Случайный процесс

Совокупность случайных величин

Компьютерная симуляция реализации процесса винеровского или броуновского движения на поверхности сферы. Винеровский процесс широко считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей. ^{[1] [2] [3]}

В теории вероятностей и смежных областях стохастический ( / s t ə ˈ k æ s t ɪ k / ) или случайный процесс — это математический объект, обычно определяемый как семейство случайных величин в вероятностном пространстве , где индекс семейства часто имеет интерпретацию времени . Стохастические процессы широко используются в качестве математических моделей систем и явлений, которые, по-видимому, изменяются случайным образом. Примерами служат рост популяции бактерий , электрический ток , флуктуирующий из-за теплового шума , или движение молекулы газа . ^{[1] [4] [5]} Стохастические процессы находят применение во многих дисциплинах, таких как биология , ^[6] химия , ^[7] экология , ^[8] нейробиология , ^[9] физика , ^[10] обработка изображений , обработка сигналов , ^[11] теория управления , ^[12] теория информации , ^[13] компьютерные науки , ^[14] и телекоммуникации . ^[15] Кроме того, кажущиеся случайными изменения на финансовых рынках побудили широко использовать стохастические процессы в финансах . ^{[16] [17] [18]}

Приложения и изучение явлений, в свою очередь, вдохновили на предложение новых стохастических процессов. Примерами таких стохастических процессов являются процесс Винера или процесс броуновского движения, ^[a] использованный Луи Башелье для изучения изменений цен на Парижской бирже , ^[21] и процесс Пуассона , использованный А. К. Эрлангом для изучения количества телефонных звонков, происходящих за определенный период времени. ^[22] Эти два стохастических процесса считаются наиболее важными и центральными в теории стохастических процессов, ^{[1] [4] [23]} и были изобретены неоднократно и независимо, как до, так и после Башелье и Эрланга, в разных условиях и странах. ^{[21] [24]}

Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, ^{[25] [26],} поскольку стохастический процесс также может быть интерпретирован как случайный элемент в функциональном пространстве . ^{[27] [28]} Термины стохастический процесс и случайный процесс используются взаимозаменяемо, часто без какого-либо конкретного математического пространства для набора, который индексирует случайные величины. ^{[27] [29]} Но часто эти два термина используются, когда случайные величины индексируются целыми числами или интервалом действительной прямой . ^{[5] [29]} Если случайные величины индексируются декартовой плоскостью или некоторым многомерным евклидовым пространством , то совокупность случайных величин обычно называется случайным полем . ^{[5] [30]} Значения стохастического процесса не всегда являются числами и могут быть векторами или другими математическими объектами. ^{[5] [28]}

На основе их математических свойств стохастические процессы можно сгруппировать в различные категории, которые включают случайные блуждания , ^[31] мартингалы , ^[32] марковские процессы , ^[33] процессы Леви , ^[34] гауссовские процессы , ^[35] случайные поля, ^[36] процессы восстановления и ветвящиеся процессы . ^[37] Изучение стохастических процессов использует математические знания и методы из теории вероятностей , исчисления , линейной алгебры , теории множеств и топологии ^{[38] [39] [40],} а также разделов математического анализа , таких как вещественный анализ , теория меры , анализ Фурье и функциональный анализ . ^{[41] [42] [43]} Теория стохастических процессов считается важным вкладом в математику ^[44] и продолжает оставаться активной темой исследований как по теоретическим причинам, так и по приложениям. ^{[45] [46] [47]}

Введение

Стохастический или случайный процесс можно определить как набор случайных величин, который индексируется некоторым математическим набором, что означает, что каждая случайная величина стохастического процесса однозначно связана с элементом в наборе. ^{[4] [5]} Набор, используемый для индексации случайных величин, называется набором индексов . Исторически набор индексов представлял собой некоторое подмножество действительной прямой , например, натуральные числа , что давало набору индексов интерпретацию времени. ^[1] Каждая случайная величина в наборе принимает значения из одного и того же математического пространства, известного как пространство состояний . Это пространство состояний может быть, например, целыми числами, действительной прямой или -мерным евклидовым пространством. ^{[1] [5]} Приращение — это величина, на которую изменяется стохастический процесс между двумя значениями индекса, часто интерпретируемыми как две точки во времени. ^{[48] [49]} Стохастический процесс может иметь много результатов из-за своей случайности, и один результат стохастического процесса называется, среди прочего, функцией выборки или реализацией . ^{[28] [50]} ${\displaystyle n}$

Отдельная смоделированная на компьютере выборочная функция или реализация , среди прочих терминов, трехмерного процесса винеровского или броуновского движения для времени 0 ≤ t ≤ 2. Индексный набор этого стохастического процесса представляет собой неотрицательные числа, а его пространство состояний — трехмерное евклидово пространство.

Классификации

Стохастический процесс можно классифицировать разными способами, например, по его пространству состояний, его набору индексов или зависимости среди случайных величин. Один из распространенных способов классификации — по мощности набора индексов и пространству состояний. ^{[51] [52] [53]}

При интерпретации как времени, если набор индексов стохастического процесса имеет конечное или счетное число элементов, таких как конечный набор чисел, набор целых чисел или натуральных чисел, то говорят, что стохастический процесс находится в дискретном времени . ^{[54] [55]} Если набор индексов представляет собой некоторый интервал действительной линии, то говорят, что время является непрерывным . Два типа стохастических процессов соответственно называются стохастическими процессами с дискретным временем и стохастическими процессами с непрерывным временем . ^{[48] [56 ] [57]} Стохастические процессы с дискретным временем считаются более простыми для изучения, поскольку процессы с непрерывным временем требуют более продвинутых математических методов и знаний, особенно из-за того, что набор индексов несчетен. ^{[58] [59]} Если набор индексов представляет собой целые числа или некоторое их подмножество, то стохастический процесс также можно назвать случайной последовательностью . ^[55]

Если пространство состояний — целые числа или натуральные числа, то стохастический процесс называется дискретным или целочисленным стохастическим процессом . Если пространство состояний — это вещественная линия, то стохастический процесс называется вещественнозначным стохастическим процессом или процессом с непрерывным пространством состояний . Если пространство состояний — это -мерное евклидово пространство, то стохастический процесс называется -мерным векторным процессом или -векторным процессом . ^{[51] [52]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Этимология

Слово стохастический в английском языке изначально использовалось как прилагательное с определением «относящийся к предположению» и происходящее от греческого слова, означающего «целиться в цель, угадывать», а Оксфордский словарь английского языка указывает 1662 год как самое раннее его появление. ^[60] В своей работе о вероятности Ars Conjectandi , первоначально опубликованной на латыни в 1713 году, Якоб Бернулли использовал фразу «Ars Conjectandi sive Stochastice», которая была переведена как «искусство предположения или стохастики». ^[61] Эта фраза была использована, со ссылкой на Бернулли, Ладиславом Борткевичем ^[62], который в 1917 году написал на немецком языке слово stochastik со значением случайный. Термин стохастический процесс впервые появился на английском языке в статье 1934 года Джозефа Дуба . ^[60] Для термина и конкретного математического определения Дуб сослался на другую статью 1934 года, где термин stochasticscher Prozeß был использован в немецком языке Александром Хинчиным , ^{[63] [64]} хотя немецкий термин использовался и ранее, например, Андреем Колмогоровым в 1931 году. ^[65]

Согласно Оксфордскому словарю английского языка, ранние появления слова random в английском языке в его нынешнем значении, которое относится к случаю или удаче, датируются 16 веком, в то время как более ранние зафиксированные использования начались в 14 веке как существительное, означающее «стремление, большая скорость, сила или насилие (при езде, беге, ударе и т. д.)». Само слово происходит от среднефранцузского слова, означающего «скорость, спешка», и, вероятно, происходит от французского глагола, означающего «бежать» или «скакать». Первое письменное появление термина random process предшествует стохастическому процессу , который Оксфордский словарь английского языка также приводит в качестве синонима, и было использовано в статье Фрэнсиса Эджворта, опубликованной в 1888 году. ^[66]

Терминология

Определения стохастического процесса различаются, ^[67], но традиционно стохастический процесс определяется как набор случайных величин, индексированных некоторым набором. ^{[68] [69]} Термины случайный процесс и стохастический процесс считаются синонимами и используются взаимозаменяемо, без точного указания набора индексов. ^{[27] [29] [30] [70] [71] [72]} Используются как «набор», ^{[28] [70]} так и «семейство» ^{[4] [73]} , тогда как вместо «набора индексов» иногда используются термины «набор параметров» ^[28] или «пространство параметров» ^{[30] .}

Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, ^{[5] [74] [75],} хотя иногда он используется только тогда, когда стохастический процесс принимает действительные значения. ^{[28] [73]} Этот термин также используется, когда наборы индексов являются математическими пространствами, отличными от действительной линии, ^{[5] [76]} в то время как термины стохастический процесс и случайный процесс обычно используются, когда набор индексов интерпретируется как время, ^{[5] [76] [77]} и другие термины используются, такие как случайное поле , когда набор индексов является -мерным евклидовым пространством или многообразием . ^{[5] [28] [30]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обозначение

Стохастический процесс может быть обозначен, среди прочего, как , ^[56] , ^{[69] [78]} или просто как . Некоторые авторы ошибочно пишут , хотя это является злоупотреблением обозначением функции . ^[79] Например, или используются для обозначения случайной величины с индексом , а не всего стохастического процесса. ^[78] Если набор индексов равен , то можно написать, например, для обозначения стохастического процесса. ^[29] ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

Примеры

процесс Бернулли

Одним из простейших стохастических процессов является процесс Бернулли , ^[80] который представляет собой последовательность независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин, где каждая случайная величина принимает либо значение один, либо ноль, скажем, один с вероятностью и ноль с вероятностью . Этот процесс можно связать с идеализацией многократного подбрасывания монеты, где вероятность получения орла принимается равной , а его значение равно единице, в то время как значение решки равно нулю. ^[81] Другими словами, процесс Бернулли представляет собой последовательность iid случайных величин Бернулли, ^[82] где каждое идеализированное подбрасывание монеты является примером испытания Бернулли . ^[83] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p}$

Случайное блуждание

Случайные блуждания — это стохастические процессы, которые обычно определяются как суммы независимых случайных величин или случайных векторов в евклидовом пространстве, поэтому они являются процессами, которые изменяются в дискретном времени. ^{[84] [85] [86] [87] [88]} Но некоторые также используют этот термин для обозначения процессов, которые изменяются в непрерывном времени, ^[89] в частности, процесса Винера, используемого в финансовых моделях, что привело к некоторой путанице, что привело к его критике. ^[90] Существуют различные другие типы случайных блужданий, определенные так, что их пространства состояний могут быть другими математическими объектами, такими как решетки и группы, и в целом они хорошо изучены и имеют множество приложений в различных дисциплинах. ^{[89] [91]}

Классический пример случайного блуждания известен как простое случайное блуждание , которое является стохастическим процессом в дискретном времени с целыми числами в качестве пространства состояний и основано на процессе Бернулли, где каждая переменная Бернулли принимает либо положительное, либо отрицательное значение. Другими словами, простое случайное блуждание происходит на целых числах, и его значение увеличивается на единицу с вероятностью, скажем, , или уменьшается на единицу с вероятностью , поэтому набор индексов этого случайного блуждания представляет собой натуральные числа, в то время как его пространство состояний представляет собой целые числа. Если , это случайное блуждание называется симметричным случайным блужданием. ^{[92] [93]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p=0.5}$

процесс Винера

Процесс Винера — это стохастический процесс со стационарными и независимыми приращениями , которые нормально распределены в зависимости от размера приращений. ^{[2] [94]} Процесс Винера назван в честь Норберта Винера , который доказал его математическое существование, но этот процесс также называют процессом броуновского движения или просто броуновским движением из-за его исторической связи с моделью броуновского движения в жидкостях. ^{[95] [96] [97]}

Реализации винеровских процессов (или процессов броуновского движения) с дрейфом ( синий ) и без дрейфа ( красный )

Играя центральную роль в теории вероятностей, винеровский процесс часто считается наиболее важным и изученным стохастическим процессом, имеющим связи с другими стохастическими процессами. ^{[1] [2] [3] [98] [99] [100] [101]} Его индексный набор и пространство состояний являются неотрицательными числами и действительными числами соответственно, поэтому он имеет как непрерывный индексный набор, так и пространство состояний. ^[102] Но процесс можно определить более обобщенно, так что его пространство состояний может быть -мерным евклидовым пространством. ^{[91] [99] [103]} Если среднее значение любого приращения равно нулю, то говорят, что результирующий процесс винеровского или броуновского движения имеет нулевой дрейф. Если среднее значение приращения для любых двух точек во времени равно разнице во времени, умноженной на некоторую константу , которая является действительным числом, то говорят, что результирующий стохастический процесс имеет дрейф . ^{[104] [105] [106]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Почти наверняка , траектория выборки винеровского процесса непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . Ее можно рассматривать как непрерывную версию простого случайного блуждания. ^{[49] [105]} Процесс возникает как математический предел других стохастических процессов, таких как определенные случайные блуждания, масштабированные ^{[107] [108]} , которые являются предметом теоремы Донскера или принципа инвариантности, также известного как функциональная центральная предельная теорема. ^{[109] [110] [111]}

Процесс Винера является членом некоторых важных семейств стохастических процессов, включая марковские процессы, процессы Леви и гауссовские процессы. ^{[2] [49]} Процесс также имеет множество приложений и является основным стохастическим процессом, используемым в стохастическом исчислении. ^{[112] [113]} Он играет центральную роль в количественных финансах, ^{[114] [115]} где он используется, например, в модели Блэка–Шоулза–Мертона. ^[116] Процесс также используется в различных областях, включая большинство естественных наук, а также некоторые отрасли социальных наук, в качестве математической модели для различных случайных явлений. ^{[3] [117] [118]}

процесс Пуассона

Процесс Пуассона — это стохастический процесс, который имеет различные формы и определения. ^{[119] [120]} Его можно определить как процесс подсчета, который является стохастическим процессом, представляющим случайное число точек или событий до некоторого времени. Число точек процесса, которые находятся в интервале от нуля до некоторого заданного времени, является случайной величиной Пуассона, которая зависит от этого времени и некоторого параметра. Этот процесс имеет натуральные числа в качестве своего пространства состояний и неотрицательные числа в качестве своего набора индексов. Этот процесс также называется процессом подсчета Пуассона, поскольку его можно интерпретировать как пример процесса подсчета. ^[119]

Если процесс Пуассона определяется с помощью одной положительной константы, то процесс называется однородным процессом Пуассона. ^{[119] [121]} Однородный процесс Пуассона является членом важных классов стохастических процессов, таких как процессы Маркова и процессы Леви. ^[49]

Однородный процесс Пуассона может быть определен и обобщен различными способами. Он может быть определен таким образом, что его индексный набор является действительной линией, и этот стохастический процесс также называется стационарным процессом Пуассона. ^{[122] [123]} Если константа параметра процесса Пуассона заменяется некоторой неотрицательной интегрируемой функцией от , то полученный процесс называется неоднородным или негомогенным процессом Пуассона, где средняя плотность точек процесса больше не является постоянной. ^[124] Являясь фундаментальным процессом в теории очередей, процесс Пуассона является важным процессом для математических моделей, где он находит применение для моделей событий, случайно происходящих в определенных временных окнах. ^{[125] [126]} ${\displaystyle t}$

Определенный на действительной прямой, процесс Пуассона может быть интерпретирован как стохастический процесс, ^{[49] [127]} среди других случайных объектов. ^{[128] [129]} Но затем его можно определить на -мерном евклидовом пространстве или других математических пространствах, ^[130] где его часто интерпретируют как случайное множество или случайную меру подсчета, а не как стохастический процесс. ^{[128] [129]} В этой обстановке процесс Пуассона, также называемый точечным процессом Пуассона, является одним из важнейших объектов в теории вероятностей, как по приложениям, так и по теоретическим причинам. ^{[22] [131]} Но было отмечено, что процесс Пуассона не получает столько внимания, сколько должен, отчасти из-за того, что его часто рассматривают только на действительной прямой, а не в других математических пространствах. ^{[131] [132]} ${\displaystyle n}$

Определения

Случайный процесс

Стохастический процесс определяется как совокупность случайных величин, определенных на общем вероятностном пространстве , где — выборочное пространство , — алгебра , а — вероятностная мера ; и случайные величины, индексированные некоторым набором , все принимают значения в одном и том же математическом пространстве , которое должно быть измеримым относительно некоторой алгебры . ^[28] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Другими словами, для заданного вероятностного пространства и измеримого пространства стохастический процесс представляет собой набор -значных случайных величин, который можно записать как: ^[80] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

Исторически во многих задачах естественных наук точка имела значение времени, поэтому случайная величина представляет собой значение, наблюдаемое в момент времени . ^[133] Стохастический процесс также можно записать как , чтобы отразить, что он на самом деле является функцией двух переменных, и . ^{[28] [134]} ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Существуют и другие способы рассмотрения стохастического процесса, при этом приведенное выше определение считается традиционным. ^{[68] [69]} Например, стохастический процесс можно интерпретировать или определить как случайную величину со значением , где — пространство всех возможных функций из множества в пространство . ^{[27] [68]} Однако это альтернативное определение как «случайной величины со значением функции» в целом требует дополнительных предположений о регулярности, чтобы быть хорошо определенным. ^[135] ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Индекс установлен

