Логарифмическая интегральная функция

В математике логарифмическая интегральная функция или интегральный логарифм li( x ) является специальной функцией . Она важна в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме о простых числах , она является очень хорошим приближением к функции подсчета простых чисел , которая определяется как количество простых чисел, меньших или равных заданному значению . $x$

Интегральное представление

Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определяемое для всех положительных действительных чисел $x$ ≠ 1 определенным интегралом

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.

Здесь $ln$ обозначает натуральный логарифм . Функция $1/(ln t)$ имеет особенность при $t = 1$ , а интеграл при $x > 1$ интерпретируется как главное значение Коши ,

\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).

Смещение логарифмического интеграла

Смещенный логарифмический интеграл или логарифмический интеграл Эйлера определяется как

\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Эквивалентно,

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).

Особые ценности

Функция li( x ) имеет один положительный ноль; она встречается при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; это число известно как константа Рамануджана–Зольднера .

${\text{li}}({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)$ ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284

Это где неполная гамма-функция . Ее следует понимать как главное значение Коши функции. $-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )$ $\Gamma \left(a,x\right)$

Представление серии

Функция li( x ) связана с экспоненциальным интегралом Ei( x ) через уравнение

{\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!

что справедливо для x > 0. Это тождество обеспечивает последовательное представление li( x ) как

\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,

где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 — константа Эйлера–Маскерони . Более быстро сходящийся ряд Рамануджана ^[1] —

\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).

Асимптотическое расширение

Асимптотическое поведение при x → ∞ имеет вид

\operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).

где — большая нотация O. Полное асимптотическое разложение равно $O$

\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}

или

{\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .

Это дает следующее более точное асимптотическое поведение:

\operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).

Как асимптотическое разложение, этот ряд не является сходящимся : он является разумным приближением только в том случае, если ряд усечен на конечном числе членов, и используются только большие значения x . Это разложение непосредственно следует из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .

Это подразумевает, например, что мы можем заключить li в скобки следующим образом:

1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}

для всех . $\ln x\geq 11$

Теоретико-числовое значение

Логарифмический интеграл важен в теории чисел , появляясь в оценках количества простых чисел, меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах гласит, что:

\pi (x)\sim \operatorname {li} (x)

где обозначает количество простых чисел, меньших или равных . $\pi (x)$ $x$

Принимая гипотезу Римана , мы получаем еще более сильное: ^[2]

|\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)

Фактически гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:

|\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})

для любого .

a>0

Для малых , но разность меняет знак бесконечное число раз по мере увеличения, и первый раз это происходит где-то между 10 ¹⁹ и 1,4 × 10 ³¹⁶ . $x$ $\operatorname {li} (x)>\pi (x)$ $x$

Смотрите также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмический интеграл». MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 230, 5.1.20

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 5". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Темме, Н. М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусные и косинусные интегралы», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н 2723248.