Характер Дирихле

Комплекснозначная арифметическая функция

В аналитической теории чисел и смежных разделах математики комплекснозначная арифметическая функция является характером Дирихле модуля (где — положительное целое число), если для всех целых чисел и : ^[1] ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}$то есть является полностью мультипликативным . ${\displaystyle \chi }$
2. ${\displaystyle \chi (a){\begin{cases}=0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$ (НОД — наибольший общий делитель )
3. ${\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}$; то есть является периодическим с периодом . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle m}$

Простейший возможный характер, называемый главным характером , обычно обозначаемый (см. обозначения ниже), существует для всех модулей: ^[2] ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

Немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле , в честь которого назван этот персонаж, ввел эти функции в своей работе 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях . ^{[3] [4]}

Обозначение

${\displaystyle \phi (n)}$— это функция Эйлера .

${\displaystyle \zeta _{n}}$является сложным примитивным корнем n-й степени из единицы :

${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}$но ${\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$это группа единиц mod ${\displaystyle m}$ . Она имеет порядок ${\displaystyle \phi (m).}$

${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$это группа персонажей Дирихле мод . ${\displaystyle m}$

${\displaystyle p,p_{k},}$и т. д. являются простыми числами .

${\displaystyle (m,n)}$является стандартным ^[5] сокращением ^[6] для ${\displaystyle \gcd(m,n)}$

${\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}$и т. д. являются символами Дирихле. (строчная греческая буква хи означает «символ»)

Не существует стандартной нотации для символов Дирихле, включающей модуль. Во многих контекстах (например, в доказательстве теоремы Дирихле) модуль фиксирован. В других контекстах, например, в этой статье, появляются символы с разными модулями. Где это уместно, в этой статье используется вариация маркировки Конри (введенная Брайаном Конри и используемая LMFDB).

В этой маркировке символы для модуля обозначаются , где индекс описан в разделе группа символов ниже. В этой маркировке обозначает неопределенный символ и обозначает главный символ mod . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}(a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)}$ ${\displaystyle m}$

Отношение к групповым персонажам

Слово « характер » используется в математике несколькими способами. В этом разделе оно относится к гомоморфизму из группы (записанной мультипликативно) в мультипликативную группу поля комплексных чисел: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}$

Множество символов обозначается Если произведение двух символов определяется поточечным умножением тождества на тривиальный символ , а обратного ему — на комплексную инверсию, то тогда получается абелева группа. ^[7] ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}$ ${\displaystyle \eta _{0}(a)=1}$ ${\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Если — конечная абелева группа , то ^[8] имеет место изоморфизм и соотношения ортогональности: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}}$

Элементами конечной абелевой группы являются вычетные классы , где ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}$ ${\displaystyle (a,m)=1.}$

Групповой характер можно расширить до характера Дирихле, определив ${\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}}$

и наоборот, модификатор характера Дирихле определяет групповой характер на ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Перефразируя Дэвенпорта ^[10], характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай характеров абелевой группы. Но эта статья следует за Дирихле, давая их прямое и конструктивное описание. Это отчасти по историческим причинам, поскольку работа Дирихле предшествовала нескольким десятилетиям развития теории групп, и отчасти по математической причине, а именно, что рассматриваемая группа имеет простую и интересную структуру, которая затемняется, если рассматривать ее так же, как общую абелеву группу.

