Гамма-функция

Расширение функции факториала

В математике гамма -функция (представленная Γ , заглавной буквой «гамма» греческого алфавита ) является одним из широко используемых расширений факториала для комплексных чисел . Гамма-функция определена для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых чисел. Для каждого положительного целого числа n

$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,.}$$

Гамма-функция, выведенная Даниэлем Бернулли для комплексных чисел с положительной вещественной частью, определяется через сходящийся несобственный интеграл :

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$

Гамма-функция тогда определяется как аналитическое продолжение этой интегральной функции до мероморфной функции , которая голоморфна во всей комплексной плоскости, за исключением нуля и отрицательных целых чисел, где функция имеет простые полюса .

Гамма-функция не имеет нулей, поэтому обратная гамма-функция 1/Г( z )это целая функция . Фактически гамма-функция соответствует преобразованию Меллина отрицательной показательной функции :

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Существуют и другие расширения функции факториала, но гамма-функция является самой популярной и полезной. Это компонент различных функций распределения вероятностей, и как таковой он применим в области вероятности и статистики , а также в комбинаторике .

Мотивация

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$интерполирует функцию факториала до нецелых значений.

Гамма-функцию можно рассматривать как решение следующей интерполяционной задачи:

«Найдите гладкую кривую , которая соединяет точки  ( x , y ) , заданные формулой y = ( x − 1)!, в положительных целочисленных значениях  x ».

График первых нескольких факториалов предполагает, что такую ​​кривую можно нарисовать, но было бы предпочтительнее иметь формулу, точно описывающую эту кривую. Простая формула факториала x ! = 1 × 2 × ⋯ × x не может использоваться непосредственно для нецелых значений x , поскольку оно допустимо только тогда, когда x является натуральным числом (или положительным целым числом). Условно говоря, таких простых решений для факториалов не существует; никакая конечная комбинация сумм, произведений, степеней, показательных функций или логарифмов не будет достаточна для выражения  x ! ; но можно найти общую формулу для факториалов, используя такие инструменты, как интегралы и пределы исчисления . Хорошим решением этой проблемы является гамма-функция. ^[1]

Существует бесконечно много непрерывных расширений факториала до нецелых чисел: через любой набор изолированных точек можно провести бесконечно много кривых. Гамма-функция является наиболее полезным решением на практике, поскольку она является аналитической (за исключением неположительных целых чисел) и может быть определена несколькими эквивалентными способами. Однако это не единственная аналитическая функция, расширяющая факториал, поскольку добавление к ней любой аналитической функции, равной нулю для положительных целых чисел, например k sin mπx для целого числа m , даст другую функцию с этим свойством. ^[1] Такая функция известна как псевдогамма-функция , наиболее известной из которых является функция Адамара . ^[2]

Гамма-функция Γ( z ) синего цвета изображена вместе с Γ( z ) + sin(π z ) зеленым цветом. Обратите внимание на пересечение положительных целых чисел. Оба являются действительными расширениями факториалов до мероморфной функции на комплексной плоскости.

Более ограничительным свойством, чем выполнение указанной выше интерполяции, является выполнение рекуррентного соотношения , определяющего переведенную версию факториальной функции, ^{[3] [4]}

$${\displaystyle f(1)=1,}$$

$${\displaystyle f(x+1)=xf(x),}$$

для любого положительного действительного числа x . Но это позволило бы умножить на любую функцию g ( x ) , удовлетворяющую как g ( x ) = g ( x +1) для всех действительных чисел x , так и g (0) = 1 , например, функция g ( x ) = e ^{k грех 2mπx} . Один из нескольких способов разрешить неоднозначность исходит из теоремы Бора-Моллерапа . Он утверждает, что когда добавляется условие, что f логарифмически выпукло ( или «сверхвыпукло», ^[5] означает, что оно является выпуклым ), оно однозначно определяет f для положительных, действительных входных данных. Отсюда гамма-функция может быть расширена до всех действительных и комплексных значений (кроме отрицательных целых чисел и нуля), используя уникальное аналитическое продолжение f . ^[6] ${\displaystyle \ln \circ f}$

Определение

Основное определение

Обозначения принадлежат Лежандру . ^[1] Если действительная часть комплексного числа  z строго положительна ( ), то интеграл ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

сходится абсолютноинтеграл Эйлера второго родабета-функция^[1]интегрирование по частям

Абсолютное значение (по вертикали) и аргумент (цвет) гамма-функции на комплексной плоскости.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Признавая, что как ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Мы можем рассчитать : ${\displaystyle \Gamma (1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы можем показать это для любого положительного целого числа n по индукции . В частности, базовый случай таков , а шаг индукции таков: ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

Тождество можно использовать (или, давая тот же результат, можно использовать аналитическое продолжение ) для однозначного расширения интегральной формулировки для до мероморфной функции , определенной для всех комплексных чисел z , кроме целых чисел, меньших или равных нулю. ^[1] Именно эту расширенную версию обычно называют гамма-функцией. ^[1] ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Альтернативные определения

Существует множество эквивалентных определений.

Определение Эйлера как бесконечного произведения

Для фиксированного целого числа по мере увеличения целого числа мы имеем, что ^[7] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Если это не целое число, то невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще (в этом разделе) не определили факториальную функцию для нецелых чисел. Однако мы получаем уникальное расширение функции факториала на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число заменяется произвольным комплексным числом . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$

${\displaystyle (z-1)!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$

бесконечное произведение^[8] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle n}$

Определение Вейерштрасса

Определение гамма-функции, данное Вейерштрассом , также справедливо для всех комплексных чисел  z , кроме неположительных целых чисел:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$

постоянная Эйлера–Машерони^[1]Адамара^{[9] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

Характеристики

Общий

Помимо фундаментального свойства, обсуждавшегося выше:

$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$

формула отражения Эйлера.

