Дивергентная серия

Бесконечный ряд, не сходящийся

Les séries divergentes sont en général quelque выбрали de bien Fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration. («Расходящиеся ряды — это вообще нечто фатальное, и позорно основывать на них какие-либо доказательства». Часто переводится как «Расходящиеся ряды — изобретение дьявола…»)

Н. Х. Абель , письмо Холмбо, январь 1826 г., перепечатано во втором томе его собрания статей.

В математике расходящийся ряд — это бесконечный ряд , который не сходится , что означает, что бесконечная последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела .

Если ряд сходится, отдельные члены ряда должны стремиться к нулю. Таким образом, любой ряд, в котором отдельные члены не стремятся к нулю, расходится. Однако сходимость является более сильным условием: не все ряды, члены которых приближаются к нулю, сходятся. Контрпример — гармонический ряд

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

Расходимость гармонического ряда была доказана средневековым математиком Николь Орем .

В специализированном математическом контексте значения могут быть объективно присвоены определенным рядам, последовательности частичных сумм которых расходятся, чтобы придать смысл расхождению ряда. Метод суммирования или метод суммирования — это частичная функция от множества рядов к значениям. Например, суммирование Чезаро присваивает расходящийся ряд Гранди.

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

Значение1/2. Суммирование Чезаро — это метод усреднения , поскольку он основан на среднем арифметическом значении последовательности частичных сумм. Другие методы включают аналитическое продолжение связанных рядов. В физике существует большое разнообразие методов суммирования; они обсуждаются более подробно в статье о регуляризации .

История

... но в целом справедливо сказать, что математики до Коши не спрашивали: «Как нам определить 1 − 1 + 1...?» но «Что такое 1 − 1 + 1...?», и что эта привычка ума приводила их к ненужным недоумениям и спорам, которые часто были действительно словесными.

Г.Х. Харди, серия «Дивергент», стр. 6

До XIX века расходящиеся ряды широко использовались Леонардом Эйлером и другими, но часто приводили к запутанным и противоречивым результатам. Основной проблемой была идея Эйлера о том, что любой расходящийся ряд должен иметь естественную сумму, без предварительного определения того, что подразумевается под суммой расходящегося ряда. Огюстен-Луи Коши в конце концов дал строгое определение суммы (сходящегося) ряда, и в течение некоторого времени после этого расходящиеся ряды по большей части были исключены из математики. Они вновь появились в 1886 году в работе Анри Пуанкаре об асимптотических рядах. В 1890 году Эрнесто Чезаро понял, что можно дать строгое определение суммы некоторых расходящихся рядов, и определил суммирование Чезаро . (Это было не первое использование суммирования Чезаро, которое неявно использовал Фердинанд Георг Фробениус в 1880 году; ключевым вкладом Чезаро было не открытие этого метода, а его идея о том, что следует дать явное определение суммы расходящегося ряда. .) Спустя годы после статьи Чезаро несколько других математиков дали другие определения суммы расходящегося ряда, хотя они не всегда совместимы: разные определения могут давать разные ответы для суммы одного и того же расходящегося ряда; Итак, говоря о сумме расходящегося ряда, необходимо указать, какой метод суммирования используется.

Примеры

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 – 1 + 2 – 6 + 24 – 120 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$

Теоремы о методах суммирования расходящихся рядов

Метод суммирования M является регулярным , если он согласуется с фактическим пределом для всех сходящихся рядов . Такой результат называется абелевой теоремой для M от прототипной теоремы Абеля . Более тонкими являются частичные обратные результаты, называемые тауберовыми теоремами , на основе прототипа, доказанного Альфредом Таубером . Здесь частичное обратное означает, что если M суммирует ряд Σ и выполняется какое-то побочное условие, то Σ изначально сходится; без каких-либо дополнительных условий такой результат говорил бы о том, что M суммирует только сходящиеся ряды (что делает его бесполезным в качестве метода суммирования расходящихся рядов).

