Фильтрованная алгебра

В математике фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированной алгебры . Примеры встречаются во многих разделах математики , особенно в гомологической алгебре и теории представлений .

Фильтрованная алгебра над полем — это алгебра над , имеющая возрастающую последовательность подпространств , такую, что ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

и это совместимо с умножением в следующем смысле:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

Ассоциированная градуированная алгебра

В общем случае существует следующая конструкция, которая создает градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.

Если — фильтрованная алгебра, то соответствующая градуированная алгебра определяется следующим образом: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

• Как векторное пространство

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,}$

  где,

  ${\displaystyle G_{0}=F_{0},}$ и

  ${\displaystyle \forall n>0,\ G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,}$

• умножение определяется как

  ${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  для всех и . (Точнее, карта умножения складывается из карт ${\displaystyle x\in F_{n}}$ ${\displaystyle y\in F_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)}$

  ${\displaystyle (F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  для всех и .) ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

Умножение хорошо определено и наделяет структурой градуированной алгебры с градуировкой Более того, если ассоциативно , то также . Кроме того, если унитарно , так что единица лежит в , то также будет унитарным. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

Как алгебры и различны (за исключением тривиального случая, который является градуированным), но как векторные пространства они изоморфны . (Можно доказать по индукции , что изоморфно как векторные пространства). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Примеры

Любая градуированная алгебра , градуированная , например , по , имеет фильтрацию, заданную по . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

Примером фильтрованной алгебры является алгебра Клиффорда векторного пространства, наделенного квадратичной формой. Соответствующая градуированная алгебра — это внешняя алгебра ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle V.}$

Симметричная алгебра на двойственном к аффинному пространству пространстве является фильтрованной алгеброй многочленов ; на векторном пространстве вместо этого получается градуированная алгебра.

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли также естественным образом фильтруется. Теорема PBW утверждает, что ассоциированная градуированная алгебра — это просто . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

Скалярные дифференциальные операторы на многообразии образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Соответствующая градуированная алгебра является коммутативной алгеброй гладких функций на кокасательном расслоении , которые являются полиномиальными вдоль слоев проекции . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

Групповая алгебра группы с функцией длины является фильтрованной алгеброй.

Смотрите также

• Фильтрация (математика)
• Функция длины

Ссылки

• Абэ, Эйити (1980). Алгебры Хопфа. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22240-0.

В данной статье использованы материалы из Filtered algebra на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .