Альфред Таубер

Венгерский математик

Альфред Таубер (5 ноября 1866 – 26 июля 1942) ^[1] был австрийским математиком, родившимся в Австрийской империи , известным своим вкладом в математический анализ и теорию функций комплексной переменной : он является эпонимом важного класса теоремы с приложениями от математического и гармонического анализа до теории чисел . ^[2] Он был убит в концентрационном лагере Терезиенштадт .

Жизнь и академическая карьера

Родившийся в Прессбурге, Венгерское королевство , Австрийская империя (ныне Братислава , Словакия ), он начал изучать математику в Венском университете в 1884 году, получил степень доктора философии. в 1889 г., ^{[3] [4]} и его хабилитация в 1891 г. С 1892 г. он работал главным математиком в страховой компании «Фёникс» до 1908 г., когда стал а.о. профессором Венского университета , правда, уже с 1901 г. он был почетным профессором Венского технического университета и заведующим кафедрой математики страхования. ^[5] В 1933 году он был награжден Большим серебряным орденом Почета за заслуги перед Австрийской Республикой , ^[5] и вышел в отставку с должности почетного экстраординарного профессора . Однако он продолжал читать лекции в качестве приват-доцента до 1938 года, ^{[3] [6]} , когда он был вынужден уйти в отставку вследствие « аншлюса ». ^[7] 28–29 июня 1942 г. депортирован транспортом IV/2, ч. 621 в Терезиенштадт , ^{[3] [5] [8]} где он был убит 26 июля 1942 года. ^[1]

Работа

Пинл и Дик (1974, стр. 202) перечисляют 35 публикаций в библиографии, приложенной к его некрологу, а также поиск, выполненный в базе данных « Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik » , приводит к списку 35 написанных им математических работ, охватывающих период времени с 1891 по 1940 год. ^[9] Однако Главка (2007) цитирует две статьи по актуарной математике, которые не фигурируют в этих двух библиографических списках и библиографии работ Таубера Биндера (1984, стр. 163–166), перечисляя 71 запись, включая те, что в библиографии Пинла и Дика (1974, стр. 202) и две, цитируемые Главкой, не включает короткую заметку (Таубер 1895), поэтому точное количество его работ неизвестно. По словам Главки (2007), его научные исследования можно разделить на три направления: первое включает его работы по теории функций комплексной переменной и теории потенциала , второе включает работы по линейным дифференциальным уравнениям и по гамма-динамике. функция , а последняя включает его вклад в актуарную науку. ^[3] Пинл и Дик (1974, стр. 202) дают более подробный список тем исследований, над которыми работал Таубер, хотя он ограничивается математическим анализом и геометрическими темами: некоторые из них - бесконечные ряды , ряды Фурье , сферические гармоники , теория кватернионов , аналитическая и начертательная геометрия . ^[10] Наиболее важные научные вклады Таубера относятся к первой из его исследовательских областей, ^[11] даже несмотря на то, что его работа по теории потенциала была в тени работы Александра Ляпунова . ^[3]

Тауберовы теоремы

Его самая важная статья (Таубер 1897). ^[3] В этой статье ему впервые удалось доказать обращение к теореме Абеля : ^[12] этот результат послужил отправной точкой многочисленных исследований, ^[3] приведших к доказательству и приложениям нескольких теорем такого рода. для различных методов суммирования . Формулировка этих теорем имеет стандартную структуру: если ряд ∑  a _n суммируем по заданному методу суммирования и удовлетворяет дополнительному условию, называемому « тауберовым условием », ^[13] , то он является сходящимся рядом . ^[14] Начиная с 1913 года, Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвуд использовали термин «тауберовы» для обозначения этого класса теорем. ^[15] Описывая более подробно работу Таубера 1897 года, можно сказать, что его основными достижениями являются следующие две теоремы: ^{[16] [17]}

Первая теорема Таубера . ^[18] Если ряд ∑  a _n суммируем по Абелю к сумме s , т.е. lim _{x → 1 ⁻}  ∑+∞
n =0 a _n x  ⁿ  знак равно s , и если a _n  знак равно  ο ( n ⁻¹ ) , то ∑  a _k сходится к s .

