процесс Винера

Стохастический процесс, обобщающий броуновское движение

Единичная реализация одномерного процесса Винера

Единичная реализация трехмерного процесса Винера

В математике винеровский процесс — это действительный непрерывный во времени стохастический процесс , названный в честь американского математика Норберта Винера за его исследования математических свойств одномерного броуновского движения. ^[1] Его часто также называют броуновским движением из-за его исторической связи с физическим процессом с тем же названием, первоначально наблюдавшимся шотландским ботаником Робертом Брауном . Это один из самых известных процессов Леви ( càdlàg стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями ) и он часто встречается в чистой и прикладной математике , экономике , количественной финансах , эволюционной биологии и физике .

Процесс Винера играет важную роль как в чистой, так и в прикладной математике. В чистой математике процесс Винера положил начало изучению непрерывных во времени мартингалов . Это ключевой процесс, в терминах которого могут быть описаны более сложные стохастические процессы. Как таковой, он играет жизненно важную роль в стохастическом исчислении , диффузионных процессах и даже теории потенциала . Это движущий процесс эволюции Шрамма–Лёвнера . В прикладной математике процесс Винера используется для представления интеграла гауссовского процесса белого шума и поэтому полезен в качестве модели шума в электронной инженерии (см. Броуновский шум ), погрешностей приборов в теории фильтрации и возмущений в теории управления .

Процесс Винера имеет приложения во всех математических науках. В физике он используется для изучения броуновского движения , диффузии мельчайших частиц, взвешенных в жидкости, и других типов диффузии с помощью уравнений Фоккера–Планка и Ланжевена . Он также формирует основу для строгой формулировки интеграла по траектории квантовой механики (с помощью формулы Фейнмана–Каца решение уравнения Шредингера может быть представлено в терминах процесса Винера) и изучения вечной инфляции в физической космологии . Он также играет важную роль в математической теории финансов , в частности в модели ценообразования опционов Блэка–Шоулза .

Характеристика процесса Винера

Процесс Винера характеризуется следующими свойствами: ^[2] ${\displaystyle W_{t}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ почти наверняка
2. ${\displaystyle W}$имеет независимые приращения : для каждого будущие приращения независимы от прошлых значений , ${\displaystyle t>0,}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$ ${\displaystyle W_{s}}$ ${\displaystyle s<t.}$
3. ${\displaystyle W}$имеет гауссовские приращения: нормально распределено со средним значением и дисперсией , ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$имеет почти наверное непрерывные пути: почти наверное непрерывен в . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Тот факт, что процесс имеет независимые приращения, означает, что если 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t _2, то W _{t 1} − W _{s 1} и W _{t 2} − W _{s 2} являются независимыми случайными величинами, и аналогичное условие выполняется для n приращений.

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая характеристика Леви , которая гласит, что винеровский процесс представляет собой почти наверняка непрерывный мартингал с W ₀ = 0 и квадратичной вариацией [ W _t , W _t ] = t (что означает, что W _t ² − t также является мартингалом).

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде ряда синусов, коэффициенты которого являются независимыми N (0, 1) случайными величинами. Это представление можно получить с помощью теоремы Карунена–Лоэва .

Другой характеристикой винеровского процесса является определенный интеграл (от нулевого времени до времени t ) гауссовского процесса с нулевым средним, единичной дисперсией, дельта-коррелированным («белым») процессом . ^[3]

Процесс Винера может быть построен как предел масштабирования случайного блуждания или других дискретных по времени стохастических процессов со стационарными независимыми приращениями. Это известно как теорема Донскера . Подобно случайному блужданию, процесс Винера является рекуррентным в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка возвращается в любую фиксированную окрестность начала координат бесконечно часто), тогда как он не является рекуррентным в измерениях три и выше (где многомерный процесс Винера является процессом, таким, что его координаты являются независимыми процессами Винера). ^[4] В отличие от случайного блуждания, он является инвариантным относительно масштаба , что означает, что является процессом Винера для любой ненулевой константы α . Мера Винера является вероятностным законом на пространстве непрерывных функций g , при этом g (0) = 0 , индуцированным процессом Винера. Интеграл, основанный на мере Винера, может быть назван интегралом Винера . $${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$$

