Теоремы о мартингальной сходимости Дуба

Теоремы о случайных процессах

В математике  , в частности, в теории случайных процессов  , теоремы Дуба о сходимости мартингалов представляют собой набор результатов о пределах супермартингалов , названных в честь американского математика Джозефа Л. Дуба . ^[1] Неформально теорема о сходимости мартингалов обычно относится к результату, что любой супермартингал, удовлетворяющий определенному условию ограниченности, должен сходиться. Можно думать о супермартингалах как о случайных величинах, аналогичных невозрастающим последовательностям; с этой точки зрения теорема о сходимости мартингалов является случайным величиной, аналогом теоремы о монотонной сходимости , которая утверждает, что любая ограниченная монотонная последовательность сходится. Существуют симметричные результаты для субмартингалов, которые аналогичны неубывающим последовательностям.

Утверждение для мартингалов дискретного времени

Обычная формулировка теоремы о сходимости мартингалов для дискретных мартингалов такова. Пусть будет супермартингалом. Предположим, что супермартингал ограничен в том смысле, что ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$

${\displaystyle \sup _{t\in \mathbf {N} }\operatorname {E} [X_{t}^{-}]<\infty }$

где — отрицательная часть , определяемая как . Тогда последовательность почти наверняка сходится к случайной величине с конечным математическим ожиданием. ${\displaystyle X_{t}^{-}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\textstyle X_{t}^{-}=-\min(X_{t},0)}$ ${\displaystyle X}$

Существует симметричное утверждение для субмартингалов с ограниченным математическим ожиданием положительной части. Супермартингал является стохастическим аналогом невозрастающей последовательности, а условие теоремы аналогично условию в теореме о монотонной сходимости, что последовательность ограничена снизу. Условие, что мартингал ограничен, является существенным; например, несмещенное случайное блуждание является мартингалом, но не сходится. ${\displaystyle \pm 1}$

Интуиция подсказывает, что есть две причины, по которым последовательность может не сходиться. Она может стремиться к бесконечности или колебаться. Условие ограниченности не позволяет первому произойти. Последнее невозможно по «азартному» аргументу. В частности, рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой в момент времени акция имеет цену . Не существует стратегии покупки и продажи акций с течением времени, всегда удерживая неотрицательное количество акций, что имеет положительную ожидаемую прибыль в этой игре. Причина в том, что в каждый момент времени ожидаемое изменение цены акций, учитывая всю прошлую информацию, не превышает нуля (по определению супермартингейла). Но если бы цены колебались без сходимости, то была бы стратегия с положительной ожидаемой прибылью: грубо говоря, покупать дешево и продавать дорого. Этот аргумент можно сделать строгим, чтобы доказать результат. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$

Эскиз доказательства

Доказательство упрощается, если принять (более сильное) предположение о том, что супермартингал равномерно ограничен; то есть существует константа такая, что всегда выполняется. В случае, если последовательность не сходится, то и отличаются. Если последовательность также ограничена, то существуют некоторые действительные числа и такие, что и последовательность пересекает интервал бесконечно часто. То есть последовательность в конечном итоге меньше , а в более позднее время превышает , а в еще более позднее время меньше , и так далее до бесконечности. Эти периоды, когда последовательность начинается ниже и позже превышает , называются «восходящими переходами». ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |X_{n}|\leq M}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Рассмотрим игру на фондовом рынке, в которой в момент времени можно купить или продать акции по цене . С одной стороны, из определения супермартингейла можно показать, что для любого не существует стратегии, которая поддерживает неотрицательное количество акций и имеет положительную ожидаемую прибыль после игры в эту игру для шагов. С другой стороны, если цены пересекают фиксированный интервал очень часто, то следующая стратегия, по-видимому, работает хорошо: покупать акции, когда цена падает ниже , и продавать их, когда цена превышает . Действительно, если есть число восходящих переходов в последовательности по времени , то прибыль в момент времени составляет не менее : каждое восходящее пересечение обеспечивает не менее прибыли, и если последнее действие было «покупкой», то в худшем случае цена покупки была , а текущая цена составляет . Но любая стратегия имеет ожидаемую прибыль не более , поэтому обязательно ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle N\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (b-a)u_{N}-2M}$ ${\displaystyle b-a}$ ${\displaystyle a\leq M}$ ${\displaystyle -M}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}}.}$

По теореме о монотонной сходимости для ожиданий это означает, что

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\lim _{N\to \infty }u_{N}{\big ]}\leq {\frac {2M}{b-a}},}$

