Преобразование Меллина

Математическая операция

В математике преобразование Меллина — это интегральное преобразование , которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа . Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел , математической статистике , теории асимптотических разложений ; оно тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье , а также теорией гамма-функции и родственных ей специальных функций .

Преобразование Меллина функции f равно

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$$

Обратное преобразование

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$$

Обозначения подразумевают, что это линейный интеграл , взятый по вертикальной линии на комплексной плоскости, чья действительная часть c должна удовлетворять лишь мягкой нижней границе. Условия, при которых справедливо это обращение, приведены в теореме об обращении Меллина .

Преобразование названо в честь финского математика Ялмара Меллина , который представил его в статье, опубликованной в 1897 году в Acta Societatis Scientiarum Fennicæ. ^[1]

Связь с другими преобразованиями

Двустороннее преобразование Лапласа можно определить через преобразование Меллина следующим образом:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

и наоборот, мы можем получить преобразование Меллина из двустороннего преобразования Лапласа с помощью

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

Преобразование Меллина можно рассматривать как интегрирование с использованием ядра x ^s по отношению к мультипликативной мере Хаара , , которая инвариантна относительно расширения , так что двустороннее преобразование Лапласа интегрируется по отношению к аддитивной мере Хаара , которая является инвариантной относительно сдвига. , так что . ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d(x+a)=dx}$

Мы также можем определить преобразование Фурье через преобразование Меллина и наоборот; в терминах преобразования Меллина и двустороннего преобразования Лапласа, определенного выше

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .}$

Мы также можем обратить процесс вспять и получить

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .}$

Преобразование Меллина также соединяет ряд Ньютона или биномиальное преобразование вместе с производящей функцией Пуассона посредством цикла Пуассона-Меллина-Ньютона .

Преобразование Меллина можно также рассматривать как преобразование Гельфанда для алгебры свертки локально компактной абелевой группы положительных действительных чисел с умножением.

Примеры

Интеграл Каэна – Меллина

Преобразование Меллина функции имеет вид ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx}$

где гамма - функция . — мероморфная функция с простыми полюсами в точке . ^[2] Следовательно, является аналитическим для . Таким образом, полагая и на главной ветви обратное преобразование дает ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle z^{-s}}$

${\displaystyle e^{-z}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)z^{-s}\;ds}$.

Этот интеграл известен как интеграл Каэна – Меллина. ^[3]

Полиномиальные функции

Поскольку оно не сходится ни при каком значении , преобразование Меллина не определено для полиномиальных функций, определенных на всей положительной вещественной оси. Однако, определив его равным нулю на разных участках действительной оси, можно использовать преобразование Меллина. Например, если ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x^{a}dx}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\0&x>1,\end{cases}}}$

затем

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{1}x^{s-1}x^{a}dx=\int _{0}^{1}x^{s+a-1}dx={\frac {1}{s+a}}.}$

Таким образом , имеет простой полюс в и, таким образом, определен для . Аналогично, если ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-a}$ ${\displaystyle \Re (s)>-a}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$

затем

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{1}^{\infty }x^{s-1}x^{b}dx=\int _{1}^{\infty }x^{s+b-1}dx=-{\frac {1}{s+b}}.}$

Таким образом , имеет простой полюс в и, таким образом, определен для . ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-b}$ ${\displaystyle \Re (s)<-b}$

Экспоненциальные функции

Ибо , пусть . Затем ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-px}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).}$

Дзета-функция

Можно использовать преобразование Меллина для получения одной из фундаментальных формул для дзета -функции Римана . Позволять . Затем ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).}$

Таким образом,

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx.}$

Обобщенный гауссиан

Для пусть (т.е. является обобщенным распределением Гаусса без масштабного коэффициента.) Тогда ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.}$

В частности, установка восстанавливает следующий вид гамма-функции ${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle \Gamma \left(1+{\frac {1}{p}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{p}}dx.}$

Степенной ряд и ряд Дирихле.

В общем случае, предполагая необходимую сходимость, мы можем соединить ряд Дирихле и связанные с ним степенные ряды.

${\displaystyle F(s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\quad f(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

по формальному тождеству, включающему преобразование Меллина: ^[4]

${\displaystyle \Gamma (s)F(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(e^{-x})dx}$

Фундаментальная полоса

Для пусть открытая полоса определяется как все такое, что с Фундаментальная полоса определяется как наибольшая открытая полоса, на которой она определена . Например, для фундаментальной полосы ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\displaystyle \alpha <\sigma <\beta .}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$

Как видно из этого примера, асимптотика функции as определяет левый конец ее фундаментальной полосы, а асимптотика функции as определяет ее правый конец. Подводя итог, используя обозначение Big O , if is as и as then определяется в полосе ^[5] ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O(x^{a})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{b})}$ ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$

Применение этого можно увидеть в гамма - функции . _ ${\displaystyle \Gamma (s).}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle O(x^{0})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{k})}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle 0,+\infty \rangle ,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0.}$

Характеристики

Свойства в этой таблице можно найти у Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954).

Теорема Парсеваля и теорема Планшереля.

Пусть и – функции с четко определенными преобразованиями Меллина в фундаментальных полосах . Пусть с . Если функции и также интегрируемы с квадратом на интервале , то справедлива формула Парсеваля : ^[6] ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(\alpha _{1},1-\beta _{2})<c<\min(\beta _{1},1-\alpha _{2})}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{1/2-c}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds}$

Интегрирование в правой части выполняется вдоль вертикальной линии , которая полностью лежит в пределах перекрытия (подходящих преобразованных) фундаментальных полос. ${\displaystyle \Re r=c}$

Мы можем заменить на . Это дает следующую альтернативную форму теоремы: Пусть и — функции с четко определенными преобразованиями Меллина в фундаментальных полосах . Пусть с и выбирайте с . Если функции и также интегрируемы с квадратом на интервале , то имеем ^[6] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{1}<c<\beta _{1}}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha _{2}<\Re s_{0}-c<\beta _{2}}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds}$

Мы можем заменить на . Это дает следующую теорему: Пусть – функция с четко определенным преобразованием Меллина в фундаментальной полосе . Пусть с . Если функция также интегрируема с квадратом на интервале , то справедлива теорема Планшереля : ^[7] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f_{1}(x)}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {f}}(c+it)|^{2}\,dt}$

Как изометрия на пространствах L2

При изучении гильбертовых пространств преобразование Меллина часто ставится несколько иначе. Для функций в (см. пространство Lp ) фундаментальная полоса всегда включает в себя , поэтому мы можем определить линейный оператор как ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),}$

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$

Другими словами, мы установили

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$

Этот оператор обычно обозначается просто и называется «преобразованием Меллина», но здесь он используется для отличия от определения, используемого в других местах этой статьи. Теорема Меллина об обращении затем показывает, что обратимо с обратным ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),}$

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$

Более того, этот оператор является изометрией , то есть для всех (это объясняет, почему был использован фактор ). ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

В теории вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом при изучении распределения произведений случайных величин. [ ^8] Если X — случайная величина, и X ⁺ = max{ X ,0 } обозначает ее положительную часть, а X ⁻ = max{− X ,0 } — ее отрицательную часть, то преобразование Меллина X определяется как ^[9]

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

где γ — формальная неопределённость с γ ² = 1 . Это преобразование существует для всех s в некоторой комплексной полосе D = { s  : a ⩽ Re( s ) ⩽ b } , где a ⩽ 0 ⩽ b . ^[9]

Преобразование Меллина случайной величины X однозначно определяет ее функцию распределения F _X . ^[9] Важность преобразования Меллина в теории вероятностей заключается в том, что если X и Y являются двумя независимыми случайными величинами, то преобразование Меллина их произведения равно произведению преобразований Меллина X и Y : ^{[10] ]} ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

Проблемы с лапласианом в цилиндрической системе координат

В лапласиане в цилиндрических координатах в общем измерении (ортогональные координаты с одним углом и одним радиусом и остальными длинами) всегда присутствует член:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}}$

Например, в двумерных полярных координатах лапласиан равен:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}$

а в трехмерных цилиндрических координатах лапласиан равен:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Этот член можно рассматривать с помощью преобразования Меллина ^[11] , поскольку:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$

Например, двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах представляет собой УЧП с двумя переменными:

${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$

и путем умножения:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

с преобразованием Меллина по радиусу становится простым гармоническим осциллятором :

${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$

с общим решением:

${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$

Теперь давайте, например, наложим некоторые простые граничные условия на исходное уравнение Лапласа:

${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$

они особенно просты для преобразования Меллина и становятся:

${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$

Эти условия, налагаемые на решение, конкретизируют его:

${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$

Теперь по теореме о свертке для преобразования Меллина решение в области Меллина можно инвертировать:

${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx}$

где использовалось следующее обратное соотношение преобразования:

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}$

где . ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$

Приложения

Преобразование Меллина широко используется в информатике для анализа алгоритмов ^[12] из-за его свойства масштабной инвариантности . Величина преобразования Меллина масштабированной функции идентична величине исходной функции для чисто мнимых входных данных. Это свойство масштабной инвариантности аналогично свойству сдвиговой инвариантности преобразования Фурье. Величина преобразования Фурье сдвинутой по времени функции идентична величине преобразования Фурье исходной функции.