Процесс Винера как предел случайного блуждания

Пусть будут случайными величинами iid со средним значением 0 и дисперсией 1. Для каждого n определите непрерывный во времени стохастический процесс Это случайная ступенчатая функция. Приращения независимы, поскольку независимы. Для больших n близко к по центральной предельной теореме. Теорема Донскера утверждает, что при приближается к винеровскому процессу, что объясняет повсеместность броуновского движения. ^[5] ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$ $${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$ ${\displaystyle N(0,t-s)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W_{n}}$

Свойства одномерного винеровского процесса

Пять выбранных процессов, ожидаемое стандартное отклонение выделено серым цветом.

Основные свойства

Функция плотности безусловной вероятности следует нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией = t в фиксированное время t : $${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$$

Ожидание равно нулю: $${\displaystyle \operatorname {E} [W_{t}]=0.}$$

Дисперсия , рассчитанная по вычислительной формуле, равна t : $${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$$

Эти результаты немедленно следуют из определения, что приращения имеют нормальное распределение с центром в нуле. Таким образом $${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$$

Ковариация и корреляция

Ковариация и корреляция (где ) : ${\displaystyle s\leq t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})&=s,\\\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})&={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.\end{aligned}}}$$

Эти результаты следуют из определения, что неперекрывающиеся приращения являются независимыми, из которых используется только то свойство, что они некоррелированы. Предположим, что . ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$$

Подставляя, получаем: $${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Так как и независимы, ${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$$

Таким образом $${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$$

Следствием, полезным для моделирования, является то, что мы можем записать для t ₁ < t ₂ : где Z — независимая стандартная нормальная переменная. $${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$$

представительство Винера

Винер (1923) также дал представление броуновского пути в терминах случайного ряда Фурье . Если — независимые гауссовские переменные со средним значением нулевым и дисперсией единицей, то и представляют собой броуновское движение на . Масштабированный процесс — это броуновское движение на (ср. теорему Карунена–Лоэва ). ${\displaystyle \xi _{n}}$ $${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$$ $${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$$ ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$$ ${\displaystyle [0,c]}$

Максимальный пробег

Совместное распределение текущего максимума и W _t равно $${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$$ $${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$$

Чтобы получить безусловное распределение , проинтегрируем по −∞ < w ≤ m : ${\displaystyle f_{M_{t}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$$

функция плотности вероятности полунормального распределения . Ожидание ^[6] равно $${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$$

Если в момент времени винеровский процесс имеет известное значение , то можно вычислить условное распределение вероятностей максимума в интервале (ср. Распределение вероятностей экстремальных точек винеровского стохастического процесса ). Кумулятивная функция распределения вероятностей максимального значения, обусловленная известным значением , имеет вид: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle W_{t}}$ $${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$$

Самоподобие

Демонстрация броуновского масштабирования, показывающая уменьшение c . Обратите внимание, что средние характеристики функции не изменяются при увеличении масштаба, и обратите внимание, что она увеличивается квадратично быстрее по горизонтали, чем по вертикали. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Броуновское масштабирование

Для каждого c > 0 процесс представляет собой еще один винеровский процесс. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Обращение времени

Процесс для 0 ≤ t ≤ 1 распределен как W _t для 0 ≤ t ≤ 1 . ${\displaystyle V_{t}=W_{1-t}-W_{1}}$

Инверсия времени

Этот процесс представляет собой еще один процесс Винера. ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Проективная инвариантность

Рассмотрим процесс Винера , , обусловленный так, что (что выполняется почти наверняка) и как обычно . Тогда следующие процессы Винера (Takenaka 1988): Таким образом, процесс Винера инвариантен относительно проективной группы PSL(2,R) , будучи инвариантным относительно генераторов группы. Действие элемента есть , которое определяет действие группы , в том смысле, что ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }tW(t)=0}$ ${\displaystyle W(0)=0}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{1,s}(t)&=&W(t+s)-W(s),\quad s\in \mathbb {R} \\W_{2,\sigma }(t)&=&\sigma ^{-1/2}W(\sigma t),\quad \sigma >0\\W_{3}(t)&=&tW(-1/t).\end{array}}}$$ ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W_{g}(t)=(ct+d)W\left({\frac {at+b}{ct+d}}\right)-ctW\left({\frac {a}{c}}\right)-dW\left({\frac {b}{d}}\right),}$ ${\displaystyle (W_{g})_{h}=W_{gh}.}$