Функция, дающая сумму сходящегося ряда, является линейной , и из теоремы Хана-Банаха следует , что ее можно расширить до метода суммирования, суммирующего любой ряд с ограниченными частичными суммами. Это называется банаховым пределом . Этот факт не очень полезен на практике, поскольку существует множество таких расширений, несовместимых друг с другом, а также поскольку доказательство существования таких операторов требует привлечения аксиомы выбора или ее эквивалентов, таких как лемма Цорна . Поэтому они неконструктивны.

Предмет расходящихся рядов, как область математического анализа , в первую очередь касается явных и естественных методов, таких как суммирование Абеля , суммирование Чезаро и суммирование Бореля , а также их взаимосвязей. Появление тауберовой теоремы Винера ознаменовало эпоху в этом предмете, введя неожиданные связи с методами банаховой алгебры в анализе Фурье .

Суммирование расходящихся рядов также связано с методами экстраполяции и преобразованиями последовательностей как численными методами. Примерами таких методов являются аппроксимации Паде , преобразования последовательностей типа Левина и зависящие от порядка отображения, связанные с методами перенормировки для теории возмущений большого порядка в квантовой механике .

Свойства методов суммирования

Методы суммирования обычно концентрируются на последовательности частичных сумм ряда. Хотя эта последовательность не сходится, мы часто можем обнаружить, что, когда мы берем среднее от все большего и большего числа начальных членов последовательности, среднее значение сходится, и мы можем использовать это среднее вместо предела для оценки суммы ряда. . Метод суммирования можно рассматривать как функцию от набора последовательностей частичных сумм к значениям. Если A — это любой метод суммирования, присваивающий значения набору последовательностей, мы можем механически перевести его в метод суммирования рядов A ^Σ , который присваивает те же значения соответствующим рядам. Существуют определенные свойства, которыми желательно обладать этим методам, если они хотят получить значения, соответствующие пределам и суммам соответственно.

• Регулярность . Метод суммирования является регулярным , если всякий раз, когда последовательность s сходится к x , A ( s ) = x . Эквивалентно, соответствующий метод суммирования рядов оценивает A ^Σ ( a ) = x .
• Линейность . A является линейным , если он является линейным функционалом на последовательностях, в которых он определен, так что A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) для последовательностей r , s и вещественного или комплексного скаляра k . Поскольку члены a _{n +1} = s _{n +1} − s _n ряда a являются линейными функционалами от последовательности s и наоборот, это эквивалентно тому, что A ^Σ является линейным функционалом от членов ряда.
• Стабильность (также называемая транслятивностью ). Если s — последовательность, начинающаяся с s ₀ , а s ′ — последовательность, полученная путем исключения первого значения и вычитания его из остальных, так что s ′ _n = s _{n +1} − s ₀ , то A ( s ) определяется, если и только если A ( s ′) определено и A ( s ) = s0 ₊ A ( s ′). Эквивалентно, если a ′ _n = a _{n +1} для всех n , то A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). ^{[1] [2]} Другой способ заявить об этом заключается в том, что правило сдвига должно быть действительным для рядов, суммируемых этим методом.

Третье условие менее важно, и некоторые значимые методы, например суммирование по Борелю , им не обладают. ^[3]

Можно также предложить более слабую альтернативу последнему условию.

• Конечная переиндексируемость . Если a и a ′ — две серии такие, что существует биекция такая, что a _i = a ′ _{f ( i )} для всех i , и если существует такая , что a _i = a ′ _i для всех i  >  N , то A ^Σ ( а ) знак равно А ^Σ ( а ′). (Другими словами, a ′ — это тот же ряд, что и a , только с переиндексацией конечного числа членов.) Это более слабое условие, чем стабильность , поскольку любой метод суммирования, который демонстрирует стабильность , также демонстрирует конечную переиндексацию , но обратное условие не правда.) ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Желательным свойством двух разных методов суммирования A и B является согласованность : A и B согласованы , если для каждой последовательности s , которой оба присваивают значение, A ( s ) = B ( s ). (Используя этот язык, метод суммирования A является регулярным тогда и только тогда, когда он согласуется со стандартной суммой Σ .) Если два метода непротиворечивы и один суммирует больше рядов, чем другой, то тот, который суммирует больше рядов, является более сильным .