Это свойство полезно при распознавании изображений . Изображение объекта легко масштабируется, когда объект перемещается к камере или от нее.

В квантовой механике и особенно в квантовой теории поля пространство Фурье чрезвычайно полезно и широко используется, поскольку импульс и положение являются преобразованиями Фурье друг друга (например, диаграммы Фейнмана гораздо легче вычисляются в импульсном пространстве). В 2011 году А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес , Суврат Раджу и Балт К. ван Рис показали, что пространство Меллина выполняет аналогичную роль в контексте переписки AdS/CFT . ^{[13] [14] [15]}

Примеры

• Формула Перрона описывает обратное преобразование Меллина, примененное к ряду Дирихле .
• Преобразование Меллина используется при анализе функции подсчета простых чисел и встречается при обсуждении дзета-функции Римана .
• Обратные преобразования Меллина обычно происходят в средних значениях Рисса .
• Преобразование Меллина можно использовать в модификации высоты звука ^{шкалы времени .}

Таблица избранных преобразований Меллина

Следующий список интересных примеров преобразования Меллина можно найти у Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954):

Смотрите также

• Теорема Меллина об обращении
• Формула Перрона
• Основная теорема Рамануджана

Примечания

1. Меллин, Hj. «Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale». Acta Societatis Scientiarum Fennicæ . XXII, № 2: 1–75.
2. Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1996). Курс современного анализа . Издательство Кембриджского университета.
3. Харди, GH ; Литтлвуд, Дж. Э. (1916). «Вклад в теорию дзета-функции Римана и теорию распределения простых чисел». Акта Математика . 41 (1): 119–196. дои : 10.1007/BF02422942 . (Дальнейшие ссылки на работы Кээна и Меллина, включая диссертацию Кээна, см. в примечаниях к нему.)
4. Винтнер, Аурел (1947). «О приведении Риманом ряда Дирихле к степенному ряду». Американский журнал математики . 69 (4): 769–789. дои : 10.2307/2371798 .
5. Флажоле, П.; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. дои : 10.1016/0304-3975(95)00002-е.
6. Титчмарш (1948, стр. 95).
7. Титчмарш (1948, стр. 94).
8. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 15)
9. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 16)
10. Галамбос и Симонелли (2004, стр. 23)
11. Бхимсен, Шивамогги, Глава 6: Преобразование Меллина, пар. 4.3: Распределение потенциала в клине, стр. 267–8.
12. Филипп Флажоле и Роберт Седжвик. Анализ алгоритмов в среднем случае: асимптотика преобразования Меллина. Отчет об исследовании 2956. 93 страницы. Национальный институт исследований информатики и автоматизации (INRIA), 1996.
13. А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу, Балт К. ван Рис. «Естественный язык для корреляторов AdS/CFT».
14. А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан. «Унитарность и голографическая S-матрица»
15. А. Лиам Фицпатрик. «AdS/CFT и голографическая S-матрица», видеолекция.
16. Жаклин Бертран, Пьер Бертран, Жан-Филипп Оварлес. Преобразование Меллина. Справочник по преобразованиям и приложениям, 1995, 978-1420066524. ffhal-03152634f

Рекомендации

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Галамбос, Янош; Симонелли, Итало (2004). Произведения случайных величин: приложения к задачам физики и арифметическим функциям . Марсель Деккер, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
• Париж, РБ; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521790017.
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Брейсвелл, Рональд Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.).
• Эрдели, Артур (1954). Таблицы интегральных преобразований . Том. 1. МакГроу-Хилл.
• Титчмарш, ЕС (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.).
• Флажоле, П.; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. дои : 10.1016/0304-3975(95)00002-е.
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Преобразование Меллина», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Меллина». Математический мир .
• Некоторые применения преобразования Меллина в статистике (статья)

Внешние ссылки

• Филипп Флажоле, Ксавье Гурдон, Филипп Дюма, Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы.
• Антонио Гонсалес, Марко Ридель Celebrando un clásico, группа новостей es.ciencia.matematicas
• Хуан Сакердоти, Funciones Eulerianas (на испанском языке).
• Методы преобразования Меллина, Цифровая библиотека математических функций , 29 августа 2011 г., Национальный институт стандартов и технологий
• Антонио Де Сена и Давиде Рокессо, БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В DAFX