Элементарные факты

4) Поскольку свойство 2) гласит , что его можно отменить с обеих сторон : ${\displaystyle \gcd(1,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}$

${\displaystyle \chi (1)=1.}$^[11]

5) Свойство 3) эквивалентно

если   тогда ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}$

6) Свойство 1) подразумевает, что для любого положительного целого числа ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}$

7) Теорема Эйлера утверждает, что если то Следовательно, ${\displaystyle (a,m)=1}$ ${\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}$

${\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}$

То есть, ненулевые значения являются корнями степени -1 из единицы : ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$

для некоторого целого числа , которое зависит от и . Это подразумевает, что существует только конечное число символов для данного модуля. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi ,\zeta ,}$ ${\displaystyle a}$

8) Если и — два символа для одного и того же модуля, то их произведение определяется поточечным умножением: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle \chi \chi ',}$

${\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}$   ( очевидно удовлетворяет 1-3). ^[12] ${\displaystyle \chi \chi '}$

Главный персонаж — личность:

${\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

9) Пусть обозначает обратный элемент в . Тогда ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}$что распространяется на все целые числа. ${\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}$

Комплексно сопряженный корень из единицы также является его обратным ( подробности см. здесь ), поэтому для ${\displaystyle (a,m)=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}$   ( также очевидно удовлетворяет 1-3). ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$

Таким образом, для всех целых чисел ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}$   другими словами .  ${\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}$

10) Умножение и тождество, определенные в 8), и инверсия, определенная в 9), превращают множество характеров Дирихле для заданного модуля в конечную абелеву группу .

Группа персонажей

Существует три различных случая, поскольку группы имеют разные структуры в зависимости от того, является ли число степенью 2, степенью нечетного простого числа или произведением степеней простых чисел. ^[13] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$

Степени нечетных простых чисел

Если — нечетное число, то оно циклично порядка ; генератор называется примитивным корнем mod . ^[14] Пусть — примитивный корень и для определите функцию ( индекс ) по формуле ${\displaystyle q=p^{k}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g_{q}}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}$

Ибо тогда и только тогда , когда ${\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$

${\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}$   ${\displaystyle \chi }$определяется его значением в ${\displaystyle g_{q}.}$

Пусть будет примитивным корнем -й степени из единицы. Из свойства 7) выше возможные значения являются Эти различные значения порождают символы Дирихле mod Для определяем как ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \chi (g_{q})}$ ${\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle (r,q)=1}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}$

Тогда для и всех и ${\displaystyle (rs,q)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}$показывая, что это персонаж и ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}$что дает явный изоморфизм ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Примерым= 3, 5, 7, 9

2 — примитивный корень по модулю 3. ( ) ${\displaystyle \phi (3)=2}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}$

поэтому значения ${\displaystyle \nu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 3 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}$

2 — примитивный корень по модулю 5. ( ) ${\displaystyle \phi (5)=4}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}$

поэтому значения ${\displaystyle \nu _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 5 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$

3 — примитивный корень по модулю 7. ( ) ${\displaystyle \phi (7)=6}$

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}$

поэтому значения ${\displaystyle \nu _{7}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 7 равны ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}$.

2 — примитивный корень по модулю 9. ( ) ${\displaystyle \phi (9)=6}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}$

поэтому значения ${\displaystyle \nu _{9}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 9 равны ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Степени числа 2

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}$— тривиальная группа с одним элементом. — циклическая порядка 2. Для 8, 16 и более высоких степеней 2 первообразного корня нет; степени 5 являются единицами , а их отрицательные значения — единицами ^[15] Например, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}$

Пусть ; тогда — прямое произведение циклической группы порядка 2 (порождённой −1) и циклической группы порядка (порождённой 5). Для нечётных чисел определим функции и по формуле ${\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}$

Для нечетных и тогда и только тогда, когда и Для нечетных значение определяется значениями и ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \chi (-1)}$ ${\displaystyle \chi (5).}$

Пусть будет примитивным корнем -й степени из единицы. Возможные значения: Эти различные значения порождают символы Дирихле mod Для нечетных определяем по ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}$ ${\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Тогда для нечетных и и все и ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}$показывая, что это персонаж и ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}$показывая, что ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Примерым= 2, 4, 8, 16

Единственный персонаж mod 2 — это главный герой . ${\displaystyle \chi _{2,1}}$

−1 — примитивный корень по модулю 4 ( ) ${\displaystyle \phi (4)=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}$

Ненулевые значения символов по модулю 4 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}$