Эта теорема, согласно Кореваару (2004, стр. 10), ^[19] является предшественником всей тауберовой теории: условие a _n  =  ο ( n ⁻¹ ) является первым тауберовым условием, которое позже имело множество глубоких обобщений. ^[20] В оставшейся части своей статьи, используя приведенную выше теорему, ^[21] Таубер доказал следующий, более общий результат: ^[22]

Вторая теорема Таубера . ^[23] Ряд ∑  a _n сходится к сумме s тогда и только тогда, когда выполняются два следующих условия:

1. ∑  a _n суммируема по Абелю и
2. ∑пк
   = 1 ка _k  знак равно  ο ( п ) .

Этот результат не является тривиальным следствием первой теоремы Таубера . ^[24] Большая общность этого результата по отношению к первому обусловлена ​​тем, что он доказывает точную эквивалентность между обычной сходимостью, с одной стороны, и суммируемостью по Абелю (условие 1) совместно с тауберовым условием (условие 2) — с другой. Чаттерджи (1984, стр. 169–170) утверждает, что этот последний результат должен был показаться Тауберу гораздо более полным и удовлетворительным по сравнению с первым, поскольку он устанавливает необходимое и достаточное условие сходимости ряда, в то время как первый результат был просто ступенькой к этому: единственная причина, по которой вторая теорема Таубера не упоминается так часто, по-видимому, состоит в том, что она не имеет такого глубокого обобщения, как первая ^[25] , хотя она занимает свое законное место во всех детальных разработках суммируемости рядов. . ^{[23] [25]}

Вклад в теорию преобразования Гильберта

Фредерик В. Кинг (2009, стр. 3) пишет, что Таубер на ранней стадии внес вклад в теорию ныне называемого « преобразования Гильберта », предвосхищая своим вкладом работы Гильберта и Харди таким образом, что преобразование, возможно, должно иметь их три имени. ^[26] Именно, Таубер (1891) рассматривает действительную часть φ и мнимую часть ψ степенного ряда f , [ ^{27] [28]}

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )}$

где

• z знак равно ре  ^{я θ} с r  = | г |   являющееся абсолютным значением данной комплексной переменной ,
• c _k r  ^k  =  a _k  + i b _k для любого натурального числа k , ^[29]
• φ ( θ ) знак равно  ∑+∞
  к =1 a _k cos( kθ ) −  b _k sin( kθ ) и ψ ( θ ) =  ∑+∞
  к =1 a _k sin( kθ ) +  b _k cos( kθ ) — тригонометрические ряды и, следовательно, периодические функции , выражающие действительную и мнимую часть данного степенного ряда.

При гипотезе , что r меньше радиуса сходимости R _f степенного ряда f , Таубер доказывает, что φ и ψ удовлетворяют двум следующим уравнениям:

(1)      ${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }$

(2)      ${\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Предполагая, что тогда r = R _f , он также может доказать, что приведенные выше уравнения все еще выполняются, если φ и ψ только абсолютно интегрируемы : ^[30] этот результат эквивалентен определению преобразования Гильберта на окружности , поскольку после некоторых вычислений, использующих периодичности задействованных функций, можно доказать, что (1) и (2) эквивалентны следующей паре преобразований Гильберта: ^[31]

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Наконец, пожалуй, стоит указать на применение результатов (Таубер 1891), данных (без доказательства) самим Таубером в кратком объявлении об исследовании (Таубер 1895):

комплекснозначная непрерывная функция φ ( θ ) + i ψ ( θ ) , определенная на данном круге, является граничным значением голоморфной функции , определенной в ее открытом круге, тогда и только тогда, когда выполняются два следующих условия:

1. функция [ φ ( θ − α ) −  φ ( θ + α )]/α равномерно интегрируема в каждой окрестности точки α  = 0 и
2. функция ψ ( θ ) удовлетворяет (2) .

Избранные публикации

• Таубер, Альфред (1891), «Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe» [О соотношении действительной и мнимой частей степенного ряда], Monatshefte für Mathematik und Physik , II : 79–118, doi : 10.1007/ bf01691828, JFM  23.0251.01, S2CID  120241651.
• Таубер, Альфред (1895), «Ueber die Werte einer analytischen Function längs einer Kreislinie» [О значениях аналитической функции по круговому периметру], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 4 : 115, заархивировано из оригинала в 2015 г. 01 июля , получено 16 июля 2014 г..
• Таубер, Альфред (1897), «Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen» [Теорема о бесконечных рядах], Monatshefte für Mathematik und Physik , VIII : 273–277, doi : 10.1007/BF01696278, JFM  28.0221.02, S2CID  120692627.
• Таубер, Альфред (1898), «Über einige Sätze der Potentialtheorie» [Некоторые теоремы теории потенциала], Monatshefte für Mathematik und Physik , IX : 79–118, doi : 10.1007/BF01707858, JFM  29.0654.02, S2CID  124400762.
• Таубер, Альфред (1920), «Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus» [О сходящемся и асимптотическом представлении логарифмической интегральной функции], Mathematische Zeitschrift , 8 (1–2): 52–62, doi : 10.1007/bf01212858, JFM  47.0329.01, S2CID  119967249.
• Таубер, Альфред (1922), «Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenzreihen in Kettenbrüche» [О преобразовании степенных рядов в непрерывные дроби], Mathematische Zeitschrift , 15 : 66–80, doi : 10.1007/bf01494383, JFM  48.0236.01, S2CID  12250 1264.

Смотрите также

• Актуарная наука
• Тауберова теорема Харди – Литтлвуда
• Теория суммируемости

Примечания

1. Дата смерти указана в (Зигмунд 2004, стр. 33), а также в записи VIAF Таубера. Архивировано 18 сентября 2018 г. в Wayback Machine , строка 678: Зигмунд (2004, стр. 31–33) также дает описание. событий последних лет жизни Таубера, вплоть до дней его депортации.
2. В Предметной классификации математики 2010 года есть две записи о тауберовых теоремах: запись 11M45, принадлежащая области «Теория чисел», и запись 40E05, принадлежащая области « Последовательности , ряды , суммируемость ».
3. (Hlawka 2007).
4. По словам Главки (2007), он написал докторскую диссертацию в 1888 году.
5. (Пинл и Дик 1974, стр. 202–203).
6. Зигмунд (2004, стр. 2) утверждает, что из-за низкой пенсии он был вынужден продолжать курс актуарной математики .
7. (Зигмунд 2004, стр. 21 и стр. 28).
8. (Фишер и др. 1990, стр. 812, сноска 14).
9. См. результаты запроса Jahrbuch: «au = (TAUBER, A*)».
10. Точные слова авторов: «Unendliche Reihen, Fouriersche Reihen, Kugelfunktionen, Quaternionen,..., Analitische und Darstellende Geometrie» (Pinl & Dick 1974, стр. 202).
11. Согласно классификации Главки (2007).
12. См., например, (Hardy 1949, стр. 149), (Hlawka 2007), (Korevaar 2004, стр. VII, стр. 2 и стр. 10), (Lune 1986, стр. 2, §1.1 «Первая теорема Таубера» ) и (Зигмунд 2004, стр. 21).
13. См., например (Hardy 1949, стр. 149) и (Korevaar 2004, стр. 6).
14. См. (Hardy 1949, стр. 149), (Hlawka 2007) и (Lune 1986, стр. 2 §1.1 «Первая теорема Таубера»).
15. См. (Кореваар 2004, стр. 2) и (Зигмунд 2004, стр. 21): Кореваар уточняет, что выражение «тауберовы теоремы» впервые было использовано в короткой заметке (Hardy & Littlewood 1913).
16. См. (Hardy 1949, стр. 149 и стр. 150), (Korevaar 2004, стр. 10 и стр. 11) и (Lune 1986, стр. 2, §1.1 «Первая теорема Таубера» и стр. 4, §1.1). «Вторая теорема Таубера»).
17. В следующем описании используется обозначение Ландау Little – ο .
18. См., например, (Hardy 1949, стр. 149), (Korevaar 2004, стр. 10) и (Lune 1986, стр. 2, §1.1 «Первая теорема Таубера»).
19. См. также (Lune 1986, стр. 2, §1.1 «Первая теорема Таубера») и (Hardy 1949, стр. 149): Зигмунд (2004, стр. 21) неправильно приписывает эту роль второй теореме Таубера . См. также анализ Чаттерджи (1984, стр. 169–170 и стр. 172).
20. См. (Харди 1949, стр. 149), Чаттерджи (1984, стр. 169 и стр. 172) и (Кореваар 2004, стр. 6).
21. См. (Chatterji 1984, стр. 169, теорема B), (Lune 1986, стр. 4, §1.2 «Вторая теорема Таубера») и замечание Кореваара (2004, стр. 11): Харди (1949, стр. 150– 152) доказывает эту теорему, доказывая более общую теорему, включающую интегралы Римана–Стилтьеса .
22. (Чаттерджи 1984, стр. 169, теорема А), (Кореваар 2004, стр. 11).
23. См., например, (Hardy 1949, стр. 150), (Korevaar 2004, стр. 11) и (Lune 1986, стр. 4, §1.2 «Вторая теорема Таубера»).
24. Согласно Чаттерджи (1984, стр. 172): см. также доказательства двух теорем, данные Люном (1986, глава 1, §§1.1–1.2, стр. 2–7).
25. Опять же, согласно Чаттерджи (1984, стр. 172).
26. По словам Кинга (2009, стр.3): « Оглядываясь назад, возможно, преобразование должно носить имена трех вышеупомянутых авторов ».
27. Представленный анализ внимательно следует (King 2009, стр. 131), который, в свою очередь, следует (Tauber 1891, стр. 79–80).
28. См. также краткий анонс исследования (Таубер, 1895).
29. Как отмечает Кинг (2009, стр. 131), это нестандартное определение действительной и мнимой части k -го комплексного коэффициента степенного ряда вводится намеренно для того, чтобы скрыть («подавить») функциональную зависимость φ и ψ на r .
30. Это означает, что φ, ψ  ∈  L 1 .
31. (Кинг 2009, стр. 131).