Набор называется индексным набором ^{[4] [51]} или набором параметров ^{[28] [136]} стохастического процесса. Часто этот набор является некоторым подмножеством действительной линии , например, натуральными числами или интервалом, что дает набору интерпретацию времени. ^[1] В дополнение к этим наборам, индексный набор может быть другим набором с полным порядком или более общим набором, ^{[1] [54]} например, декартовой плоскостью или -мерным евклидовым пространством, где элемент может представлять точку в пространстве. ^{[48] [137]} Тем не менее, многие результаты и теоремы возможны только для стохастических процессов с полностью упорядоченным набором индексов. ^[138] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t\in T}$

Государственное пространство

Математическое пространство стохастического процесса называется его пространством состояний . Это математическое пространство может быть определено с использованием целых чисел , действительных линий , -мерных евклидовых пространств , комплексных плоскостей или более абстрактных математических пространств. Пространство состояний определяется с использованием элементов, которые отражают различные значения, которые может принимать стохастический процесс. ^{[1] [5] [28] [51] [56]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Пример функции

Функция выборки представляет собой единичный результат стохастического процесса, поэтому она формируется путем взятия единственного возможного значения каждой случайной величины стохастического процесса. [ ^{28] [139]} Точнее, если является стохастическим процессом, то для любой точки отображение ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

называется функцией выборки, реализацией или, в частности, когда интерпретируется как время, траекторией выборки стохастического процесса . ^[50] Это означает, что для фиксированного существует функция выборки, которая отображает набор индексов в пространство состояний . ^[28] Другие названия функции выборки стохастического процесса включают траекторию , функцию пути ^[140] или путь . ^[141] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Приращение

Приращение стохастического процесса — это разница между двумя случайными величинами одного и того же стохастического процесса. Для стохастического процесса с набором индексов, который можно интерпретировать как время, приращение — это то, насколько сильно изменяется стохастический процесс за определенный период времени. Например, если — стохастический процесс с пространством состояний и набором индексов , то для любых двух неотрицательных чисел и таких, что , разность — это -значная случайная величина, известная как приращение. ^{[48] [49]} Когда интересуются приращениями, часто пространством состояний является действительная линия или натуральные числа, но это может быть -мерное евклидово пространство или более абстрактные пространства, такие как банаховы пространства . ^[49] ${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Дополнительные определения

Закон

Для стохастического процесса, определенного на вероятностном пространстве , закон стохастического процесса определяется как мера изображения : ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

где — вероятностная мера, символ обозначает композицию функций, а — прообраз измеримой функции или, что то же самое, — случайной величины со значениями , где — пространство всех возможных — функций со значениями , поэтому закон случайного процесса — вероятностная мера. ^{[27] [68] [142] [143]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t\in T}$

Для измеримого подмножества прообраз дает ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

поэтому закон a можно записать как: ^[28] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

Закон стохастического процесса или случайной величины также называется вероятностным законом , распределением вероятностей или распределением . ^{[133] [142] [144] [145] [146]}

Конечномерные распределения вероятностей

Для стохастического процесса с законом его конечномерное распределение для определяется как: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

Эта мера является совместным распределением случайного вектора ; ее можно рассматривать как «проекцию» закона на конечное подмножество . ^{[27] [147]} ${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$ ${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Для любого измеримого подмножества -кратной декартовой мощности конечномерные распределения стохастического процесса можно записать как: ^[28] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

Конечномерные распределения стохастического процесса удовлетворяют двум математическим условиям, известным как условия согласованности. ^[57]

Стационарность

Стационарность — это математическое свойство, которым обладает стохастический процесс, когда все случайные величины этого стохастического процесса распределены одинаково. Другими словами, если — стационарный стохастический процесс, то для любого случайная величина имеет одинаковое распределение, что означает, что для любого набора значений набора индексов соответствующие случайные величины ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}$

все имеют одинаковое распределение вероятностей . Набор индексов стационарного стохастического процесса обычно интерпретируется как время, поэтому это могут быть целые числа или вещественная линия. ^{[148] [149]} Но концепция стационарности существует также для точечных процессов и случайных полей, где набор индексов не интерпретируется как время. ^{[148] [150] [151]}

Когда набор индексов можно интерпретировать как время, стохастический процесс считается стационарным, если его конечномерные распределения инвариантны относительно переносов времени. Этот тип стохастического процесса можно использовать для описания физической системы, которая находится в устойчивом состоянии, но все еще испытывает случайные колебания. ^[148] Интуиция, лежащая в основе стационарности, заключается в том, что с течением времени распределение стационарного стохастического процесса остается прежним. ^[152] Последовательность случайных величин образует стационарный стохастический процесс только в том случае, если случайные величины распределены одинаково. ^[148] ${\displaystyle T}$

Стохастический процесс с приведенным выше определением стационарности иногда называют строго стационарным, но существуют и другие формы стационарности. Одним из примеров является случайный процесс с дискретным или непрерывным временем, который называется стационарным в широком смысле, тогда процесс имеет конечный второй момент для всех и ковариацию двух случайных величин и зависит только от числа для всех . ^{[152] [153]} Хинчин ввел связанное понятие стационарности в широком смысле , которое имеет и другие названия, включая ковариационную стационарность или стационарность в широком смысле . ^{[153] [154]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+h}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t\in T}$

Фильтрация

Фильтрация — это возрастающая последовательность сигма-алгебр, определенная относительно некоторого вероятностного пространства и набора индексов, который имеет некоторое отношение общего порядка , например, в случае, когда набор индексов является некоторым подмножеством действительных чисел. Более формально, если стохастический процесс имеет набор индексов с общим порядком, то фильтрация , на вероятностном пространстве — это семейство сигма-алгебр, такое что для всех , где и обозначает общий порядок набора индексов . ^[51] С помощью концепции фильтрации можно изучить объем информации, содержащейся в стохастическом процессе в , который можно интерпретировать как время . ^{[51] [155]} Интуиция, лежащая в основе фильтрации , заключается в том, что с течением времени становится известно или доступно все больше информации о , которая фиксируется в , что приводит к более мелким и мелким разбиениям . ^{[156] [157]} ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle t,s\in T}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Модификация

Модификация стохастического процесса — это другой стохастический процесс, который тесно связан с исходным стохастическим процессом. Точнее, стохастический процесс , который имеет тот же набор индексов , пространство состояний и пространство вероятностей, что и другой стохастический процесс, называется модификацией, если для всех следующих ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}$

имеет место. Два стохастических процесса, которые являются модификациями друг друга, имеют один и тот же конечномерный закон ^[158] и они называются стохастически эквивалентными или эквивалентными . ^[159]

Вместо термина «модификация» также используется термин «версия» ^{[150] [160] [161] [162],} однако некоторые авторы используют термин «версия», когда два стохастических процесса имеют одинаковые конечномерные распределения, но они могут быть определены на разных вероятностных пространствах, поэтому два процесса, которые являются модификациями друг друга, также являются версиями друг друга, в последнем смысле, но не наоборот. ^{[163] [142]}

Если непрерывный во времени действительный стохастический процесс удовлетворяет определенным моментным условиям на своих приращениях, то теорема Колмогорова о непрерывности гласит, что существует модификация этого процесса, которая имеет непрерывные траектории выборки с вероятностью единица, поэтому стохастический процесс имеет непрерывную модификацию или версию. ^{[161] [162] [164]} Теорему также можно обобщить на случайные поля, так что множество индексов будет -мерным евклидовым пространством ^[165] , а также на стохастические процессы с метрическими пространствами в качестве пространств состояний. ^[166] ${\displaystyle n}$

Неразличимый

Два стохастических процесса и определенные на одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов и пространством множеств называются неразличимыми, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}$

имеет место. ^{[142] [158]} Если два и являются модификациями друг друга и почти наверняка непрерывны , то и неразличимы. ^[167] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Разделимость

Разделимость — это свойство стохастического процесса, основанное на его индексном множестве по отношению к вероятностной мере. Свойство предполагается таким образом, что функционалы стохастических процессов или случайных полей с несчетными индексными множествами могут образовывать случайные величины. Для того чтобы стохастический процесс был разделимым, в дополнение к другим условиям, его индексное множество должно быть разделимым пространством , ^[b] , что означает, что индексное множество имеет плотное счетное подмножество. ^{[150] [168]}

Точнее, действительный стохастический процесс с непрерывным временем и вероятностным пространством является разделимым, если его индексное множество имеет плотное счетное подмножество и существует множество с вероятностью нуль, поэтому , такое, что для каждого открытого множества и каждого замкнутого множества два события и отличаются друг от друга максимум на подмножестве . ^{[169] [170] [171]} Определение разделимости ^[c] можно также сформулировать для других индексных множеств и пространств состояний, ^[174] например, в случае случайных полей, где индексное множество, а также пространство состояний могут быть -мерным евклидовым пространством. ^{[30] [150]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\subset T}$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$ ${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$ ${\displaystyle G\subset T}$ ${\displaystyle F\subset \textstyle R=(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle n}$

Концепция разделимости стохастического процесса была введена Джозефом Дубом , ^[168] Основная идея разделимости заключается в том, чтобы сделать счетный набор точек набора индексов определяющими свойства стохастического процесса. ^[172] Любой стохастический процесс со счетным набором индексов уже удовлетворяет условиям разделимости, поэтому дискретные по времени стохастические процессы всегда разделимы. ^[175] Теорема Дуба, иногда известная как теорема Дуба о разделимости, гласит, что любой действительнозначный непрерывный по времени стохастический процесс имеет разделимую модификацию. ^{[168] [170] [176]} Версии этой теоремы также существуют для более общих стохастических процессов с наборами индексов и пространствами состояний, отличными от действительной прямой. ^[136]

Независимость

Два стохастических процесса и , определенные на одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов, называются независимыми, если для всех и для каждого выбора эпох случайные векторы и независимы. ^{[177] : стр. 515} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$ ${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

Некоррелированность

Два стохастических процесса и называются некоррелированными , если их взаимная ковариация равна нулю для всех времен. ^{[178] : стр. 142} Формально: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Независимость подразумевает некоррелированность

Если два стохастических процесса и независимы, то они также некоррелированы. ^{[178] : стр. 151} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ортогональность

Два стохастических процесса и называются ортогональными, если их взаимная корреляция равна нулю для всех моментов времени. ^{[178] : стр. 142} Формально: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Скороход космос

Пространство Скорохода , также записываемое как пространство Скорохода , представляет собой математическое пространство всех функций, которые непрерывны справа с пределами слева, определены на некотором интервале действительной прямой, например , или , и принимают значения на действительной прямой или в некотором метрическом пространстве. ^{[179] [180] [181]} Такие функции известны как функции càdlàg или cadlag, основанные на аббревиатуре французской фразы continue à droite, limite à gauche . ^{[179] [182]} Функциональное пространство Скорохода, введенное Анатолием Скороходом , ^[181] часто обозначается буквой , ^{[179] [180] [181] [182]} поэтому функциональное пространство также называют пространством . ^{[179] [183] ​​[184]} Обозначение этого функционального пространства может также включать интервал, на котором определены все функции càdlàg, так, например, обозначает пространство функций càdlàg, определенных на единичном интервале . ^{[182] [184] [185]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Пространства функций Скорохода часто используются в теории случайных процессов, поскольку часто предполагается, что выборочные функции непрерывных во времени случайных процессов принадлежат пространству Скорохода. ^{[181] [183]} ​​Такие пространства содержат непрерывные функции, которые соответствуют выборочным функциям винеровского процесса. Но в пространстве также есть функции с разрывами, что означает, что выборочные функции случайных процессов со скачками, таких как процесс Пуассона (на действительной прямой), также являются членами этого пространства. ^{[184] [186]}

Регулярность

В контексте математического построения стохастических процессов термин «регулярность» используется при обсуждении и принятии определенных условий для стохастического процесса с целью разрешения возможных проблем построения. ^{[187] [188]} Например, для изучения стохастических процессов с несчетными наборами индексов предполагается, что стохастический процесс придерживается некоторого типа условия регулярности, например, что выборочные функции являются непрерывными. ^{[189] [190]}

Дополнительные примеры

Марковские процессы и цепи

Марковские процессы — это стохастические процессы, традиционно в дискретном или непрерывном времени , которые обладают свойством Маркова, что означает, что следующее значение марковского процесса зависит от текущего значения, но оно условно независимо от предыдущих значений стохастического процесса. Другими словами, поведение процесса в будущем стохастически независимо от его поведения в прошлом, учитывая текущее состояние процесса. ^{[191] [192]}

Процесс броуновского движения и процесс Пуассона (в одном измерении) являются примерами марковских процессов ^[193] в непрерывном времени, в то время как случайные блуждания по целым числам и проблема разорения игрока являются примерами марковских процессов в дискретном времени. ^{[194] [195]}

Цепь Маркова — это тип марковского процесса, который имеет либо дискретное пространство состояний , либо дискретный набор индексов (часто представляющий время), но точное определение цепи Маркова варьируется. ^[196] Например, принято определять цепь Маркова как марковский процесс либо в дискретном, либо в непрерывном времени со счетным пространством состояний (таким образом, независимо от природы времени), ^{[197] [198] [199] [200]} но также было принято определять цепь Маркова как имеющую дискретное время либо в счетном, либо в непрерывном пространстве состояний (таким образом, независимо от пространства состояний). ^[196] Утверждалось, что первое определение цепи Маркова, где она имеет дискретное время, теперь имеет тенденцию использоваться, несмотря на то, что второе определение использовалось такими исследователями, как Джозеф Дуб и Кай Лай Чунг . ^[201]

Марковские процессы образуют важный класс стохастических процессов и имеют приложения во многих областях. ^{[39] [202]} Например, они являются основой для общего метода стохастического моделирования, известного как метод Монте-Карло с цепями Маркова , который используется для моделирования случайных объектов с определенными распределениями вероятностей и нашел применение в байесовской статистике . ^{[203] [204]}

Концепция марковского свойства изначально была разработана для стохастических процессов в непрерывном и дискретном времени, но это свойство было адаптировано для других наборов индексов, таких как -мерное евклидово пространство, что приводит к наборам случайных величин, известных как марковские случайные поля. ^{[205] [206] [207]} ${\displaystyle n}$

Мартингейл

Мартингал — это стохастический процесс с дискретным или непрерывным временем, обладающий свойством, что в каждый момент времени, учитывая текущее значение и все прошлые значения процесса, условное ожидание каждого будущего значения равно текущему значению. В дискретном времени, если это свойство выполняется для следующего значения, то оно выполняется для всех будущих значений. Точное математическое определение мартингала требует двух других условий в сочетании с математической концепцией фильтрации, которая связана с интуицией увеличения доступной информации с течением времени. Мартингалы обычно определяются как действительнозначные, ^{[208] [209] [155],} но они также могут быть комплекснозначными ^[210] или даже более общими. ^[211]

Симметричное случайное блуждание и винеровский процесс (с нулевым дрейфом) являются примерами мартингалов соответственно в дискретном и непрерывном времени. ^{[208] [209]} Для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним значением стохастический процесс, образованный из последовательных частичных сумм, является мартингалом с дискретным временем. ^[212] В этом аспекте мартингалы с дискретным временем обобщают идею частичных сумм независимых случайных величин. ^[213] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ ${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

Мартингалы также могут быть созданы из стохастических процессов путем применения некоторых подходящих преобразований, что имеет место для однородного процесса Пуассона (на действительной прямой), приводящего к мартингалу, называемому компенсированным процессом Пуассона . ^[209] Мартингалы также могут быть построены из других мартингалов. ^[212] Например, существуют мартингалы, основанные на мартингале винеровского процесса, образующие непрерывные во времени мартингалы. ^{[208] [214]}

Мартингалы математически формализуют идею «честной игры», в которой возможно сформировать разумные ожидания для выплат, ^[215] и они изначально были разработаны, чтобы показать, что невозможно получить «несправедливое» преимущество в такой игре. ^[216] Но теперь они используются во многих областях вероятности, что является одной из главных причин их изучения. ^{[155] [216] [217]} Многие проблемы вероятности были решены путем нахождения мартингала в задаче и его изучения. ^[218] Мартингалы будут сходиться, если на их моменты наложены некоторые условия, поэтому их часто используют для получения результатов сходимости, в основном благодаря теоремам о сходимости мартингала . ^{[213] [219] [220]}

Мартингалы имеют множество применений в статистике, но было отмечено, что их использование и применение не так широко распространены, как могли бы быть в области статистики, особенно в статистическом выводе. ^[221] Они нашли применение в таких областях теории вероятностей, как теория очередей и исчисление Пальма ^[222] , а также в других областях, таких как экономика ^[223] и финансы. ^[17]

Процесс Леви

Процессы Леви — это типы стохастических процессов, которые можно рассматривать как обобщения случайных блужданий в непрерывном времени. ^{[49] [224]} Эти процессы имеют множество приложений в таких областях, как финансы, механика жидкостей, физика и биология. ^{[225] [226]} Основными определяющими характеристиками этих процессов являются их свойства стационарности и независимости, поэтому они были известны как процессы со стационарными и независимыми приращениями . Другими словами, стохастический процесс является процессом Леви, если для неотрицательных чисел, соответствующие приращения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

