stringtranslate.com

Сумма Гаусса

В теории алгебраических чисел сумма Гаусса или гауссова сумма — это особый вид конечной суммы корней из единицы , обычно

где сумма ведется по элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R , ψ — групповой гомоморфизм аддитивной группы R + в единичный круг , а χ — групповой гомоморфизм единичной группы R × в единичный круг, расширенный до не -единица r , где она принимает значение 0. Суммы Гаусса являются аналогами для конечных полей гамма- функции . [1]

Такие суммы повсеместно встречаются в теории чисел . Они встречаются, например, в функциональных уравнениях L -функций Дирихле , где для характера Дирихле χ уравнение, связывающее L ( s , χ ) и L (1 −  s , χ ) (где χ — комплексно-сопряженное число χ ) включает в себя фактор [ необходимы разъяснения ]

История

Случай, первоначально рассмотренный Карлом Фридрихом Гауссом , представлял собой квадратичную сумму Гаусса , для R — поле вычетов по модулю простого числа p , а χ — символ Лежандра . В этом случае Гаусс доказал, что G ( χ ) = p 1 ⁄ 2 или ip 1 ⁄ 2 для p, конгруэнтного 1 или 3 по модулю 4 соответственно (квадратичная сумма Гаусса также может быть оценена с помощью анализа Фурье, а также с помощью контурного интегрирования ).

Альтернативная форма этой суммы Гаусса:

.

Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией тэта-функций .

Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале 19 века с использованием сумм Якоби и их простого разложения в круговых полях . Суммы Гаусса по кольцу вычетов целых чисел по модулю N представляют собой линейные комбинации тесно связанных сумм, называемых гауссовскими периодами .

Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находится как применение теоремы Планшереля о конечных группах. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиально, абсолютное значение равно p 1 ⁄ 2 . Определение точного значения общих сумм Гаусса, исходя из результата Гаусса в квадратичном случае, является давней проблемой. Для некоторых случаев см. сумму Куммера .

Свойства сумм Гаусса характеров Дирихле

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна

Если х также примитивно , то

в частности, оно не равно нулю. В более общем смысле, если N 0 является проводником χ , а χ 0 является примитивным характером Дирихле по модулю N 0 , который индуцирует χ , то сумма Гаусса χ связана с суммой Гаусса χ 0 соотношением

где ц — функция Мёбиуса . Следовательно, G ( χ ) отлична от нуля именно тогда, когдаН/Н 0бесквадратен и относительно прост с N 0 . [2]

Другие отношения между G ( χ ) и суммами Гаусса других характеров включают

где χ — комплексно-сопряженный характер Дирихле, и если χ ′ — характер Дирихле по модулю N ′ такой, что N и N ′ взаимно просты, то

Отношение между G ( χχ ′) , G ( χ ) и G ( χ ′ ) , когда χ и χ ′ имеют один и тот же модуль (и χχ ′ примитивно), измеряется суммой Якоби J ( χ , χ ′) . Конкретно,

Дополнительные свойства

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Б. Х. Гросс и Н. Коблиц. Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция. Анна. математики. (2), 109(3):569–581, 1979.
  2. ^ Теорема 9.10 в книге HL Montgomery, RC Vaughan, Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория , Кембриджские исследования по высшей математике, 97 , (2006).