был «молодым человеком с исключительными способностями в математике». ^[66] Через три недели после подачи заявления, 1 марта, Рамануджан узнал, что его приняли на должность бухгалтера III и IV класса с зарплатой 30 рупий в месяц. ^[67] В своем офисе Рамануджан легко и быстро выполнял порученную ему работу, а свободное время проводил за математическими исследованиями. Босс Рамануджана, сэр Фрэнсис Спринг , и С. Нараяна Айер, коллега, который также был казначеем Индийского математического общества, поощряли Рамануджана в его математических занятиях. ^{[ нужна цитата ]}

Обращение к британским математикам

Весной 1913 года Нараяна Айер, Рамачандра Рао и Э. У. Миддлмаст попытались представить работу Рамануджана британским математикам. М.Дж.М. Хилл из Университетского колледжа Лондона отметил, что бумаги Рамануджана пронизаны дырами. ^[68] Он сказал, что, хотя Рамануджан имел «вкус к математике и некоторые способности», ему не хватало необходимого образования и фундамента, чтобы быть принятым математиками. ^[69] Хотя Хилл не предлагал Рамануджану взять его в качестве студента, он дал подробные и серьезные профессиональные советы по своей работе. С помощью друзей Рамануджан составил письма ведущим математикам Кембриджского университета. ^[70]

Первые два профессора, Х. Ф. Бейкер и Э. У. Хобсон , вернули статьи Рамануджану без комментариев. ^[71] 16 января 1913 года Рамануджан написал Г.Х. Харди . ^[72] Эти девять страниц математики, написанные неизвестным математиком, заставили Харди поначалу рассматривать рукописи Рамануджана как возможную подделку. ^[73] Харди признал некоторые формулы Рамануджана, но в другие «казалось, едва ли можно поверить». ^{[74] : 494} Одна из удивительных теорем, которую Харди нашел, была внизу третьей страницы (действительна для 0 < a < b +1/2):

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Харди также был впечатлен некоторыми другими работами Рамануджана, касающимися бесконечных рядов:

${\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}}$

${\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}$

Первый результат был уже определен Г. Бауэром в 1859 году. Второй был новым для Харди и был выведен из класса функций, называемых гипергеометрическими рядами , которые впервые исследовали Эйлер и Гаусс. Харди нашел эти результаты «гораздо более интригующими», чем работа Гаусса над интегралами. ^[75] Увидев теоремы Рамануджана о цепных дробях на последней странице рукописей, Харди сказал, что эти теоремы «победили меня полностью; я никогда раньше не видел ничего подобного им» ^[76] и что они «должны быть верными». потому что, если бы они не были правдой, ни у кого не хватило бы воображения их изобрести». ^[76] Харди попросил своего коллегу, Дж. Э. Литтлвуда , взглянуть на документы. Литтлвуд был поражен гением Рамануджана. Обсудив документы с Литтлвудом, Харди пришел к выводу, что письма были «определенно самыми замечательными, которые я получал» и что Рамануджан был «математиком высочайшего качества, человеком совершенно исключительной оригинальности и силы». ^{[74] : 494–495} Один коллега, Э. Х. Невилл , позже заметил, что «ни одна [теорема] не могла быть установлена ​​в ходе самого продвинутого математического исследования в мире». ^[63]

8 февраля 1913 года Харди написал Рамануджану письмо, в котором выразил интерес к его работе, добавив, что «очень важно, чтобы я увидел доказательства некоторых ваших утверждений». ^[77] Прежде чем его письмо прибыло в Мадрас в течение третьей недели февраля, Харди связался с индийским офисом, чтобы спланировать поездку Рамануджана в Кембридж. Секретарь Консультативного комитета индийских студентов Артур Дэвис встретился с Рамануджаном, чтобы обсудить поездку за границу. ^[78] В соответствии со своим браминским воспитанием, Рамануджан отказался покинуть свою страну, чтобы « пойти в чужую землю ». ^[79] Тем временем он отправил Харди письмо, наполненное теоремами, в котором написал: «Я нашел в тебе друга, который с сочувствием относится к моему труду». ^[80]

В дополнение к поддержке Харди Гилберт Уокер , бывший преподаватель математики в Тринити-колледже в Кембридже , посмотрел на работу Рамануджана и выразил изумление, призывая молодого человека провести время в Кембридже. ^[81] В результате одобрения Уокера Б. Хануманта Рао, профессор математики инженерного колледжа, пригласил коллегу Рамануджана Нараяну Айера на заседание Совета по исследованиям по математике, чтобы обсудить, «что мы можем сделать для С. Рамануджана». . ^[82] Совет согласился предоставить Рамануджану ежемесячную исследовательскую стипендию в размере 75 рупий в течение следующих двух лет в Мадрасском университете . ^[83]

Пока он был студентом-исследователем, Рамануджан продолжал подавать статьи в Журнал Индийского математического общества. В одном случае Айер представил в журнал некоторые теоремы Рамануджана о суммировании рядов, добавив: «Следующая теорема принадлежит С. Рамануджану, студенту-математику Мадрасского университета». Позже в ноябре британский профессор Эдвард Б. Росс из Мадрасского христианского колледжа , с которым Рамануджан познакомился несколько лет назад, однажды ворвался в его класс с горящими глазами и спросил своих студентов: «Знает ли Рамануджан польский язык?» Причина заключалась в том, что в одной статье Рамануджан предвосхитил работу польского математика, чья статья только что пришла по почте. ^[84] В своих ежеквартальных статьях Рамануджан разработал теоремы, облегчающие решение определенных интегралов. Опираясь на интегральную теорему Джулиано Фруллани 1821 года, Рамануджан сформулировал обобщения, которые можно было сделать для оценки ранее неподатливых интегралов. ^[85]

Переписка Харди с Рамануджаном испортилась после того, как Рамануджан отказался приехать в Англию. Харди поручил своему коллеге, читавшему лекции в Мадрасе, Э. Х. Невиллу, стать наставником и привезти Рамануджана в Англию. ^[86] Невилл спросил Рамануджана, почему он не поедет в Кембридж. Рамануджан, очевидно, теперь принял это предложение; Невилл сказал: «Рамануджан не нуждался в обращении» и «противодействие его родителей было снято». ^[63] Судя по всему, матери Рамануджана приснился яркий сон, в котором семейная богиня, божество Намагири , приказала ей «больше не стоять между сыном и достижением цели его жизни». ^[63] 17 марта 1914 года Рамануджан отправился в Англию на корабле, ^[87] оставив жену остаться с родителями в Индии. ^{[ нужна цитата ]}

Жизнь в Англии

Рамануджан (в центре) и его коллега Г.Х. Харди (крайний справа) с другими учеными возле здания Сената, Кембридж , около 1914–1919 гг.

