Аналитическое продолжение

Расширение области определения аналитической функции (математика)

В комплексном анализе , разделе математики , аналитическое продолжение — это метод расширения области определения данной аналитической функции . Аналитическое продолжение часто позволяет определить дальнейшие значения функции, например, в новой области, где представление бесконечной серии , первоначально определявшей функцию, начинает расходиться .

Однако метод поэтапного продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологическую природу, что приводит к несогласованности (определению более одного значения). Альтернативно они могут быть связаны с наличием сингулярностей . Случай нескольких комплексных переменных совершенно иной, поскольку тогда особенности не обязательно должны быть изолированными точками, и его исследование было основной причиной развития пучковых когомологий .

Первоначальное обсуждение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Предположим, f — аналитическая функция , определенная на непустом открытом подмножестве U комплексной плоскости . Если V — большее открытое подмножество , содержащее U , и F — аналитическая функция, определенная на V такая, что ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

тогда F называется аналитическим продолжением f . Другими словами, ограничение F на U — это функция f , с которой мы начали.

Аналитические продолжения единственны в следующем смысле: если V — связная область определения двух аналитических функций F ₁ и F ₂ такая, что U содержится в V и для всех z в U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

затем

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

на всём В. Это связано с тем, что F ₁  −  F ₂ — аналитическая функция, которая обращается в нуль в открытой связной области U функции f и, следовательно, должна обращаться в нуль во всей своей области. Это следует непосредственно из теоремы тождества для голоморфных функций .

Приложения

Обычный способ определения функций в комплексном анализе заключается в том, что сначала указывается функция только в небольшой области, а затем расширяется ее путем аналитического продолжения.

На практике это продолжение часто осуществляется путем установления некоторого функционального уравнения в небольшой области, а затем использования этого уравнения для расширения области. Примерами являются дзета-функция Римана и гамма-функция .

Концепция универсального накрытия была впервые разработана для определения естественной области аналитического продолжения аналитической функции . Идея найти максимальное аналитическое продолжение функции, в свою очередь, привела к развитию идеи римановых поверхностей .

Аналитическое продолжение используется в римановых многообразиях , решениях уравнений Эйнштейна . Например, аналитическое продолжение координат Шварцшильда в координаты Крускала – Секереса . ^[1]

Рабочий пример

Аналитическое продолжение от U (с центром 1) до V (с центром a=(3+i)/2)

Начните с конкретной аналитической функции . В этом случае он задается степенным рядом с центром : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен 1. То есть он определен и аналитичен на открытом множестве , имеющем границу . Действительно, ряд расходится при . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$ ${\displaystyle z=0\in \partial U}$

Притворимся, что мы этого не знаем , и сосредоточимся на центрировании степенного ряда в другой точке : ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle a\in U}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.}$$

Мы вычислим и определим, сходится ли этот новый степенной ряд в открытом множестве , которое не содержится в . Если да, то мы аналитически продолжим путь к области , которая строго больше . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle U}$

Расстояние от до . Брать ; пусть будет диск радиуса вокруг ; и пусть это будет его граница. Затем . Используя формулу дифференцирования Коши для расчета новых коэффициентов, имеем ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$ ${\displaystyle 0<r<\rho }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}\int _{0}^{2\pi }re^{i(m-k)\theta }d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(1-a)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(a-1)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}.}$$

Последнее суммирование является результатом k -го вывода геометрической прогрессии , что дает формулу

$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

Затем,

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

который имеет радиус сходимости вокруг . Если мы выберем с , то это не подмножество и фактически больше по площади, чем . На графике показан результат для ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

Мы можем продолжить процесс: выбрать , перецентрировать степенной ряд в и определить, где сходится новый степенной ряд. Если в регионе есть точки не из , то мы аналитически продолжим еще дальше. Это частное можно аналитически продолжить на всю проколотую комплексную плоскость. ${\displaystyle b\in U\cup V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

В данном конкретном случае полученные значения одинаковы, когда последовательные центры имеют положительную мнимую часть или отрицательную мнимую часть. Это не всегда так; в частности, это не относится к комплексному логарифму , первообразной вышеуказанной функции. ${\displaystyle f(-1)}$

Формальное определение микроба

Определенный ниже степенной ряд обобщается идеей ростка . Общая теория аналитического продолжения и ее обобщения известны как теория пучков . Позволять

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

— степенной ряд , сходящийся в круге D _r ( z ₀ ), r > 0, определяемый формулой

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$.