$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$

формула дублирования Лежандра

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

Формула умножения является частным случаем теоремы умножения (см.  ^[10] , уравнение 5.5.6):

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Простое, но полезное свойство, которое можно увидеть из определения предела:

$${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

В частности, при z = a + bi это произведение

$${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Если действительная часть является целым или полуцелым числом, это можно конечно выразить в замкнутой форме :

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Возможно, самое известное значение гамма-функции при нецелом аргументе:

$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$

бета-функцииинтегралу Гаусса ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$

двойной факториал«Особые значения гамма-функции» . ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

Может возникнуть соблазн обобщить результат, заключающийся в том, что, ища формулу для других индивидуальных значений , где это рационально, особенно потому, что, согласно дигамм-теореме Гаусса , это можно сделать для тесно связанной дигамма-функции при каждом рациональном значении. Однако неизвестно, чтобы эти числа выражались сами по себе через элементарные функции. Доказано, что является трансцендентным числом и алгебраически независимым от любого целого числа и каждой из дробей . ^[11] В общем, при вычислении значений гамма-функции мы должны использовать численные аппроксимации. ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Производные гамма-функции описываются с помощью полигамма -  функции ψ ⁽⁰⁾ ( z ) :

$${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

m

Цвета, показывающие аргумент гамма-функции в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 6 + 2 i.

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$

номер m-й гармоникиγконстанта Эйлера–Машерони

Для й производной гамма-функции: ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}$$

дифференцирования под знаком интеграла ${\displaystyle z}$

Использование личности

$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}}$$

дзета-функция Риманаразбиение ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ terms}}},}$$

в ряд Лорана ^[12]

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Неравенства

Если ограничиться положительными действительными числами, гамма-функция является строго логарифмически выпуклой функцией . Это свойство может быть выражено любым из следующих трех эквивалентных способов:

• Для любых двух положительных действительных чисел и и для любого ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$
  $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• Для любых двух положительных действительных чисел и , и > ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$
  $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• Для любого положительного действительного числа ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

Последнее из этих утверждений, по существу, по определению совпадает с утверждением, что , где – полигамма-функция порядка 1. Чтобы доказать логарифмическую выпуклость гамма-функции, поэтому достаточно заметить, что она имеет серийное представление, которое при положительный вещественный x , состоит только из положительных членов. ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

Логарифмическая выпуклость и неравенство Йенсена вместе означают для любых положительных действительных чисел и , ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

Существуют также границы на отношения гамма-функций. Самым известным является неравенство Гаучи , которое гласит, что для любого положительного действительного числа x и любого s ∈ (0, 1 )

$${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

Формула Стирлинга

Представление гамма-функции в комплексной плоскости. Каждая точка окрашена в соответствии с аргументом . Также отображается контурный график модуля . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

Трехмерный график абсолютного значения комплексной гамма-функции

Поведение при возрастании положительной действительной переменной определяется формулой Стирлинга ${\displaystyle \Gamma (x)}$

$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$

. ^[1] ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

Еще один полезный предел для асимптотических приближений : ${\displaystyle x\to +\infty }$

$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

При записи члена ошибки в виде бесконечного произведения для определения гамма-функции можно использовать формулу Стирлинга: ^[13]

$${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}{\frac {x}{e}}^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

Остатки

Поведение неположительных значений более сложное. Интеграл Эйлера не сходится при , но функция, которую он определяет в положительной комплексной полуплоскости, имеет единственное аналитическое продолжение в отрицательную полуплоскость. Один из способов найти это аналитическое продолжение - использовать интеграл Эйлера для положительных аргументов и расширить область определения до отрицательных чисел путем многократного применения рекуррентной формулы ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$

деления на нольмероморфная функцияпростыми полюсами^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

Для функции комплексной переменной в простом полюсе вычет определяется выражением : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Для простого полюса перепишем рекуррентную формулу так: ${\displaystyle z=-n,}$

$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$

${\displaystyle z=-n,}$

$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$

$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$

^[14]

$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$

z → −∞обратная гамма-функцияцелой функцией^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

Минимумы и максимумы

На реальной линии гамма-функция имеет локальный минимум при z _min ≈ +1,46163 21449 68362 34126 ^[15] , где она достигает значения Γ( z _min ) ≈ +0,88560 31944 10888 70027 . ^[16] Гамма-функция возрастает по обе стороны от этого минимума. Решением Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) является z = +1,5 , а общее значение — Γ(1) = Γ(2) = +1 . Положительное решение задачи Γ( z − 1) = Γ( z + 1) — это z = φ ≈ +1,618 , золотое сечение , а общее значение — Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! ≈ +1.44922 96022 69896 60037 . ^[17]

Гамма-функция должна менять знак между своими полюсами в неположительных целых числах, поскольку произведение в прямой рекуррентности содержит нечетное количество отрицательных факторов, если количество полюсов между и нечетно, и четное число, если количество полюсов четное. . ^[14] Значения локальных экстремумов гамма-функции вдоль действительной оси между неположительными целыми числами: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( -0,50408 30082 64549 38526... ^[18] ) = -3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( -1,57349 84731 62390 45877... ^[19] ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( -2,61072 08684 44144 65000... ^[20] ) = -0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( -3,63529 33664 36901 09783... ^[21] ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( -4,65323 77617 43142 44171... ^[22] ) = -0,05277 96395 87319 40076... и т. д.

