Трудный путь

В стохастическом анализе грубый путь — это обобщение понятия гладкого пути, позволяющее построить робастную теорию решения для управляемых дифференциальных уравнений , управляемых классически нерегулярными сигналами, например, винеровским процессом . Теория была разработана в 1990-х годах Терри Лайонсом . ^{[1] [2] [3]} Доступны несколько версий теории. ^{[4] [5] [6] [7]}

Теория грубого пути сосредоточена на выявлении и уточнении взаимодействий между сильно колебательными и нелинейными системами. Он основан на гармоническом анализе Л.К. Янга, геометрической алгебре К.Т. Чена, теории функций Липшица Х. Уитни и основных идеях стохастического анализа. Концепции и унифицированные оценки широко применяются в чистой и прикладной математике и за ее пределами. Он предоставляет набор инструментов, позволяющий относительно легко восстановить многие классические результаты стохастического анализа (Вонга-Закаи, теорема о поддержке Струка-Варадана, построение стохастических потоков и т. д.) без использования конкретных вероятностных свойств, таких как свойство мартингала или предсказуемость. Эта теория также расширяет теорию СДУ Ито далеко за пределы семимартингала. В основе математики лежит задача эффективного описания гладкой, но потенциально высококолебательной и многомерной траектории, чтобы точно предсказать ее влияние на нелинейную динамическую систему . Сигнатура представляет собой гомоморфизм моноида путей (при конкатенации) в группоподобные элементы свободной тензорной алгебры. Он предоставляет градуированное резюме пути . Это некоммутативное преобразование верно для путей до соответствующих нулевых модификаций. Эти поэтапные описания или особенности пути лежат в основе определения трудного пути; локально они избавляют от необходимости смотреть на тонкую структуру пути. Теорема Тейлора объясняет, как любую гладкую функцию локально можно выразить как линейную комбинацию определенных специальных функций (мономов, основанных на этой точке). Координатные итерированные интегралы (члены сигнатуры) образуют более тонкую алгебру признаков, которая может аналогичным образом описывать поток или путь; они позволяют определить грубый путь и образуют естественную линейную «базу» для непрерывных функций на путях. ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\,\mathrm {d} x_{t},y_{0}=a}$ ${\displaystyle x}$

Мартин Хайрер использовал грубые пути для построения устойчивой теории решения уравнения КПЗ . ^[8] Затем он предложил обобщение, известное как теория регулярных структур ^[9] , за которое он был награжден медалью Филдса в 2014 году.

Мотивация

Теория грубого пути направлена ​​​​на то, чтобы разобраться в управляемом дифференциальном уравнении.

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

где управление, непрерывный путь, принимающий значения в банаховом пространстве , не обязательно должно быть дифференцируемым или иметь ограниченную вариацию. Распространенным примером управляемого пути является пример пути винеровского процесса . В этом случае вышеупомянутое управляемое дифференциальное уравнение можно интерпретировать как стохастическое дифференциальное уравнение , а интегрирование против « » можно определить в смысле Ито . Однако исчисление Ито определяется в смысле и, в частности, не является определением пути. Грубые пути дают почти наверняка попутное определение стохастических дифференциальных уравнений. Понятие решения грубого пути корректно в том смысле, что if - последовательность гладких путей, сходящаяся к в -вариационной метрике (описанной ниже), и ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{j}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X(n)_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},}$

затем сходится к в метрике -вариации. Это свойство непрерывности и детерминированный характер решений позволяют упростить и усилить многие результаты стохастического анализа, такие как теория больших отклонений Фрейдлина-Вентцелля ^[10], а также результаты о стохастических потоках. ${\displaystyle Y(n)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

Фактически, теория грубых путей может выйти далеко за рамки исчисления Ито и Стратоновича и позволяет понять смысл дифференциальных уравнений, управляемых несемимартингальными путями , такими как гауссовские процессы и марковские процессы . ^[11]