Заметим, что без ограничения общности здесь и далее мы всегда будем считать, что выбрано максимальное такое r , даже если оно равно ∞. Также обратите внимание, что было бы эквивалентно начать с аналитической функции, определенной на некотором небольшом открытом множестве. Мы говорим, что вектор

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

является зародышем f . _ Основание g0 группы g _— это z0 , основа g — это (α0 _, α1 _{, α2} , _... ) , _а вершина g1 — это α0 _. Вершина g — это значение f в точке z ₀ .

Любой вектор g = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) является ростком, если он представляет собой степенной ряд аналитической функции вокруг z ₀ с некоторым радиусом сходимости r > 0. Поэтому можно смело говорить о набор микробов . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Топология множества ростков

Пусть g и h — ростки . Если где r — радиус сходимости g и если степенной ряд, определенный g и h , задает идентичные функции на пересечении двух областей, то мы говорим, что h порождается g (или совместим с ним) , и пишем g ≥ час . Это условие совместимости не является ни транзитивным, ни симметричным, ни антисимметричным. Если мы расширим отношение за счет транзитивности , мы получим симметричное отношение, которое, следовательно, также является отношением эквивалентности на ростках (но не упорядочиванием). Это расширение посредством транзитивности является одним из определений аналитического продолжения. Отношение эквивалентности будем обозначать . ${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ ${\displaystyle \cong }$

Мы можем определить топологию на . Пусть r > 0 и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

Множества U _r ( g ) для всех r > 0 и определяют базис открытых множеств для топологии на . ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Компонент связности (т. е . класс эквивалентности) называется пучком . Также отметим, что карта, определяемая формулой где r — радиус сходимости g , является картой . Набор таких карт образует атлас для , следовательно, является римановой поверхностью . иногда называют универсальной аналитической функцией . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Примеры аналитического продолжения

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

представляет собой степенной ряд, соответствующий натуральному логарифму вблизи z = 1. Этот степенной ряд можно превратить в росток

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

Этот росток имеет радиус сходимости 1, поэтому ему соответствует пучок S. Это пучок функции логарифма.

Теорема единственности аналитических функций распространяется и на пучки аналитических функций: если пучок аналитической функции содержит нулевой росток (т. е. пучок равномерно равен нулю в некоторой окрестности), то весь пучок равен нулю. Вооружившись этим результатом, мы можем увидеть, что если мы возьмем любой росток g пучка S функции логарифма, как описано выше, и превратим его в степенной ряд f ( z ), то эта функция будет обладать свойством, что exp( f ( z )) знак равно z . Если бы мы решили использовать версию теоремы об обратной функции для аналитических функций, мы могли бы построить большое количество обратных для экспоненциального отображения, но мы бы обнаружили, что все они представлены некоторым ростком из S. В этом смысле S является «единственной истинной инверсией» экспоненциального отображения.

В более старой литературе пучки аналитических функций назывались многозначными функциями . См. связку для получения общей концепции.

Урочище

Предположим, что степенной ряд имеет радиус сходимости r и определяет аналитическую функцию f внутри этого круга. Рассмотрим точки на окружности сходимости. Точка, для которой существует окрестность, на которой f имеет аналитическое расширение, является регулярной , в противном случае сингулярной . Окружность является естественной границей , если все ее точки особые.

В более общем смысле мы можем применить это определение к любой открытой связной области, в которой f является аналитическим, и классифицировать точки границы области как регулярные или особые: тогда граница области является естественной границей, если все точки являются особыми, в которых случае, когда область является областью голоморфности .

Пример I: функция с естественной границей в нуле (простая дзета-функция).