поэтому ожидаемое число восходящих пересечений во всей последовательности конечно. Из этого следует, что событие бесконечного пересечения для интервала происходит с вероятностью . По объединению, ограниченному по всем рациональным и , с вероятностью не существует интервала, который пересекается бесконечно часто. Если для всех существует конечное число восходящих пересечений интервала , то нижний и верхний предел последовательности должны совпадать, поэтому последовательность должна сходиться. Это показывает, что мартингал сходится с вероятностью . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle 1}$

Несоответствие среднего значения

В условиях теоремы о сходимости мартингала, приведенной выше, не обязательно, что супермартингал сходится в среднем (т.е. что ). ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [|X_{n}-X|]=0}$

В качестве примера, ^[2] пусть будет случайным блужданием с . Пусть будет первым моментом времени, когда , и пусть будет стохастическим процессом, определяемым как . Тогда — время остановки относительно мартингала , поэтому также является мартингалом, называемым остановленным мартингалом . В частности, — супермартингал , который ограничен снизу, поэтому по теореме о сходимости мартингалов он сходится поточечно почти наверняка к случайной величине . Но если тогда , то почти наверняка равно нулю. ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle X_{0}=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{n}=0}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle Y_{n}:=X_{\min(N,n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{n}>0}$ ${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}\pm 1}$ ${\displaystyle Y}$

Это означает, что . Однако для каждого , так как — случайное блуждание, которое начинается с и впоследствии совершает ходы с нулевым средним (в качестве альтернативы следует отметить, что так как — мартингал). Поэтому не может сходиться к по среднему. Более того, если бы сходилось по среднему к любой случайной величине , то некоторая подпоследовательность сходилась бы к почти наверняка. Так что по приведенному выше аргументу почти наверняка, что противоречит сходимости по среднему. ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{n}]=\operatorname {E} [Y_{0}]=1}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=0}$

Заявления для общего случая

В дальнейшем будет отфильтрованным вероятностным пространством , где , и будет непрерывным справа супермартингалом относительно фильтрации ; другими словами, для всех , ${\displaystyle (\Omega ,F,F_{*},\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle F_{*}=(F_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle N:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle F_{*}}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq t<+\infty }$

${\displaystyle N_{s}\geq \operatorname {E} {\big [}N_{t}\mid F_{s}{\big ]}.}$

Первая теорема Дуба о сходимости мартингалов

Первая теорема Дуба о сходимости мартингалов обеспечивает достаточное условие для того, чтобы случайные величины имели предел в поточечном смысле, т. е. для каждой в пространстве выборки по отдельности. ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle t\to +\infty }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Для , пусть и предположим, что ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle N_{t}^{-}=\max(-N_{t},0)}$

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}N_{t}^{-}{\big ]}<+\infty .}$

Тогда поточечный предел

${\displaystyle N(\omega )=\lim _{t\to +\infty }N_{t}(\omega )}$

существует и конечен для - почти всех . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Вторая теорема о сходимости мартингала Дуба

Важно отметить, что сходимость в первой теореме Дуба о сходимости мартингалов является точечной, а не равномерной и не связана со сходимостью в среднем квадратическом или вообще в любом пространстве L p . Чтобы получить сходимость в L ¹ (т. е. сходимость в среднем ), требуется равномерная интегрируемость случайных величин . По неравенству Чебышева сходимость в L ¹ подразумевает сходимость по вероятности и сходимость по распределению. ${\displaystyle N_{t}}$

Следующие значения эквивалентны:

• ${\displaystyle (N_{t})_{t>0}}$равномерно интегрируема , т.е.

${\displaystyle \lim _{C\to \infty }\sup _{t>0}\int _{\{\omega \in \Omega \,\mid \,|N_{t}(\omega )|>C\}}\left|N_{t}(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=0;}$

• существует интегрируемая случайная величина такая, что как - почти наверное , так и в , т.е. ${\displaystyle N\in L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle N_{t}\to N}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle L^{1}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|N_{t}-N\right|\right]=\int _{\Omega }\left|N_{t}(\omega )-N(\omega )\right|\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )\to 0{\text{ as }}t\to +\infty .}$

Неравенство Дуба по восходящему скрещиванию

Следующий результат, называемый неравенством Дуба о восходящем скрещивании или иногда леммой Дуба о восходящем скрещивании , используется при доказательстве теорем Дуба о сходимости мартингалов. ^[3] «Игровой» аргумент показывает, что для равномерно ограниченных супермартингалов число восходящих скрещиваний ограничено; лемма о восходящем скрещивании обобщает этот аргумент на супермартингалы с ограниченным математическим ожиданием их отрицательных частей.