Интегральные представления

Существует множество формул, помимо интеграла Эйлера второго рода, выражающих гамма-функцию в виде интеграла. Например, когда действительная часть z положительна, ^[23]

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$

^[24]

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$

$${\displaystyle \Gamma (z)=2\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-t^{2}}\,dt}$$

^[25][26]​​интегралом Гаусса ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=x^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2}$ ${\textstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt}$

Первая интегральная формула Бине для гамма-функции гласит, что, когда действительная часть z положительна, тогда: ^[27]

$${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$

преобразование Лапласа

$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

Вторая интегральная формула Бине утверждает, что, опять же, когда действительная часть z положительна, тогда: ^[28]

$${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Пусть C — контур Ганкеля , означающий путь, который начинается и заканчивается в точке ∞ на сфере Римана , единичный касательный вектор которого сходится к −1 в начале пути и к 1 в конце, который имеет номер обмотки 1 вокруг 0 и который не пересекает [0, ∞) . Зафиксируйте ветвь, взяв ветвь, разрезанную вдоль [0, ∞) и приняв ее за вещественную, когда t находится на отрицательной вещественной оси. Предположим, что z не является целым числом. Тогда формула Ханкеля для гамма-функции такова: ^[29] ${\displaystyle \log(-t)}$ ${\displaystyle \log(-t)}$

$${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$

${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

z

Представление непрерывной дроби

Гамма-функция также может быть представлена ​​суммой двух цепных дробей : ^{[30] [31]}

$${\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Разложение в ряд Фурье

Логарифм гамма-функции имеет следующее разложение в ряд Фурье для ${\displaystyle 0<z<1:}$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

Эрнсту Куммеру^{[32] [33]}Карл Йохан Мальмстен^{[34] [35]}

Формула Раабе

В 1840 году Йозеф Людвиг Раабе доказал, что

$${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.}$$

${\displaystyle a=0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .}$$

Последнее можно получить, логарифмируя приведенную выше формулу умножения, которая дает выражение суммы Римана подынтегральной функции. Взятие предела дает формулу. ${\displaystyle a\to \infty }$

Пи-функция

Альтернативное обозначение, первоначально введенное Гауссом , — это -функция, которая в терминах гамма-функции равна ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$

${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

Используя функцию пи, формула отражения принимает вид

$${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$

sincфункция sinc

$${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

Мы также иногда находим

$${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$$

целую функциюобратная гамма-функциянулей ${\displaystyle \pi (z)}$ ${\displaystyle \Pi \left(z\right)}$ ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$

Объем n - эллипсоида с радиусами r ₁ , …, r _n можно выразить как

$${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

Связь с другими функциями

• В первом интеграле выше, который определяет гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Верхняя и нижняя неполные гамма-функции — это функции, полученные путем изменения нижнего или верхнего (соответственно) предела интегрирования.
• Гамма-функция связана с бета-функцией формулой
  $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• Логарифмическая производная гамма-функции называется дигамма-функцией ; высшие производные – это полигамма-функции .
• Аналогом гамма-функции над конечным полем или конечным кольцом являются гауссовы суммы , разновидность экспоненциальной суммы .
• Обратная гамма-функция представляет собой целую функцию и изучалась как отдельная тема.
• Гамма-функция также проявляется в важной связи с дзета - функцией Римана . ${\displaystyle \zeta (z)}$
  $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$
  Он также появляется в следующей формуле:
  $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$
  что справедливо только для . ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  Логарифм гамма-функции удовлетворяет следующей формуле Лерха:
  $${\displaystyle \log \Gamma (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$
  где – дзета-функция Гурвица , – дзета-функция Римана, а штрих ( ′ ) обозначает дифференцирование по первой переменной. ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• Гамма-функция связана с растянутой экспоненциальной функцией . Например, моменты этой функции равны
  $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Особые ценности

Некоторые конкретные значения гамма-функции, включая первые 20 цифр после десятичной точки:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$

.Римана∞гамма-функцияопределенааналитичнавсей комплексной плоскости

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Лог-гамма-функция

Аналитическая функция log Γ( z )

Поскольку гамма-функции и факториал растут так быстро для умеренно больших аргументов, многие вычислительные среды включают функцию, которая возвращает натуральный логарифм гамма-функции (часто дается имя lgamma, lngammaв средах программирования или gammalnв электронных таблицах); он растет гораздо медленнее, а для комбинаторных вычислений позволяет складывать и вычитать журналы вместо умножения и деления очень больших значений. Его часто определяют как ^[36]

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

Дигамма -функция , которая является производной этой функции, также часто встречается. В контексте технических и физических приложений, например, при распространении волн, функциональное уравнение

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln z}$$

Логарифмическая гамма-функция в комплексной плоскости от −2 − 2i до 2 + 2i с цветами

часто используется, поскольку позволяет определить значения функции в одной полосе шириной 1 по z из соседней полосы. В частности, начав с хорошего приближения для a  z с большой действительной частью, можно шаг за шагом идти вниз к желаемому  z . Следуя указаниям Карла Фридриха Гаусса , Роктешель (1922) предложил аппроксимацию для больших Re( z ) : ${\displaystyle \ln(\Gamma (z))}$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}$$

Это можно использовать для точной аппроксимации ln(Γ( z )) для z с меньшим Re( z ) с помощью (PEBöhmer, 1939)

$${\displaystyle \ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k).}$$

Более точное приближение можно получить, используя больше членов из асимптотических разложений ln(Γ( z )) и Γ( z ) , которые основаны на приближении Стирлинга.

$${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

как | г | → ∞ при постоянной | арг( z ) | < π . (См. последовательности A001163 и A001164 в OEIS .)

В более «естественном» изложении:

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z-{\tfrac {1}{2}}\ln z+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

как | г | → ∞ при постоянной | арг( z ) | < π . (См. последовательности A046968 и A046969 в OEIS .)