Существуют мощные методы численного суммирования, которые не являются ни регулярными, ни линейными, например, нелинейные преобразования последовательностей , такие как преобразования последовательностей типа Левина и аппроксимации Паде , а также зависящие от порядка отображения рядов пертурбативов, основанные на методах перенормировки .

Приняв за аксиомы регулярность, линейность и устойчивость, можно с помощью элементарных алгебраических манипуляций просуммировать многие расходящиеся ряды. Это отчасти объясняет, почему разные методы суммирования дают один и тот же ответ для определенных рядов.

Например, всякий раз, когда r ≠ 1, геометрическая прогрессия

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

можно оценить независимо от сходимости. Более строго, любой метод суммирования, обладающий этими свойствами и присваивающий конечное значение геометрической прогрессии, должен присваивать это значение. Однако, когда r — действительное число больше 1, частичные суммы неограниченно увеличиваются, и методы усреднения назначают предел бесконечности.

Классические методы суммирования

Два классических метода суммирования рядов, обычная сходимость и абсолютная сходимость, определяют сумму как предел некоторых частичных сумм. Они включены только для полноты картины; строго говоря, они не являются истинными методами суммирования расходящихся рядов, поскольку по определению ряд расходится только в том случае, если эти методы не работают. Большинство, но не все методы суммирования расходящихся рядов расширяют эти методы на более широкий класс последовательностей.

Абсолютная конвергенция

Абсолютная сходимость определяет сумму последовательности (или набора) чисел как предел сети всех частичных сумм a _{k 1} + ... + a _{k n} , если она существует. Он не зависит от порядка элементов последовательности, и классическая теорема гласит, что последовательность абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность абсолютных значений сходится в стандартном смысле.

Сумма ряда

Классическое определение Коши суммы ряда a ₀ + a ₁ + ... определяет сумму как предел последовательности частичных сумм a ₀ + ... + a _n . Это определение сходимости последовательности по умолчанию.

Норлунд означает

Предположим, что p _n — последовательность положительных членов, начиная с p ₀ . Предположим также, что

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

Если теперь мы преобразуем последовательность s, используя p , чтобы получить взвешенные средние значения, установив

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

тогда предел t _n , когда n стремится к бесконечности, представляет собой среднее значение, называемое средним значением Норлунда N _p ( s ).

Среднее значение Норлунда регулярно, линейно и стабильно. Более того, любые два средних значения Норлунда совместны.

Суммирование Чезаро

Наиболее значимыми из средних значений Норлунда являются суммы Чезаро. Здесь, если мы определим последовательность p ^k как

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

тогда сумма Чезаро C _k определяется формулой C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s ). Суммы Чезаро являются средними Норлунда, если k ≥ 0 , и, следовательно, являются регулярными, линейными, устойчивыми и непротиворечивыми. C ₀ — обычное суммирование, а C ₁ — обычное суммирование Чезаро . Суммы Чезаро обладают тем свойством, что если h > k , то C _h сильнее, чем C _k .

абелевы средства

Предположим, что λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } — строго возрастающая последовательность, стремящаяся к бесконечности, и что λ ₀ ≥ 0 . Предполагать

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

сходится для всех действительных чисел x  > 0. Тогда абелева средняя A _λ определяется как

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

В более общем смысле, если ряд для f сходится только при больших x , но может быть аналитически продолжен до всех положительных действительных x , тогда все равно можно определить сумму расходящегося ряда с помощью предела, указанного выше.

Ряд этого типа известен как обобщенный ряд Дирихле ; в приложениях к физике это известно как метод регуляризации теплового ядра .

Абелевы средние являются регулярными и линейными, но не стабильными и не всегда согласованными между различными вариантами выбора λ . Однако в некоторых частных случаях очень важны методы суммирования.

