Мартингейл (теория вероятностей)

Модель в теории вероятностей

В теории вероятностей мартингал — это последовательность случайных величин (т. е. случайный процесс ), для которой в конкретный момент условное ожидание следующего значения в последовательности равно текущему значению независимо от всех предыдущих значений.

Остановленное броуновское движение является примером мартингала. Он может моделировать игру с равными ставками на бросок монеты с возможностью банкротства.

История

Первоначально мартингейл относился к классу стратегий ставок , который был популярен во Франции 18-го века . ^{[1] [2]} Самая простая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает свою ставку, если монета выпадает орлом, и теряет ее, если монета выпадает решкой. Стратегия заключалась в том, что игрок удваивал свою ставку после каждого проигрыша, чтобы первый выигрыш возмещал все предыдущие проигрыши и приносил прибыль, равную первоначальной ставке. Поскольку богатство и доступное время игрока вместе приближаются к бесконечности, вероятность того, что в конечном итоге выпадет орел, приближается к 1, что делает стратегию ставок по мартингейлу похожей на верную вещь . Однако экспоненциальный рост ставок в конечном итоге приводит к банкротству своих пользователей из-за ограниченности банкроллов. Остановленное броуновское движение , представляющее собой мартингальный процесс, можно использовать для моделирования траектории таких игр.

Понятие мартингала в теории вероятностей было введено Полем Леви в 1934 году, хотя он и не дал ему названия. Термин «мартингал» был введен позже Вилле (1939), который также распространил это определение на непрерывные мартингалы. Большая часть первоначальной разработки теории была осуществлена, среди других , Джозефом Лео Дубом . Частично мотивацией этой работы было показать невозможность успешных стратегий ставок в азартных играх.

Определения

Основное определение мартингала с дискретным временем — это случайный процесс с дискретным временем (т. е. последовательность случайных величин ) X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... который удовлетворяет для любого времени n

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}$

То есть условное ожидаемое значение следующего наблюдения с учетом всех прошлых наблюдений равно самому последнему наблюдению.

Последовательности Мартингейла относительно другой последовательности

В более общем смысле, последовательность Y ₁ ,  Y ₂ ,  Y ₃  ... называется мартингалом по отношению к другой последовательности X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃  ... если для всех n

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}$

Аналогично, мартингал с непрерывным временем относительно случайного процесса X _t — это случайный процесс Y _t такой, что для всех t

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

Это выражает то свойство, что условное ожидание наблюдения в момент времени t с учетом всех наблюдений до момента времени равно наблюдению в момент времени s (конечно, при условии, что s  ≤  t ). Второе свойство означает, что измеримо по . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

Общее определение

В полной общности случайный процесс, принимающий значения в банаховом пространстве с нормой, является мартингалом относительно фильтрационной и вероятностной меры, если ${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{S}}$ ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _∗ — фильтрация основного вероятностного пространства (Ω, Σ,  ·); ${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y адаптирован к фильтрации Σ _∗ , т. е. для каждого t в индексном множестве T случайная величина Y _t является Σ _t - измеримой функцией ;
• для каждого t Y t _лежит в пространстве L p L ¹ (Ω, Σ _t ,  ;  S ), т.е. ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }(\lVert Y_{t}\rVert _{S})<+\infty ;}$

• для всех s и t с s  <  t и всех F  ∈ _s ,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

где χ _F обозначает индикаторную функцию события F . В книге Гриммета и Стирзакера «Вероятность и случайные процессы» это последнее условие обозначается как

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

что является общей формой условного ожидания . ^[3]

Важно отметить, что свойство быть мартингалом включает в себя как фильтрацию , так и вероятностную меру (относительно которой принимаются ожидания). Возможно, что Y может быть мартингалом по одной мере, но не по другой; Теорема Гирсанова предлагает способ найти меру, относительно которой процесс Ито является мартингалом.

В условиях банахового пространства условное ожидание также обозначается в операторной записи как . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {E} ^{\Sigma _{s}}Y_{t}}$

Примеры мартингалов

• Непредвзятое случайное блуждание (в любом количестве измерений) является примером мартингейла.
• Состояние (капитал) игрока представляет собой мартингейл, если все игры со ставками, в которые играет игрок, честны. Чтобы быть более конкретным: предположим, что X _n — это состояние игрока после n подбрасываний честной монеты , где игрок выигрывает 1 доллар, если монета выпадает орлом, и теряет 1 доллар, если выпадает решка. Условное ожидаемое состояние игрока после очередного испытания, учитывая его историю, равно его нынешнему состоянию. Таким образом, эта последовательность является мартингейлом.
• Пусть Y _n = X _n ² − n , где X _n — состояние игрока из предыдущего примера. Тогда последовательность { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } является мартингалом. Это можно использовать, чтобы показать, что общий выигрыш или проигрыш игрока варьируется примерно в пределах плюс или минус квадратный корень из количества шагов.
• ( Мартингал де Муавра ) Теперь предположим, что монета нечестная, т. е. смещенная, с вероятностью p выпадения орла и вероятностью q  = 1 −  p решки. Позволять

