Пространство Джеймса

В области математики, известной как функциональный анализ , пространство Джеймса является важным примером в теории банаховых пространств и обычно служит полезным контрпримером к общим утверждениям, касающимся структуры общих банаховых пространств. Пространство было впервые введено в 1950 году в короткой статье Роберта К. Джеймса . ^[1]

Пространство Джеймса служит примером пространства, которое изометрически изоморфно своему двойному , не будучи при этом рефлексивным . Более того, пространство Джеймса имеет базис , не имея при этом безусловного базиса .

Определение

Пусть обозначает семейство всех конечных возрастающих последовательностей целых чисел нечетной длины. Для любой последовательности действительных чисел и определим величину ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.}$

Пространство Джеймса, обозначаемое J , определяется как совокупность всех элементов x из c 0 , удовлетворяющих , наделенных нормой . ${\displaystyle \sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}<\infty }$ ${\displaystyle \|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )}$

Характеристики

Источник: ^[2]

• Пространство Джеймса — это банахово пространство.
• Канонический базис {en _} является (условным) базисом Шаудера для J. Кроме того, этот базис является как монотонным , так и сжимающимся .
• J не имеет безусловной основы .
• Пространство Джеймса не рефлексивно . Его образ в его двойном дуале при каноническом вложении имеет коразмерность один.
• Однако пространство Джеймса изометрически изоморфно своему двойному пространству.
• Пространство Джеймса в некоторой степени рефлексивно , то есть каждое замкнутое бесконечномерное подпространство содержит бесконечномерное рефлексивное подпространство. В частности, каждое замкнутое бесконечномерное подпространство содержит изоморфную копию ℓ 2 .

Смотрите также

• Банахово пространство
• пространство Цирельсона

Ссылки

1. Джеймс, Роберт С. Нерефлексивное банахово пространство, изометричное своему второму сопряженному пространству. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки 37, № 3 (март 1951 г.): 174–77.
2. Моррисон, Т. Дж. Функциональный анализ: введение в теорию банахова пространства . Wiley. (2001)