Суд Уэвелла, Тринити-колледж, Кембридж

Рамануджан отбыл из Мадраса на борту парохода « Неваса» 17 марта 1914 года. ^[88] Когда он высадился в Лондоне 14 апреля, его ждал Невилл на машине. Четыре дня спустя Невилл отвез его к себе домой на Честертон-роуд в Кембридже. Рамануджан немедленно начал свою работу с Литтлвудом и Харди. Через шесть недель Рамануджан покинул дом Невилла и поселился на Уэвеллс-Корт, в пяти минутах ходьбы от комнаты Харди. ^[89]

Страница «Основная теорема» Рамануджана

Харди и Литтлвуд принялись просматривать тетради Рамануджана. Харди уже получил от Рамануджана 120 теорем в первых двух письмах, но результатов и теорем в тетрадях было гораздо больше. Харди увидел, что некоторые из них были неправы, другие уже были обнаружены, а остальные были новыми прорывами. ^[90] Рамануджан произвел глубокое впечатление на Харди и Литтлвуда. Литлвуд прокомментировал: «Я могу поверить, что он, по крайней мере, Якоби », ^[91] в то время как Харди сказал, что «может сравнивать его только с Эйлером или Якоби». ^[92]

Рамануджан провел почти пять лет в Кембридже , сотрудничая с Харди и Литтлвудом, и опубликовал там часть своих открытий. Харди и Рамануджан были очень разными личностями. Их сотрудничество представляло собой столкновение разных культур, верований и стилей работы. В предыдущие несколько десятилетий основы математики оказались под вопросом, и была признана необходимость математически строгих доказательств. Харди был атеистом и апостолом доказательства и математической строгости, тогда как Рамануджан был глубоко религиозным человеком, который очень сильно полагался на свою интуицию и проницательность. Харди изо всех сил старался заполнить пробелы в образовании Рамануджана и научить его нуждаться в формальных доказательствах, подтверждающих его результаты, не препятствуя его вдохновению - конфликт, который не был легким.

Рамануджан был удостоен степени бакалавра искусств по исследовательской степени ^{[93] [94]} (предшественник степени доктора философии) в марте 1916 года за свою работу над сложными числами , разделы первой части которой были опубликованы годом ранее в журнале Труды Лондонского математического общества . В статье объемом более 50 страниц были доказаны различные свойства таких чисел. Харди не нравилась эта тематическая область, но он заметил, что, хотя она связана с тем, что он называл «заводью математики», в ней Рамануджан продемонстрировал «необычайное мастерство в алгебре неравенств». ^[95]

6 декабря 1917 года Рамануджан был избран членом Лондонского математического общества. 2 мая 1918 года он был избран членом Королевского общества , ^[96] вторым принятым индейцем после Ардасира Кёрсетджи в 1841 году. В возрасте 31 года Рамануджан был одним из самых молодых членов в истории Королевского общества. Он был избран «за исследования эллиптических функций и теории чисел». 13 октября 1918 года он был первым индийцем, избранным членом Тринити-колледжа в Кембридже . ^[97]

Болезнь и смерть

На протяжении всей жизни у Рамануджана было множество проблем со здоровьем. В Англии его здоровье ухудшилось; возможно, он также был менее устойчивым из-за того, что там было трудно соблюдать строгие диетические требования его религии, а также из-за нормирования во время войны в 1914–1918 годах. У него обнаружили туберкулез и тяжелую авитаминоз , и его поместили в санаторий . В 1919 году он вернулся в Кумбаконам , президентство Мадраса , а в 1920 году умер в возрасте 32 лет. После его смерти его брат Тирунараянан собрал оставшиеся рукописные записи Рамануджана, состоящие из формул сингулярных модулей, гипергеометрических рядов и непрерывных дробей. ^[43]

Вдова Рамануджана, смт. Джанаки Аммаль переехал в Бомбей . В 1931 году она вернулась в Мадрас и поселилась в Трипликане , где поддерживала себя пенсией Мадрасского университета и доходом от шитья одежды. В 1950 году она усыновила сына У. Нараянана, который со временем стал сотрудником Государственного банка Индии и воспитал семью. В более поздние годы ей была предоставлена ​​пожизненная пенсия от бывшего работодателя Рамануджана, Фонда порта Мадрас, а также пенсии, в частности, от Индийской национальной академии наук и правительств штатов Тамилнад , Андхра-Прадеш и Западная Бенгалия . Она продолжала беречь память о Рамануджане и активно стремилась повысить его общественное признание; выдающиеся математики, в том числе Джордж Эндрюс, Брюс Берндт и Бела Боллобас , навещали ее во время пребывания в Индии. Она умерла в своей резиденции в Трипликане в 1994 ^{году .}

Анализ медицинских записей и симптомов Рамануджана, проведенный в 1994 году Д.Б. Янгом ^[98], пришел к выводу, что его медицинские симптомы , включая прошлые рецидивы, лихорадку и заболевания печени, были гораздо ближе к симптомам, возникающим в результате печеночного амебиаза , болезни, широко распространенной в то время в Мадрасе, чем туберкулез. Перед отъездом из Индии у него было два приступа дизентерии . При отсутствии надлежащего лечения амебная дизентерия может оставаться в дремлющем состоянии в течение многих лет и привести к печеночному амебиазу, диагноз которого в то время еще не был точно установлен. ^[99] В то время при правильной диагностике амебиаз был излечимым и часто излечимым заболеванием; ^{[99] [100]} Британские солдаты, заразившиеся во время Первой мировой войны, успешно излечивались от амебиаза примерно в то время, когда Рамануджан покинул Англию. ^[101]

Личность и духовная жизнь

Во время сна со мной произошел необычный опыт. Возник красный экран, образованный текущей кровью. Я наблюдал за этим. Внезапно чья-то рука начала писать на экране. Я стал всем вниманием. Эта рука написала ряд эллиптических интегралов. Они запомнились мне. Как только я проснулся, я записал их.

— Шриниваса Рамануджан ^[102]

Рамануджан описывался как человек несколько застенчивого и тихого нрава, достойный человек с приятными манерами. ^[103] Он жил простой жизнью в Кембридже. ^[104] Первые индийские биографы Рамануджана описывают его как строго ортодоксального индуса . Он приписывал свою проницательность своей семейной богине Намагири Таяр (богине Махалакшми) из Намаккала . Он искал у нее вдохновения в своей работе ^[105] и сказал, что ему снились капли крови, которые символизировали ее супруга Нарасимху . Позже перед его глазами развернулись свитки сложного математического содержания. ^[106] Он часто говорил: «Для меня уравнение не имеет смысла, если оно не выражает мысль о Боге». ^[107]

Харди цитирует Рамануджана, который заметил, что все религии казались ему одинаково верными. ^[108] Харди далее утверждал, что религиозные убеждения Рамануджана были романтизированы жителями Запада и преувеличены - в отношении его веры, а не практики - индийскими биографами. В то же время он отметил строгое вегетарианство Рамануджана . ^[109]

Точно так же в интервью Frontline Берндт сказал: «Многие люди ложно провозглашают мистическую силу математического мышления Рамануджана. Это неправда. что он не может позволить себе вести постоянную запись в газете. ^[8]

Математические достижения

В математике существует различие между пониманием и формулировкой или проработкой доказательства. Рамануджан предложил множество формул, которые можно было бы изучить позже более подробно. Г. Х. Харди сказал, что открытия Рамануджана необычайно богаты и что зачастую в них есть нечто большее, чем кажется на первый взгляд. В результате его работы были открыты новые направления исследований. Примеры наиболее интригующих из этих формул включают бесконечные ряды для π , один из которых приведен ниже:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}$

Этот результат основан на отрицательном фундаментальном дискриминанте d = −4 × 58 = −232 с номером класса h ( d ) = 2 . Далее 26390 = 5×7×13×58 и 16×9801 = 396 ² , что связано с тем, что

${\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots .}$

Это можно сравнить с числами Хегнера , которые имеют номер класса 1 и дают аналогичные формулы.

Ряд Рамануджана для π сходится необычайно быстро и составляет основу некоторых из самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Усечение суммы до первого члена также дает приближение9801 √ 2/4412для π , что соответствует шести десятичным знакам; усечение его до первых двух членов дает значение с точностью до 14 десятичных знаков. См. также более общую серию Рамануджана-Сато .