Рекомендации

Биографические и общие ссылки

• Биндер, Криста (1984), «Альфред Таубер (1866–1942). Ein österreichischer Mathematiker», в Chatterji, SD (ред.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Математические обзоры (на немецком языке), vol. 17, Мангейм : Bibliographisches Institut AG , стр. 151–166, Zbl  0544.01021.
• Фишер, Герд; Хирцебрух, Фридрих ; Шарлау, Винфрид; Тёрниг, Вилли, ред. (1990), Ein Jahrhundert Mathematik 1890–1990: Festschrift zum Jubiläum der DMV, Dokumente zur Geschichte der Mathematik (на немецком языке), vol. Группа 6, Брауншвейг / Висбаден : Friedrich Vieweg & Sohn , стр. XII + 830, doi : 10.1007/978-3-322-80265-1, ISBN 3-528-06326-2, МР  1085961, Збл  0706.01002.
• Пинл, Максимилиан; Дик, Огюст (1974), «Kollegen in einer dunklen Zeit. Schluß», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 75 : 202–203, MR  0476359, Zbl  0281.01013.
• Главка, Эдмунд (2007), «Таубер, Альфред», Полный словарь научной биографии , Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера , получено 27 февраля 2016 г..
• Зигмунд, Карл (2004), «Неудачный Феникс: Таубер, Хелли и венское страхование жизни», The Mathematical Intelligencer , 26 (2): 21–33, doi : 10.1007/bf02985648, MR  2067894, S2CID  121108996, Zbl  0849.01036.

Научные ссылки

• Чаттерджи, С.Д. (1984), «Теорема Таубера – несколько исторических замечаний», в Чаттерджи, С.Д. (ред.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Математические обзоры, том. 17, Мангейм : Bibliographisches Institut AG , стр. 167–175, Zbl  0555.40008., а также Збл  0556.01005.
• Харди, GH (1949), Divergent Series , Оксфорд : Clarendon Press , xvi+396, ISBN 978-0-8218-2649-2, LCCN  49005496, MR  0030620, OCLC  808787, 2-е издание, опубликованное издательством Chelsea Publishing Company , 1991, LCCN  91-75377, ISBN 0828403341 . 
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, Дж. Э. (1913), «Тауберовы теоремы о рядах положительных членов», Вестник математики , XLII : 191–192, JFM  44.0283.01.
• Кинг, Фредерик В. (2009), Гильберт трансформируется. Том 1 , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 124, Кембридж : Издательство Кембриджского университета , стр. xxxviii+858, ISBN 978-0-521-88762-5, МР  2542214, Збл  1188.44005.
• Кореваар, Джейкоб (2004), Тауберова теория. Столетие разработок , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 329, Springer-Verlag , стр. xvi+483, doi : 10.1007/978-3-662-10225-1, ISBN 3-540-21058-Х, МР  2073637, Збл  1056.40002.
• Луне, Дж. ван де (1986), Введение в тауберову теорию: от Таубера до Винера, Программа CWI, vol. 12, Амстердам : CWI , стр. iv+102, ISBN. 90-6196-309-5, МР  0882005, Збл  0636.40002.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Альфред Таубер», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Альфред Таубер на encyclepedia.com
• Альфред Таубер в проекте «Математическая генеалогия»