Фильтрация (математика)

Индексированный набор в математике

В математике фильтрация — это индексированное семейство подобъектов заданной алгебраической структуры , причем индекс пробегает некоторый полностью упорядоченный набор индексов , при условии, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

если в , то . ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$

Если индекс является временным параметром некоторого стохастического процесса , то фильтрация может быть интерпретирована как представление всей исторической, но не будущей информации, доступной о стохастическом процессе, с алгебраической структурой, усложняющейся со временем. Следовательно, процесс, который адаптирован к фильтрации, также называется непредвосхищающим , потому что он не может «заглянуть в будущее». ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого существует требование, чтобы были подалгебрами относительно некоторых операций (например, сложения векторов ), но не относительно других операций (например, умножения), которые удовлетворяют только , где набор индексов — это натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}}$

Иногда предполагается, что фильтрации удовлетворяют дополнительному требованию, что объединение должно быть целым , или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла) что канонический гомоморфизм из прямого предела в является изоморфизмом . Предполагается ли это требование или нет, обычно зависит от автора текста и часто явно указывается. В данной статье это требование не налагается. ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$

Существует также понятие нисходящей фильтрации , которая требуется для удовлетворения вместо (и, иногда, вместо ). Опять же, это зависит от контекста, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с дуальным понятием кофильтраций (которые состоят из факторных объектов, а не подобъектов ). ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$

Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре , гомологической алгебре (где они важным образом связаны со спектральными последовательностями ), а также в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, такая как шкала пространств или вложенные пространства.

Примеры

Наборы

Последовательность Фэри

Алгебра

Алгебры

См.: Фильтрованная алгебра

Группы

В алгебре фильтрации обычно индексируются с помощью , множества натуральных чисел. Фильтрация группы , тогда является вложенной последовательностью нормальных подгрупп (то есть для любого имеем ). Обратите внимание , что это использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации». ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G_{n+1}\subseteq G_{n}}$

При наличии группы и фильтрации существует естественный способ определить топологию на , которая, как говорят, связана с фильтрацией. Основой этой топологии является множество всех смежных классов подгрупп, появляющихся в фильтрации, то есть подмножество определяется как открытое, если оно является объединением множеств вида , где и — натуральное число. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aG_{n}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle n}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе, превращает ее в топологическую группу . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Топология, связанная с фильтрацией на группе, является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \bigcap G_{n}=\{1\}}$

Если две фильтрации и определены на группе , то отображение тождества из в , где первой копии задана -топология , а второй - -топология , непрерывно тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что , то есть тогда и только тогда, когда отображение тождества непрерывно в 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, существует меньшая или равная ей подгруппа, появляющаяся в другой. ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G'_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G_{m}\subseteq G'_{n}}$

Кольца и модули: нисходящие фильтрации

Если задано кольцо и -модуль , то нисходящая фильтрация является убывающей последовательностью подмодулей . Таким образом, это частный случай понятия для групп с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$

Важный частный случай известен как -адическая топология (или -адическая и т. д.): Пусть будет коммутативным кольцом , а идеалом в . Для -модуля последовательность подмодулей из образует фильтрацию ( -адическую фильтрацию ). -адическая топология на тогда является топологией, связанной с этой фильтрацией. Если это просто само кольцо , мы определили -адическую топологию на . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I^{n}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Когда задана -адическая топология, становится топологическим кольцом . Если затем задана -адическая топология , он становится топологическим -модулем относительно топологии, заданной на . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Кольца и модули: восходящие фильтрации

Если задано кольцо и -модуль , то возрастающая фильтрация -векторного пространства является возрастающей последовательностью подмодулей . В частности, если - поле, то возрастающая фильтрация -векторного пространства является возрастающей последовательностью векторных подпространств . Флаги являются одним из важных классов таких фильтраций. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Наборы

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочению ( перестановке ) множества. Например, фильтрация соответствует упорядочению . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации на векторном пространстве), рассматривая множество как векторное пространство над полем с одним элементом. ${\displaystyle \{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Теория меры

В теории меры , в частности в теории мартингалов и теории случайных процессов , фильтрация — это возрастающая последовательность -алгебр на измеримом пространстве . То есть, если задано измеримое пространство , фильтрация — это последовательность -алгебр с где каждая — неотрицательное действительное число и ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.}$

Точный диапазон "времен" обычно зависит от контекста: набор значений для может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ or }}[0,+\infty ).}$

Аналогично, отфильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) — это вероятностное пространство, снабженное фильтрацией своей -алгебры . Говорят, что отфильтрованное вероятностное пространство удовлетворяет обычным условиям , если оно полно (т. е. содержит все - нулевые множества ) и непрерывно справа (т. е. для всех времен ). ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}}$ ${\displaystyle t}$

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить как -алгебру, порожденную бесконечным объединением ', которое содержится в : ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.}$

σ -алгебра определяет набор событий, которые могут быть измерены, что в вероятностном контексте эквивалентно событиям, которые могут быть различимы, или «вопросам, на которые можно ответить во времени » . Поэтому фильтрация часто используется для представления изменения в наборе событий, которые могут быть измерены, посредством получения или потери информации . Типичный пример — математические финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до и включая каждый момент времени , и становится все более и более точной (набор измеримых событий остается тем же или увеличивается) по мере поступления дополнительной информации об изменении цены акций. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Отношение к времени остановки: сигма-алгебры времени остановки

Пусть будет отфильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина — это время остановки относительно фильтрации , если для всех . Алгебра времени остановки теперь определяется как ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$.

Нетрудно показать, что действительно является -алгеброй . Множество кодирует информацию вплоть до случайного времени в том смысле, что если отфильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, то максимальная информация, которую можно узнать о нем из произвольного количества повторений эксперимента до случайного времени, равна . ^[5] В частности, если базовое вероятностное пространство конечно (т.е. конечно), минимальные множества (относительно включения множеств) задаются объединением по всем множествам минимальных множеств , которые лежат в . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \{\tau =t\}}$

Можно показать, что -измеримо . Однако простые примеры ^[5] показывают, что в общем случае . Если и являются моментами остановки на , и почти наверняка , то ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle \tau _{1}\leq \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.}$

Смотрите также

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (теория вероятностей)
• Фильтр (математика)

Ссылки

1. Бьорк, Томас (2005). "Приложение B". Теория арбитража в непрерывном времени . ISBN 978-0-19-927126-9.
2. Péter Medvegyev (январь 2009). "Стохастические процессы: очень простое введение" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2015 года . Получено 25 июня 2012 года .
3. Клод Деллашери (1979). Вероятности и потенциал . Elsevier. ISBN 9780720407013.
4. Джордж Лоутер (8 ноября 2009 г.). "Фильтрации и адаптированные процессы" . Получено 25 июня 2012 г.
5. Фишер, Том (2013). «О простых представлениях моментов остановки и сигма-алгебрах моментов остановки». Statistics and Probability Letters . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-04758-2.