Градуированное векторное пространство

Алгебраическая структура, разложенная на прямую сумму

В математике градуированное векторное пространство — это векторное пространство , имеющее дополнительную структуру градации или градации , которая представляет собой разложение векторного пространства в прямую сумму векторных подпространств , обычно индексированных целыми числами .

Для «чистых» векторных пространств это понятие было введено в гомологической алгебре и широко используется для градуированных алгебр , которые представляют собой градуированные векторные пространства с дополнительными структурами.

Целочисленная градация

Пусть будет множеством неотрицательных целых чисел . Градуированное векторное пространство , часто называемое просто градуированным векторным пространством без префикса , представляет собой векторное пространство V вместе с разложением в прямую сумму вида ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

где каждое из них является векторным пространством. Для заданного n элементы называются тогда однородными элементами степени n . ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Градуированные векторные пространства распространены. Например , множество всех многочленов от одной или нескольких переменных образует градуированное векторное пространство, где однородные элементы степени n являются в точности линейными комбинациями одночленов степени n .  

Общая градация

Подпространства градуированного векторного пространства не обязательно должны быть индексированы множеством натуральных чисел и могут быть индексированы элементами любого множества I. I -градуированное векторное пространство V — это векторное пространство вместе с разложением в прямую сумму подпространств, индексированных элементами i множества I :

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

Следовательно, -градуированное векторное пространство, как определено выше, является просто I -градуированным векторным пространством , где множество I (множество натуральных чисел ). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Случай, когда I — кольцо (элементы 0 и 1), особенно важен в физике . -градуированное векторное пространство также известно как супервекторное пространство . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

Гомоморфизмы

Для общих индексных множеств I линейное отображение между двумя I -градуированными векторными пространствами f  : V → W называется градуированным линейным отображением, если оно сохраняет градуировку однородных элементов. Градуированное линейное отображение также называется гомоморфизмом (или морфизмом ) градуированных векторных пространств или однородным линейным отображением :

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ для всех i в I.

Для фиксированного поля и фиксированного набора индексов градуированные векторные пространства образуют категорию , морфизмами которой являются градуированные линейные отображения.

Когда I — коммутативный моноид (такой как натуральные числа), то можно более общо определить линейные отображения, которые являются однородными любой степени i в I по свойству

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ для всех j в I ,

где "+" обозначает операцию моноида. Если, кроме того, I удовлетворяет свойству сокращения , так что его можно вложить в абелеву группу A , которую он генерирует (например, целые числа, если I — натуральные числа), то можно также определить линейные отображения, которые являются однородными степени i в A по тому же свойству (но теперь "+" обозначает групповую операцию в A ). В частности, для i в I линейное отображение будет однородным степени − i, если

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ для всех j в I , в то время как

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ если j − i не входит в I .

Так же, как множество линейных отображений из векторного пространства в себя образует ассоциативную алгебру ( алгебру эндоморфизмов векторного пространства), множества однородных линейных отображений из пространства в себя — либо ограничивающие степени до I , либо допускающие любые степени в группе A — образуют ассоциативные градуированные алгебры над этими множествами индексов.

Операции над градуированными векторными пространствами

Некоторые операции над векторными пространствами могут быть определены и для градуированных векторных пространств.

Если даны два I -градуированных векторных пространства V и W , их прямая сумма имеет базовое векторное пространство V  ⊕  W с градуировкой

( V  ⊕  W ) _я = V _я  ⊕  W _я  .

Если I — полугруппа , то тензорное произведение двух I -градуированных векторных пространств V и W есть еще одно I -градуированное векторное пространство, с градуировкой ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

Ряд Гильберта–Пуанкаре

Для заданного -градуированного векторного пространства, которое конечномерно для любого его ряда Гильберта–Пуанкаре, есть формальный степенной ряд ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

Из приведенных выше формул следует, что ряды Гильберта–Пуанкаре прямой суммы и тензорного произведения градуированных векторных пространств (конечномерных в каждой степени) являются соответственно суммой и произведением соответствующих рядов Гильберта–Пуанкаре.

Смотрите также

• Оценено (математика)
• Градуированная алгебра
• Комодуль
• Оцениваемый модуль
• Правило Литтлвуда–Ричардсона

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (главы 1–3), ISBN  978-3-540-64243-5 , Глава 2, Раздел 11; Глава 3.