Коэффициенты членов с k > 1 из z ^{1− k} в последнем разложении просто

$${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

Bk _—Бернулли

Гамма-функция также имеет ряд Стирлинга (выведенный Чарльзом Эрмитом в 1900 году), равный ^[37]

$${\displaystyle \log \Gamma (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Характеристики

Теорема Бора-Моллерапа утверждает, что среди всех функций, расширяющих факториалы до положительных действительных чисел, только гамма-функция является лог-выпуклой , то есть ее натуральный логарифм выпукл на положительной вещественной оси. Другая характеристика дается теоремой Виланда .

Гамма-функция — это уникальная функция, которая одновременно удовлетворяет

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых чисел, и ${\displaystyle z}$
3. для целого числа n , для всех комплексных чисел . ^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

В определенном смысле функция ln(Γ) является более естественной формой; это проясняет некоторые внутренние атрибуты функции. Ярким примером является ряд Тейлора для ln(Γ) около 1:

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

ζ ( k )дзета-функцию Риманаk

Итак, используя следующее свойство:

$${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$

ln(Γ)

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$

z = 1γγ

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

Также существуют специальные формулы логарифма гамма-функции для рационального z . Например, если и являются целыми числами с и тогда ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\ln 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\ln r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x\end{aligned}}}$$

^[38]

Интегрирование по лог-гамме

Интеграл

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx}$$

G -функцию Барнса ^{[39] [40]}G -функции Барнса ):

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\ln \Gamma (z)-\ln G(z+1)}$$

Re( z ) > −1

Это также можно записать через дзета-функцию Гурвица : ^{[41] [42]}

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

Когда из этого следует, что ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {1}{2}}\ln(2\pi ),}$$

формулы Раабе . ^[43] ${\displaystyle \ln \Gamma }$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$

${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi )}$

Д.Х. Бэйли и его соавторы ^[44] дали оценку

$${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\ln ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$

${\displaystyle n=1,2}$

Кроме того, известно также, что ^[45]

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Приближения

Сравнение гаммы (синяя линия) с факториалом (синие точки) и аппроксимацией Стирлинга (красная линия)

Комплексные значения гамма-функции можно аппроксимировать с помощью приближения Стирлинга или приближения Ланцоша .

$${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

| г |

Гамма-функцию можно вычислить с фиксированной точностью, применив интегрирование по частям к интегралу Эйлера. Для любого положительного числа  x гамма-функция может быть записана ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Когда Re( z ) ∈ [1,2] и , абсолютное значение последнего интеграла меньше . Выбрав достаточно большое значение , это последнее выражение можно сделать меньше, чем для любого желаемого значения . Таким образом, гамма-функция может быть оценена с точностью до бита с помощью приведенного выше ряда. ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Быстрый алгоритм вычисления гамма-функции Эйлера для любого алгебраического аргумента (в том числе рационального) был построен Е. А. Карацубой. ^{[46] [47] [48]}

Для аргументов, которые являются целыми числами, кратными1/24Гамма-функция также может быть быстро вычислена с использованием среднеарифметико-геометрических итераций (см. конкретные значения гамма-функции ). ^[49]

Приложения

Один автор описывает гамма-функцию как «Возможно, это наиболее распространенная специальная функция или наименее «специальная» из них. Другие трансцендентные функции […] называются «специальными», потому что некоторых из них можно избежать, избегая многих специализированные математические темы. С другой стороны, гамма-функцию Γ( z ) избежать сложнее всего». ^[50]

Проблемы интеграции

Гамма-функция находит применение в таких разнообразных областях, как квантовая физика , астрофизика и гидродинамика . ^[51] Гамма -распределение , которое формулируется в терминах гамма-функции, используется в статистике для моделирования широкого спектра процессов; например, время между возникновением землетрясений. ^[52]

Основной причиной полезности гамма-функции в таких контекстах является преобладание выражений того типа , которые описывают процессы, экспоненциально затухающие во времени или пространстве. Интегралы от таких выражений иногда можно решить через гамма-функцию, когда элементарного решения не существует. Например, если f — степенная функция, а g — линейная функция, простая замена переменных дает оценку ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

Тот факт, что интегрирование выполняется вдоль всей положительной действительной линии, может означать, что гамма-функция описывает кумуляцию зависящего от времени процесса, который продолжается бесконечно, или значение может быть суммой распределения в бесконечном пространстве.

Конечно, часто полезно использовать пределы интегрирования, отличные от 0 и ∞ , для описания кумуляции конечного процесса, и в этом случае обычная гамма-функция больше не является решением; тогда решение называется неполной гамма-функцией . (Обычную гамма-функцию, полученную путем интегрирования по всей положительной действительной линии, для контраста иногда называют полной гамма-функцией .)

Важной категорией экспоненциально убывающих функций являются гауссовы функции.

$${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$

функция ошибокнормального распределения ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Интегралы, которые мы обсуждали до сих пор, включают трансцендентные функции, но гамма-функция также возникает из интегралов чисто алгебраических функций. В частности, длины дуг эллипсов и лемнискат , которые представляют собой кривые, определяемые алгебраическими уравнениями, задаются эллиптическими интегралами , которые в особых случаях можно оценить с точки зрения гамма-функции. Гамма-функцию также можно использовать для расчета «объема» и «площади» n - мерных гиперсфер .

Расчет продуктов

Способность гамма-функции обобщать факториальные произведения сразу же приводит к ее приложениям во многих областях математики; в комбинаторике и, как следствие, в таких областях, как теория вероятностей и вычисление степенных рядов . Многие выражения, включающие произведения последовательных целых чисел, можно записать в виде некоторой комбинации факториалов, наиболее важным примером, возможно, является биномиальный коэффициент.