Определение грубого пути

Грубые пути — это пути, принимающие значения в усеченной свободной тензорной алгебре (точнее: в свободной нильпотентной группе, вложенной в свободную тензорную алгебру), о которых сейчас кратко напоминается в этом разделе. Тензорные степени , обозначенные , снабжены проективной нормой (см. Топологическое тензорное произведение , обратите внимание, что грубая теория путей на самом деле работает для более общего класса норм). Пусть – усеченная тензорная алгебра ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ ${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$где по соглашению . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$

Пусть будет симплекс . Позволять . Пусть и — непрерывные отображения . Через обозначим проекцию на -тензоры и аналогично для . Метрика -вариации определяется как ${\displaystyle \triangle _{0,1}}$ ${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

где верхняя грань берется по всем конечным разбиениям . ${\displaystyle \{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Непрерывная функция называется -геометрическим грубым путем , если существует последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что ${\displaystyle \mathbf {X} :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X(1),X(2),\ldots }$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

сходится в метрике -вариации к as . ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Универсальная предельная теорема

Центральным результатом теории грубых путей является универсальная предельная теорема Лайона . ^[1] Одна (слабая) версия результата такова: пусть это последовательность путей с конечной общей вариацией и пусть ${\displaystyle X(n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$обозначают подъем грубой траектории . ${\displaystyle X(n)}$

Предположим, что сходится в -вариационной метрике к -геометрическому грубому пути при . Пусть - функции, которые имеют, по крайней мере, ограниченные производные, а -я производная -непрерывна по Гёльдеру для некоторого . Пусть – решение дифференциального уравнения ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}}$ ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >p-\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle Y(n)}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}}$

и пусть определяется как ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

Затем сходится в -вариационной метрике к -геометрическому грубому пути . ${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

При этом является ли решение дифференциального уравнения ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )}$

движимый геометрическим неровным путем . ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Теорему можно интерпретировать как утверждение, что карта решения (также известная как карта Ито-Лайона) RDE непрерывна (и фактически локально липшицева) в топологии -вариации. Таким образом, теория неровных путей демонстрирует, что, рассматривая движущие сигналы как неровные пути, можно получить робастную теорию решения для классических стохастических дифференциальных уравнений и не только. ${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$ ${\displaystyle (\star )}$ ${\displaystyle p}$

Примеры неровных путей

Броуновское движение

Пусть – многомерное стандартное броуновское движение. Обозначим через Интегрирование Стратоновича . Затем ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\circ \mathrm {d} B_{s_{1}}\otimes \circ \mathrm {d} B_{s_{2}}\right)}$

является -геометрическим грубым путем для любого . Этот геометрический шероховатый путь называется броуновским грубым путем Стратоновича . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2<p<3}$

Дробное броуновское движение

В более общем смысле, пусть это многомерное дробное броуновское движение (процесс, координатные компоненты которого являются независимыми дробными броуновскими движениями) с . Если -я двоичная кусочно-линейная интерполяция , то ${\displaystyle B_{H}(t)}$ ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle B_{H}^{m}(t)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle B_{H}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{H}^{m}(s,t)=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\right.&\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1}),\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\,\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2}),\\&\left.\int _{s<s_{1}<s_{2}<s_{3}<t}\mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{1})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{2})\otimes \mathrm {d} B_{H}^{m}(s_{3})\right)\end{aligned}}}$

почти наверняка сходится в -вариационной метрике к -геометрическому грубому пути для . ^[13] Этот ограничивающий грубый геометрический путь можно использовать для понимания дифференциальных уравнений, приводимых в движение дробным броуновским движением с параметром Херста . При оказывается, что указанный предел по двоичным приближениям не сходится в -вариации. Однако, конечно, можно по-прежнему понимать смысл дифференциальных уравнений, если они демонстрируют грубый траекторный лифт, существование такого (неединственного) лифта является следствием теоремы о продолжении Лиона – Викторуара . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\frac {1}{H}}<p}$ ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle 0<H\leq {\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle p}$

Неуникальность улучшения

В общем случае, пусть это -значный случайный процесс. Если можно почти наверняка построить функции так, что ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (s,t)\rightarrow \mathbf {X} _{s,t}^{j}\in {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes j}}$