Одной из замечательных способностей Рамануджана было быстрое решение проблем, иллюстрируемое следующим анекдотом об инциденте, в котором ПК Махаланобис создал проблему:

Представьте, что вы находитесь на улице с домами, отмеченными цифрами от 1 до n . Между ними ( x ) находится дом , такой что сумма номеров домов слева от него равна сумме номеров домов справа. Если n находится между 50 и 500, что такое n и x ?' Это двумерная задача, имеющая несколько решений. Рамануджан задумался и дал неожиданный ответ: он дал непрерывную дробь . Необычным было то, что это было решение целого класса проблем. Махаланобис был поражен и спросил, как ему это удалось. 'Это просто. В ту минуту, когда я услышал задачу, я понял, что ответом будет непрерывная дробь. «Какая непрерывная дробь?» — спросил я себя. Тогда мне в голову пришел ответ», — ответил Рамануджан». ^{[110] [111]}

Его интуиция также привела его к выводу некоторых ранее неизвестных личностей , таких как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}$

для всех θ таких, что и , где Γ( z ) — гамма-функция , и связана со специальным значением эта -функции Дедекинда . Разложение в ряды по степеням и приравнивание коэффициентов при θ ⁰ , θ ⁴ и θ ⁸ дают некоторые глубокие тождества для гиперболического секанса . ${\displaystyle |\Re (\theta )|<\pi }$ ${\displaystyle |\Im (\theta )|<\pi }$

В 1918 году Харди и Рамануджан тщательно изучили статистическую сумму P ( n ) . Они дали несходящийся асимптотический ряд, позволяющий точно вычислить количество разбиений целого числа. В 1937 году Ганс Радемахер уточнил свою формулу, чтобы найти точное решение этой проблемы сходящимся рядом. Работа Рамануджана и Харди в этой области дала начало новому мощному методу поиска асимптотических формул, названному методом круга . ^[112]

В последний год своей жизни Рамануджан обнаружил ложные тета-функции . ^[113] В течение многих лет эти функции были загадкой, но теперь известно, что они являются голоморфными частями гармонических слабых форм Маасса .

Гипотеза Рамануджана

Хотя существует множество утверждений, которые могли бы носить название « гипотеза Рамануджана», одно из них оказало большое влияние на более поздние работы. В частности, связь этой гипотезы с гипотезами Андре Вейля по алгебраической геометрии открыла новые направления исследований. Эта гипотеза Рамануджана представляет собой утверждение о размере тау-функции , которая имеет производящую функцию в виде дискриминантной модулярной формы Δ( q ), типичной формы возврата в теории модульных форм . Окончательно это было доказано в 1973 году в результате доказательства Пьером Делинем гипотез Вейля . Этап сокращения является сложным. За эту работу Делинь получил медаль Филдса в 1978 году. ^{[7] [114]}

В своей статье «О некоторых арифметических функциях» Рамануджан определил так называемую дельта-функцию, коэффициенты которой называются τ ( n ) ( тау-функция Рамануджана ). ^[115] Он доказал множество сравнений для этих чисел, таких как τ ( p ) ≡ 1 + p11 mod 691 для простых ^чисел p . Это сравнение (и другие подобные ему, которые доказал Рамануджан) вдохновило Жан-Пьера Серра (лауреата Филдсовской медали 1954 года) предположить, что существует теория представлений Галуа , которая «объясняет» эти сравнения и, в более общем смысле, все модульные формы. Δ( z ) — первый пример модулярной формы, изучаемой таким образом. Делинь (в своей работе, получившей медаль Филдса), доказал гипотезу Серра. Доказательство Великой теоремы Ферма начинается с переосмысления эллиптических кривых и модулярных форм в терминах представлений Галуа. Без этой теории не было бы доказательства Великой теоремы Ферма. ^[116]

Записные книжки Рамануджана

Еще находясь в Мадрасе, Рамануджан записал большую часть своих результатов в четыре блокнота с отрывными листами. В основном они были написаны без каких-либо выводов. Вероятно, отсюда и возникло заблуждение, что Рамануджан не смог доказать свои результаты и просто сам придумал конечный результат. Математик Брюс К. Берндт в своем обзоре этих тетрадей и работ Рамануджана говорит, что Рамануджан наверняка смог доказать большинство своих результатов, но решил не записывать доказательства в своих заметках.

Это могло произойти по разным причинам. Поскольку бумага была очень дорогой, Рамануджан большую часть своей работы и, возможно, корректуры выполнил на грифельной доске , после чего перенес окончательные результаты на бумагу. В то время грифельными досками обычно пользовались студенты-математики в президентстве Мадраса . Вполне вероятно, что на него также повлиял стиль книги Г.С. Карра , в которой результаты излагались без доказательств. Также возможно, что Рамануджан считал свою работу исключительно личным интересом и поэтому записывал только результаты. ^[117]

В первой тетради 351 страница с 16 несколько организованными главами и некоторым неорганизованным материалом. Во втором — 256 страниц в 21 главе и 100 неорганизованных страниц, в третьем — 33 неорганизованных страницы. Результаты, записанные в его записных книжках, послужили вдохновением для написания многочисленных статей более поздними математиками, пытавшимися доказать то, что он обнаружил. Сам Харди написал статьи, исследующие материалы из работ Рамануджана, как и Дж. Н. Уотсон , Б. М. Уилсон и Брюс Берндт. ^[117]

В 1976 году Джордж Эндрюс заново обнаружил четвертую тетрадь с 87 неорганизованными страницами, так называемую «потерянную тетрадь» . ^[99]

Харди-Рамануджан, номер 1729.

Число 1729 известно как число Харди-Рамануджана в честь знаменитого визита Харди к Рамануджану в больницу. По словам Харди: ^[118]

Я помню, как однажды зашёл к нему, когда он был болен, в Путни . Я ехал на такси номер 1729 и заметил, что этот номер показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не неблагоприятное предзнаменование. «Нет, — ответил он, — это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя разными способами».

Непосредственно перед этим анекдотом Харди процитировал слова Литтлвуда: «Каждое положительное целое число было одним из личных друзей [Рамануджана]». ^[119]

Два разных способа:

${\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.}$

Обобщения этой идеи породили понятие « номера такси ».

Взгляды математиков на Рамануджана

«Конечно, мы всегда надеемся. Это одна из причин, по которой я всегда читаю письма, которые приходят из непонятных мест и написаны неразборчивыми каракулями. Я всегда надеюсь, что это может быть от другого Рамануджана».

— Фримен Дайсон о том, как где-либо может появиться еще один такой гений ^[120]

В своем некрологе Рамануджану, написанном для журнала Nature в 1920 году, Харди заметил, что работа Рамануджана в основном затрагивала области, менее известные даже среди других чистых математиков, и заключил:

Его понимание формул было совершенно поразительным и превосходило все, что я встречал у любого европейского математика. Возможно, бесполезно размышлять о его истории, если бы он познакомился с современными идеями и методами в шестнадцать, а не в двадцать шесть лет. Не будет сумасбродством предположить, что он мог бы стать величайшим математиком своего времени. То, что он на самом деле сделал, достаточно замечательно… когда исследования, предложенные его работой, будут завершены, это, вероятно, покажется гораздо более чудесным, чем сегодня. ^[74]

Далее Харди сказал: ^[121]

Он сочетал в себе способность к обобщению, чувство формы и способность быстро модифицировать свои гипотезы, которые часто были действительно поразительными, и сделали его в его собственной области не имеющим соперника в свое время. Ограниченность его знаний была столь же поразительна, как и их глубина. Это был человек, который мог разрабатывать модульные уравнения и теоремы... с неслыханными порядками, чье мастерство обращения с непрерывными дробями было... выше, чем у любого математика в мире, который нашел для себя функциональное уравнение дзета- функции . и доминирующие термины многих из самых известных проблем аналитической теории чисел; и все же он никогда не слышал ни о двоякопериодической функции , ни о теореме Коши , и действительно имел лишь смутное представление о том, что такое функция комплексной переменной ...»