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 8 ( ) ${\displaystyle \phi (8)=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 8 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 16 ( ) ${\displaystyle \phi (16)=8}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 16 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Продукты высших сил

Пусть где — разложение на простые множители. Группа единиц mod изоморфна прямому произведению групп mod : ^[16] ${\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Это означает, что 1) существует однозначное соответствие между и -кортежами , где и 2) умножение mod соответствует покоординатному умножению -кортежей: ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}$соответствует

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}$где ${\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}$

Китайская теорема об остатках (CRT) подразумевает, что это просто ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$

Существуют подгруппы такие, что ^[17] ${\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$и

${\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

Тогда и каждый соответствует -кортежу , где и Каждый может быть однозначно разложен на множители как ^{[18] [19]} ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in G_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}$

Если это мод персонажа в подгруппе, он должен быть идентичен некоторому моду . Тогда ${\displaystyle \chi _{m,\_}}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{a_{2},\_}(a_{2})...,}$

показывая, что каждый модификатор персонажа является произведением модификаторов персонажей . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Для определения ^[20] ${\displaystyle (t,m)=1}$

${\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}$

Тогда для и всех и ^[21] ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}$показывая, что это персонаж и ${\displaystyle \chi _{m,r}}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}$показывающий изоморфизм ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Примерым= 15, 24, 40

${\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Факторизация символов по модулю 15 имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}$

Ненулевые значения символов по модулю 15 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}$Факторизация символов по модулю 24 имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}$

Ненулевые значения символов по модулю 24 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$Факторизация символов по модулю 40 имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}$

Ненулевые значения символов по модулю 40 равны

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

Краткое содержание

Пусть , будет факторизацией и предположим ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (rs,m)=1.}$

Существуют характеры Дирихле mod Они обозначаются как , где эквивалентно Тождество является изоморфизмом ^[22] ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r},}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}$ ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Каждый модификатор символа имеет уникальное разложение на множители как произведение модификаторов символов и степеней простых чисел, деленных : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Если произведение является символом, где задано и ${\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}$ ${\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}$ ${\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}$

Также, ^{[23] [24]} ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$

Ортогональность

Два соотношения ортогональности ^[25]

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Соотношения можно записать в симметричной форме

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}$     и     ${\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}$

Первое соотношение легко доказать: Если есть ненулевые слагаемые, каждое из которых равно 1. Если есть ^[26] некоторое  Тогда ${\displaystyle \chi =\chi _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ ${\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}$

${\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}$^[27]   подразумевая

${\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}$   Деление на первый множитель дает QED. Тождество для показывает, что отношения эквивалентны друг другу. ${\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$ ${\displaystyle (rs,m)=1}$

Второе соотношение может быть доказано непосредственно тем же способом, но требует леммы ^[28]

Учитывая, что есть ${\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}$

Второе соотношение имеет важное следствие: если определить функцию ${\displaystyle (a,m)=1,}$

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}$   Затем

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}$

Это индикаторная функция класса вычетов . Она является базовой в доказательстве теоремы Дирихле. ^{[29] [30]} ${\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}$ ${\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}$

Классификация персонажей

Дирижер; Примитивные и индуцированные персонажи

Любой модификатор персонажа на основную силу также является модификатором персонажа на каждую большую силу. Например, модификатор 16 ^[31]

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

${\displaystyle \chi _{16,3}}$имеет период 16, но имеет период 8 и имеет период 4:   и   ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}$

Мы говорим, что характер модуля имеет квазипериод , если для всех , взаимно простых с удовлетворяющим модулю . ^[32] Например, , единственный характер Дирихле модуля , имеет квазипериод , но не период (хотя он имеет период ). Наименьшее положительное целое число, для которого является квазипериодическим, — это проводник . [ ^33] Так, например, имеет проводник . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi (m)=\chi (n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m\equiv n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 1}$

Проводник равен 16, проводник равен 8, а проводник и равен 4. Если модуль и проводник равны, то характер является примитивным , в противном случае — импримитивным . Импримитивный характер индуцируется характером для наименьшего модуля: индуцируется из и и индуцируются из . ${\displaystyle \chi _{16,3}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{4,3}}$

Схожий феномен может иметь место с символьным модулем произведения простых чисел; его ненулевые значения могут быть периодическими с меньшим периодом.