${\displaystyle \mathbf {X} :(s,t)\rightarrow (1,X_{t}-X_{s},\mathbf {X} _{s,t}^{2},\ldots ,\mathbf {X} _{s,t}^{\lfloor p\rfloor })}$

— грубый геометрический путь, то — усовершенствование процесса . После выбора улучшения механизм теории грубого пути позволит разобраться в управляемом дифференциальном уравнении. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{s,t}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

для достаточно регулярных векторных полей ${\displaystyle V_{j}^{i}.}$

Обратите внимание, что каждый случайный процесс (даже если это детерминированный путь) может иметь более одного (фактически несчетное множество) возможных улучшений. ^[14] Различные усовершенствования приведут к различным решениям управляемых дифференциальных уравнений. В частности, можно улучшить броуновское движение до грубой геометрической траектории иным способом, чем грубый броуновский путь. ^[15] Это означает, что исчисление Стратоновича - не единственная теория стохастического исчисления, которая удовлетворяет классическому правилу произведения.

${\displaystyle \mathrm {d} (X_{t}\cdot Y_{t})=X_{t}\,\mathrm {d} Y_{t}+Y_{t}\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Фактически любое усовершенствование броуновского движения как грубого геометрического пути приведет к появлению исчисления, удовлетворяющего этому классическому правилу произведения. Исчисление Ито происходит не непосредственно от расширения броуновского движения как грубого геометрического пути, а скорее как разветвленного грубого пути.

Приложения в стохастическом анализе

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые несемимартингалами

Грубая теория путей позволяет дать попутное представление о решении (стохастических) дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}}$

при условии, что многомерный случайный процесс почти наверняка можно улучшить как грубый путь и что дрейф и волатильность достаточно гладкие (см. раздел, посвященный Универсальной предельной теореме). ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

Существует множество примеров марковских процессов, гауссовских процессов и других процессов, которые можно усовершенствовать с помощью грубых путей. ^[16]

В частности, существует множество результатов о решении дифференциальных уравнений, приводимых в движение дробным броуновским движением, которые были доказаны с использованием комбинации исчисления Маллявена и теории грубых путей. Фактически, недавно было доказано, что решение управляемого дифференциального уравнения, управляемого классом гауссовских процессов, который включает дробное броуновское движение с параметром Херста , имеет гладкую плотность при условии Хёрмандера на векторных полях. ^{[17] [18]} ${\displaystyle H>{\frac {1}{4}}}$

Теория больших уклонений Фрейдлина-Вентцеля

Обозначим через пространство ограниченных линейных отображений одного банахова пространства в другое банахово пространство . ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Пусть – -мерное стандартное броуновское движение. Пусть и - дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых являются -Гельдером для некоторого . ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >0}$

Пусть – единственное решение стохастического дифференциального уравнения ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$

${\displaystyle \mathrm {d} X^{\varepsilon }=b(X_{t}^{\epsilon })\,\mathrm {d} t+{\sqrt {\varepsilon }}\sigma (X^{\varepsilon })\circ \mathrm {d} B_{t};\,X^{\varepsilon }=a,}$

где обозначает интегрирование Стратоновича. ${\displaystyle \circ }$

Теория больших уклонений Фрейдлина Вентцелля направлена ​​на изучение асимптотического поведения, как для замкнутых или открытых множеств относительно однородной топологии. ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X^{\varepsilon }\in F]}$ ${\displaystyle F}$

Универсальная предельная теорема гарантирует, что отображение Ито, передающее путь управления к решению, является непрерывным отображением топологии -вариации в топологию -вариации (и, следовательно, равномерной топологии). Таким образом, принцип сжатия в теории больших уклонений сводит проблему Фрейдлина – Вентцелля к демонстрации принципа больших уклонений для топологии -вариации. ^[10] ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (t,{\sqrt {\varepsilon }}B_{t})}$ ${\displaystyle p}$

Эту стратегию можно применять не только к дифференциальным уравнениям, управляемым броуновским движением, но также к дифференциальным уравнениям, управляющим любыми случайными процессами, которые можно улучшить с помощью грубых путей, таких как дробное броуновское движение.