Когда его спросили о методах, которые Рамануджан использовал для достижения своих решений, Харди сказал, что они «были получены в результате смешанного процесса аргументации, интуиции и индукции, о котором он был совершенно неспособен дать какое-либо последовательное объяснение». ^[122] Он также сказал, что «никогда не встречал себе равных и может сравнивать его только с Эйлером или Якоби». ^[122] Литтлвуд, как сообщается, сказал, что помочь Рамануджану догнать европейскую математику за пределами того, что было доступно в Индии, было очень сложно, потому что каждый новый момент, упомянутый Рамануджану, заставлял его выдвигать оригинальные идеи, которые не позволяли Литтлвуду продолжать урок. ^[123]

К. Шриниваса Рао сказал: ^[124] «Что касается его места в мире математики, мы цитируем Брюса К. Берндта: « Пол Эрдеш передал нам личные рейтинги математиков, данные Харди. Предположим, что мы оцениваем математиков на основе чистого таланта по шкале от 0 до 100. Харди поставил себе 25 баллов, Дж. Э. Литтлвуд 30, Дэвид Хилберт 80 и Рамануджан 100 » . Во время лекции в мае 2011 года в ИИТ Мадраса Берндт сказал, что за последние 40 лет поскольку почти все гипотезы Рамануджана были доказаны, работа и блестящие способности Рамануджана получили большее признание, и что работа Рамануджана теперь проникла во многие области современной математики и физики. ^{[113] [125]}

Посмертное признание

Бюст Рамануджана в саду промышленного и технологического музея Бирла в Калькутте , Индия

Через год после его смерти журнал Nature включил Рамануджана в число других выдающихся ученых и математиков в «Календаре пионеров науки», добившихся выдающихся достижений. ^[126] В штате Тамил Наду, где родился Рамануджан , 22 декабря (день рождения Рамануджана) отмечается как «День информационных технологий штата». Марки с изображением Рамануджана выпускались правительством Индии в 1962, 2011, 2012 и 2016 годах. ^[127]

Начиная со столетнего юбилея Рамануджана, его день рождения, 22 декабря, ежегодно отмечается как День Рамануджана в Государственном колледже искусств Кумбаконама , где он учился, и в ИИТ Мадраса в Ченнаи . Международный центр теоретической физики (МЦТФ) учредил премию имени Рамануджана для молодых математиков из развивающихся стран в сотрудничестве с Международным математическим союзом , который номинирует членов комитета премии. Университет SASTRA , частный университет, расположенный в Тамилнаде , учредил премию SASTRA Рамануджана в размере 10 000 долларов США , которая ежегодно вручается математику не старше 32 лет за выдающийся вклад в область математики, на которую повлиял Рамануджан. ^[128]

На основании рекомендаций комитета, назначенного Комиссией по университетским грантам (UGC) правительства Индии, Центр Шринивасы Рамануджана, созданный SASTRA, был объявлен центром за пределами кампуса, находящимся в ведении Университета SASTRA. Дом математики Рамануджана, музей жизни и творчества Рамануджана, также находится на территории этого кампуса. САСТРА приобрела и отремонтировала дом, где жил Рамануджан, в Кумабаконаме. ^[128]

В 2011 году, в 125-летие со дня его рождения, правительство Индии объявило, что 22 декабря будет ежегодно отмечаться как Национальный день математики . ^[129] Тогда премьер-министр Индии Манмохан Сингх также заявил, что 2012 год будет отмечаться как Национальный год математики , а 22 декабря — как Национальный день математики Индии. ^[130]

Ramanujan IT City — это особая экономическая зона (ОЭЗ ) информационных технологий (ИТ ) в Ченнаи , построенная в 2011 году. Расположенная рядом с парком Тайдель , она включает в себя 25 акров (10 га) с двумя зонами общей площадью 5,7 миллиона человек. квадратных футов (530 000 м ² ), в том числе 4,5 миллиона квадратных футов (420 000 м ² ) офисных помещений. ^[131]

Памятные почтовые марки

Памятные марки, выпущенные Почтой Индии (по годам):

В популярной культуре

• «Человек, который любил числа» — документальный фильм PBS NOVA 1988 года о Рамануджане (S15, E9). ^[132]
• «Человек, который познал бесконечность» — фильм 2015 года по одноименной книге Канигеля . Британский актер Дев Патель играет Рамануджана. ^{[133] [134] [135]}
• «Рамануджан» — совместный индийско-британский фильм, рассказывающий о жизни Рамануджана, был выпущен в 2014 году независимой кинокомпанией Camphor Cinema . ^[136] В актерский состав и съемочную группу входят режиссер Гнана Раджасекаран , оператор Санни Джозеф и монтажер Б. Ленин . ^{[137] [138]} Индийские и английские звезды Абхинай Вадди , Сухасини Маниратнам , Бхама , Кевин Макгоуэн и Майкл Либер играют главные роли. ^[139]
• Нандан Кудхьяди снял о математике индийские документальные фильмы « Гений Шринивасы Рамануджана» (2013) и «Шриниваса Рамануджан: Математик и его наследие» (2016). ^[140]
• Рамануджан («Человек, который изменил математику 20-го века») — индийский документальный фильм-документалист режиссера Акашдипа, вышедший в 2018 году ^.
• Роман-триллер М. Н. Криша «Стерадианская тропа» вплетает Рамануджана и его случайное открытие в сюжет, соединяющий религию, математику, финансы и экономику. ^{[142] [143]}
• «Перегородка» , пьеса Иры Хауптмана о Харди и Рамануджане, была впервые показана ^{в 2013 году .}
• Пьеса «Человек первого класса» компании Alter Ego Productions ^{[148] была основана на «} Человеке первого класса» Дэвида Фримена . В центре пьесы - Рамануджан и его сложные и неблагополучные отношения с Харди. 16 октября 2011 года было объявлено, что Роджер Споттисвуд , наиболее известный по фильму о Джеймсе Бонде « Завтра не умрет никогда» , работает над киноверсией с Сиддхартом в главной роли . ^[149]
• «Исчезающее число» — британская постановка компании Complicite , в которой исследуются отношения между Харди и Рамануджаном. ^[150]
• Роман Дэвида Ливитта «Индийский клерк» исследует события после письма Рамануджана Харди. ^{[151] [152]}
• Google почтил Рамануджана в честь его 125-летия со дня рождения, заменив его логотип на каракули на своей домашней странице. ^{[153] [154]}
• Рамануджан был упомянут в фильме 1997 года « Умница Уилл Хантинг» , в сцене, где профессор Джеральд Ламбо ( Стеллан Скарсгард ) объясняет Шону Магуайру ( Робин Уильямс ) гениальность Уилла Хантинга ( Мэтт Дэймон ), сравнивая его с Рамануджаном. ^[155]