все независимы друг от друга, и распределение каждого приращения зависит только от разницы во времени. ^[49]

Процесс Леви может быть определен таким образом, что его пространство состояний является некоторым абстрактным математическим пространством, таким как банахово пространство , но процессы часто определяются так, что они принимают значения в евклидовом пространстве. Набор индексов — это неотрицательные числа, поэтому , что дает интерпретацию времени. Важные стохастические процессы, такие как винеровский процесс, однородный пуассоновский процесс (в одном измерении) и субординаторы — все это процессы Леви. ^{[49] [224]} ${\displaystyle I=[0,\infty )}$

Случайное поле

Случайное поле — это набор случайных величин, индексированных -мерным евклидовым пространством или некоторым многообразием. В общем случае случайное поле можно считать примером стохастического или случайного процесса, где набор индексов не обязательно является подмножеством действительной прямой. ^[30] Но существует соглашение, что индексированный набор случайных величин называется случайным полем, когда индекс имеет два или более измерений. ^{[5] [28] [227]} Если конкретное определение стохастического процесса требует, чтобы набор индексов был подмножеством действительной прямой, то случайное поле можно рассматривать как обобщение стохастического процесса. ^[228] ${\displaystyle n}$

Точечный процесс

Точечный процесс — это набор точек, случайно расположенных на некотором математическом пространстве, таком как вещественная линия, -мерное евклидово пространство или более абстрактные пространства. Иногда термин точечный процесс не является предпочтительным, так как исторически слово процесс обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называется случайным точечным полем . ^[229] Существуют различные интерпретации точечного процесса, такие как случайная счетная мера или случайное множество. ^{[230] [231]} Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и стохастический процесс как два разных объекта, так что точечный процесс — это случайный объект, который возникает из стохастического процесса или связан с ним, ^{[232] [233]} хотя было отмечено, что разница между точечными процессами и стохастическими процессами не ясна. ^[233] ${\displaystyle n}$

Другие авторы рассматривают точечный процесс как стохастический процесс, где процесс индексируется множествами базового пространства ^[d], на котором он определен, например, вещественной прямой или -мерного евклидова пространства. ^{[236] [237]} Другие стохастические процессы, такие как процессы восстановления и подсчета, изучаются в теории точечных процессов. ^{[238] [233]} ${\displaystyle n}$

История

Ранняя теория вероятностей

Теория вероятностей берет свое начало в азартных играх, которые имеют долгую историю, некоторые из них существовали тысячи лет назад, ^[239] но очень мало анализировалось с точки зрения вероятности. ^[240] 1654 год часто считается рождением теории вероятностей, когда французские математики Пьер Ферма и Блез Паскаль имели письменную переписку о вероятности, мотивированную проблемой азартных игр . ^{[241] [242]} Но были и более ранние математические работы, посвященные вероятности азартных игр, такие как Liber de Ludo Aleae Джероламо Кардано , написанная в 16 веке, но опубликованная посмертно в 1663 году. ^[243]

После Кардано Якоб Бернулли ^[e] написал «Искусство предположений» , которое считается значительным событием в истории теории вероятностей. Книга Бернулли была опубликована, также посмертно, в 1713 году и вдохновила многих математиков на изучение вероятности. ^{[245] [246]} Но несмотря на то, что некоторые известные математики внесли свой вклад в теорию вероятностей, такие как Пьер-Симон Лаплас , Абрахам де Муавр , Карл Гаусс , Симеон Пуассон и Пафнутий Чебышев , ^{[247] [248]} большая часть математического сообщества ^[f] не считала теорию вероятностей частью математики до 20-го века. ^{[247] [249] [250] [251]}

Статистическая механика

В физических науках ученые разработали в 19 веке дисциплину статистической механики , где физические системы, такие как контейнеры, заполненные газами, рассматриваются или обрабатываются математически как совокупности многих движущихся частиц. Хотя были попытки включить случайность в статистическую физику некоторыми учеными, такими как Рудольф Клаузиус , большая часть работы имела мало или вообще не имела случайности. ^{[252] [253]} Это изменилось в 1859 году, когда Джеймс Клерк Максвелл внес значительный вклад в эту область, а точнее, в кинетическую теорию газов, представив работу, в которой он смоделировал частицы газа как движущиеся в случайных направлениях со случайными скоростями. ^{[254] [255]} Кинетическая теория газов и статистическая физика продолжали развиваться во второй половине 19 века, причем работа была выполнена в основном Клаузиусом, Людвигом Больцманом и Джозайей Гиббсом , что позже оказало влияние на математическую модель Альберта Эйнштейна для броуновского движения . ^[256]

Теория меры и теория вероятности

На Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году Давид Гильберт представил список математических проблем , где его шестая проблема требовала математической обработки физики и вероятности с использованием аксиом . ^[248] Примерно в начале 20-го века математики разработали теорию меры, раздел математики для изучения интегралов математических функций, где двое из основателей были французскими математиками, Анри Лебег и Эмиль Борель . В 1925 году другой французский математик Поль Леви опубликовал первую книгу по вероятности, которая использовала идеи из теории меры. ^[248]

В 1920-х годах фундаментальный вклад в теорию вероятностей был сделан в Советском Союзе такими математиками, как Сергей Бернштейн , Александр Хинчин , ^[g] и Андрей Колмогоров . ^[251] В 1929 году Колмогоров опубликовал свою первую попытку представить математическую основу, основанную на теории меры, для теории вероятностей. ^[257] В начале 1930-х годов Хинчин и Колмогоров организовали семинары по вероятностям, в которых приняли участие такие исследователи, как Евгений Слуцкий и Николай Смирнов , ^[258] и Хинчин дал первое математическое определение стохастического процесса как набора случайных величин, индексированных действительной прямой. ^{[63] [259] [h]}

Рождение современной теории вероятностей

В 1933 году Андрей Колмогоров опубликовал на немецком языке свою книгу об основах теории вероятностей под названием Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , ^[i] где Колмогоров использовал теорию меры для разработки аксиоматической структуры теории вероятностей. Публикация этой книги в настоящее время широко считается рождением современной теории вероятностей, когда теории вероятностей и случайных процессов стали частями математики. ^{[248] [251]}

После публикации книги Колмогорова дальнейшая фундаментальная работа по теории вероятностей и случайным процессам была проделана Хинчиным и Колмогоровым, а также другими математиками, такими как Джозеф Дуб , Уильям Феллер , Морис Фреше , Поль Леви , Вольфганг Дёблин и Харальд Крамер . ^{[248] [251]} Спустя десятилетия Крамер назвал 1930-е годы «героическим периодом математической теории вероятностей». [ ^251] Вторая мировая война в значительной степени прервала развитие теории вероятностей, вызвав, например, миграцию Феллера из Швеции в Соединенные Штаты Америки ^[251] и смерть Дёблина, который теперь считается пионером в области случайных процессов. ^[261]

Математик Джозеф Дуб одним из первых начал работать над теорией случайных процессов, внеся фундаментальный вклад, в частности, в теорию мартингалов. ^{[262] [260]} Его книга «Стохастические процессы» считается весьма влиятельной в области теории вероятностей. ^[263]

Стохастические процессы после Второй мировой войны

После Второй мировой войны изучение теории вероятностей и случайных процессов привлекло больше внимания математиков, и значительный вклад был внесен во многие области теории вероятностей и математики, а также в создание новых областей. ^{[251] [264]} Начиная с 1940-х годов Киёси Ито опубликовал работы, развивающие область стохастического исчисления , которая включает в себя стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения, основанные на процессе винеровского или броуновского движения. ^[265]

Также, начиная с 1940-х годов, были установлены связи между стохастическими процессами, в частности мартингалами, и математической областью теории потенциала , с ранними идеями Сидзуо Какутани , а затем более поздними работами Джозефа Дуба. ^[264] Дальнейшая работа, считающаяся пионерской, была проделана Гилбертом Хантом в 1950-х годах, связавшим марковские процессы и теорию потенциала, что оказало значительное влияние на теорию процессов Леви и привело к большему интересу к изучению марковских процессов с помощью методов, разработанных Ито. ^{[21] [266] [267]}

В 1953 году Дуб опубликовал свою книгу «Стохастические процессы» , которая оказала сильное влияние на теорию стохастических процессов и подчеркнула важность теории меры в вероятности. ^{[264] [263]} Дуб также в основном разработал теорию мартингалов, с более поздним существенным вкладом Поля-Андре Мейера . Ранее работа была выполнена Сергеем Бернштейном , Полем Леви и Жаном Вилем , последний принял термин «мартингал» для стохастического процесса. ^{[268] [269]} Методы из теории мартингалов стали популярными для решения различных вероятностных задач. Методы и теория были разработаны для изучения марковских процессов, а затем применены к мартингалам. Наоборот, методы из теории мартингалов были созданы для обработки марковских процессов. ^[264]