Конформная инвариантность в двух измерениях

Пусть будет двумерным винеровским процессом, рассматриваемым как комплекснозначный процесс с . Пусть будет открытым множеством, содержащим 0, и будет ассоциированным марковским временем: Если — голоморфная функция , которая не является константой, такая, что , то — измененный во времени винеровский процесс в (Лоулер 2005). Точнее, процесс является винеровским в с марковским временем , где ${\displaystyle W(t)}$ ${\displaystyle W(0)=0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ $${\displaystyle \tau _{D}=\inf\{t\geq 0|W(t)\not \in D\}.}$$ ${\displaystyle f:D\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(W_{t})}$ ${\displaystyle f(D)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S(t)}$ $${\displaystyle Y(t)=f(W(\sigma (t)))}$$ $${\displaystyle S(t)=\int _{0}^{t}|f'(W(s))|^{2}\,ds}$$ $${\displaystyle \sigma (t)=S^{-1}(t):\quad t=\int _{0}^{\sigma (t)}|f'(W(s))|^{2}\,ds.}$$

Класс броуновских мартингалов.

Если полином p ( x , t ) удовлетворяет частному дифференциальному уравнению , то случайный процесс является мартингалом . $${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$$ $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$$

Пример: — мартингал, показывающий, что квадратичная вариация W на [0, t ] равна t . Отсюда следует, что ожидаемое время первого выхода W из (− c , c ) равно c ² . ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

В более общем случае для каждого полинома p ( x , t ) следующий стохастический процесс является мартингалом: где a — полином $${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$$ $${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$$

Пример: процесс представляет собой мартингал, который показывает, что квадратичная вариация мартингала на [0, t ] равна ${\displaystyle p(x,t)=\left(x^{2}-t\right)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$ $${\displaystyle \left(W_{t}^{2}-t\right)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$$ ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ $${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$$

О функциях p ( xa , t ), более общих, чем полиномы, см. локальные мартингалы .

Некоторые свойства выборочных путей

Множество всех функций w с этими свойствами имеет полную меру Винера. То есть путь (выборочная функция) винеровского процесса имеет все эти свойства почти наверняка.

Качественные свойства

• Для каждого ε > 0 функция w принимает как (строго) положительные, так и (строго) отрицательные значения на (0, ε).
• Функция w непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема (как функция Вейерштрасса ).
• Для любого , почти наверняка не является - непрерывным по Гёльдеру , и почти наверняка является - непрерывным по Гёльдеру. ^[7] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}+\epsilon )}$ ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}-\epsilon )}$
• Точки локального максимума функции w представляют собой плотное счетное множество; максимальные значения попарно различны; каждый локальный максимум является острым в следующем смысле: если w имеет локальный максимум в точке t , то То же самое справедливо и для локальных минимумов. $${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$$
• Функция w не имеет точек локального возрастания, то есть ни одно t > 0 не удовлетворяет следующему условию для некоторого ε из (0, t ): во-первых, w ( s ) ≤ w ( t ) для всех s из ( t − ε, t ), и, во-вторых, w ( s ) ≥ w ( t ) для всех s из ( t , t + ε ). (Локальное возрастание является более слабым условием, чем то, что w возрастает на ( t − ε , t + ε ).) То же самое справедливо и для локального убывания.
• Функция w имеет неограниченную вариацию на каждом интервале.
• Квадратичная вариация w на [0, t ] равна t .
• Нули функции w представляют собой нигде не плотное совершенное множество меры Лебега 0 и размерности Хаусдорфа 1/2 (следовательно, несчетное).

Количественные свойства

Закон повторного логарифма

$${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$$

Модуль непрерывности

Локальный модуль непрерывности: $${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Глобальный модуль непрерывности (Леви): $${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$$

Теорема об удвоении размерности

Теоремы об удвоении размерности утверждают, что размерность Хаусдорфа множества при броуновском движении почти наверняка удваивается.