Избранные статьи

• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определенные интегралы». Посланник математики . 44 : 10–18.
• Рамануджан, С. (1914). «Некоторые определенные интегралы, связанные с суммами Гаусса». Посланник математики . 44 : 75–85.
• Рамануджан, С. (1915). «О некоторых бесконечных сериях». Посланник математики . 45 : 11–15.
• Рамануджан, С. (1915). «Высокосложные числа». Труды Лондонского математического общества . 14 (1): 347–409. дои : 10.1112/plms/s2_14.1.347.
• Рамануджан, С. (1915). «О числе делителей числа». Журнал Индийского математического общества . 7 (4): 131–133.
• Рамануджан, С. (1915). «Краткое примечание: о сумме квадратных корней первых n натуральных чисел». Журнал Индийского математического общества . 7 (5): 173–175.
• Рамануджан, С. (1916). «Некоторые формулы аналитической теории чисел». Посланник математики . 45 : 81–84.
• Рамануджан, С. (1916). «Ряд по постоянной Эйлера γ». Посланник математики . 46 : 73–80.
• Рамануджан, С. (1917). «О выражении чисел в виде ax2+by2+cz2+du2». Математические труды Кембриджского философского общества . 19 :11–21.
• Харди, GH; Рамануджан, С. (1917). «Асимптотические формулы распределения целых чисел разных типов». Труды Лондонского математического общества . 16 (1): 112–132. дои : 10.1112/plms/s2-16.1.112.
• Харди, штат Джорджия ; Рамануджан, Шриниваса (1918). «Асимптотические формулы в комбинаторном анализе». Труды Лондонского математического общества . 17 (1): 75–115. дои : 10.1112/plms/s2-17.1.75.
• Харди, GH; Рамануджан, Шриниваса (1918). «О коэффициентах разложений некоторых модулярных функций». Учеб. Р. Сок. А. _ 95 (667): 144–155. Бибкод : 1918RSPSA..95..144H. дои : 10.1098/rspa.1918.0056 .
• Рамануджан, Шриниваса (1919). «Некоторые определенные интегралы». Журнал Индийского математического общества . 11 (2): 81–88.
• Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана». Журнал Индийского математического общества . 11 (5): 181–183.
• Рамануджан, С. (1920). «Класс определенных интегралов». Кварта. Дж. Пьюр. Прил. Математика . 48 : 294–309. hdl :2027/uc1.$b417568.
• Рамануджан, С. (1921). «Свойства конгруэнтности перегородок». Математика. З. _ 9 (1–2): 147–153. дои : 10.1007/BF01378341. S2CID  121753215. Посмертно опубликованный отрывок из более длинной неопубликованной рукописи.

Дальнейшие работы по математике Рамануджана

• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт , Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X ) ^[156] 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть II (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть III (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть IV (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 ) 
• Джордж Э. Эндрюс и Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть V (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 ) 
• М. П. Чаудхари, Простое решение некоторых интегралов, данное Шринивасой Рамануджаном, (Resonance: J. Sci. Education – публикация Индийской академии наук, 2008 г.) ^[157]
• М. П. Чаудхари, Имитация тета-функций для высмеивания тета-гипотез, SCIENTIA, Серия A: Math. наук, (22)(2012) 33–46.
• М. П. Чаудхари, О модульных отношениях для тождеств типа Роджера-Рамануджана, Pacific J. Appl. Матем., 7(3)(2016) 177–184.

Избранные публикации о Рамануджане и его творчестве

• Берндт, Брюс К. (1998). Батцер, Польша; Обершельп, В.; Йонген, Х.Т. (ред.). Карл Великий и его наследие: 1200 лет цивилизации и науки в Европе (PDF) . Тюрнхаут, Бельгия: Брепольс Верлаг. стр. 119–146. ISBN 978-2-503-50673-9. Архивировано (PDF) из оригинала 9 сентября 2004 г.
• Берндт, Брюс К.; Рэнкин, Роберт А. (1995). Рамануджан: письма и комментарии . Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0287-8.
• Берндт, Брюс С .; Рэнкин, Роберт А. (2001). Рамануджан: Очерки и обзоры . Том. 22. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2624-9.
• Берндт, Брюс К. (2006). Теория чисел в духе Рамануджана . Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4178-5.
• Берндт, Брюс К. (1985). Записные книжки Рамануджана: Часть I. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96110-1.
• Берндт, Брюс К. (1999). Записные книжки Рамануджана: Часть II . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96794-3.
• Берндт, Брюс К. (2004). Записные книжки Рамануджана: Часть III . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-97503-0.
• Берндт, Брюс К. (1993). Записные книжки Рамануджана: Часть IV . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94109-7.
• Берндт, Брюс К. (2005). Записные книжки Рамануджана: Часть V. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94941-3.
• Харди, GH (март 1937 г.). «Индийский математик Рамануджан». Американский математический ежемесячник . 44 (3): 137–155. дои : 10.2307/2301659. JSTOR  2301659.
• Харди, GH (1978). Рамануджан . Нью-Йорк: Паб «Челси». ISBN компании 978-0-8284-0136-4.
• Харди, GH (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2023-0.
• Хендерсон, Гарри (1995). Современные математики . Нью-Йорк: факты о File Inc. ISBN 978-0-8160-3235-8.
• Канигель, Роберт (1991). Человек, который познал бесконечность: жизнь гения Рамануджана . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN 978-0-684-19259-8.
• Ливитт, Дэвид (2007). Индийский клерк (изд. в мягкой обложке). Лондон: Блумсбери. ISBN 978-0-7475-9370-6.
• Нарликар, Джаянт В. (2003). Научный край: индийский ученый от Вед до наших дней . Нью-Дели, Индия: Penguin Books. ISBN 978-0-14-303028-7.
• Оно, Кен ; Аксель, Амир Д. (13 апреля 2016 г.). Мои поиски Рамануджана: как я научился считать . Спрингер . ISBN 978-3319255668.
• Шанкаран, ТМ (2005). Шриниваса Рамануджан- Ганитха локатиле Махапратибха (Отчет) (на малаялам). Кочи, Индия: Керала Састра Сахитья Паришад .

Избранные публикации о творчестве Рамануджана

• Рамануджан, Шриниваса; Харди, GH; Сешу Айяр, PV; Уилсон, Б.М .; Берндт, Брюс К. (2000). Сборник статей Шриниваса Рамануджана . АМС. ISBN 978-0-8218-2076-6.

Эта книга была первоначально опубликована в 1927 году ^[158] после смерти Рамануджана. Он содержит 37 статей, опубликованных Рамануджаном в профессиональных журналах при его жизни. Третье переиздание содержит дополнительные комментарии Брюса К. Берндта.

• С. Рамануджан (1957). Тетради (2 тома) . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата.

Эти книги содержат фотокопии оригинальных записных книжек, написанных Рамануджаном.

• С. Рамануджан (1988). Потерянная тетрадь и другие неопубликованные документы . Нью-Дели: Нароса. ISBN 978-3-540-18726-4.

В данной книге содержатся фотокопии страниц «Потерянной тетради».

• Проблемы, поставленные Рамануджаном, Журнал Индийского математического общества.
• С. Рамануджан (2012). Тетради (2 тома) . Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата.

Он был создан на основе отсканированных и микрофильмированных изображений оригинальных рукописей опытными архивистами Исследовательской библиотеки Рохи Мутиа в Ченнаи.