Другие области вероятности были разработаны и использованы для изучения стохастических процессов, причем одним из основных подходов является теория больших отклонений. ^[264] Теория имеет много приложений в статистической физике, среди других областей, и имеет основные идеи, восходящие по крайней мере к 1930-м годам. Позже, в 1960-х и 1970-х годах, фундаментальная работа была проделана Александром Вентцеллем в Советском Союзе и Монро Д. Донскером и Шринивасой Варадан в Соединенных Штатах Америки, ^[270] что впоследствии привело к тому, что Варадхан получил премию Абеля 2007 года. ^[271] В 1990-х и 2000-х годах были введены и развиты теории эволюции Шрамма-Лёвнера ^[272] и грубых путей ^[142] для изучения стохастических процессов и других математических объектов в теории вероятностей, что привело к присуждению медалей Филдса соответственно Венделину Вернеру ^[273] в 2008 году и Мартину Хайреру в 2014 году. ^[274]

Теория случайных процессов по-прежнему остается в центре внимания исследований, и ежегодно проводятся международные конференции по теме случайных процессов. ^{[45] [225]}

Открытия конкретных стохастических процессов

Хотя Хинчин дал математические определения стохастических процессов в 1930-х годах, ^{[63] [259]} конкретные стохастические процессы уже были обнаружены в различных условиях, например, процесс броуновского движения и процесс Пуассона. ^{[21] [24]} Некоторые семейства стохастических процессов, такие как точечные процессы или процессы восстановления, имеют долгую и сложную историю, уходящую вглубь веков. ^[275]

процесс Бернулли

Процесс Бернулли, который может служить математической моделью для подбрасывания несимметричной монеты, возможно, является первым изученным стохастическим процессом. ^[81] Процесс представляет собой последовательность независимых испытаний Бернулли, ^[82] которые названы в честь Якоба Бернулли , который использовал их для изучения азартных игр, включая вероятностные задачи, предложенные и изученные ранее Христианом Гюйгенсом. ^[276] Работы Бернулли, включая процесс Бернулли, были опубликованы в его книге Ars Conjectandi в 1713 году. ^[277]

Случайные прогулки

В 1905 году Карл Пирсон ввел термин «случайное блуждание» , поставив задачу, описывающую случайное блуждание на плоскости, что было мотивировано применением в биологии, но такие задачи, связанные со случайными блужданиями, уже изучались в других областях. Некоторые задачи азартных игр, которые изучались столетиями ранее, можно рассматривать как задачи, связанные со случайными блужданиями. ^{[89] [277]} Например, задача, известная как « Разорение игрока» , основана на простом случайном блуждании, ^{[195] [278]} и является примером случайного блуждания с поглощающими барьерами. ^{[241] [279]} Паскаль, Ферма и Гюйенс дали численные решения этой задачи, не детализируя свои методы, ^[280] а затем более подробные решения были представлены Якобом Бернулли и Авраамом де Муавром . ^[281]

Для случайных блужданий в -мерных целочисленных решетках Джордж Полиа опубликовал в 1919 и 1921 годах работу, в которой он изучал вероятность симметричного случайного блуждания, возвращающегося в предыдущую позицию в решетке. Полиа показал, что симметричное случайное блуждание, которое имеет равную вероятность продвижения в любом направлении в решетке, будет возвращаться в предыдущую позицию в решетке бесконечное число раз с вероятностью один в одном и двух измерениях, но с вероятностью ноль в трех или более измерениях. ^{[282] [283]} ${\displaystyle n}$

процесс Винера

Процесс Винера или процесс броуновского движения имеет свои истоки в различных областях, включая статистику, финансы и физику. ^[21] В 1880 году датский астроном Торвальд Тиле написал статью о методе наименьших квадратов, в которой он использовал этот процесс для изучения ошибок модели в анализе временных рядов. ^{[284] [285] [286]} Сейчас эта работа считается ранним открытием статистического метода, известного как фильтрация Калмана , но она была в значительной степени упущена из виду. Считается, что идеи в статье Тиле были слишком продвинутыми, чтобы быть понятыми более широким математическим и статистическим сообществом в то время. ^[286]

Норберт Винер дал первое математическое доказательство существования винеровского процесса. Этот математический объект ранее появлялся в работах Торвальда Тиле , Луи Башелье и Альберта Эйнштейна . ^[21]

Французский математик Луи Башелье использовал процесс Винера в своей диссертации 1900 года ^{[287] [288]} для моделирования изменений цен на Парижской фондовой бирже [ 289 ^] , не зная работы Тиле. ^[21] Было высказано предположение, что Башелье позаимствовал идеи из модели случайного блуждания Жюля Реньо , но Башелье не цитировал его, ^[290] и диссертация Башелье теперь считается пионерской в ​​области финансовой математики. ^{[289] [290]}

Обычно считается, что работа Башелье привлекла мало внимания и была забыта на десятилетия, пока не была вновь открыта в 1950-х годах Леонардом Сэвиджем , а затем стала более популярной после того, как диссертация Башелье была переведена на английский язык в 1964 году. Но работа никогда не была забыта в математическом сообществе, поскольку Башелье опубликовал книгу в 1912 году, подробно изложив свои идеи, ^[290] которую цитировали математики, включая Дуба, Феллера ^[290] и Колмогорова. ^[21] Книгу продолжали цитировать, но затем, начиная с 1960-х годов, оригинальная диссертация Башелье стала цитироваться чаще, чем его книга, когда экономисты начали цитировать работу Башелье. ^[290]

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал работу, в которой он изучал физическое наблюдение броуновского движения или перемещения, чтобы объяснить, казалось бы, случайные движения частиц в жидкостях, используя идеи из кинетической теории газов . Эйнштейн вывел дифференциальное уравнение , известное как уравнение диффузии , для описания вероятности нахождения частицы в определенной области пространства. Вскоре после первой статьи Эйнштейна о броуновском движении Мариан Смолуховский опубликовал работу, в которой он цитировал Эйнштейна, но писал, что он независимо вывел эквивалентные результаты, используя другой метод. ^[291]

Работа Эйнштейна, а также экспериментальные результаты, полученные Жаном Перреном , позднее вдохновили Норберта Винера в 1920-х годах ^[292] на использование теории меры, разработанной Перси Даниэлем , и анализа Фурье для доказательства существования винеровского процесса как математического объекта. ^[21]

процесс Пуассона

Процесс Пуассона назван в честь Симеона Пуассона из-за его определения, включающего распределение Пуассона , но Пуассон никогда не изучал этот процесс. ^{[22] [293]} Существует ряд заявлений о раннем использовании или открытии процесса Пуассона. ^{[22] [24]} В начале 20-го века процесс Пуассона возникал независимо в различных ситуациях. ^{[22] [24]} В Швеции в 1903 году Филипп Лундберг опубликовал диссертацию , содержащую работу, которая сейчас считается фундаментальной и новаторской, где он предложил моделировать страховые иски с помощью однородного процесса Пуассона. ^{[294] [295]}

Другое открытие произошло в Дании в 1909 году, когда А. К. Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели для числа входящих телефонных звонков за конечный промежуток времени. В то время Эрланг не был знаком с более ранней работой Пуассона и предполагал, что число телефонных звонков, поступающих за каждый промежуток времени, независимы друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который фактически переформулирует распределение Пуассона как предел биномиального распределения. ^[22]

В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. Вдохновленный их работой, Гарри Бейтман изучал проблему подсчета и вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. ^[22] После этого времени было много исследований и приложений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными приложениями процесса в многочисленных областях биологами, экологами, инженерами и различными физиками. ^[22]

Марковские процессы

Марковские процессы и цепи Маркова названы в честь Андрея Маркова , который изучал цепи Маркова в начале 20 века. Марков интересовался изучением расширения независимых случайных последовательностей. В своей первой статье о цепях Маркова, опубликованной в 1906 году, Марков показал, что при определенных условиях средние результаты цепи Маркова будут сходиться к фиксированному вектору значений, тем самым доказав слабый закон больших чисел без предположения о независимости, ^{[296] [297] [298]} которое обычно считалось требованием для выполнения таких математических законов. ^[298] Позже Марков использовал цепи Маркова для изучения распределения гласных в «Евгении Онегине» , написанном Александром Пушкиным , и доказал центральную предельную теорему для таких цепей.