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

с «+» в случае «орла» и «-» в случае «решки». Позволять

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}$

Тогда { Y _n  : n = 1, 2, 3, ... } является мартингалом относительно { X _n  : n = 1, 2, 3, ... }. Чтобы показать это

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• В урне Полии находится несколько шариков разного цвета; на каждой итерации из урны случайным образом выбирается шарик и заменяется еще несколькими шариками того же цвета. Для любого цвета доля шариков этого цвета в урне является мартингалом. Например, если в настоящее время 95% шариков красные, то, хотя следующая итерация с большей вероятностью добавит красные шарики, чем другой цвет, это смещение точно уравновешивается тем фактом, что добавление большего количества красных шариков меняет дробь гораздо менее существенно, чем добавление большего количества шариков красного цвета. добавление такого же количества некрасных шариков привело бы к этому.
• ( Проверка отношения правдоподобия в статистике ) Считается, что случайная величина X распределяется либо в соответствии с плотностью вероятности f , либо в соответствии с другой плотностью вероятности g . Берется случайная выборка X ₁ , ..., X _n . Пусть Y _n будет «отношением правдоподобия».

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Если X на самом деле распределен согласно плотности f, а не согласно g , то {  Y _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } является мартингалом относительно {  X _n  :  n  = 1, 2, 3 , ... }.

Программно-созданная серия мартингейлов

• В экологическом сообществе (группе видов, находящихся на определенном трофическом уровне, конкурирующих за аналогичные ресурсы на локальной территории) количество особей любого конкретного вида фиксированного размера является функцией (дискретного) времени и может быть рассматривать как последовательность случайных величин. Эта последовательность является мартингалом согласно единой нейтральной теории биоразнообразия и биогеографии .
• Если { N _t  : t  ≥ 0 } является пуассоновским процессом с интенсивностью  λ , то компенсированный пуассоновский процесс {  N _t  −  λt  : t  ≥ 0 } представляет собой мартингал с непрерывным временем и непрерывными справа/левыми путями выборки.

• Мартингейл Вальда

• -мерный процесс в некотором пространстве является мартингалом в, если каждая компонента является одномерным мартингалом в . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$ ${\displaystyle S}$

Субмартингалы, супермартингалы и связь с гармоническими функциями

Есть два популярных обобщения мартингала, которые также включают случаи, когда текущее наблюдение X _n не обязательно равно будущему условному ожиданию E [ X _{n +1}  |  X ₁ ,..., X _n ], а вместо этого верхняя или нижняя граница условного ожидания. Эти определения отражают связь между теорией мартингала и теорией потенциала , которая изучает гармонические функции . Точно так же, как мартингал с непрерывным временем удовлетворяет условию E[ X _t  | { X _τ  :  τ  ≤  s }] −  X _s  = 0 ∀ s  ≤  t , гармоническая функция f удовлетворяет уравнению в частных производных Δ f  = 0, где Δ – оператор Лапласа . Учитывая процесс броуновского движения W _t и гармоническую функцию f , результирующий процесс f ( W _t ) также является мартингалом.

• Субмартингал дискретного времени — это последовательность интегрируемых случайных величин, удовлетворяющая условиям ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

Аналогично, субмартингал непрерывного времени удовлетворяет условию

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала субгармоническая функция f удовлетворяет условию Δ f  ≥ 0. Любая субгармоническая функция, ограниченная сверху гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена сверху гармонической функцией для всех точек внутри шара. Аналогично, если субмартингал и мартингал имеют эквивалентные ожидания в течение данного времени, история субмартингала имеет тенденцию ограничиваться сверху историей мартингала. Грубо говоря, префикс «суб-» является последовательным , поскольку текущее наблюдение X _n меньше (или равно) условному ожиданию E [ X _{n +1}  |  Х ₁ ,..., Х _н ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку ниже будущего условного ожидания, и процесс имеет тенденцию усиливаться в будущем времени.

• Аналогично, супермартингал с дискретным временем удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

Аналогично, супермартингал с непрерывным временем удовлетворяет условию

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала супергармоническая функция f удовлетворяет условию Δ f  ≤ 0. Любая супергармоническая функция, ограниченная снизу гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена снизу гармонической функцией для всех точек внутри шара. Аналогично, если супермартингал и мартингал имеют одинаковые ожидания в течение данного времени, история супермартингала имеет тенденцию ограничиваться снизу историей мартингала. Грубо говоря, приставка «супер-» является последовательной, поскольку текущее наблюдение X n больше ( _или равно ) условному ожиданию E [ X _{n +1}  |  Х ₁ ,..., Х _н ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку сверху будущего условного ожидания, и процесс имеет тенденцию к замедлению в будущем времени.

