Градуированное кольцо

В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп таких, что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение в прямую сумму обычно называют градацией или градуировкой . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

Градуированный модуль определяется аналогично (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную -алгебру. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца ; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .

Первые объекты

Обычно предполагается, что набор индексов градуированного кольца представляет собой набор неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Именно об этом говорится в этой статье.

Градуированное кольцо — это кольцо , разложенное в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

аддитивных групп таких, что

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

для всех неотрицательных целых чисел и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Ненулевой элемент называется однородным степени . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент можно однозначно записать в виде суммы , где каждый равен 0 или однороден степени . Ненулевые являются однородными компонентами .  ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$

Некоторые основные свойства:

• ${\displaystyle R_{0}}$является подкольцом ;​ в частности, мультипликативное тождество представляет собой однородный элемент нулевой степени. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$
• Для любого , является двусторонним -модулем , а разложение в прямую сумму - прямой суммой -модулей . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$является ассоциативной -алгеброй ${\displaystyle R_{0}}$ .

Идеал однороден , если для каждого однородные компоненты также принадлежат . (Точно, если это градуированный подмодуль ; см . § Градуированный модуль.) Пересечение однородного идеала с -подмодулем называется однородной частью степени . Однородный идеал — это прямая сумма его однородных частей. ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle a\in I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Если – двусторонний однородный идеал в , то – также градуированное кольцо, разлагаемое как ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

где – однородная часть степени . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$

Основные примеры

• Любому (неградуированному) кольцу R можно задать градуировку, полагая , и для i ≠ 0. Это называется тривиальной градуировкой на  R . ${\displaystyle R_{0}=R}$ ${\displaystyle R_{i}=0}$
• Кольцо многочленов градуировано по степени : оно представляет собой прямую сумму состоящих из однородных многочленов степени i . ${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle R_{i}}$
• Пусть S — множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R. Тогда локализация R относительно S является -градуированным кольцом. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если I — идеал в коммутативном кольце R , то это градуированное кольцо, называемое ассоциированным градуированным кольцом R вдоль I ; геометрически это координатное кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определенного I . ${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• Пусть X — топологическое пространство , H ⁱ ( X ; R ) — i-я группа когомологий с коэффициентами в кольце R. Тогда H ^* ( X ; R ), кольцо когомологий X с коэффициентами из R , является градуированным кольцом, основная группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную произведением чашки . ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

Градуированный модуль

Соответствующая идея в теории модулей — это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R такого, что также

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

и

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Пример : градуированное векторное пространство является примером градуированного модуля над полем (поле имеет тривиальную градуировку).

Пример : градуированное кольцо — это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннулятор градуированного модуля — однородный идеал .

Пример : Для идеала I в коммутативном кольце R и R -модуля M прямая сумма является градуированным модулем над соответствующим градуированным кольцом . ${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ ${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

Морфизм между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , представляет собой морфизм базовых модулей, который учитывает градуировку; то есть, . Градуированный подмодуль — это подмодуль, который сам по себе является градуированным модулем и такой, что теоретико-множественное включение является морфизмом градуированных модулей. Явно, градуированный модуль N является градуированным подмодулем M тогда и только тогда, когда он является подмодулем M и удовлетворяет условиям . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями. ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

Замечание: Придать градуированный морфизм градуированного кольца другому градуированному кольцу с образом, лежащим в центре, — то же самое, что придать последнему кольцу структуру градуированной алгебры.

Для данного градуированного модуля -твист является градуированным модулем, определяемым ( ср. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

Пусть M и N — градуированные модули. Если – морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма, имеющего степень 1. ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

Инварианты градуированных модулей

Учитывая градуированный модуль M над коммутативным градуированным кольцом R , можно связать формальный степенной ряд : ${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(при условии, что они конечны.) Это называется рядом Гильберта – Пуанкаре M . ${\displaystyle \ell (M_{n})}$

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если базовый модуль конечно порожден . Генераторы можно считать однородными (заменив генераторы их однородными частями).

Предположим, что R — кольцо полиномов , k — поле, а M — конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта M. Функция совпадает с целочисленным полиномом для больших n, называемым полиномом Гильберта M . ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

Градуированная алгебра

Алгебра A над кольцом R называется градуированной алгеброй, если она градуирована как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R — поле), ему присваивается тривиальная градуировка (каждый элемент кольца R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные куски являются R -модулями. ${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, требуется, чтобы

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

Другими словами, мы требуем, чтобы A был градуированным левым модулем над R.