Стохастический поток

Пусть еще раз -мерное броуновское движение. Предположим, что член дрейфа и член волатильности имеют достаточную регулярность, так что стохастическое дифференциальное уравнение ${\displaystyle B_{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathrm {d} \phi _{s,t}(x)=b(\phi _{s,t}(x))\,\mathrm {d} t+\sigma {(\phi _{s,t}(x))}\,\mathrm {d} B_{t};X_{s}=x}$

имеет единственное решение в смысле грубого пути. Основной вопрос теории стохастических потоков заключается в том, существует ли карта потока и удовлетворяет ли она свойству коцикличности, которое для всех ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \phi _{u,t}(\phi _{s,u}(x))=\phi _{s,t}(x)}$

вне нулевого набора, независимого от . ${\displaystyle s,u,t}$

Универсальная предельная теорема еще раз сводит эту проблему к вопросу о том, существует ли броуновский грубый путь и удовлетворяет ли мультипликативному свойству, что для всех ${\displaystyle \mathbf {B_{s,t}} }$ ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{s,u}\otimes \mathbf {B} _{u,t}=\mathbf {B} _{s,t}}$

вне нулевого набора, независимого от , и . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t}$

Фактически, теория грубого пути дает существование и уникальность не только вне нулевого множества, независимого от , но также от дрейфа и волатильности . ${\displaystyle \phi _{s,t}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$

Как и в случае с теорией Фрейдлина-Вентцелля, эта стратегия справедлива не только для дифференциальных уравнений, управляемых броуновским движением, но и для любых случайных процессов, которые можно улучшить с помощью грубых путей.

Контролируемый неровный путь

Управляемые грубые пути, введенные М. Губинелли ^[5] , — это пути , для которых грубый интеграл ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

может быть определен для данного геометрического приблизительного пути . ${\displaystyle X}$

Точнее, обозначим пространство ограниченных линейных отображений одного банахова пространства в другое банахово пространство . ${\displaystyle L(V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Учитывая -геометрический грубый путь ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$

на - управляемый путь - это функция такая, что и существует такое, что для всех и , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M}$

и

${\displaystyle \left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

Пример: Губа(γ) функция

Пусть - -геометрический грубый путь, удовлетворяющий условию Гёльдера , согласно которому существует для всех и всех ${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle j=1,,2,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert \leq M(t-s)^{\frac {j}{p}},}$

где обозначает -ю компоненту тензора . Позволять . Пусть - -кратно дифференцируемая функция и -я производная гельдерова, тогда ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \gamma \geq 1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$

${\displaystyle (f(\mathbf {X} _{s}^{1}),Df(\mathbf {X} _{s}^{1}),\ldots ,D^{\lfloor \gamma \rfloor }f(\mathbf {X} _{s}^{1}))}$

это -контролируемый путь. ${\displaystyle \gamma }$

Интеграл контролируемого пути - это контролируемый путь.

Если это -контролируемый путь, где , то ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma >p-1}$

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

определен и путь

${\displaystyle \left(\int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u},\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma -1\rfloor }\right)}$

это -контролируемый путь. ${\displaystyle \gamma }$

Решение управляемого дифференциального уравнения представляет собой управляемый путь.

Пусть - функции, имеющие по крайней мере производные, причем -я производная -непрерывна по Гёльдеру для некоторого . Пусть – решение дифференциального уравнения ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow L(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma -\lfloor \gamma \rfloor }$ ${\displaystyle \gamma >p}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=V(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.}$

Определять

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(\cdot )=V(\cdot );}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{r+1}Y}{\mathrm {d} ^{r+1}X}}(\cdot )=D\left({\frac {\mathrm {d} ^{r}Y}{\mathrm {d} ^{r}X}}\right)(\cdot )V(\cdot ),}$