Примеры субмартингалов и супермартингалов

• Каждый мартингейл также является субмартингалом и супермартингалом. И наоборот, любой случайный процесс, который является одновременно субмартингалом и супермартингалом, является мартингалом.
• Рассмотрим снова игрока, который выигрывает 1 доллар, когда монета выпадает орлом, и теряет 1 доллар, когда монета выпадает решкой. Предположим теперь, что монета может быть смещена, так что с вероятностью p выпадет орел .
  • Если p равно 1/2, игрок в среднем не выигрывает и не теряет деньги, и его состояние с течением времени представляет собой мартингейл.
  • Если p меньше 1/2, игрок в среднем теряет деньги, и его состояние с течением времени представляет собой супермартингейл.
  • Если p больше 1/2, игрок в среднем выигрывает деньги, а состояние игрока с течением времени представляет собой субмартингейл.
• Выпуклая функция мартингала является субмартингалом по неравенству Йенсена . Например, квадрат состояния игрока в игре с честными монетами представляет собой субмартингал (что также следует из того, что X _n ²  −  n является мартингалом). Точно так же вогнутая функция мартингала является супермартингалом.

Мартингалы и время остановки

Время остановки по отношению к последовательности случайных величин X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ... – это случайная величина τ, обладающая тем свойством, что для каждого t наступление или ненаступление события τ = t зависит только от значений X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ...,  X _t . Интуиция, лежащая в основе этого определения, заключается в том, что в любой конкретный момент времени t вы можете посмотреть на последовательность действий и сказать, пора ли остановиться. Примером из реальной жизни может быть время, в которое игрок покидает игровой стол, что может зависеть от его предыдущего выигрыша (например, он может уйти только тогда, когда разоряется), но он не может выбрать, уйти или оставайтесь на основе результатов игр, которые еще не были сыграны.

В некоторых контекстах концепция остановки времени определяется требованием только того, чтобы появление или ненаступление события τ  =  t было вероятностно независимым от X _{t  + 1} ,  X _{t  + 2} , ... но не то, чтобы оно было полностью определено. по истории процесса до момента времени  t . Это более слабое условие, чем условие, приведенное в предыдущем абзаце, но оно достаточно сильное, чтобы служить в некоторых доказательствах, в которых используется время остановки.

Одним из основных свойств мартингалов является то, что если это (суб-/супер-) мартингал и время остановки, то соответствующий остановленный процесс, определяемый как, также является (суб-/супер-) мартингалом. ${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$ ${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

Концепция остановленного мартингала приводит к ряду важных теорем, включая, например, необязательную теорему об остановке , которая утверждает, что при определенных условиях ожидаемое значение мартингала в момент остановки равно его начальному значению.

Смотрите также

• Неравенство Азумы
• Броуновское движение
• Доб Мартингейл
• Теоремы о мартингальной сходимости Дуба
• Мартингальное неравенство Дуба
• Теорема Дуба – Мейера о разложении
• Локальный мартингейл
• Цепь Маркова
• Марковская недвижимость
• Мартингейл (система ставок)
• Центральная предельная теорема Мартингейла
• Разностная последовательность Мартингейла
• Теорема о мартингальном представлении
• Нормальный номер
• Семимартингейл

Примечания

1. Балсара, Нью-Джерси (1992). Стратегии управления капиталом для фьючерсных трейдеров . Уайли Финанс. п. 122. ИСБН 978-0-471-52215-7. мартингейл.
2. Мансуи, Роджер (июнь 2009 г.). «Происхождение слова «Мартингейл»» (PDF) . Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1). Архивировано (PDF) из оригинала 31 января 2012 г. Проверено 22 октября 2011 г.
3. Гриммет, Г.; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857223-7.
4. Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры . Американское математическое общество. стр. 372–373. ISBN 978-1470418694.

Рекомендации

• «Мартингейл», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Блеск и несчастья Мартингалов». Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1). Июнь 2009 года. Весь выпуск посвящен теории вероятностей Мартингейла (Лоран Мазлиак и Гленн Шафер, редакторы).
• Бальди, Паоло; Мазлиак, Лоран; Приоре, Пьер (1991). Мартингалы и цепи Маркова . Чепмен и Холл. ISBN 978-1-584-88329-6.
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Симинелакис, Париж (2010). «Мартингалы и время остановки: использование мартингалов для получения границ и анализа алгоритмов» (PDF) . Афинский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 19 февраля 2018 г. Проверено 18 июня 2010 г.
• Вилле, Жан (1939). «Этюд критики понятия коллективизма». Бюллетень Американского математического общества . Монографии вероятностей (на французском языке). Париж. 3 (11): 824–825. дои : 10.1090/S0002-9904-1939-07089-4 . Збл  0021.14601. Обзор Дуба.