Местное время

Образ меры Лебега на [0, t ] при отображении w ( мера прямого проталкивания ) имеет плотность L _t . Таким образом, для широкого класса функций f (а именно: все непрерывные функции; все локально интегрируемые функции; все неотрицательные измеримые функции). Плотность L _t является (точнее, может и будет выбрана) непрерывной. Число L _t ( x ) называется локальным временем в точке x функции w на [0, t ]. Оно строго положительно для всех x интервала ( a , b ), где a и b — наименьшее и наибольшее значение w на [0, t ] соответственно. (Для x вне этого интервала локальное время, очевидно, обращается в нуль.) Рассматриваемое как функция двух переменных x и t , локальное время по-прежнему непрерывно. Рассматриваемое как функция t (пока x фиксировано), локальное время является сингулярной функцией, соответствующей неатомической мере на множестве нулей функции w . $${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$$

Эти свойства непрерывности довольно нетривиальны. Рассмотрим, что локальное время также может быть определено (как плотность меры pushforward) для гладкой функции. Тогда, однако, плотность разрывна, если только данная функция не монотонна. Другими словами, существует конфликт между хорошим поведением функции и хорошим поведением ее локального времени. В этом смысле непрерывность локального времени винеровского процесса является еще одним проявлением негладкости траектории.

Скорость информации

Скорость передачи информации винеровского процесса относительно квадратичного расстояния ошибки, т.е. его квадратичная функция скорости-искажения , определяется как ^[8] Следовательно, невозможно закодировать с помощью двоичного кода размером менее бит и восстановить его с ожидаемой средней квадратичной ошибкой, меньшей . С другой стороны, для любого существует достаточно большой и двоичный код из не более различных элементов такой, что ожидаемая средняя квадратичная ошибка при восстановлении из этого кода не превышает . $${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2^{TR(D)}}$ ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle D-\varepsilon }$

Во многих случаях невозможно закодировать процесс Винера без его предварительной выборки . Когда процесс Винера выборка выполняется с интервалами перед применением двоичного кода для представления этих выборок, оптимальный компромисс между скоростью кода и ожидаемой среднеквадратической ошибкой (при оценке непрерывного процесса Винера) следует параметрическому представлению ^[9] , где и . В частности, — это среднеквадратическая ошибка, связанная только с операцией выборки (без кодирования). ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$$ $${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min \left\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \right\}d\varphi ,}$$ ${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$ ${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$ ${\displaystyle T_{s}/6}$

Связанные процессы

Винеровские процессы с дрейфом ( синий ) и без дрейфа ( красный ).

Двумерные винеровские процессы с дрейфом ( синий ) и без дрейфа ( красный ).

Генератор броуновского движения — это 1 ⁄ 2 оператора Лапласа–Бельтрами . Изображение выше — броуновское движение на специальном многообразии: поверхности сферы.

Стохастический процесс, определяемый как , называется винеровским процессом с дрейфом μ и бесконечно малой дисперсией σ ² . Эти процессы исчерпывают непрерывные процессы Леви , что означает, что они являются единственными непрерывными процессами Леви, как следствие представления Леви–Хинчина. $${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$$

Два случайных процесса на временном интервале [0, 1] появляются, грубо говоря, при обусловливании винеровского процесса исчезновением на обоих концах [0,1]. Без дальнейшего обусловливания процесс принимает как положительные, так и отрицательные значения на [0, 1] и называется броуновским мостом . При условии также оставаться положительным на (0, 1) процесс называется броуновской экскурсией . ^[10] В обоих случаях строгое рассмотрение включает в себя ограничивающую процедуру, поскольку формула P ( A | B ) = P ( A ∩ B )/ P ( B ) неприменима, когда P ( B ) = 0.

Геометрическое броуновское движение можно записать $${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$$

Это стохастический процесс, который используется для моделирования процессов, которые никогда не могут принимать отрицательные значения, например, стоимость акций.

Стохастический процесс распределен подобно процессу Орнштейна–Уленбека с параметрами , , и . $${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

Время достижения винеровским процессом единственной точки x > 0 является случайной величиной с распределением Леви . Семейство этих случайных величин (индексированное всеми положительными числами x ) является непрерывной слева модификацией процесса Леви . Непрерывная справа модификация этого процесса задается временами первого выхода из закрытых интервалов [0, x ].