Ибо мы определяем так называемую простую дзета-функцию , , как ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}$

Эта функция аналогична суммирующей форме дзета-функции Римана, поскольку она является той же суммирующей функцией , что и , за исключением индексов, ограниченных только простыми числами, вместо того, чтобы суммировать все положительные натуральные числа . Простая дзета-функция имеет аналитическое продолжение на все комплексные s такие , что , что следует из выражения логарифмами дзета- функции Римана как ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}$

Поскольку имеет простой, несъемный полюс в точке , можно видеть, что она имеет простой полюс в точке . Поскольку множество точек ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}$

имеет точку накопления 0 (предел последовательности при ), мы видим, что ноль образует естественную границу для . Это означает, что не имеет аналитического продолжения для s слева от нуля (или в точке), т. е. продолжение невозможно для случая, когда . В качестве примечания: этот факт может быть проблематичным, если мы выполняем комплексный контурный интеграл по интервалу, действительные части которого симметричны относительно нуля, скажем, для некоторого , где подынтегральная функция представляет собой функцию со знаменателем, который существенно зависит от . ${\displaystyle k\mapsto \infty }$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$ ${\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle P(s)}$

Пример II: Типичный лакунарный ряд (естественная граница как подмножества единичного круга)

Для целых чисел определим лакунарный ряд порядка c разложением в степенной ряд ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}$

Очевидно, поскольку существует функциональное уравнение для любого z , удовлетворяющего условиям . Также нетрудно увидеть, что для любого целого числа у нас есть другое функциональное уравнение, заданное формулой ${\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}$

Для любых положительных натуральных чисел c функция лакунарного ряда расходится при . Рассмотрим вопрос об аналитическом продолжении функции на другие комплексные z такие, что Как мы увидим , при любом функция расходится при корнях -й степени из единицы. Следовательно, поскольку множество, образованное всеми такими корнями, плотно на границе единичного круга, аналитического продолжения до комплекса z , модуля которого больше единицы, не существует. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|>1.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

Доказательство этого факта обобщается из стандартного рассуждения на случай, когда ^[2] А именно, для целых чисел пусть ${\displaystyle c:=2.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}$

где обозначает открытый единичный круг в комплексной плоскости и , т. е. существуют различные комплексные числа z , лежащие на единичном круге или внутри него такие, что . Теперь ключевой частью доказательства является использование функционального уравнения для того , чтобы показать, что ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle z^{c^{n}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

Таким образом, для любой дуги на границе единичной окружности существует бесконечное число точек z внутри этой дуги таких, что . Это условие эквивалентно утверждению, что окружность образует естественную границу для функции при любом фиксированном выборе. Следовательно, не существует аналитического продолжения этих функций за пределы внутренней части единичного круга. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}$

Теорема о монодромии

Теорема монодромии дает достаточное условие существования прямого аналитического продолжения (т. е. продолжения аналитической функции до аналитической функции на большем множестве).

Предположим , что — открытое множество и f — аналитическая функция на D . Если G — односвязная область , содержащая D , такая, что f имеет аналитическое продолжение вдоль каждого пути в G , начиная с некоторой фиксированной точки a в D , то f имеет прямое аналитическое продолжение в G. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

На приведенном выше языке это означает, что если G — односвязная область, а S — пучок, множество базовых точек которого содержит G , то существует аналитическая функция f на G , ростки которой принадлежат S.

Теорема Адамара о разрыве

Для степенного ряда

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

с

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

круг схождения является естественной границей. Такой степенной ряд называется лакунарным . Эта теорема была существенно обобщена Ойгеном Фабри (см. теорему о пробеле Фабри ) и Джорджем Полиа .

Теорема Полиа

Позволять

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

— степенной ряд, то существует ε _k ∈ {−1, 1} такое, что

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

имеет диск сходимости f вокруг z ₀ в качестве естественной границы.

Доказательство этой теоремы использует теорему Адамара о разрыве.

Полезная теорема: достаточное условие аналитического продолжения до неположительных целых чисел.

В большинстве случаев, если существует аналитическое продолжение комплексной функции, оно задается интегральной формулой. Следующая теорема, при условии выполнения ее гипотез, дает достаточное условие, при котором мы можем продолжить аналитическую функцию от ее точек схождения вдоль положительных действительных чисел до произвольной (за исключением конечного числа полюсов). Более того, формула дает явное представление значений продолжения неположительных целых чисел, выраженных точно через производные более высокого порядка (целые) исходной функции, оцененной в нуле. ^[3] ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

Гипотезы теоремы

Чтобы применить сформулированную ниже теорему о продолжении этой функции , нам потребуется, чтобы функция удовлетворяла следующим условиям: ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }$

• (Т-1). Функция должна иметь непрерывные производные всех порядков, т. е. . Другими словами, для любых целых чисел производная целого порядка должна существовать, быть непрерывной на и сама быть дифференцируемой , так что все производные высшего порядка от F являются гладкими функциями x на положительных действительных числах; ${\displaystyle F\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}$ ${\displaystyle j\geq 1}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle F^{(j)}(x)={\frac {d^{(j)}}{dx^{(j)}}}[F(x)]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• (Т-2). Мы требуем, чтобы функция F быстро убывала , поскольку для всех мы получаем предельное поведение, которое при t становится неограниченным, стремящимся к бесконечности; ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle t^{n}F(t)\to 0}$
• (Т-3). (Обратное гамма-масштабированное) преобразование Меллина функции F существует для всех комплексных s таких, что за исключением (или для всех s с положительными вещественными частями, за исключением, возможно, конечного числа исключительных полюсов): ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle s\in \{\zeta _{1}(F),\zeta _{2}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s):={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t){\frac {dt}{t}},\qquad \left|{\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)\right|\in (-\infty ,+\infty ),\forall s\in \{z\in \mathbb {C} :\Re (z)>0\}\setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}.}$

Заключение теоремы

Пусть F — любая функция, определенная на положительных числах, которая удовлетворяет всем условиям (T1)–(T3), указанным выше. Тогда интегральное представление масштабированного преобразования Меллина функции F в точке s , обозначаемое , имеет мероморфное продолжение на комплексную плоскость . Более того, мы имеем, что для любого неотрицательного продолжение F в точке задается явно формулой ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s:=-n}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {M}}}[F](-n)=(-1)^{n}\times F^{(n)}(0)\equiv (-1)^{n}\times {\frac {\partial ^{n}}{{\partial x}^{n}}}\left[F(x)\right]|_{x=0}.}$

Примеры

Пример I: Связь дзета-функции Римана с числами Бернулли.

Мы можем применить теорему к функции

${\displaystyle F_{\zeta }(x):={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n\geq 0}B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}},}$

что соответствует экспоненциальной производящей функции чисел Бернулли , . Для мы можем выразить , поскольку мы можем вычислить, что следующая интегральная формула для обратных степеней целых чисел справедлива для s в этом диапазоне: ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)={\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }t^{s-1}e^{-nt}dt,\Re (s)>1.}$

Теперь, поскольку подынтегральная функция последнего уравнения является равномерно непрерывной функцией t для каждого положительного целого числа n , у нас есть интегральное представление для любого случая, заданного формулой ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n\geq 1}n^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}e^{-nt}\right)t^{s-1}dt={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\frac {F_{\zeta }(t)}{t}}dt.}$

Выполняя для этого интегрирование по частям до интеграла преобразования Меллина , мы также получаем соотношение, которое ${\displaystyle F_{\zeta }(x)}$

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(s-1)}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s-1).}$

Более того, поскольку для любой фиксированной целочисленной степени полинома t мы удовлетворяем условию теоремы, которое требует, чтобы . Стандартное применение теоремы Тейлора к обычной производящей функции чисел Бернулли показывает, что . В частности, благодаря сделанному выше наблюдению за сдвигом и этим замечаниям мы можем вычислить значения так называемых тривиальных нулей дзета- функции Римана (для ) и рациональных отрицательных констант нечетного целого порядка, в соответствии с формула ${\displaystyle e^{t}\gg t^{n}}$ ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }t^{n}\cdot F_{\zeta }(t),\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle F_{\zeta }^{(n)}(0)={\frac {B_{n}}{n!}}\times n!=B_{n}}$ ${\displaystyle s\mapsto s-1}$ ${\displaystyle \zeta (-2n)}$ ${\displaystyle \zeta (-(2n+1)),n\geq 0}$

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {1}{n+1}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](-n-1)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}F_{\zeta }^{(n+1)}(0)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}},&n=0;\\\infty ,&n=1;\\(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}},&n\geq 2.\end{cases}}}$

Пример II: Интерпретация F как суммирующей функции некоторой арифметической последовательности.

