норма Бомбьери

В математике норма Бомбьери , названная в честь Энрико Бомбьери , — это норма на однородных многочленах с коэффициентом в или (существует также версия для неоднородных одномерных многочленов). Эта норма обладает многими замечательными свойствами, наиболее важные из которых перечислены в этой статье. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Скалярное произведение Бомбьери для однородных многочленов

Начнем с геометрии. Скалярное произведение Бомбьери для однородных многочленов с N переменными можно определить следующим образом, используя многоиндексную нотацию : по определению различные одночлены ортогональны, так что если $${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$$ $${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta ,}$

в то время как по определению $${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$$ $${\displaystyle \|X^{\alpha }\|^{2}={\frac {\alpha !}{|\alpha |!}}.}$$

В приведенном выше определении и в остальной части этой статьи применяются следующие обозначения:

если написать и и $${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N},}$$ $${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$$ $${\displaystyle \alpha !=\prod _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$$ $${\displaystyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$$

неравенство Бомбьери

Основным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

пусть — два однородных многочлена соответственно степени и с переменными, тогда справедливо следующее неравенство: ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d^{\circ }(P)}$ ${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}\|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}\leq \|P\cdot Q\|^{2}\leq \|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}.}$

Здесь неравенство Бомбьери является левой частью приведенного выше утверждения, тогда как правая часть означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры . Приведение левой части не имеет смысла без этого ограничения, поскольку в этом случае мы можем достичь того же результата с любой нормой, умножив норму на хорошо выбранный множитель.

Это мультипликативное неравенство подразумевает, что произведение двух многочленов ограничено снизу величиной, зависящей от многочленов множимого. Таким образом, это произведение не может быть сколь угодно малым. Это мультипликативное неравенство полезно в метрической алгебраической геометрии и теории чисел .

Инвариантность изометрии

Другим важным свойством является то, что норма Бомбьери инвариантна относительно композиции с изометрией :

пусть будут два однородных многочлена степени с переменными и пусть будет изометрией (или ). Тогда мы имеем . Когда это подразумевает . ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle \langle P\circ h|Q\circ h\rangle =\langle P|Q\rangle }$ ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle \|P\circ h\|=\|P\|}$

Этот результат следует из хорошей интегральной формулировки скалярного произведения:

${\displaystyle \langle P|Q\rangle ={d+N-1 \choose N-1}\int _{S^{N}}P(Z){\overline {Q(Z)}}\,d\sigma (Z)}$

где — единичная сфера с ее канонической мерой . ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ${\displaystyle d\sigma (Z)}$

Другие неравенства

Пусть — однородный многочлен степени с переменными и пусть . Имеем: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z\in \mathbb {C} ^{N}}$

• ${\displaystyle |P(Z)|\leq \|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}}$
• ${\displaystyle \|\nabla P(Z)\|_{E}\leq d\|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}}$

где обозначает евклидову норму. ${\displaystyle \|\cdot \|_{E}}$

По мнению Кнута (Упражнения 20-21, страницы 457-458 и 682-684), норма Бомбьери полезна при факторизации полиномов, где она имеет некоторые преимущества по сравнению с мерой Малера .

Смотрите также

• многообразие Грассмана
• Пространство Харди
• Однородный многочлен
• Встраивание Плюккера

Ссылки

• Beauzamy, Bernard; Bombieri, Enrico ; Enflo, Per ; Montgomery, Hugh L. (1990). "Произведения многочленов от многих переменных" (PDF) . Journal of Number Theory . 36 (2): 219–245. doi :10.1016/0022-314X(90)90075-3. hdl : 2027.42/28840 . MR  1072467.
• Beauzamy, Bernard; Enflo, Per ; Wang, Paul (октябрь 1994 г.). «Количественные оценки полиномов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел до символических и массивно параллельных вычислений» (PDF) . Mathematics Magazine . 67 (4): 243–257. doi :10.2307/2690843. JSTOR  2690843. MR  1300564.
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембриджский UP ISBN 0-521-84615-3. МР  2216774.
• Кнут, Дональд Э. (1997). " 4.6.2 Факторизация многочленов ". Получисленные алгоритмы . Искусство программирования . Том 2 (Третье изд.). Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley. С. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2. МР  0633878.