Локальное время L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} броуновского движения описывает время, которое процесс проводит в точке x . Формально где δ — дельта-функция Дирака . Поведение локального времени характеризуется теоремами Рея–Найта . $${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$$

Броуновские мартингалы

Пусть A — событие, связанное с винеровским процессом (более формально: множество, измеримое относительно меры Винера, в пространстве функций), а X _{t —} условная вероятность A при заданном винеровском процессе на интервале времени [0, t ] (более формально: мера Винера множества траекторий, конкатенация которых с заданной частичной траекторией на [0, t ] принадлежит A ). Тогда процесс X _t является непрерывным мартингалом. Его мартингальное свойство немедленно следует из определений, но его непрерывность — это очень частный факт — частный случай общей теоремы, утверждающей, что все броуновские мартингалы непрерывны. Броуновский мартингал, по определению, является мартингалом, адаптированным к броуновской фильтрации; а броуновская фильтрация, по определению, является фильтрацией, порожденной винеровским процессом.

Интегрированное броуновское движение

Интеграл по времени процесса Винера называется интегрированным броуновским движением или интегрированным процессом Винера . Он возникает во многих приложениях и может быть показан как имеющий распределение N (0, t ³ /3), ^[11] вычисленное с использованием того факта, что ковариация процесса Винера равна . ^[12] $${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

Для общего случая процесса, определяемого Тогда, для , Фактически, всегда является нормальной случайной величиной с нулевым средним. Это позволяет моделировать заданную , взяв где Z является стандартной нормальной переменной и Случай соответствует . Все эти результаты можно рассматривать как прямые следствия изометрии Ито . n -кратно интегрированный винеровский процесс является нормальной переменной с нулевым средним и дисперсией . Это дается формулой Коши для повторного интегрирования . $${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$$ ${\displaystyle a>0}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$$ $${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$ ${\displaystyle V_{f}(t+a)}$ ${\displaystyle V_{f}(t)}$ $${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$$ $${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$$ $${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$$ ${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$ ${\displaystyle f(t)=t}$ ${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Изменение времени

Каждый непрерывный мартингал (начинающийся с начала координат) представляет собой измененный во времени винеровский процесс.

Пример: 2 W _t = V (4 t ), где V — другой винеровский процесс (отличный от W , но распределенный как W ).

Пример. где и V — еще один винеровский процесс. ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$ ${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

В общем случае, если M — непрерывный мартингал, то где A ( t ) — квадратичная вариация M на [0, t ], а V — винеровский процесс. ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Следствие. (См. также теоремы Дуба о сходимости мартингалов ) Пусть M _t — непрерывный мартингал, и $${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$$ $${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$$

Тогда возможны только следующие два случая: остальные случаи (такие как и т.д.) имеют вероятность 0. $${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$$ $${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$$ ${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$   ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

В частности, неотрицательный непрерывный мартингал имеет конечный предел (при t → ∞) почти наверняка.

Все сказанное (в этом подразделе) для мартингалов справедливо также и для локальных мартингалов .

Изменение меры

Широкий класс непрерывных семимартингалов (особенно диффузионных процессов ) связан с винеровским процессом посредством комбинации изменения времени и изменения меры .

Используя этот факт, качественные свойства, указанные выше для винеровского процесса, можно обобщить на широкий класс непрерывных семимартингалов. ^{[13] [14]}

Комплекснозначный процесс Винера

Комплекснозначный винеровский процесс может быть определен как комплекснозначный случайный процесс вида, где и являются независимыми винеровскими процессами (действительнозначными). Другими словами, это двумерный винеровский процесс, где мы отождествляем себя с . ^[15] ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Самоподобие

Броуновское масштабирование, обращение времени, инверсия времени: то же самое, что и в случае действительных значений.