Суммирование Абеля

Если λ _n = n , то получаем метод суммирования Абеля . Здесь

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

где z  = exp(− x ). Тогда предел f ( x ), когда x приближается к 0 через положительные действительные числа, является пределом степенного ряда для f ( z ), когда z приближается к 1 снизу через положительные действительные числа, а сумма Абеля A ( s ) определяется как

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

Суммирование Абеля интересно отчасти потому, что оно согласуется с суммированием Чезаро, но является более мощным, чем суммирование Чезаро : A ( s ) = C _k ( s ) всякий раз, когда последнее определено. Таким образом, сумма Абеля регулярна, линейна, устойчива и согласуется с суммированием Чезаро.

Суммирование Линделефа

Если λ _n = n log( n ) , то (индексация с единицы) имеем

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

Тогда L ( s ), сумма Линделефа , ^[4] является пределом f ( x ), когда x стремится к положительному нулю. Сумма Линделефа является мощным методом, когда он применяется к степенным рядам, а также к другим приложениям, суммируя степенные ряды в звезде Миттаг-Леффлера .

Если g ( z ) аналитична в диске вокруг нуля и, следовательно, имеет ряд Маклорена G ( z ) с положительным радиусом сходимости, то L ( G ( z )) = g ( z ) в звезде Миттаг-Леффлера. Более того, сходимость к g ( z ) равномерна на компактных подмножествах звезды.

Аналитическое продолжение

Некоторые методы суммирования предполагают взятие значения аналитического продолжения функции.

Аналитическое продолжение степенного ряда

Если Σ a _n x ⁿ сходится при малых комплексных x и может быть аналитически продолжено по некоторому пути от x  = 0 до точки x  = 1, то сумму ряда можно определить как значение в точке x  = 1. Это значение может зависеть от выбора пути. Один из первых примеров потенциально различных сумм для расходящегося ряда с использованием аналитического продолжения был дан Калле ^[5] , который заметил, что если то ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

Оценивая при , получаем ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

Однако пробелы в сериале являются ключевыми. Например , мы фактически получим ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$, поэтому разные суммы соответствуют разному расположению символов . ${\displaystyle 0}$

Другим примером аналитического продолжения является расходящийся знакопеременный ряд , который представляет собой сумму по произведениям -функций и символов Похгаммера . Используя формулу дублирования -функции , она сводится к обобщенному гипергеометрическому ряду ${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

суммирование Эйлера

Суммирование Эйлера по сути является явной формой аналитического продолжения. Если степенной ряд сходится при малых комплексных z и может быть аналитически продолжен до открытого диска диаметром от−1/д  + 1до 1 и непрерывна в точке 1, то ее значение в точке _q называется суммой Эйлера или (E, q ) ряда Σan . Эйлер использовал его до того, как аналитическое продолжение было определено в целом, и дал явные формулы для степенного ряда аналитического продолжения.

Операцию суммирования Эйлера можно повторять несколько раз, что по сути эквивалентно аналитическому продолжению степенного ряда до точки  z  = 1.

Аналитическое продолжение серии Дирихле.

Этот метод определяет сумму ряда как значение аналитического продолжения ряда Дирихле.

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

при s  = 0, если он существует и единственен. Этот метод иногда путают с регуляризацией дзета-функции.

Если s  = 0 — изолированная особенность, сумма определяется постоянным членом разложения в ряд Лорана.

Регуляризация дзета-функции

Если сериал

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

(для положительных значений a n ₎ сходится при больших действительных значениях s и может быть аналитически продолжена по вещественной прямой до s  = −1, тогда ее значение при s  = −1 называется дзета-регуляризованной суммой ряда a ₁  +  a ₂  + ... Регуляризация дзета-функции нелинейна. В приложениях числа a _i иногда являются собственными значениями самосопряженного оператора A с компактной резольвентой, а f ( s ) тогда является следом A ^{− s} . Например, если A имеет собственные значения 1, 2, 3, ... тогда f ( s ) — это дзета-функция Римана , ζ ( s ), значение которой при s  = −1 равно —1/12, присваивая значение расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ... . Другие значения s также можно использовать для присвоения значений расходящимся суммам ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 и вообще

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

где Bk _— число Бернулли . ^[6]

Интегральная функция означает

Если J ( x ) = Σ p _n x ⁿ является целой функцией, то J- сумма ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

если этот предел существует.