Например, мод 15,

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Ненулевые значения имеют период 15, но значения имеют период 3, а значения имеют период 5. Это легче увидеть, сопоставив их с символами mod 3 и 5: ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Если мод персонажа определен как ${\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$, или эквивалентно как ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}$

его ненулевые значения определяются модулем символа и имеют период . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Наименьший период ненулевых значений — это проводник символа. Например, проводник — 15, проводник — 3, а проводник — 5. ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

Как и в случае с первичной мощностью, если проводник равен модулю, то символ примитивен , в противном случае импримитивен . Если импримитивен, то он индуцируется из символа с меньшим модулем. Например, индуцируется из и индуцируется из ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{3,2}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ ${\displaystyle \chi _{5,3}}$

Главный персонаж не примитивен. ^[34]

Характер примитивен тогда и только тогда, когда примитивен каждый из факторов. ^[35] ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Примитивные символы часто упрощают (или делают возможными) формулы в теориях L-функций ^[36] и модулярных форм .

Паритет

${\displaystyle \chi (a)}$четно , если и нечетно, если ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ${\displaystyle \chi (-1)=-1.}$

Это различие проявляется в функциональном уравнении L-функции Дирихле .

Заказ

Порядок символа — это его порядок как элемента группы , т.е. наименьшее положительное целое число , такое что Из-за изоморфизма порядок совпадает с порядком в Главный символ имеет порядок 1; другие действительные символы имеют порядок 2, а мнимые символы имеют порядок 3 или больше. По теореме Лагранжа порядок символа делит порядок , который ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

Реальные персонажи

${\displaystyle \chi (a)}$является действительным или квадратичным , если все его значения действительны (они должны быть действительными ); в противном случае он является комплексным или мнимым. ${\displaystyle 0,\;\pm 1}$

${\displaystyle \chi }$является реальным тогда и только тогда, когда ; является реальным тогда и только тогда, когда ; в частности, является реальным и неглавным. ^[37] ${\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{m,k}}$ ${\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi _{m,-1}}$

Первоначальное доказательство Дирихле, которое (было действительным только для простых модулей) принимало две различные формы в зависимости от того, было ли оно действительным или нет. Его более позднее доказательство, действительное для всех модулей, основывалось на его формуле числа классов . ^{[38] [39]} ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ ${\displaystyle \chi }$

Действительные символы являются символами Кронекера ; ^[40] например, главный символ может быть записан как ^[41] . ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$

Реальные персонажи в примерах:

Главный

Если главный персонаж — ^[42] ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}$

${\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}$  

Примитивный

Если модуль является абсолютным значением фундаментального дискриминанта, то существует действительный примитивный характер (их два, если модуль кратен 8); в противном случае, если есть какие-либо примитивные характеры ^[35], они являются мнимыми. ^[43]

${\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}$

Непримитивный

${\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}$  

Приложения

L-функции

Ряд L Дирихле для персонажа — это ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Этот ряд сходится только при ; его можно аналитически продолжить до мероморфной функции ${\displaystyle {\mathfrak {R}}s>1}$

Дирихле ввел -функцию вместе с символами в своей работе 1837 года. ${\displaystyle L}$

Модульные формы и функции

Характеры Дирихле появляются в нескольких местах теории модулярных форм и функций. Типичный пример — ^[44]

Пусть и пусть будет примитивно. ${\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}$

Если

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}\in M_{k}(M,\chi )}$^[45]

определять

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}$, ^[46]  

Затем

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}$. Если это форма каспа, то это ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\chi _{1}}.}$

Другой пример — тета -ряд характера Дирихле .