Инвариантность вращения: для каждого комплексного числа такой, что процесс является другим комплекснозначным винеровским процессом. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|=1}$ ${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Изменение времени

Если — целая функция , то процесс представляет собой комплекснозначный винеровский процесс с измененным во времени значением. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Пример: где и — еще один комплекснозначный винеровский процесс. ${\displaystyle Z_{t}^{2}=\left(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2}\right)+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$ $${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$$ ${\displaystyle U}$

В отличие от случая с действительными значениями, комплекснозначный мартингал, как правило, не является комплекснозначным винеровским процессом, измененным во времени. Например, мартингал не является (здесь и являются независимыми винеровскими процессами, как и прежде). ${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$

Броуновская пластина

Броуновский лист — это многопараметрическое обобщение. Определение варьируется от автора к автору, некоторые определяют броуновский лист как имеющий конкретно двумерный временной параметр, в то время как другие определяют его для общих измерений. ${\displaystyle t}$

Смотрите также

Примечания

1. Н.Винер Собрание сочинений т.1
2. Дарретт, Рик (2019). «Броуновское движение». Вероятность: теория и примеры (5-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 9781108591034.
3. Хуан, Стил Т.; Камбанис, Стаматис (1978). «Стохастические и множественные интегралы Винера для гауссовских процессов». Анналы вероятности . 6 (4): 585–614. doi : 10.1214/aop/1176995480 . ISSN  0091-1798. JSTOR  2243125.
4. "Константы случайного блуждания Полии" . Вольфрам Математический мир .
5. Стивен Лэлли, Математические финансы 345 Лекция 5: Броуновское движение (2001)
6. Шрив, Стивен Э. (2008). Стохастическое исчисление для финансов II: Модели непрерывного времени . Springer. стр. 114. ISBN 978-0-387-40101-0.
7. Мёртерс, Петер; Перес, Юваль; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2010). Броуновское движение . Кембриджские серии по статистической и вероятностной математике. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 18. ISBN 978-0-521-76018-8.
8. Т. Бергер, «Информационные скорости винеровских процессов», в IEEE Transactions on Information Theory, т. 16, № 2, стр. 134-139, март 1970 г. doi: 10.1109/TIT.1970.1054423
9. Кипнис, А., Голдсмит, А.Дж. и Элдар, Ю.К., 2019. Функция скорости искажения выборочных винеровских процессов. Труды IEEE по теории информации, 65(1), стр.482-499.
10. Vervaat, W. (1979). «Связь между броуновским мостом и броуновской экскурсией». Annals of Probability . 7 (1): 143–149. doi : 10.1214/aop/1176995155 . JSTOR  2242845.
11. «Вопросы интервью VII: Интегрированное броуновское движение – Quantopia». www.quantopia.net . Получено 14.05.2017 .
12. Форум, «Дисперсия интегрированного винеровского процесса», 2009.
13. Ревуз Д. и Йор М. (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (т. 293). Спрингер.
14. Дуб, Дж. Л. (1953). Стохастические процессы (т. 101). Wiley: Нью-Йорк.
15. Наварро-Морено, Дж.; Эстудильо-Мартинес, М.Д.; Фернандес-Алкала, Р.М.; Руис-Молина, Дж.К. (2009), «Оценка неправильных комплекснозначных случайных сигналов в цветном шуме с использованием теории Гильбертова пространства», IEEE Transactions on Information Theory , 55 (6): 2859–2867, doi :10.1109/TIT.2009.2018329, S2CID  5911584

Ссылки

• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(также доступно онлайн: PDF-файлы)
• Лоулер, Грег (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , AMS.
• Старк, Генри; Вудс, Джон (2002). Вероятность и случайные процессы с приложениями к обработке сигналов (3-е изд.). Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1994). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (Второе изд.). Спрингер-Верлаг.
• Такенака, Сигео (1988), «О проективной инвариантности броуновского движения относительно траектории», Proc Japan Acad , 64 : 41–44.

Внешние ссылки

• Броуновское движение для школьника
• Броуновское движение, «разнообразное и волнообразное»
• Обсуждает историю, ботанику и физику оригинальных наблюдений Брауна с видеоматериалами.
• «Предсказание Эйнштейна наконец-то подтвердилось столетие спустя»: тест для наблюдения скорости броуновского движения
• «Интерактивное веб-приложение: стохастические процессы, используемые в количественных финансах».