Смотрите также

• Математический портал
• Биографический портал
• Портал Индии

• 1729 (число)
• Коричневые цифры
• Список математиков-любителей
• Список индийских математиков
• Граф Рамануджана
• Суммирование Рамануджана
• постоянная Рамануджана
• Тернарная квадратичная форма Рамануджана
• Ранг раздела

Рекомендации

1. Олауссон, Лена; Сангстер, Кэтрин (2006). Оксфордское руководство BBC по произношению . Издательство Оксфордского университета. п. 322. ИСБН 978-0-19-280710-6.
2. Канигель, Роберт (2004). «Рамануджан, Шриниваса». Оксфордский национальный биографический словарь (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета. doi : 10.1093/ref: odnb/51582. (Требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании.)
3. "Рамануджан Айянгар, Шриниваса (1887-1920)" . trove.nla.gov.au .
4. Ганс Айзенк (1995). Гений , с. 197. Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-48508-8 . 
5. Харди, Годфри Гарольд (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Издательство Кембриджского университета. п. 9. ISBN 0-8218-2023-0.
6. Берндт, Брюс К. (12 декабря 1997 г.). Записные книжки Рамануджана . Том. Часть 5. Springer Science & Business. п. 4. ISBN 978-0-38794941-3.
7. Оно, Кен (июнь – июль 2006 г.). «Почитание дара Кумбаконама» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 640–51 [649–50]. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июня 2007 года . Проверено 23 июня 2007 г.
8. «Повторное открытие Рамануджана». Линия фронта . 16 (17): 650. Август 1999. Архивировано из оригинала 25 сентября 2013 года . Проверено 20 декабря 2012 г.
9. Аллади, Кришнасвами; Эллиотт, PDTA; Гранвилл, А. (30 сентября 1998 г.). Аналитическая и элементарная теория чисел: дань уважения математической легенде Полу Эрдосу . Спрингер Наука и бизнес. п. 6. ISBN 978-0-79238273-7.
10. Глубокий смысл в «простом» узоре Рамануджана. Архивировано 3 августа 2017 г. в Wayback Machine.
11. «Математическое доказательство раскрывает магию гения Рамануджана». Архивировано 9 июля 2017 года в Wayback Machine . Новый учёный .
12. Канигель 1991, с. 12
13. Канигель 1991, с. 11
14. Канигель 1991, стр. 17–18.
15. Берндт и Ранкин 2001a, с. 89Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBerndtRankin2001a ( справка )
16. Шринивасан, Панкаджа (19 октября 2012 г.). «Формула ностальгии». Индус . Проверено 7 сентября 2016 г.
17. Канигель 1991, с. 13
18. Канигель 1991, с. 19
19. Канигель 1991, с. 14
20. Канигель 1991, с. 20
21. Канигель 1991, с. 25
22. Берндт и Ранкин 2001b, с. 9Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBerndtRankin2001b ( справка )
23. Харди, GH (1999). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, предложенные его жизнью и творчеством . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 2. ISBN 978-0-8218-2023-0.
24. Канигель 1991, с. 27
25. "Шриниваса Рамануджан - Биография" . История математики . Проверено 29 октября 2022 г.
26. Канигель 1991, с. 39
27. МакЭлрой, Такер (2005). Математики от А до Я. Факты в файле. п. 221. ISBN 0-8160-5338-3- 
28. Рамануджан Айянгар, Шриниваса; Харди, Годфри Гарольд; Айяр, П. Венкатешвара Сешу (2000), «Сборник статей Шринивасы Рамануджана», Nature , 123 (3104): xii, Бибкод : 1929Natur.123..631L, doi : 10.1038/123631a0, ISBN 978-0-8218-2076-6, S2CID  44812911
29. Канигель 1991, с. 90
30. Канигель 1991, с. ??
31. Канигель 1991, с. 28
32. Канигель 1991, с. 45
33. Канигель 1991, стр. 47–48.
34. «Рамануджан потерян и найден: письмо от The Hindu 1905 года». Индус . Ченнаи, Индия. 25 декабря 2011 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
35. Кришнамачари, Суганти (27 июня 2013 г.). «Труды гения». Индус . Архивировано из оригинала 26 августа 2017 года . Проверено 7 сентября 2016 г.
36. Канигель 1991, с. 55–56
37. Кришнамурти, В. «Шриниваса Рамануджан - Его жизнь и его гений». www.krishnamurthys.com . (Пояснительная речь, произнесенная 16 сентября 1987 года в аудитории Висвесварайя в рамках празднования столетия Рамануджана IISC, Бангалор). Архивировано из оригинала 21 сентября 2016 года . Проверено 7 сентября 2016 г.
38. «Швея и математик». Живая мята . 20 апреля 2018 г.
39. > Канигель 1991, с. 71
40. Буллоу, В.Л. (1990). «2. История сексуального поведения взрослых людей с детьми и подростками в западных обществах». Педофилия: биосоциальные измерения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 71. ИСБН 978-1-46139684-0.
41. Колата, Джина (19 июня 1987 г.). «Вспоминая «волшебного гения»". Science . New Series. 236 (4808): 1519–21. Бибкод : 1987Sci... 236.1519K. doi : 10.1126/science.236.4808.1519. PMID  17835731.
42. «Жена Рамануджана: Джанакиаммал (Джанаки)» (PDF) . Ченнаи: Институт математических наук. Архивировано из оригинала (PDF) 24 декабря 2012 года . Проверено 10 ноября 2012 г.
43. Джанарданан, Арун (6 декабря 2015 г.). «Проход в бесконечность». Индийский экспресс . Архивировано из оригинала 5 сентября 2016 года . Проверено 7 сентября 2016 г.
44. > Канигель 1991, с. 72
45. Рамануджан, Шриниваса (1968). ПК Шринивасан (ред.). Мемориальный номер Рамануджана: письма и воспоминания . Том. 1. Мадрас: Средняя школа Мутиалпета. 100.
46. Канигель 1991, с. 73
47. Канигель 1991, стр. 74–75.
48. Ранганатан, Шияли Рамамрита (1967). Рамануджан: Человек и математик. Бомбей: Издательство Asia. п. 23. ISBN 9788185273372.
49. Шринивасан (1968), Том. 1, с. 99.
50. Рао, К. Шриниваса. «Жена Рамануджана Джанакиаммал (Джанаки)» (PDF) . ИМСК . Институт математических наук, Ченнаи. Архивировано из оригинала (PDF) 10 января 2017 года . Проверено 7 сентября 2016 г.
51. «О Рамануджане». Институт Рамануджана. Архивировано из оригинала 6 октября 2016 года . Проверено 7 сентября 2016 г.
52. Канигель 1991, с. 77
53. Шринивасан (1968), Том. 1, с. 129.
54. Шринивасан (1968), Том. 1, с. 86.
55. Невилл, Эрик Гарольд (январь 1921 г.). «Поздний Шриниваса Рамануджан». Природа . 106 (2673): 661–662. Бибкод : 1921Natur.106..661N. дои : 10.1038/106661b0. S2CID  4185656.
56. Ранганатан 1967, с. 24
57. Канигель 1991, с. 80
58. Канигель 1991, с. 86
59. Хершфельд, Аарон (август 1935 г.). «О бесконечных радикалах». Американский математический ежемесячник . 42 (7): 419–429. дои : 10.1080/00029890.1935.11987745. ISSN  0002-9890.
60. Канигель 1991, с. 87
61. Канигель 1991, с. 91
62. Сешу Айер, PV (июнь 1920 г.). «Покойный г-н С. Рамануджан, бакалавр ФРС». Журнал Индийского математического общества . 12 (3): 83.
63. Невилл, Эрик Гарольд (1942). «Шриниваса Рамануджан». Природа . 149 (3776): 292–293. Бибкод : 1942Natur.149..292N. дои : 10.1038/149292a0 .
64. Шринивасан (1968), с. 176.
65. Шринивасан (1968), с. 31.
66. Шринивасан (1968), с. 49.
67. Канигель 1991, с. 96
68. Канигель 1991, с. 105
69. Письмо MJM Hill CLT Гриффиту (бывшему студенту, который отправил запрос Хиллу от имени Рамануджана), 28 ноября 1912 года.
70. Канигель 1991, с. 106
71. Канигель 1991, стр. 170–171.
72. «Письмо, раскрывшее гений Рамануджана». YouTube .
73. Сноу, CP (1966). Разнообразие мужчин . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера . стр. 30–31.
74. Харди, GH (1920). «Некролог, С. Рамануджан». Природа . 105 (7): 494–495. Бибкод : 1920Natur.105..494H. дои : 10.1038/105494a0 . S2CID  4174904.
75. Канигель 1991, с. 167
76. Канигель 1991, с. 168
77. Письмо Харди Рамануджану, 8 февраля 1913 г.
78. Письмо Рамануджана Харди, 22 января 1914 г.
79. Канигель 1991, с. 185
80. Письмо Рамануджана Харди, 27 февраля 1913 г., Библиотека Кембриджского университета .
81. Канигель 1991, с. 175
82. Рам, Суреш (1972). Шриниваса Рамануджан . Нью-Дели: Национальный книжный фонд. п. 29.
83. Ранганатан 1967, стр. 30–31.
84. Ранганатан 1967, с. 12
85. Канигель 1991, с. 183
86. Канигель 1991, с. 184
87. «(Очень) краткая история Шриниваса Рамануджана». YouTube . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года.
88. Канигель 1991, с. 196
89. Канигель 1991, с. 202
90. Харди, GH (1940). Рамануджан . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 10.
91. Письмо Литтлвуда Харди, начало марта 1913 года.
92. Харди, GH (1979). Сборник статей Г.Х. Харди . Том. 7. Оксфорд, Англия: Clarendon Press . 720.
93. Репортер Кембриджского университета от 18 марта 1916 года сообщает: Назначенный бакалавр искусств Шриниваса Рамануджан (студент-исследователь), Трин . Четкое фотографическое изображение указанного документа можно просмотреть на следующем видео YouTube в указанную временную метку: https://www.youtube.com/watch?v=uhNGCn_3hmc&t=1636.
94. «Доктор философии по математике в Великобритании: заметки по истории» . www. Economics.soton.ac.uk . Проверено 9 августа 2020 г.
95. Жан-Луи Николя, Гай Робин (ред.), Высоко составные числа Шриниваса Рамануджан, The Ramanujan Journal 1997 1, 119–153, стр.121
96. Эмблтон, Эллен (2 октября 2018 г.). «Возвращаясь к Рамануджану». Королевское общество . Архивировано из оригинала 16 февраля 2020 года . Проверено 16 февраля 2020 г. .
97. Канигель 1991, стр. 299–300.
98. Янг, DAB (1994). «Болезнь Рамануджана». Заметки и отчеты Лондонского королевского общества . 48 (1): 107–119. дои : 10.1098/rsnr.1994.0009. PMID  11615274. S2CID  33416179.