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$$

Пример биномиальных коэффициентов объясняет, почему свойства гамма-функции при расширении до отрицательных чисел являются естественными. Биномиальный коэффициент дает количество способов выбрать k элементов из набора из n элементов; если k > n , то способов, конечно, нет. Если k > n , ( n - k )! является факториалом отрицательного целого числа и, следовательно, бесконечен, если мы используем определение факториалов гамма-функцией - деление на бесконечность дает ожидаемое значение 0.

Мы можем заменить факториал гамма-функцией, чтобы распространить любую такую ​​формулу на комплексные числа. Как правило, это работает для любого продукта, в котором каждый фактор является рациональной функцией индексной переменной путем факторизации рациональной функции в линейные выражения. Если P и Q — монические полиномы степени m и n с соответствующими корнями p ₁ , …, pm и q ₁ , …, q _{n , мы} имеем

$${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Если у нас есть способ численного расчета гамма-функции, вычислить числовые значения таких продуктов очень просто. Количество гамма-функций в правой части зависит только от степени многочленов, поэтому не имеет значения, равно ли b − a 5 или 10 ⁵ . Приняв соответствующие пределы, можно сделать так, чтобы уравнение выполнялось, даже если левое произведение содержит нули или полюса.

Приняв пределы, некоторые рациональные продукты с бесконечным числом факторов также можно оценить с точки зрения гамма-функции. Благодаря теореме о факторизации Вейерштрасса аналитические функции могут быть записаны как бесконечные произведения, а иногда их можно представить как конечные произведения или факторы гамма-функции. Мы уже видели один яркий пример: формула отражения по сути представляет синусоидальную функцию как произведение двух гамма-функций. Исходя из этой формулы, показательная функция, а также все тригонометрические и гиперболические функции могут быть выражены через гамма-функцию.

Еще больше функций, включая гипергеометрическую функцию и ее частные случаи, могут быть представлены с помощью комплексных контурных интегралов от произведений и частных гамма-функции, называемых интегралами Меллина – Барнса .

Аналитическая теория чисел

Применением гамма-функции является изучение дзета-функции Римана . Фундаментальным свойством дзета-функции Римана является ее функциональное уравнение :

$${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Среди прочего, это обеспечивает явную форму аналитического продолжения дзета-функции до мероморфной функции в комплексной плоскости и приводит к немедленному доказательству того, что дзета-функция имеет бесконечное количество так называемых «тривиальных» нулей на действительной прямой. Борвейн и др. назовите эту формулу «одним из самых прекрасных открытий математики». ^[53] Еще одним претендентом на это звание может быть

$${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Обе формулы были выведены Бернхардом Риманом в его основополагающей статье 1859 года « Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe » («О числе простых чисел, меньших заданной величины»), ставшей одной из вех в развитии аналитической теории чисел . раздел математики, изучающий простые числа с помощью инструментов математического анализа. Факториальные числа, рассматриваемые как дискретные объекты, являются важным понятием в классической теории чисел, поскольку они содержат множество простых множителей, но Риман нашел применение их непрерывному расширению, которое, возможно, оказалось даже более важным.

История

Гамма-функция привлекла внимание некоторых из самых выдающихся математиков всех времен. Ее история, в частности, задокументированная Филипом Дж. Дэвисом в статье, за которую он получил премию Шовене в 1963 году , отражает многие важные события в математике, начиная с 18 века. По словам Дэвиса, «каждое поколение нашло что-то интересное, что можно сказать о гамма-функции. Возможно, следующее поколение тоже это сделает». ^[1]

XVIII век: Эйлер и Стирлинг

Письмо Даниэля Бернулли Кристиану Гольдбаху , 6 октября 1729 г.

Проблема распространения факториала на нецелые аргументы, по-видимому, впервые рассматривалась Даниэлем Бернулли и Кристианом Гольдбахом в 1720-х годах. В частности, в письме Бернулли Гольдбаху от 6 октября 1729 г. Бернулли ввёл представление произведения ^[54]

$${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

x

Леонард Эйлер позже дал два разных определения: первое было не его интегралом, а бесконечным произведением , которое хорошо определено для всех комплексных чисел n , кроме отрицательных целых чисел:

$${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$

$${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds\,,}$$

n-1t = −ln s28^[55] ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

Джеймс Стирлинг , современник Эйлера, также попытался найти непрерывное выражение для факториала и придумал то, что сейчас известно как формула Стирлинга . Хотя формула Стирлинга дает хорошую оценку n ! , также для нецелых чисел, он не дает точного значения. Расширения его формулы, исправляющие ошибку, были даны самим Стирлингом и Жаком Филиппом Мари Бине .

XIX век: Гаусс, Вейерштрасс и Лежандр.

Первая страница статьи Эйлера

Карл Фридрих Гаусс переписал произведение Эйлера как

$${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

^[56]теорему умноженияэллиптическими интегралами

Карл Вейерштрасс далее установил роль гамма-функции в комплексном анализе , начиная с еще одного представления продукта:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$

γпостоянная Эйлера–Машерони1/Γфакторизационная теорема Вейерштрассаосновной теоремы алгебры

Название гамма-функция и символ Γ были введены Адрианом-Мари Лежандром около 1811 года; Лежандр также переписал интегральное определение Эйлера в его современной форме. Хотя символ представляет собой греческую гамму в верхнем регистре, не существует общепринятого стандарта относительно того, следует ли писать имя функции «гамма-функция» или «гамма-функция» (некоторые авторы просто пишут « Γ -функция»). Альтернативное обозначение «пи-функции» Π( z ) = z ! из-за Гаусса иногда встречается в старой литературе, но обозначения Лежандра доминируют в современных произведениях.