В 1912 году Пуанкаре изучал цепи Маркова на конечных группах с целью изучения перетасовки карт. Другие ранние применения цепей Маркова включают модель диффузии, введенную Полом и Татьяной Эренфест в 1907 году, и процесс ветвления, введенный Фрэнсисом Гальтоном и Генри Уильямом Уотсоном в 1873 году, предшествовавший работе Маркова. ^{[296] [297]} После работы Гальтона и Уотсона позже выяснилось, что их процесс ветвления был независимо открыт и изучен примерно тремя десятилетиями ранее Ирене-Жюлем Бьенеме . ^[299] Начиная с 1928 года, Морис Фреше заинтересовался цепями Маркова, что в конечном итоге привело к публикации им в 1938 году подробного исследования цепей Маркова. ^{[296] [300]}

Андрей Колмогоров в статье 1931 года разработал большую часть ранней теории непрерывных во времени марковских процессов. ^{[251] [257]} Колмогоров был частично вдохновлен работой Луи Башелье 1900 года о колебаниях на фондовом рынке, а также работой Норберта Винера о модели броуновского движения Эйнштейна. ^{[257] [301]} Он ввел и изучил определенный набор марковских процессов, известных как процессы диффузии, где он вывел набор дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. ^{[257] [302]} Независимо от работы Колмогорова, Сидни Чепмен вывел в статье 1928 года уравнение, теперь называемое уравнением Чепмена–Колмогорова , менее математически строгим способом, чем Колмогоров, изучая броуновское движение. ^[303] Дифференциальные уравнения теперь называются уравнениями Колмогорова ^[304] или уравнениями Колмогорова–Чепмена. ^[305] Другие математики, внесшие значительный вклад в основы марковских процессов, включают Уильяма Феллера, начиная с 1930-х годов, а затем, позднее, Юджина Дынкина, начиная с 1950-х годов. ^[251]

Процессы Леви

Процессы Леви, такие как процесс Винера и процесс Пуассона (на вещественной прямой), названы в честь Поля Леви, который начал изучать их в 1930-х годах, ^[225] но они связаны с бесконечно делимыми распределениями, восходящими к 1920-м годам. ^[224] В статье 1932 года Колмогоров вывел характеристическую функцию для случайных величин, связанных с процессами Леви. Этот результат был позже выведен при более общих условиях Леви в 1934 году, а затем Хинчин независимо дал альтернативную форму для этой характеристической функции в 1937 году. ^{[251] [306]} Помимо Леви, Хинчина и Коломогрова, ранние фундаментальные вклады в теорию процессов Леви внесли Бруно де Финетти и Кийоси Ито . ^[224]

Математическое построение

В математике необходимы конструкции математических объектов, что также относится к стохастическим процессам, чтобы доказать, что они существуют математически. ^[57] Существует два основных подхода к построению стохастического процесса. Один подход включает рассмотрение измеримого пространства функций, определение подходящего измеримого отображения из вероятностного пространства в это измеримое пространство функций, а затем вывод соответствующих конечномерных распределений. ^[307]

Другой подход включает определение набора случайных величин, имеющих определенные конечномерные распределения, а затем использование теоремы Колмогорова о существовании ^[j] для доказательства существования соответствующего стохастического процесса. ^{[57] [307]} Эта теорема, которая является теоремой о существовании мер на бесконечных пространствах произведений, ^[311] гласит, что если любые конечномерные распределения удовлетворяют двум условиям, известным как условия согласованности , то существует стохастический процесс с этими конечномерными распределениями. ^[57]

Вопросы строительства

При построении непрерывных во времени стохастических процессов возникают определенные математические трудности из-за несчетных наборов индексов, которые не возникают в дискретных во времени процессах. ^{[58] [59]} Одна из проблем заключается в том, что возможно иметь более одного стохастического процесса с одинаковыми конечномерными распределениями. Например, как лево-непрерывная модификация, так и право-непрерывная модификация пуассоновского процесса имеют одинаковые конечномерные распределения. ^[312] Это означает, что распределение стохастического процесса не обязательно однозначно определяет свойства выборочных функций стохастического процесса. ^{[307] [313]}

Другая проблема заключается в том, что функционалы непрерывного во времени процесса, которые опираются на несчетное количество точек набора индексов, могут быть неизмеримыми, поэтому вероятности определенных событий могут быть нечетко определены. ^[168] Например, супремум стохастического процесса или случайного поля не обязательно является четко определенной случайной величиной. ^{[30] [59]} Для непрерывного во времени стохастического процесса другие характеристики, которые зависят от несчетного количества точек набора индексов, включают: ^[168] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• выборочная функция стохастического процесса является непрерывной функцией ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• выборочная функция стохастического процесса является ограниченной функцией ; и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• выборочная функция стохастического процесса является возрастающей функцией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$

где символ ∈ можно прочитать как «член множества», например, член множества . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

Для преодоления двух вышеописанных трудностей, то есть «более одного...» и «функционалов от...», возможны различные предположения и подходы. ^[69]

Решение строительных вопросов

Один из подходов к избежанию проблем математического построения стохастических процессов, предложенный Джозефом Дубом , заключается в предположении, что стохастический процесс является разделимым. ^[314] Разделимость гарантирует, что бесконечномерные распределения определяют свойства выборочных функций, требуя, чтобы выборочные функции по существу определялись их значениями на плотном счетном множестве точек в индексном множестве. ^[315] Более того, если стохастический процесс является разделимым, то функционалы несчетного числа точек индексного множества являются измеримыми, и их вероятности могут быть изучены. ^{[168] [315]}

Возможен другой подход, первоначально разработанный Анатолием Скороходом и Андреем Колмогоровым [ ^316] для непрерывного во времени стохастического процесса с любым метрическим пространством в качестве его пространства состояний. Для построения такого стохастического процесса предполагается, что выборочные функции стохастического процесса принадлежат некоторому подходящему функциональному пространству, которое обычно является пространством Скорохода, состоящим из всех непрерывных справа функций с левыми пределами. Этот подход сейчас используется чаще, чем предположение о разделимости ^{[69] [262],} но такой стохастический процесс, основанный на этом подходе, будет автоматически разделимым. ^[317]

Хотя предположение о разделимости используется реже, оно считается более общим, поскольку каждый стохастический процесс имеет разделимую версию. ^[262] Оно также используется, когда невозможно построить стохастический процесс в пространстве Скорохода. ^[173] Например, разделимость предполагается при построении и изучении случайных полей, где набор случайных величин теперь индексируется множествами, отличными от действительной линии, такими как -мерное евклидово пространство. ^{[30] [318]} ${\displaystyle n}$

Приложение

Применение в финансах

Модель Блэка-Шоулза

Одним из самых известных приложений стохастических процессов в финансах является модель Блэка-Шоулза для ценообразования опционов. Разработанная Фишером Блэком , Майроном Шоулзом и Робертом Солоу , эта модель использует геометрическое броуновское движение , особый тип стохастического процесса, для описания динамики цен активов. ^{[319] [320]} Модель предполагает, что цена акции следует непрерывному во времени стохастическому процессу, и предоставляет решение в замкнутой форме для ценообразования опционов европейского стиля. Формула Блэка-Шоулза оказала глубокое влияние на финансовые рынки, сформировав основу для большей части современной торговли опционами.

Ключевое предположение модели Блэка-Шоулза заключается в том, что цена финансового актива, например, акции, следует логнормальному распределению , а его непрерывная доходность следует нормальному распределению. Хотя модель имеет ограничения, такие как предположение о постоянной волатильности, она по-прежнему широко используется из-за своей простоты и практической значимости.

Модели стохастической волатильности

Другим важным применением стохастических процессов в финансах являются модели стохастической волатильности , которые направлены на то, чтобы уловить изменяющуюся во времени природу рыночной волатильности. Модель Хестона ^[321] является популярным примером, позволяющим волатильности цен активов следовать своему собственному стохастическому процессу. В отличие от модели Блэка-Шоулза, которая предполагает постоянную волатильность, модели стохастической волатильности предоставляют более гибкую структуру для моделирования динамики рынка, особенно в периоды высокой неопределенности или рыночного стресса.

Применение в биологии

Динамика численности населения

Одно из основных применений стохастических процессов в биологии — это динамика популяций . В отличие от детерминированных моделей , которые предполагают, что популяции изменяются предсказуемым образом, стохастические модели учитывают присущую им случайность в рождениях, смертях и миграции. Процесс рождения-смерти , ^[322] простая стохастическая модель, описывает, как популяции колеблются с течением времени из-за случайных рождений и смертей. Эти модели особенно важны при работе с небольшими популяциями, где случайные события могут иметь большие последствия, например, в случае исчезающих видов или небольших популяций микроорганизмов.

Другим примером является процесс ветвления , ^[323] который моделирует рост популяции, где каждая особь размножается независимо. Процесс ветвления часто используется для описания вымирания или взрыва популяции, особенно в эпидемиологии, где он может моделировать распространение инфекционных заболеваний внутри популяции.