99. Петерсон, Дуг. «В поисках потерянной тетради». Колледж свободных искусств и наук UIUC . Архивировано из оригинала 12 января 2014 года . Проверено 11 января 2014 г.
100. Ганн, JWC; Сэвидж, Б. (1919). «Отчет о лечении инфекций Entamoeba histolytica ». Журнал Медицинского корпуса Королевской армии . 33 (5): 418–426.
101. Лэнгли, Джордж Дж. (24 декабря 1921 г.). «Трудности диагностики и лечения абсцесса печени». Британский медицинский журнал . 2 (3182): 1073–1074. дои : 10.1136/bmj.2.3182.1073. JSTOR  20429465. PMC 2339657 . ПМИД  20770524. 
102. Бааки, Белал Э.; Виллебордсе, Фредерик Х. (1 декабря 2009 г.). Изучение интегрированной науки. ЦРК Пресс. п. 38. ISBN 978-1-4200-8794-9.
103. "Личность Рамануджана". Архивировано из оригинала 27 сентября 2007 года . Проверено 23 июня 2018 г.
104. Канигель 1991, стр. 234, 241.
105. Канигель 1991, с. 36
106. Канигель 1991, с. 281
107. Чайтин, Грегори (28 июля 2007 г.). «Меньше доказательств, больше правды». Новый учёный (2614): 49. doi :10.1016/S0262-4079(07)61908-3.
108. Канигель 1991, с. 283
109. Берндт, Брюс С.; Рэнкин, Роберт Александр (2001). Рамануджан: Очерки и обзоры. Американское математическое общество . п. 47. ИСБН 978-0-82182624-9. Проверено 8 июня 2015 г.
110. Ранганатан 1967, с. 82
111. Кальямпуди Радхакришна Рао (1997). Статистика и правда: как заставить шанс работать. Всемирная научная. п. 185. ИСБН 978-981-02-3111-8. Проверено 7 июня 2010 г.
112. Иванец, Хенрик (1989). «Метод окружности и коэффициенты Фурье модулярных форм». Теория чисел и смежные темы (Бомбей, 1988) . Тата Инст. Фонд. Рез. Стад. Математика. Том. 12. Тата Инст. Фонд. Рез., Бомбей. стр. 47–55. МР  1441326.
113. «100-летние мечты математика на смертном одре оказались правдой». Фокс Ньюс . 28 декабря 2012 г. Архивировано из оригинала 7 января 2013 г.
114. Винни, Вэнь-Цзин (9 декабря 2019 г.). «Гипотеза Рамануджана и ее приложения». Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 378 (2163). дои : 10.1098/rsta.2018.0441. ПМЦ 6939229 . ПМИД  31813366. 
115. Рамануджан, Шриниваса (1916). «О некоторых арифметических функциях» (PDF) . Труды Кембриджского философского общества . XXII (9). Архивировано из оригинала (PDF) 11 июня 2016 года . Проверено 15 мая 2016 г.Тау-функция обсуждается на страницах 194–197.
116. Оно, Кен ; Аксель, Амир Д. (13 апреля 2016 г.). Мои поиски Рамануджана: как я научился считать. Спрингер . стр. 236–237. ISBN 978-3319255668. идеи, которые имели решающее значение для доказательства последней теоремы Ферма
117. Берндт, Брюс К. (12 декабря 1997 г.). Записные книжки Рамануджана . ISBN 978-0387949413.
118. «Цитаты Харди». Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинала 16 июля 2012 года . Проверено 20 ноября 2012 г.
119. Харди, GH «Уведомления о некрологе: Шриниваса Рамануджан». Труды Лондонского математического общества . 19 : lvii. Архивировано из оригинала 5 марта 2016 года.
120. Росс, Грег (6 февраля 2017 г.). «Подкаст Эпизод 140: Рамануджан». Бесполезный шкаф . Проверено 24 декабря 2023 г.
121. Джеймс Р. Ньюман, изд. (2000). Мир математики . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 373–4. ISBN 978-0-486-41153-8. ОСЛК  43555029.
122. Шриниваса Рамануджан. Архивировано 25 марта 2005 г. в Wayback Machine . Проверено 2 декабря 2010 г.
123. Альянгар, Шриниваса Рамануджан (1995). Берндт, Брюс К.; Рэнкин, Роберт Александр (ред.). Рамануджан: Письма и комментарии. История математики. Том. 9. Американское математическое общество. п. 51. ИСБН 0821891251. Проверено 22 февраля 2023 г.
124. Рао, К. Шриниваса. «Шриниваса Рамануджан (22 декабря 1887 г. - 26 апреля 1920 г.)». Архивировано из оригинала 16 апреля 2012 года . Проверено 23 июня 2018 г.
125. «Брюс Берндт о «Потерянной записной книжке Рамануджана», ИИТ Мадрас, 24 мая 2011 г.» . youtube.com . Архивировано из оригинала 6 декабря 2015 года.
126. "Календарь пионеров науки". Природа . 107 (2686): 252–254. 21 апреля 1921 г. Бибкод : 1921Natur.107..252.. doi : 10.1038/107252b0 .
127. Шриниваса Рамануджан на марках. commons.wikimedia.org
128. «Университет Шастры - Центр Шринивасы Рамануджана - О нас» . Архивировано из оригинала 15 июня 2017 года . Проверено 23 июня 2018 г.
129. «Первый визит Сингха в штат» . CNN ИБН . Индия. 26 декабря 2011 года. Архивировано из оригинала 15 июля 2012 года . Проверено 12 апреля 2016 г.
130. «Добро пожаловать 2012 – Национальный математический год в Индии». Индия. 28 декабря 2011 года. Архивировано из оригинала 6 декабря 2017 года . Проверено 6 декабря 2017 г.
131. "Рамануджан IT City - Башня Харди" . JLL Недвижимость Индия .
132. «Человек, который любил цифры». ИМДБ . 22 марта 1988 года . Проверено 24 сентября 2021 г.
133. «Канны: Дев Патель сыграет знаменитого индийского математика» . hollywoodreporter.com. Архивировано из оригинала 9 января 2014 года.
134. Барракло, Лео (5 декабря 2013 г.). «Джереми Айронс сыграет одну из главных ролей в фильме «Человек, который познал бесконечность»». разнообразие.com . Архивировано из оригинала 12 октября 2017 года.
135. МакНэри, Дэйв (15 июля 2014 г.). «Проект Дева Пателя «Человек, который познал бесконечность» переходит в производство после 8 лет разработки» . разнообразие.com . Архивировано из оригинала 4 июля 2017 года.
136. «Создатели« Рамануджана »стреляют в его доме» . Индиатаймс . Таймс Интернет Лимитед. Архивировано из оригинала 11 июля 2013 года . Проверено 12 июля 2013 г.
137. «Camphor Cinema представляет свой первый фильм «Рамануджан»» . Кассовые сборы Индии . Выберите Издательскую компанию. 11 июня 2013 года. Архивировано из оригинала 20 августа 2013 года . Проверено 12 июля 2013 г.
138. «Создатели «Рамануджана» стреляют в доме гения» . З Новости . Zee Media Corporation Ltd. Архивировано из оригинала 8 июля 2013 года . Проверено 12 июля 2013 г.
139. Кришнамачари, Суганти (27 июня 2013 г.). «Труды гения». Индус . Ченнаи, Индия. Архивировано из оригинала 1 июля 2013 года . Проверено 12 июля 2013 г.
140. «Кинорежиссер из Пуны получил 3 награды на Национальном фестивале научного кино» . Индийский экспресс . 27 февраля 2017 г.
141. «Рамануджан (Человек, который изменил математику 20-го века) (2018)» . Indiancine.ma .
142. Басу, Канкана (7 декабря 2014 г.). «Пикантное чтение». Индус . Проверено 30 апреля 2016 г.
143. «Преступность в мире высокой науки». 16 сентября 2014 года. Архивировано из оригинала 15 апреля 2016 года . Проверено 30 апреля 2016 г.
144. Рибет, Кеннет А. (декабрь 2003 г.). «Театральное обозрение. Перегородка» (PDF) . Уведомления АМС . 50 (1): 1407–1408. Архивировано (PDF) из оригинала 6 октября 2016 года . Проверено 27 сентября 2016 г.
145. Харви, Деннис (18 мая 2003 г.). «Обзор: 'Перегородка'». Архивировано из оригинала 6 октября 2016 года . Проверено 23 марта 2017 г.
146. «Перегородки - пьеса о Рамануджане». Индус . 26 мая 2003 г. Архивировано из оригинала 20 июля 2008 г.
147. ДАТТА, ШРАВАСТИ (19 декабря 2014 г.). «Ода гению». Индус . Проверено 23 марта 2017 г.
148. «Человек первого класса». Alteregoproductions.org. Архивировано из оригинала 29 июня 2007 года . Проверено 20 ноября 2012 г.
149. "Новости / National: Режиссер Джеймса Бонда снимет фильм о Рамануджане" . Индус . Индия. 16 октября 2011 года. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года . Проверено 18 октября 2011 г.
150. Лунден, Джефф (15 июля 2010 г.). «'Исчезающее число': яркое театральное уравнение». Утренний выпуск . Национальное общественное радио . Проверено 24 апреля 2018 г.
151. Фройденбергер, Нелл (16 сентября 2007 г.). «Жажда цифр». Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 10 января 2012 года . Проверено 4 сентября 2011 г.
152. Тейлор, ди-джей (26 января 2008 г.). «Добавление к жизни». Хранитель . ВЕЛИКОБРИТАНИЯ. Архивировано из оригинала 6 октября 2014 года . Проверено 4 сентября 2011 г.
153. "Google рисунки к 125-летию Рамануджана" . Времена Индии . 22 декабря 2012 года. Архивировано из оригинала 22 декабря 2012 года . Проверено 22 декабря 2012 г.
154. "125 лет со дня рождения Шринивасы Рамануджана" . www.google.com . Архивировано из оригинала 10 мая 2016 года . Проверено 30 апреля 2016 г.
155. Кумар, В. Кришна (2 февраля 2018 г.). «Легендарный творческий математический гений: Шриниваса Рамануджан». Психология сегодня . Проверено 24 апреля 2018 г.
156. Брессуд, Дэвид (2006). «Обзор: потерянная записная книжка Рамануджана, часть I, авторы Джордж Эндрюс и Брюс К. Берндт» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 43 (4): 585–591. дои : 10.1090/s0273-0979-06-01110-4 . Архивировано (PDF) из оригинала 23 июня 2015 года.
157. «Простое решение некоторых интегралов, данных Шринивасой Рамануджаном» (PDF) . Резонанс . 13 (9): 882–884. Архивировано (PDF) из оригинала 6 октября 2018 г.
158. Белл, ET (1928). «Сборник статей Шриниваса Рамануджана под редакцией Г.Х. Харди, П.В. Сешу Айяра и Б.М. Уилсона». Бюллетень Американского математического общества . 34 (6): 783–784. дои : 10.1090/S0002-9904-1928-04651-7 .