Имеет смысл задаться вопросом, почему мы различаем «обычный факториал» и гамма-функцию, используя разные символы, и, в частности, почему гамма-функция должна быть нормализована к Γ( n + 1) = n ! вместо простого использования « Γ( n ) = n ! ». Учтите, что обозначение показателей x ⁿ было обобщено с целых чисел на комплексные числа x ^z без каких-либо изменений. Мотивация Лежандра для нормализации, похоже, неизвестна, и некоторые критиковали ее как громоздкую (математик 20-го века Корнелиус Ланцос , например, назвал ее «лишенной всякой рациональности» и вместо этого использовал бы z ! ). ^[57] Нормализация Лежандра упрощает некоторые формулы, но усложняет другие. С современной точки зрения, лежандровская нормализация гамма-функции представляет собой интеграл аддитивного характера e ^{− x} против мультипликативного характера x ^z относительно меры Хаара на группе Ли R ⁺ . Таким образом, эта нормализация проясняет, что гамма-функция является непрерывным аналогом суммы Гаусса . ^[58] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

XIX–XX века: характеристика гамма-функции

Несколько проблематично то, что гамма-функции дано большое количество определений. Хотя они описывают одну и ту же функцию, доказать эквивалентность не совсем просто. Стирлинг так и не доказал, что его расширенная формула точно соответствует гамма-функции Эйлера; доказательство было впервые дано Чарльзом Эрмитом в 1900 году. ^[59] Вместо того, чтобы искать специализированное доказательство для каждой формулы, было бы желательно иметь общий метод идентификации гамма-функции.

Одним из способов доказательства было бы найти дифференциальное уравнение , характеризующее гамма-функцию. Большинство специальных функций в прикладной математике возникают как решения дифференциальных уравнений, решения которых единственны. Однако гамма-функция, похоже, не удовлетворяет ни одному простому дифференциальному уравнению. Отто Гёльдер доказал в 1887 году, что гамма-функция, по крайней мере, не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению , показав, что решение такого уравнения не может удовлетворять рекуррентной формуле гамма-функции, что делает ее трансцендентно-трансцендентной функцией . Этот результат известен как теорема Гёльдера .

Определенная и общеприменимая характеристика гамма-функции не была дана до 1922 года. Затем Харальд Бор и Иоганнес Моллеруп доказали то, что известно как теорема Бора-Моллерупа : что гамма-функция является единственным решением факториального рекуррентного соотношения, которое является положительным и логарифмически выпуклая при положительном z и значение которой в точке 1 равно 1 (функция называется логарифмически выпуклой, если ее логарифм выпуклый). Другая характеристика дается теоремой Виланда .

Теорема Бора – Моллерупа полезна, потому что относительно легко доказать логарифмическую выпуклость для любой из различных формул, используемых для определения гамма-функции. Идя дальше, вместо того, чтобы определять гамма-функцию по какой-либо конкретной формуле, мы можем выбрать условия теоремы Бора-Моллерапа в качестве определения, а затем выбрать любую формулу, которая нам нравится, которая удовлетворяет этим условиям, в качестве отправной точки для изучения гамма-функции. . Этот подход использовала группа Бурбаки .

Борвейн и Корлесс ^[60] приводят обзор трехвековых работ по гамма-функции.

Справочные таблицы и программное обеспечение

Хотя гамма-функцию можно вычислить практически так же легко, как и любую математически более простую функцию, с помощью современного компьютера — даже с помощью программируемого карманного калькулятора — это, конечно, не всегда так. До середины 20 века математики полагались на таблицы, сделанные вручную; в случае гамма-функции, в частности, таблица, рассчитанная Гауссом в 1813 году и таблица, вычисленная Лежандром в 1825 году. ^[61]

Нарисованный от руки график абсолютного значения комплексной гамма-функции из « Таблиц высших функций» Янке и Эмде  [де] .

Таблицы комплексных значений гамма-функции, а также нарисованные от руки графики были приведены в « Таблицах функций с формулами и кривыми» Янке и Эмде  [де] , впервые опубликованных в Германии в 1909 году. По словам Майкла Берри , «издание в J&E трехмерный график, показывающий полюса гамма-функции в комплексной плоскости, приобрел почти культовый статус». ^[62]

На самом деле до 1930-х годов, когда в теоретической физике было обнаружено применение комплексной гамма-функции, практически не было необходимости ни в чем, кроме реальных значений гамма-функции. Когда в 1950-х годах стали доступны электронные компьютеры для производства таблиц, для удовлетворения спроса было опубликовано несколько обширных таблиц для сложной гамма-функции, включая таблицу с точностью до 12 десятичных знаков от Национального бюро стандартов США . ^[1]

Воспроизведение знаменитого сложного графика Янке и Эмде (Таблицы функций с формулами и кривыми, 4-е изд., Дувр, 1945 г.) гамма-функции от -4,5 - 2,5i до 4,5 + 2,5i.