Предположим, что F — гладкая, достаточно убывающая функция на положительных действительных числах, удовлетворяющая дополнительному условию

${\displaystyle \Delta [F](x-1)=F(x)-F(x-1)=:f(x),\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}.}$

Применительно к контексту теории чисел мы рассматриваем такой F как суммирующую функцию арифметической функции f ,

${\displaystyle F(x):={\sum _{n\geq x}}^{\prime }f(n)}$

где мы берем , а обозначение штрихами предыдущей суммы соответствует стандартным соглашениям, используемым для формулировки теоремы Перрона : ${\displaystyle F(x)=0,\forall 0<x<1}$

${\displaystyle F_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}\sum _{n\leq [x]}f(n),&x\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ;\\\sum _{n\leq x}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {R} ^{+}\cap \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Нас интересует аналитическое продолжение ДГФ функции f или , что то же самое, ряда Дирихле по f в точке s :

${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}.}$

Обычно у нас есть определенное значение абсциссы сходимости , определенное таким образом, что оно абсолютно сходится для всех комплексных s, удовлетворяющих , и где предполагается, что он имеет полюс в и так, что исходный ряд Дирихле для расходится для всех s таких, что . Известно, что существует связь между преобразованием Меллина суммирующей функции любого f и продолжением его ДФР при вида: ${\displaystyle \sigma _{0,f}>0}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle s:=\pm \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)\leq \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle s\mapsto -s}$

${\displaystyle D_{f}(s)={\mathcal {M}}[F](-s)=\int _{1}^{\infty }{\frac {F_{f}(s)}{x^{s+1}}}dx}$

То есть, при условии, что оно имеет продолжение в комплексную плоскость слева от начала координат, мы можем выразить суммирующую функцию любого f с помощью обратного преобразования Меллина DGF f , продолженного до s с действительными частями меньше нуля, как: ^{[ 4]} ${\displaystyle D_{f}(s)}$

${\displaystyle F_{f}(x)={\mathcal {M}}^{-1}\left[{\mathcal {M}}[F_{f}](-s)\right](x)={\mathcal {M}}^{-1}[D_{f}(-s)](x).}$

Мы можем сформировать DGF, или производящую функцию Дирихле , любого предписанного f , учитывая нашу гладкую целевую функцию F , выполняя суммирование по частям как

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{f}(s)&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}(F(n)-F(n-1))e^{-nt}\right)t^{s}dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\lim _{N\to \infty }\left[F(N)e^{-Nt}+\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{-kt}\left(1-e^{-t}\right)\right]dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}(1-e^{-t})\int _{0}^{\infty }F(r/t)e^{-r}drdt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\left(1-e^{-t}\right){\widetilde {F}}\left({\frac {1}{t}}\right)dt\\&={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\left(1-e^{-1/u}\right)}{u^{s}(1-u)}}F\left({\frac {u}{1-u}}\right)du,\end{aligned}}}$

где преобразование Лапласа-Бореля F , которое , если ${\displaystyle {\hat {F}}(x)\equiv {\mathcal {L}}[F](x)}$

${\displaystyle F(z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}}$

соответствует экспоненциальной производящей функции некоторой последовательности, нумерованной (как предписано разложением F в ряд Тейлора около нуля), тогда ${\displaystyle f_{n}/n!=F^{(n)}(0)/n!}$

${\displaystyle {\widetilde {F}}(z)=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$

— это его обычная форма производящей функции над последовательностью, коэффициенты которой нумеруются через . ${\displaystyle [z^{n}]{\widetilde {F}}(z)\equiv f_{n}=F^{(n)}(0)}$

Отсюда следует, что если мы напишем

${\displaystyle G_{F}(x):={\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)=\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}[z^{k}]F(z)\right)x^{n+1},}$

поочередно интерпретируется как знаковый вариант биномиального преобразования F , тогда мы можем выразить DGF как следующее преобразование Меллина в : ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{f}(s)&={\mathcal {M}}[G_{F}](-s){\mathcal {M}}\left[1-e^{-1/x}\right](-s)\\&={\frac {{\mathcal {M}}[G_{F}](-s)}{s-1}}\left(1-\Gamma (s)\right)\end{aligned}}}$

Наконец, поскольку гамма-функция имеет мероморфное продолжение в , для всех мы имеем аналитическое продолжение ДГФ для f в -s вида ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1,2,\ldots \},}$