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

• Полиномиальные кольца . Однородные элементы степени n — это в точности однородные многочлены степени n .
• Тензорная алгебра векторного пространства V . Однородными элементами степени n являются тензоры порядка n , . ${\displaystyle T^{\bullet }V}$ ${\displaystyle T^{n}V}$
• Внешняя алгебра и симметрическая алгебра также являются градуированными алгебрами. ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$ ${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• Кольцо когомологий в любой теории когомологий также градуировано, будучи прямой суммой групп когомологий . ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle H^{n}}$

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (ср. Однородное координатное кольцо ).

G -градуированные кольца и алгебры

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. G -градуированное кольцо R — это кольцо с разложением в прямую сумму

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

такой, что

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Элементы R , лежащие внутри некоторых , называются однородными степени i . ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle i\in G}$

Определенное ранее понятие «градуированного кольца» теперь становится тем же самым, что и --градуированное кольцо, где складывается моноид натуральных чисел . Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексов любым моноидом G . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Примечания:

• Если мы не требуем, чтобы кольцо имело единицу, полугруппы могут заменить моноиды.

Примеры:

• Группа естественным образом ранжирует соответствующее групповое кольцо ; аналогично моноидные кольца классифицируются по соответствующему моноиду.
• (Ассоциативная) супералгебра — это еще один термин, обозначающий -градуированную алгебру. Примеры включают алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы имеют степень 0 (четная) или 1 (нечетная). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид поля с двумя элементами. В частности, подписанный моноид состоит из пары где – моноид и – гомоморфизм аддитивных моноидов. Антикоммутативное градуированное кольцо — это кольцо А , градуированное относительно такого , что: ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

для всех однородных элементов x и y .

Примеры

• Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной по структуре где – фактор-отображение. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативным ассоциативным кольцом ) — это то же самое, что антикоммутативная -градуированная алгебра, где — тождественное отображение аддитивной структуры . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Градуированный моноид

Интуитивно понятно, что градуированный моноид — это подмножество градуированного кольца , порожденного буквами 's, без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен . ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

Формально градуированный моноид ^[1] — это моноид с функцией градации такой, что . Обратите внимание, что градация обязательно равна 0. Некоторые авторы, кроме того, требуют, чтобы m не было тождественным. ${\displaystyle (M,\cdot )}$ ${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$ ${\displaystyle 1_{M}}$ ${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

Предполагая, что градации неединичных элементов не равны нулю, количество элементов градации n не превышает где g - мощность порождающего множества G моноида. Поэтому число элементов градации n или меньше не более (при ) или иначе. Действительно, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов G и существуют только такие произведения. Аналогично, единичный элемент не может быть записан как произведение двух неидентичных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет единичного делителя . ${\displaystyle g^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ ${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

Степенной ряд, индексированный градуированным моноидом

Эти понятия позволяют расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо семейства индексов, равного , семейство индексирования может быть любым градуированным моноидом, предполагая, что число элементов степени n конечно, для каждого целого числа n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Более формально, пусть – произвольное полукольцо и градуированный моноид. Затем обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами из K , индексированными R . Его элементами являются функции от R до K. Сумма двух элементов определяется поточечно, это функция, отправляющая в , а произведение — это функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма правильно определена (т. е. конечна), поскольку для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m . ${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$ ${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$ ${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

Пример

В формальной теории языка , учитывая алфавит A , свободный моноид слов над A можно рассматривать как градуированный моноид, где градация слова равна его длине.

Смотрите также

• Связанное градуированное кольцо
• Дифференциальная градуированная алгебра
• Фильтрованная алгебра , обобщение
• Оценка (математика)
• Оцененная категория
• Градуированное векторное пространство
• Тензорная алгебра
• Дифференциальный модуль

Примечания

Цитаты

1. Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рубена. Издательство Кембриджского университета. п. 384. ИСБН 978-0-521-84425-3. Збл  1188.68177.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556.
• Бурбаки, Н. (1974). «Гл. 1–3, 3 §3». Алгебра I. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Стинбринк, Дж. (1977). «Форма пересечения квазиоднородных особенностей» (PDF) . Математическая композиция . 34 (2): 211–223 См. с. 211. ISSN  0010-437X.
• Мацумура, Х. (1989). «5 Теория размерности §S3 Градуированные кольца, функция Гильберта и функция Самуэля». Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Перевод Рида М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-71712-1.