Реализации гамма-функции и ее логарифма с плавающей запятой двойной точности теперь доступны в большинстве программного обеспечения для научных вычислений и библиотеках специальных функций, например TK Solver , Matlab , GNU Octave и GNU Scientific Library . Гамма-функция также была добавлена ​​в стандартную библиотеку C ( math.h ). Реализации произвольной точности доступны в большинстве систем компьютерной алгебры , таких как Mathematica и Maple . PARI/GP , MPFR и MPFUN содержат бесплатные реализации произвольной точности. В некоторых программных калькуляторах , например, в калькуляторе Windows и калькуляторе GNOME , функция факториала возвращает Γ( x + 1), если входное значение x не является целым числом. ^{[63] [64]}

Смотрите также

• Восходящий факториал
• Интеграл Каэна – Меллина
• Эллиптическая гамма-функция
• постоянная Гаусса
• Гамма-функция Адамара
• Обратная гамма-функция
• Приближение Ланцоша
• Множественная гамма-функция
• Многомерная гамма-функция
• p -адическая гамма-функция
• Поххаммер к -символ
• q -гамма-функция
• Основная теорема Рамануджана
• Приближение Спуджа
• Приближение Стирлинга

Примечания

1. Дэвис, П.Дж. (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 (10): 849–869. дои : 10.2307/2309786. JSTOR  2309786 . Проверено 3 декабря 2016 г.
2. «Неправильно ли определена гамма-функция? Или: Адамар против Эйлера — кто нашел лучшую гамма-функцию?».
3. Билз, Ричард; Вонг, Родерик (2010). Специальные функции: Текст для выпускников. Издательство Кембриджского университета. п. 28. ISBN 978-1-139-49043-6.Выдержка со страницы 28
4. Росс, Клэй К. (2013). Дифференциальные уравнения: введение в систему Mathematica (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 293. ИСБН 978-1-4757-3949-7.Выражение G.2 на стр. 293
5. Кингман, JFC (1961). «Свойство выпуклости положительных матриц». Ежеквартальный математический журнал . 12 (1): 283–284. Бибкод : 1961QJMat..12..283K. дои : 10.1093/qmath/12.1.283.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бора – Моллерупа». Математический мир .
7. Дэвис, Филип. «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции» (PDF) . maa.org .
8. Бонвини, Марко (9 октября 2010 г.). «Гамма-функция» (PDF) . Roma1.infn.it .
9. Агама, Теофил (2021). «Об определенном тождестве, связанном с гамма-функцией». Американский журнал математического анализа . 9 (1): 1–5. arXiv : 1802.07165v2 . doi : 10.12691/ajma-9-1-1 (неактивен 23 января 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
10. Аски, РА ; Рой, Р. (2010), «Расширения серии», в Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
11. Вальдшмидт, М. (2006). «Трансцендентность периодов: современное состояние» (PDF) . Чистое приложение. Математика. Кварта . 2 (2): 435–463. дои : 10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 . Архивировано (PDF) из оригинала 6 мая 2006 г.
12. «Как получить разложение Лорана гамма-функции около $z=0$?». Математический обмен стеками . Проверено 17 августа 2022 г.
13. Артин, Эмиль (2015). Гамма-функция . Дувр. п. 24.
14. Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция». Математический мир .
15. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A030169». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
16. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A030171». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
17. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A178840». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
18. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A175472». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
19. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A175473». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
20. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A175474». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
21. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A256681». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
22. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A256682». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
23. Градштейн, И.С.; Рыжик, И.М. (2007). Таблица интегралов, рядов и произведений (Седьмое изд.). Академическая пресса. п. 893. ИСБН 978-0-12-373637-6.
24. Уиттакер и Уотсон, 12.2, пример 1.
25. Детлеф, Гронау. «Почему гамма-функция такая, какая она есть?» (PDF) . Imsc.uni-graz.at .
26. Паскаль Себа, Ксавье Гурдон. «Введение в гамма-функцию» (PDF) . Вычисление чисел .
27. Уиттакер и Ватсон, 12.31.
28. Уиттакер и Ватсон, 12.32.
29. Уиттакер и Уотсон, 22.12.
30. «Экспоненциальный интеграл E: представления непрерывных дробей (формула 06.34.10.0005)» .
31. «Экспоненциальный интеграл E: представления непрерывных дробей (формула 06.34.10.0003)» .
32. Бейтман, Гарри; Эрдели, Артур (1955). Высшие трансцендентные функции . МакГроу-Хилл.
33. Шривастава, HM; Чой, Дж. (2001). Ряд, связанный с Дзетой и родственными функциями . Нидерланды: Kluwer Academic.
34. Благоушин, Ярослав В. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Рамануджан Дж . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
35. Благоушин, Ярослав В. (2016). «Ошибка и дополнение к «Повторному открытию интегралов Мальмстена, их оценке методами контурного интегрирования и некоторым связанным с этим результатам»". Рамануджан Дж . 42 (3): 777–781. doi : 10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685.
36. «Журнал гамма-функции». Вольфрам Математический мир . Проверено 3 января 2019 г.
37. «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 12 сентября 2014 года . Проверено 11 апреля 2022 г.
38. Благоушин, Ярослав В. (2015). «Теорема для оценки в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные с ней суммирования». Журнал теории чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.08.009.
39. Алексеевский, WP (1894). «Über eine Classe von Funktionen, die der Gammafunktion Analog Sind» [О классе функций, аналогичных гамма-функции]. Лейпциг Вайдманнше Бухандлунс . 46 : 268–275.
40. Барнс, EW (1899). «Теория G -функции». Кварта. Дж. Математика . 31 : 264–314.
41. Адамчик, Виктор С. (1998). «Полигамма-функции отрицательного порядка». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 100 (2): 191–199. дои : 10.1016/S0377-0427(98)00192-7 .
42. Госпер, RW (1997). « В специальных функциях, серии q и смежных темах». Варенье. Математика. Соц . 14 . ${\displaystyle \textstyle \int _{n/4}^{m/6}\log F(z)\,dz}$
43. Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2002). «О некоторых интегралах, включающих дзета-функцию Гурвица: Часть 1». Журнал Рамануджана . 6 (2): 159–188. дои : 10.1023/А: 1015706300169. S2CID  128246166.
44. Бэйли, Дэвид Х.; Борвейн, Дэвид; Борвейн, Джонатан М. (2015). «Об эйлеровых лог-гамма-интегралах и дзета-функциях Торнхейма-Виттена». Журнал Рамануджана . 36 (1–2): 43–68. дои : 10.1007/s11139-012-9427-1. S2CID  7335291.
45. Амдеберхан, Т.; Коффи, Марк В.; Эспиноза, Оливье; Кутшан, Кристоф; Манна, Данте В.; Молл, Виктор Х. (2011). «Интегралы степеней логгаммы». Учеб. амер. Математика. Соц . 139 (2): 535–545. дои : 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 .
46. Э. А. Карацуба, Быстрое вычисление трансцендентных функций. Пробл. Инф. Трансм. Том 27, № 4, стр. 339–360 (1991).
47. Е. А. Карацуба, О новом методе быстрого вычисления трансцендентных функций. Расс. Математика. Выж. Том 46, № 2, стр. 246–247 (1991).
48. Э. А. Карацуба "Быстрые алгоритмы и метод FEE".
49. Борвейн, Дж. М.; Цукер, Эй Джей (1992). «Быстрая оценка гамма-функции малых рациональных дробей с использованием полных эллиптических интегралов первого рода». Журнал IMA численного анализа . 12 (4): 519–526. дои : 10.1093/ИМАНУМ/12.4.519.
50. Мишон, ГП «Тригонометрия и основные функции. Архивировано 9 января 2010 г. в Wayback Machine ». Нумерикана . Проверено 5 мая 2007 г.
51. Чаудри, Массачусетс и Зубайр, С.М. (2001). Об одном классе неполных гамма-функций с приложениями . п. 37
52. Райс, Дж. А. (1995). Математическая статистика и анализ данных (второе издание). п. 52–53
53. Борвейн, Дж.; Бейли Д.Х. и Гиргенсон Р. (2003). Эксперименты по математике . АК Петерс. п. 133. ИСБН 978-1-56881-136-9.
54. «Интерполяция натурального факториала n! Или Рождение реальной факториальной функции (1729–1826)» .
55. Статья Эйлера была опубликована в Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57. См. E19 — De Progressionibus Transcententibus seu Quarum Termini Generales Alphaice Dari nequeunt из Архива Эйлера, который включает отсканированную копию оригинальной статьи.
56. Реммерт, Р. (2006). Классические темы теории комплексных функций . Перевод Кея, Л.Д. Спрингера. ISBN 978-0-387-98221-2.
57. Ланчос, К. (1964). «Точная аппроксимация гамма-функции». J. СИАМ Число. Анальный. Сер. Б. _ 1 (1): 86. Бибкод : 1964SJNA....1...86L. дои : 10.1137/0701008.
58. Илькер Инам; Энгин Бююкашк (2019). Заметки Международной осенней школы по вычислительной теории чисел. Спрингер. п. 205. ИСБН 978-3-030-12558-5.Выдержка со страницы 205
59. Кнут, DE (1997). Искусство компьютерного программирования, Том 1 (Фундаментальные алгоритмы) . Аддисон-Уэсли.
60. Борвейн, Джонатан М .; Корлесс, Роберт М. (2017). «Гамма и факториал в ежемесячном журнале». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 125 (5): 400–24. arXiv : 1703.05349 . Бибкод : 2017arXiv170305349B. дои : 10.1080/00029890.2018.1420983. S2CID  119324101.
61. «Какова история Gamma_function?». Yearis.com . Проверено 5 ноября 2022 г.
62. Берри, М. (апрель 2001 г.). «Почему специальные функции особенные?». Физика сегодня .
63. «Майкрософт/калькулятор». Гитхаб . Проверено 25 декабря 2020 г. .
64. "Гном-калькулятор" . GNOME.org . Проверено 3 марта 2023 г.

• Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium «Гамма-функция», которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, но не по GFDL .

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А., ред. (1972). "Глава 6". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Дувр.
• Эндрюс, GE ; Аски, Р.; Рой, Р. (1999). «Глава 1 (Гамма- и Бета-функции)». Специальные функции . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Артин, Эмиль (2006). «Гамма-функция». В Розене, Майкл (ред.). Экспозиция Эмиля Артина: подборка . История математики. Том. 30. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Аски, Р. ; Рой, Р. (2010), «Гамма-функция», Олвер , Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Биркгоф, Джордж Д. (1913). «Примечание о гамма-функции». Бык. амер. Математика. Соц . 20 (1): 1–10. дои : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . МР  1559418.
• Бёмер, ЧП (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Дифференциальные уравнения и определённые интегралы ]. Лейпциг: Кёлер Верлаг.
• Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 (10): 849–869. дои : 10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• Пост, Эмиль (1919). «Обобщенные гамма-функции». Анналы математики . Вторая серия. 20 (3): 202–217. дои : 10.2307/1967871. JSTOR  1967871 . Проверено 5 марта 2021 г.
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 6.1. Гамма-функция». Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Роктешель, Орегон (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Методы вычисления гамма-функции для комплексных аргументов ]. Дрезден: Технический университет Дрездена .
• Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: введение в классические функции математической физики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-11313-3.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-58807-2.

Внешние ссылки

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Гамма-функция
• Паскаль Себа и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию . В форматах PostScript и HTML.
• Справочник по C++ для std::tgamma
• Примеры задач, связанных с гамма-функцией, можно найти на сайте exampleproblems.com.
• «Гамма-функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Оценщик гамма-функции Вольфрама (произвольная точность)
• "Гамма". Сайт функций Wolfram .
• Объем n-сфер и гамма-функция на MathPages