Существует вариант этого метода, где ряд для J имеет конечный радиус сходимости r и расходится в точке x  =  r . В этом случае сумма определяется так же, как указано выше, за исключением того, что предел принимается, когда x стремится к r , а не к бесконечности.

Суммирование Бореля

В частном случае, когда J ( x ) =  e ^x , это дает одну (слабую) форму борелевского суммирования .

Метод Валирона

Метод Валирона представляет собой обобщение борелевского суммирования на некоторые более общие интегральные функции J. Валирон показал, что при определенных условиях это эквивалентно определению суммы ряда как

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

где H — вторая производная от G и c ( n ) =  e ^{− G ( n )} , а a ₀  + ... +  a _h следует интерпретировать как 0, когда  h  < 0.

Моментные методы

Предположим, что dμ — мера на вещественной прямой такая, что все моменты

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

конечны. Если 0  +  a ₁  + ... представляет собой такой ряд, _что

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

сходится для всех x в носителе µ , то сумма ( dµ ) ряда определяется как значение интеграла

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

если он определен. (Если числа µn растут слишком быстро _, то они не определяют меру µ однозначно .)

Суммирование Бореля

Например, если dμ  =  e ^{− x}  dx для положительного x и 0 для отрицательного x , то μ _n  =  n !, и это дает одну версию борелевского суммирования , где значение суммы определяется выражением

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

Существует обобщение этого подхода в зависимости от переменной α , называемое суммой (B′, α ), где сумма ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

если этот интеграл существует. Дальнейшее обобщение состоит в замене суммы под интегралом ее аналитическим продолжением с малых  t .

Разные методы

Гиперреальное суммирование BGN

Этот метод суммирования работает с использованием расширения действительных чисел, известных как гипердействительные числа . Поскольку гипердействительные числа включают в себя различные бесконечные значения, эти числа можно использовать для представления значений расходящихся рядов. Ключевой метод заключается в обозначении конкретного суммируемого бесконечного значения, обычно , которое используется в качестве единицы бесконечности. Вместо суммирования до произвольной бесконечности (как это обычно делается с ), метод BGN суммирует до конкретного гиперреального бесконечного значения, помеченного как . Поэтому суммы имеют вид ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

Это позволяет использовать стандартные формулы для конечных рядов, таких как арифметические прогрессии, в бесконечном контексте. Например, при использовании этого метода сумма прогрессии равна , или, используя только самую значительную бесконечную гиперреальную часть, . ^[7] ${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

Преобразования Хаусдорфа

Харди (1949, глава 11).

Суммирование Гёльдера

метод Хаттона

В 1812 году Хаттон ввел метод суммирования расходящихся рядов, начиная с последовательности частичных сумм и неоднократно применяя операцию замены последовательности  s ₀ ,  s ₁ ,... последовательностью средних значений.с ₀  +  с ₁/2,с ₁  +  с ₂/2, ..., а затем переходим к пределу. ^[8]

Суммируемость Ингама

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ингаму к s , если

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

Альберт Ингэм показал, что если δ — любое положительное число, то из суммируемости (C, − δ ) (Чезаро) следует суммируемость по Ингаму, а из суммируемости по Ингэму следует суммируемость (C, δ ). ^[9]

Суммируемость по Ламберту

Ряд a ₁  + ... называется суммируемым по Ламберту к s , если

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

Если ряд (C, k ) (Чезаро) суммируем для любого k , то он суммируется по Ламберту до одного и того же значения, а если ряд суммируется по Ламберту, то он суммируется по Абелю до одного и того же значения. ^[9]