где обозначает оператор производной, то ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \left(Y_{t},{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} X}}(Y_{t}),{\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{\mathrm {d} ^{2}X}}(Y_{t}),\ldots ,{\frac {\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }Y}{\mathrm {d} ^{\lfloor \gamma \rfloor }X}}(Y_{t})\right)}$

это -контролируемый путь. ${\displaystyle \gamma }$

Подпись

Пусть – непрерывная функция с конечной полной вариацией. Определять ${\displaystyle X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

Подпись пути определяется как . ${\displaystyle S(X)_{0,1}}$

Сигнатуру также можно определить для грубых геометрических путей. Пусть – грубый геометрический путь, и пусть – последовательность путей с конечной полной вариацией такая, что ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

сходится в -вариационной метрике к . Затем ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}}$

сходится как для каждого . Сигнатуру грубого геометрического пути можно определить как предел as . ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

Подпись подтверждает личность Чена, ^[19] что

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}$

для всех . ${\displaystyle s\leq u\leq t}$

Ядро преобразования подписи

Набор путей, сигнатурой которых является тривиальная последовательность, или, точнее,

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,0,\ldots )}$

можно полностью охарактеризовать, используя идею древовидного пути.

-геометрический грубый путь является древовидным, если существует непрерывная функция такая, что и для всех и всех , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h:[0,1]\rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle h(0)=h(1)=0}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$

${\displaystyle \Vert \mathbf {X} _{s,t}^{j}\Vert ^{p}\leq h(t)+h(s)-2\inf _{u\in [s,t]}h(u)}$

где обозначает -ю компоненту тензора . ${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Геометрический грубый путь удовлетворяет тогда и только тогда, когда он древовидный. ^{[20] [21]} ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{0,1}=(1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Зная подпись пути, можно восстановить уникальный путь, не имеющий древовидных частей. ^{[22] [23]}

Бесконечные размеры

Также возможно распространить основные результаты грубой теории путей на бесконечные измерения, при условии, что норма тензорной алгебры удовлетворяет определенному условию допустимости. ^[24]