сумма Гаусса

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}$

Он появляется в функциональном уравнении L-функции Дирихле .

сумма Якоби

Если и являются характерами Дирихле по модулю простого числа, то их сумма Якоби равна ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}$

Суммы Якоби можно разложить на произведения сумм Гаусса.

сумма Клостермана

Если — это модификатор характера Дирихле , а сумма Клостермана определяется как ^[47] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$ ${\displaystyle K(a,b,\chi )}$

${\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}$

Если это сумма Гаусса. ${\displaystyle b=0}$

Достаточные условия

Нет необходимости устанавливать определяющие свойства 1) – 3), чтобы показать, что функция является характером Дирихле.

Из книги Дэвенпорта

Если так, что ${\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

1)   ${\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}$

2)   , ${\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}$

3) Если то , но ${\displaystyle \gcd(a,m)>1}$ ${\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}$

4)   не всегда 0, ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$

то это один из персонажей мод ^[48] ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m}$

Состояние Саркози

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция , которая удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению : то есть, если ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

для всех положительных целых чисел , где не все являются нулями и различны, то является характером Дирихле. ^[49] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ ${\displaystyle f}$

Состояние Чудакова

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция, удовлетворяющая следующим трем свойствам: а) принимает только конечное число значений; б) обращается в нуль только при конечном числе простых чисел; в) существует такое , что остаток ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

равномерно ограничено, так как . Это эквивалентное определение характеров Дирихле было высказано Чудаковым ^[50] в 1956 году и доказано в 2017 году Клурманом и Мангерелем. ^[51] ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Смотрите также

• Сумма символов
• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Первообразный корень по модулю n
• Мультипликативный характер

Примечания

1. Это стандартное определение; например, Дэвенпорт, стр. 27; Ландау, стр. 109; Айрленд и Розен, стр. 253
2. Обратите внимание на особый случай модуля 1: уникальный символ mod 1 — это константа 1; все остальные символы равны 0 в точке 0.
3. Дэвенпорт стр. 1
4. Английский перевод находится в разделе Внешние ссылки.
5. Используется в Дэвенпорте, Ландау, Ирландии и Розене.
6. эквивалентно ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle \gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1}$
7. См . Мультипликативный символ
8. Айрленд и Розен стр. 253-254
9. См . Группа символов#Ортогональность символов
10. Дэвенпорт стр. 27
11. Эти свойства выводятся во всех введениях к предмету, например, Дэвенпорт, стр. 27, Ландау, стр. 109.
12. В общем случае, продукт мода персонажа и мода персонажа — это мод персонажа. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$
13. За исключением использования измененной маркировки Конри, этот раздел следует Davenport pp. 1-3, 27-30.
14. Существует примитивный корень mod , который является примитивным корнем mod и всеми высшими степенями . См., например, Ландау, стр. 106 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$
15. Ландау стр. 107-108
16. Подробности см . в группе единиц.
17. Чтобы построить для каждого используйте CRT, чтобы найти , где ${\displaystyle G_{i},}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

18. Предположим, что соответствует . По построению соответствует , и т.д., чье покоординатное произведение равно ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle (a_{1},1,1,...)}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (1,a_{2},1,...)}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...).}$
19. Например, пусть Тогда и Факторизация элементов имеет вид ${\displaystyle m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.}$ ${\displaystyle G_{1}=\{1,11,21,31\}}$ ${\displaystyle G_{2}=\{1,9,17,33\}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}}$