${\displaystyle D_{f}(-s)=-{\frac {1-\Gamma (-s)}{s+1}}{\mathcal {M}}[G_{F}](s),}$

где формула для целых неотрицательных чисел n задается по формуле теоремы в виде ${\displaystyle D_{f}(-n)}$

${\displaystyle D_{f}(-n)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}\left[\left(1-e^{-1/x}\right){\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)\right]{\Biggr |}_{x=0}.}$

Более того, при условии, что арифметическая функция f удовлетворяет условиям , так что ее обратная функция Дирихле существует, DGF продолжается до любого , то есть любого комплексного s, исключая s в f -определенной или зависящей от приложения f- специфической, так называемой критической полосе между вертикальными линиями и значением этой обратной функции DGF, когда задано выражением ^[5] ${\displaystyle f(1)\neq 1}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} \cap \{z:\Re (z)\in (-\infty ,-\sigma _{0,f})\cup (\sigma _{0,f},+\infty )\}}$ ${\displaystyle z=\pm \sigma _{0,f}}$ ${\displaystyle \Re (s)<-\sigma _{0,f}}$

${\displaystyle D_{f^{-1}}(-s)={\begin{cases}0,&n\in \mathbb {N} ;\\-{\frac {s+1}{1-\Gamma (-s)}}{\mathcal {M}}[G_{F}^{-1}](s),&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Чтобы продолжить ДФР обратной функции Дирихле к s внутри этой f -определенной критической полосы , мы должны потребовать некоторых знаний функционального уравнения для ДФР, , которое позволяет нам связать s так , что ряд Дирихле , который изначально определяет эту функцию абсолютно сходится к значениям s внутри этой полосы — по сути, формула, обеспечивающая то, что необходимо для определения DGF в этой полосе. ^[6] ${\displaystyle D_{f}(s)}$ ${\displaystyle D_{f}(s)=\xi _{f}(s)\times D_{f}(\sigma _{0,f}-s)}$

Смотрите также

• Звезда Миттаг-Леффлера
• Голоморфное функциональное исчисление
• Численное аналитическое продолжение

Рекомендации

1. Краскал, доктор медицины (1960-09-01). «Максимальное расширение метрики Шварцшильда». Физический обзор . 119 (5): 1743–1745. Бибкод : 1960PhRv..119.1743K. дои : 10.1103/PhysRev.119.1743.
2. См. пример естественной границы на странице MathWorld .
3. См. статью Пьера Кольмеса «Кольца Фонтена и p-адические L-функции», найденную по этой ссылке (Курсовые примечания в формате PDF от 2004 г.).
4. Фактически, гораздо больше можно сказать о свойствах таких отношений между продолжениями DGF и суммирующей функцией любой арифметики f - а краткий список и сборник тождеств см. на рабочей странице песочницы в Дирихле . инверсия ряда . Некоторые интересные пары отношений инверсии сумматорной функции к DGF, которые возникают в нестандартных приложениях , включают : функция подсчета . ${\displaystyle (F_{f}(x),D_{f}(s))\in \left\{(M(x),1/\zeta (s)),(\pi (x),P(s)),(\Pi _{0}(x),\log \zeta (s))\right\}}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$
5. Одно наблюдение о том, как согласовать, как значения этого аналитически продолженного DGF совпадают с тем, что мы знаем об интеграле Меллина суммирующей функции f , мы замечаем, что у нас должно быть это

   ${\displaystyle D_{f}(-s)=-s\int _{1}^{\infty }x^{s-1}F_{f}(x)dx.}$

6. Отмечается, что эта конструкция аналогична известному функциональному уравнению для дзета-функции Римана , которое относится к значениям for в классической критической полосе , где мы можем найти все нетривиальные нули этой дзета-функции . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 1<\Re (s)<2}$ ${\displaystyle \zeta (1-s)}$ ${\displaystyle 0<1-s<1}$

• Ларс Альфорс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 172, 284.
• Людвиг Бибербах (1955). Аналитическое Форцецунг . Спрингер-Верлаг.
• П. Динес (1957). Ряд Тейлора: введение в теорию функций комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc.

Внешние ссылки

• «Аналитическое продолжение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Аналитическое продолжение на MathPages
• Вайсштейн, Эрик В. «Аналитическое продолжение». Математический мир .