Рекомендации

1. Лайонс, Терри (1998). «Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми сигналами». Revista Matemática Iberoamericana . 14 (2): 215–310. дои : 10.4171/RMI/240. ISSN  0213-2230. S2CID  59183294. Збл  0923.34056. Викиданные  Q55933523.
2. Лайонс, Терри ; Цянь, Чжунминь (2002). Управление системой и неровные пути . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс. doi :10.1093/acprof:oso/9780198506485.001.0001. ISBN 9780198506485. Збл  1029.93001.
3. Лайонс, Терри; Каруана, Майкл; Леви, Тьерри (2007). Дифференциальные уравнения, движимые неровными путями, вып. 1908 г., Конспекты лекций по математике . Спрингер.
4. Леджей, А. (2003). «Введение в трудные пути». Семинар вероятностей XXXVII . Конспект лекций по математике. Том. 1832. стр. 1–59. дои : 10.1007/978-3-540-40004-2_1. ISBN 978-3-540-20520-3. S2CID  12401468.
5. Губинелли, Массимилиано (ноябрь 2004 г.). «Управление неровными дорогами». Журнал функционального анализа . 216 (1): 86–140. дои : 10.1016/J.JFA.2004.01.002. ISSN  0022-1236. S2CID  119717942. Збл  1058.60037. Викиданные  Q56689330.
6. Фриз, Питер К .; Викторуар, Николя (2010). Многомерные случайные процессы как неровные пути: теория и приложения . Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета.
7. Фриз, Питер К.; Хайрер, Мартин (2014). Курс неровных путей с введением в структуры регулярности . Спрингер.
8. Хайрер, Мартин (7 июня 2013 г.). «Решение уравнения КПЗ». Анналы математики . 178 (2): 559–664. arXiv : 1109.6811 . дои :10.4007/АННАЛЫ.2013.178.2.4. ISSN  0003-486X. JSTOR  23470800. MR  3071506. S2CID  119247908. Zbl  1281.60060. Викиданные  Q56689331.
9. Хайрер, Мартин (2014). «Теория регулярности структур». Математические изобретения . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Бибкод : 2014InMat.198..269H. дои : 10.1007/s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
10. Леду, Мишель ; Цянь, Чжунминь; Чжан, Тушэн (декабрь 2002 г.). «Большие уклонения и теорема поддержки диффузионных процессов по грубым путям». Стохастические процессы и их приложения . 102 (2): 265–283. дои : 10.1016/S0304-4149(02)00176-X. ISSN  1879-209Х. Збл  1075.60510. Викиданные  Q56689332.
11. Фриз, Питер К.; Викторуар, Николя (2010). Многомерные случайные процессы как неровные пути: теория и приложения (под ред. Кембриджских исследований по высшей математике). Издательство Кембриджского университета.
12. Лайонс, Терри ; Цянь, Чжунминь (2002). Управление системой и неровные пути . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс. doi :10.1093/acprof:oso/9780198506485.001.0001. ISBN 9780198506485. Збл  1029.93001.
13. Кутен, Лора; Цянь, Чжунминь (2002). «Стохастический анализ, анализ грубого пути и дробные броуновские движения». Теория вероятностей и смежные области . 122 : 108–140. дои : 10.1007/s004400100158 . S2CID  120581658.
14. Лайонс, Терри; Виктор, Николас (2007). «Теорема о продолжении неровных путей». Анналы Института Анри Пуанкаре С. 24 (5): 835–847. Бибкод : 2007AIHPC..24..835L. дои : 10.1016/j.anihpc.2006.07.004 .
15. Фриз, Питер; Гассиат, Поль; Лайонс, Терри (2015). «Физическое броуновское движение в магнитном поле как грубая траектория». Труды Американского математического общества . 367 (11): 7939–7955. arXiv : 1302.2531 . doi : 10.1090/S0002-9947-2015-06272-2. S2CID  59358406.
16. Фриз, Питер К.; Викторуар, Николя (2010). Многомерные случайные процессы как неровные пути: теория и приложения (под ред. Кембриджских исследований по высшей математике). Издательство Кембриджского университета.
17. Касс, Томас; Фриз, Питер (2010). «Плотности для грубых дифференциальных уравнений при условии Хёрмандера». Анналы математики . 171 (3): 2115–2141. arXiv : 0708.3730 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.2115. S2CID  17276607.
18. Касс, Томас; Хайрер, Мартин; Мусорщик, Кристиан; Тиндел, Сами (2015). «Гладкость плотности решений гауссовских грубых дифференциальных уравнений». Анналы вероятности . 43 : 188–239. arXiv : 1209.3100 . дои : 10.1214/13-AOP896. S2CID  17308794.
19. Чен, Куо-Цай (1954). «Повторные интегралы и экспоненциальные гомоморфизмы». Труды Лондонского математического общества . с3-4 : 502–512. дои : 10.1112/plms/s3-4.1.502.
20. Хэмбли, Бен; Лайонс, Терри (2010). «Уникальность подписи пути ограниченной вариации и сокращенной группы путей». Анналы математики . 171 : 109–167. arXiv : math/0507536 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.109. S2CID  15915599.
21. Боэдихарджо, Горацио; Гэн, Си; Лайонс, Терри; Ян, Даньюй (2016). «Признак трудного пути: Уникальность». Достижения в математике . 293 : 720–737. arXiv : 1406.7871 . дои : 10.1016/j.aim.2016.02.011 . S2CID  3634324.
22. Лайонс, Терри; Сюй, Вэйцзюнь (2018). «Инвертирование подписи пути». Журнал Европейского математического общества . 20 (7): 1655–1687. arXiv : 1406.7833 . дои : 10.4171/JEMS/796. S2CID  67847036.
23. Гэн, Си (2016). «Реконструкция по знаку тернистого пути». Труды Лондонского математического общества . 114 (3): 495–526. arXiv : 1508.06890 . дои : 10.1112/plms.12013. S2CID  3641736.
24. Касс, Томас; Водитель, Брюс; Лим, Ненгли; Мусорщик, Кристиан. «Об интегрировании слабо геометрических грубых путей». Журнал Математического общества Японии .