20. См. маркировку Конри.
21. Потому что эти формулы верны для каждого фактора.
22. Это верно для всех конечных абелевых групп: ; См. Ireland & Rosen, стр. 253-254. ${\displaystyle A\cong {\hat {A}}}$
23. потому что формулы для mod prime powers симметричны относительно и и формула для произведений сохраняет эту симметрию. См. Davenport, стр. 29. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$
24. Это то же самое, что сказать, что n-й столбец и n-я строка в таблицах ненулевых значений одинаковы.
25. См. выше раздел «Отношение к групповым символам».
26. по определению ${\displaystyle \chi _{0}}$
27. потому что умножение каждого элемента в группе на постоянный элемент просто переставляет элементы. См. Группа (математика)
28. Дэвенпорт, стр. 30 (перефразирование) Чтобы доказать [второе отношение], нужно использовать идеи, которые мы использовали в конструкции [как в этой статье или Ландау, стр. 109-114], или обратиться к теореме о базисе для абелевых групп [как в Айрленд и Розен, стр. 253-254]
29. Дэвенпорт гл. 1, 4; Ландау стр. 114
30. Обратите внимание, что если — любая функция ; см. Преобразование Фурье на конечных группах#Преобразование Фурье для конечных абелевых групп ${\displaystyle g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)}$
31. Этот раздел следует за Дэвенпортом, стр. 35-36,
32. Платт, Дэйв. "Dirichlet character Def. 11.10" (PDF) . Получено 5 апреля 2024 г.
33. "Дирижер характера Дирихле (рецензия)". LMFDB . Получено 5 апреля 2024 г. .
34. Дэвенпорт не классифицирует его ни как примитивный, ни как не примитивный; LMFDB выводит его из ${\displaystyle \chi _{1,1}.}$
35. Обратите внимание, что если это дважды нечетное число, то все символы mod являются примитивными, поскольку ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=2r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}}$
36. Например, функциональное уравнение справедливо только для примитивного . См. Davenport, стр. 85 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$
37. Фактически, для простого модуля есть символ Лежандра : Набросок доказательства: является четным (нечетным), если a является квадратичным вычетом (невычетом) ${\displaystyle p\;\;\chi _{p,-1}}$ ${\displaystyle \chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;}$ ${\displaystyle \nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)}$
38. Дэвенпорт, гл. 1, 4.
39. Доказательство Айрленда и Розена, справедливое для всех модулей, также имеет эти два случая. стр. 259 и далее
40. Дэвенпорт стр. 40
41. Обозначение представляет собой более короткий способ записи ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)}$
42. Произведение простых чисел гарантирует, что оно равно нулю, если ; квадраты гарантируют, что его единственное ненулевое значение равно 1. ${\displaystyle \gcd(m,\bullet )>1}$
43. Дэвенпорт стр. 38-40
44. Коблитц, проп. 17б стр. 127
45. означает 1) где и и 2) где и См. Koblitz Ch. III. ${\displaystyle f(z)\in M_{k}(M,\chi )}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle c\equiv 0{\pmod {M}}.}$
46. поворот от​​ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$
47. LMFDB определение суммы Клоостермана
48. Дэвенпорт стр. 30
49. Саркози
50. Чудаков
51. Клурман

Ссылки

• Чудаков, Н.Г. «Теория характеров числовых полугрупп». J. Indian Math. Soc . 20 : 11–15.
• Дэвенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том 1. Чикаго: Markham. Zbl  0159.06303.
• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-97329-X
• Клурман, Алексей; Мангерел, Александр П. (2017). «Теоремы жесткости для мультипликативных функций». Math. Ann . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Bibcode : 2017arXiv170707817K. doi : 10.1007/s00208-018-1724-6. S2CID  119597384.
• Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модулярные формы . Graduate Texts in Mathematics. Том 97 (2-е пересмотренное издание). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97966-2.
• Ландау, Эдмунд (1966), Элементарная теория чисел , Нью-Йорк: Челси
• Саркози, Андраш. «О мультипликативных арифметических функциях, удовлетворяющих линейной рекурсии». Studia Sci. Math. Hung . 13 (1–2): 79–104.

Внешние ссылки

• Перевод на английский язык статьи Дирихле 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях
• LMFDB содержит 30 397 486 символов Дирихле с модулем до 10 000 и их L-функции.