Пусть будет натуральным числом. Пусть будет супермартингалом относительно фильтрации . Пусть , будут двумя действительными числами с . Определим случайные величины так, чтобы было максимальное число непересекающихся интервалов с , таких что . Они называются восходящими скрещиваниями относительно интервала . Тогда ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle [n_{i_{1}},n_{i_{2}}]}$ ${\displaystyle n_{i_{2}}\leq n}$ ${\displaystyle X_{n_{i_{1}}}<a<b<X_{n_{i_{2}}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} [U_{n}]\leq \operatorname {E} [(X_{n}-a)^{-}].\quad }$

где — отрицательная часть , определяемая как . ^{[4] [5]} ${\displaystyle X^{-}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X^{-}=-\min(X,0)}$

Приложения

Конвергенция вЛп

Пусть будет непрерывным мартингалом таким, что ${\displaystyle M:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \sup _{t>0}\operatorname {E} {\big [}{\big |}M_{t}{\big |}^{p}{\big ]}<+\infty }$

для некоторого . Тогда существует случайная величина такая, что как -почти наверное, так и в . ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle M\in L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle M_{t}\to M}$ ${\displaystyle t\to +\infty }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} )}$

Утверждение для мартингалов с дискретным временем по сути идентично, с той очевидной разницей, что предположение о непрерывности больше не является необходимым.

Закон нуля и единицы Леви

Теоремы Дуба о сходимости мартингалов подразумевают, что условные ожидания также обладают свойством сходимости.

Пусть будет вероятностным пространством и пусть будет случайной величиной в . Пусть будет любой фильтрацией , и определите как минимальную σ -алгебру, порожденную . Тогда ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle F_{*}=(F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{\infty }}$ ${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

и -почти наверняка и в . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle L^{1}}$

Этот результат обычно называют законом нуля–единицы Леви или теоремой Леви о восхождении . Причина такого названия в том, что если — событие в , то теорема гласит, что почти наверняка, т. е. предел вероятностей равен 0 или 1. Проще говоря, если мы постепенно узнаем всю информацию, определяющую исход события, то мы постепенно узнаем, каким будет исход. Это звучит почти как тавтология , но результат все равно нетривиален. Например, из него легко следует закон нуля–единицы Колмогорова , поскольку он гласит, что для любого хвостового события A мы должны иметь почти наверняка, следовательно . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} [A\mid F_{k}]\to \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} [A]=\mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} [A]\in \{0,1\}}$

Аналогично у нас есть теорема Леви о понижении  :

Пусть будет вероятностным пространством и пусть будет случайной величиной в . Пусть будет любой убывающей последовательностью суб-сигма-алгебр , и определите как пересечение. Тогда ${\displaystyle (\Omega ,F,\mathbf {P} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle (F_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{k}{\big ]}\to \operatorname {E} {\big [}X\mid F_{\infty }{\big ]}{\text{ as }}k\to \infty }$

и -почти наверняка и в . ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle L^{1}}$

Смотрите также

• Теорема о сходимости обратного мартингала ^[6]

Ссылки

1. Дуб, Дж. Л. (1953). Стохастические процессы . Нью-Йорк: Wiley.
2. Дарретт, Рик (1996). Вероятность: теория и примеры (Второе издание). Duxbury Press. ISBN 978-0-534-24318-0.; Дарретт, Рик (2010). 4-е издание. Cambridge University Press. ISBN 9781139491136.
3. "Теорема о сходимости Мартингейла" (PDF) . Массачусетский технологический институт, 6.265/15.070J Лекция 11 - Дополнительный материал, Расширенные стохастические процессы, осень 2013 г., 10/9/2013 .
4. Бобровски, Адам (2005). Функциональный анализ вероятности и стохастических процессов: введение. Cambridge University Press. С. 113–114. ISBN 9781139443883.
5. Гущин, А.А. (2014). «О путевых аналогах максимальных неравенств Дуба». Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН . 287 (287): 118–121. arXiv : 1410.8264 . doi :10.1134/S0081543814080070. S2CID  119150374.
6. Дуб, Джозеф Л. (1994). Теория меры. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 143. Springer. стр. 197. ISBN 9781461208778.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(См. Приложение С)