Суммирование Ле Роя

Ряд а0  + ... называется суммируемым по Леруа к s _, если ^[10]

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

Суммирование Миттаг-Леффлера

Ряд а ₀  + ... называется суммируемым к s Миттаг-Леффлера (М), если ^[10]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

Суммирование Рамануджана

Суммирование Рамануджана — это метод присвоения значения расходящимся рядам, используемый Рамануджаном и основанный на формуле суммирования Эйлера-Маклорена . Сумма Рамануджана ряда f (0) + f (1) + ... зависит не только от значений f в целых числах, но и от значений функции f в нецелых точках, поэтому на самом деле она не является метод суммирования в смысле данной статьи.

Суммируемость по Риману

Ряд a ₁  + ... называется (R, k ) (или по Риману), суммируемым к s , если ^[11]

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

Ряд a ₁  + ... называется R ₂ суммируемым к s , если

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

Рисс означает

Если λ _n образуют возрастающую последовательность действительных чисел и

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

тогда сумма Рисса (R, λ , κ ) ряда a ₀  + ... определяется как

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

Суммируемость Валле-Пуссена

Ряд a ₁  + ... называется VP (или Валле-Пуссена), суммируемым к s , если

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

где гамма-функция. ^[11] ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Суммируемость Зельдовича

Ряд суммируем по Зельдовичу, если

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

Смотрите также

• Теорема Сильвермана – Теплица

Примечания

1. «Методы суммирования». Нумерикана Мишона .
2. «Транслятивность». Энциклопедия математики . Спрингер.
3. Мураев, Е.Б. (1978), "Борелевское суммирование n -кратных рядов и целые функции, связанные с ними", Академия наук СССР , 19 (6): 1332–1340, 1438, МР  0515185. Мураев отмечает, что суммирование по Борелю является трансляционным в одном из двух направлений: пополнение ряда нулем, помещенным в его начало, не меняет суммируемость или значение ряда. Однако он утверждает, что «обратное неверно».
4. Волков 2001.
5. Харди 1949, с. 14.
6. Тао, Теренс (10 апреля 2010 г.). «Формула Эйлера-Маклорена, числа Бернулли, дзета-функция и аналитическое продолжение с действительной переменной».
7. Бартлетт, Джонатан; Гаастра, Логан; Немати, Дэвид (январь 2020 г.). «Гиперреальные числа для бесконечных расходящихся рядов». Сообщения Института Блита . 2 (1): 7–15. arXiv : 1804.11342 . doi : 10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1. S2CID  119665957.
8. Харди 1949, с. 21.
9. Hardy 1949, Приложение II.
10. Харди 1949, 4.11.
11. Харди 1949, 4.17.

Рекомендации

• Артека, Джорджия; Фернандес, FM; Кастро, Е.А. (1990), Теория возмущений большого порядка и методы суммирования в квантовой механике , Берлин: Springer-Verlag.
• Бейкер-младший, Джорджия; Грейвс-Моррис, П. (1996), Аппроксиманты Паде , издательство Кембриджского университета.
• Брезински, К.; Редиво Залья, М. (1991), Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия.
• Харди, GH (1949), Divergent Series, Оксфорд: Clarendon Press.
• ЛеГийу, Ж.-К.; Зинн-Джастин, Дж. (1990), Поведение теории возмущений большого порядка , Амстердам: Северная Голландия..
• Волков, И.И. (2001) [1994], «Метод суммирования Линделёфа», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Захаров, А.А. (2001) [1994], «Метод суммирования Абеля», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• «Метод суммирования Рисса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вернер Бальзер: «От расходящегося степенного ряда к аналитическим функциям», Springer-Verlag, LNM 1582, ISBN 0-387-58268-1 (1994).
• Уильям О. Брей и Часлав В. Станоевич (ред.): «Анализ расхождений», Springer, ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999).
• Александр И. Саичев и Войбор Войчински: «Распределения в физических и технических науках, том 1», глава 8 «Суммирование расходящихся рядов и интегралов», Springer (2018).