Внешние ссылки

Ссылки на СМИ

• Бисвас, Сутик (16 марта 2006 г.). «Фильм, посвященный гению математики». Би-би-си . Проверено 24 августа 2006 г.
• Художественный фильм Дева Бенегала и Стивена Фрая о математическом гении Рамануджане
• Радиопрограмма BBC о Рамануджане - серия 5
• Биографическая песня о жизни Рамануджана.
• «Почему уравнения этого математика всех так разозлили?». Ютуб.com . Мысль2. 11 апреля 2022 г. Проверено 29 июня 2022 г.

Биографические ссылки

• Шриниваса Рамануджан в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Шриниваса Рамануджан», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Рамануджан, Шриниваса (1887–1920)». Мир Науки .
• Краткая биография Рамануджана
• «Наш посвященный сайт великим математическим гениям»

Другие ссылки

• Вольфрам, Стивен (27 апреля 2016 г.). «Кто был Рамануджан?».
• Группа по изучению математики: Шриниваса Рамануджан Айенгар
• The Ramanujan Journal - международный журнал, посвященный Рамануджану.
• Премии Международного математического союза, включая премию Рамануджана.
• Hindu.com: норвежские и индийские математические гении, Рамануджан - очерки и обзоры. Архивировано 6 ноября 2012 года в Wayback Machine , растущее влияние Рамануджана, наставник Рамануджана.
• Hindu.com: спонсор Рамануджана.
• Брюс К. Берндт; Роберт А. Рэнкин (2000). «Книги, которые Рамануджан изучал в Индии». Американский математический ежемесячник . 107 (7): 595–601. дои : 10.2307/2589114. JSTOR  2589114. MR  1786233.
• «Загадка с ложной тета-функцией Рамануджана решена»
• Бумаги и тетради Рамануджана
• Пример страницы из второго блокнота
• Рамануджан о Fried Eye
• Кларк, Алекс. «163 и Рамануджан Констант». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 4 февраля 2018 года . Проверено 23 июня 2018 г.