Смотрите также

• Список тем стохастических процессов
• Ковариационная функция
• Детерминированная система
• Динамика марковских частиц
• Скорость энтропии (для стохастического процесса)
• Эргодический процесс
• Алгоритм Джиллеспи
• Система взаимодействующих частиц
• цепь Маркова
• Стохастический клеточный автомат
• Случайное поле
• Случайность
• Стационарный процесс
• Статистическая модель
• Стохастическое исчисление
• Стохастический контроль
• Стохастический попугай
• Случайные процессы и краевые задачи

Примечания

1. Термин «броуновское движение» может относиться к физическому процессу, также известному как броуновское движение , и к случайному процессу, математическому объекту, но во избежание двусмысленности в этой статье для последнего используются термины « процесс броуновского движения» или «винеровский процесс» в стиле, похожем, например, на стиль Гихмана и Скорохода ^[19] или Розенблатта ^{[20] .}
2. Термин «отделимый» появляется здесь дважды с двумя разными значениями, где первое значение относится к вероятности, а второе — к топологии и анализу. Для того, чтобы стохастический процесс был отделимым (в вероятностном смысле), его индексный набор должен быть отделимым пространством (в топологическом или аналитическом смысле), в дополнение к другим условиям. ^[136]
3. Определение разделимости для действительного стохастического процесса с непрерывным временем можно сформулировать другими способами. ^{[172] [173]}
4. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, на котором определен точечный процесс, например, действительную прямую, ^{[234] [235],} которая соответствует набору индексов в терминологии стохастических процессов.
5. Также известен как Джеймс или Жак Бернулли. ^[244]
6. Было отмечено, что заметным исключением была Санкт-Петербургская школа в России, где математики во главе с Чебышевым изучали теорию вероятностей. ^[249]
7. Имя Хинчин также пишется (или транслитерируется) на английском языке как Khintchine. ^[63]
8. Дуб, цитируя Хинчина, использует термин «случайная величина», который раньше был альтернативным термином для «случайной величины». ^[260]
9. Позднее переведено на английский язык и опубликовано в 1950 году как «Основы теории вероятностей» ^[248]
10. У этой теоремы есть и другие названия, включая теорему Колмогорова о согласованности ^[308], теорему Колмогорова о продолжении ^[309] или теорему Даниэля–Колмогорова. ^[310]

Ссылки

1. Джозеф Л. Дуб (1990). Стохастические процессы. Wiley. С. 46, 47.
2. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
3. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
4. Эмануэль Парзен (2015). Стохастические процессы. Courier Dover Publications. стр. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
5. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». С. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
6. Бреслофф, Пол К. (2014). Стохастические процессы в клеточной биологии. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
7. Ван Кампен, Н. Г. (2011). Стохастические процессы в физике и химии. Elsevier . ISBN 978-0-08-047536-3.
8. Ланде, Рассел; Энген, Стейнар; Сетер, Бернт-Эрик (2003). Стохастическая динамика численности населения в экологии и охране природы. Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-852525-7.
9. Лэйнг, Карло; Лорд, Габриэль Дж. (2010). Стохастические методы в нейронауке. Oxford University Press . ISBN 978-0-19-923507-0.
10. Пауль, Вольфганг; Башнагель, Йорг (2013). Стохастические процессы: от физики до финансов. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-319-00327-6.
11. Догерти, Эдвард Р. (1999). Случайные процессы для обработки изображений и сигналов. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
12. Берцекас, Димитрий П. (1996). Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени. Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5.
13. Томас М. Кавер; Джой А. Томас (2012). Элементы теории информации. John Wiley & Sons . стр. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
14. Барон, Майкл (2015). Вероятность и статистика для компьютерных ученых (2-е изд.). CRC Press . стр. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
15. Baccelli, François; Blaszczyszyn, Bartlomiej (2009). Стохастическая геометрия и беспроводные сети. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
16. Стил, Дж. Майкл (2001). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-95016-7.
17. Мусиела, Марек; Рутковски, Марек (2006). Методы Мартингейла в финансовом моделировании. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-540-26653-2.
18. Шрив, Стивен Э. (2004). Стохастическое исчисление в финансах II: Модели непрерывного времени. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-40101-0.
19. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». ISBN 978-0-486-69387-3.
20. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Oxford University Press.
21. Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). "Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: ранние годы, 1880–1970". Сборник статей для Германа Рубина . Заметки о лекциях Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632 . doi :10.1214/lnms/1196285381. ISBN  978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170.
22. Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или Константы могут меняться». The Mathematical Gazette . 84 (500): 197–210. doi :10.2307/3621649. ISSN  0025-5572. JSTOR  3621649. S2CID  125163415.
23. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
24. Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуйля и свойством Sharp Markov? Некоторая история стохастических точечных процессов». International Statistical Review . 80 (2): 253–268. doi :10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
25. Гусак, Дмитрий; Кукуш, Александр; Кулик, Алексей; Мишура, Юлия ; Пилипенко, Андрей (2010). Теория стохастических процессов: с приложениями к финансовой математике и теории риска. Springer Science & Business Media. стр. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
26. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
27. Олав Калленберг (2002). Основы современной теории вероятностей. Springer Science & Business Media. С. 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
28. Джон Ламперти (1977). Стохастические процессы: обзор математической теории. Springer-Verlag. С. 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
29. Loïc Chaumont; Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. стр. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
30. Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6.
31. Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: Современное введение. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
32. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
33. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
34. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
35. Михаил Лифшиц (2012). Лекции по гауссовским процессам. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
36. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
37. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9.
38. Брюс Хаек (2015). Случайные процессы для инженеров. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
39. G. Latouche; V. Ramaswami (1999). Введение в матричные аналитические методы в стохастическом моделировании. SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
40. DJ Daley; David Vere-Jones (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
41. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1771-8.
42. Пьер Бремо (2014). Анализ Фурье и стохастические процессы. Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
43. Адам Бобровски (2005). Функциональный анализ вероятности и стохастических процессов: введение. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
44. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Notices of the AMS . 51 (11): 1336–1347.
45. Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Roelly (2011). Обзоры стохастических процессов. Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-072-2.
46. Мишель Талагран (2014). Верхние и нижние границы для стохастических процессов: современные методы и классические проблемы. Springer Science & Business Media. стр. 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
47. Пол С. Бреслофф (2014). Стохастические процессы в клеточной биологии. Springer. стр. vii–ix. ISBN 978-3-319-08488-6.
48. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
49. Эпплбаум, Дэвид (2004). "Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам". Notices of the AMS . 51 (11): 1337.
50. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. С. 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7.
51. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. С. 294, 295. ISBN 978-1-118-59320-2.
52. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 26. ISBN 978-0-08-057041-9.
53. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 24, 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
54. Patrick Billingsley (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Limited. стр. 482. ISBN 978-81-265-1771-8.
55. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 527. ISBN 978-1-4471-5201-9.
56. Пьер Бремо (2014). Анализ Фурье и стохастические процессы. Springer. стр. 120. ISBN 978-3-319-09590-5.
57. Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc. стр. 177–178. ISBN 978-981-310-165-4.
58. Питер Э. Клоден; Экхард Платен (2013). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Springer Science & Business Media. п. 63. ИСБН 978-3-662-12616-5.
59. Davar Khoshnevisan (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 153–155. ISBN 978-0-387-21631-7.
60. "Stochastic" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
61. О. Б. Шейнин (2006). Теория вероятностей и статистика на примере кратких изречений. NG Verlag. С. 5. ISBN 978-3-938417-40-9.
62. Оскар Шейнин; Генрих Штрекер (2011). Александр А. Чупров: Жизнь, творчество, переписка. V&R unipress GmbH. стр. 136. ISBN 978-3-89971-812-6.
63. Дуб, Джозеф (1934). «Стохастические процессы и статистика». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 20 (6): 376–379. Bibcode :1934PNAS...20..376D. doi : 10.1073/pnas.20.6.376 . PMC 1076423 . PMID  16587907. 
64. Хинчин, А. (1934). «Теория корреляции канцелярских стохастических процессов». Математические Аннален . 109 (1): 604–615. дои : 10.1007/BF01449156. ISSN  0025-5831. S2CID  122842868.
65. Колмогоров, А. (1931). «Über die Analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung». Математические Аннален . 104 (1): 1. дои : 10.1007/BF01457949. ISSN  0025-5831. S2CID  119439925.
66. "Random" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная ред.). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
67. Берт Э. Фристедт; Лоуренс Ф. Грей (2013). Современный подход к теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 580. ISBN 978-1-4899-2837-5.
68. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. С. 121, 122. ISBN 978-1-107-71749-7.
69. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 408. ИСБН 978-0-387-00211-8.
70. Дэвид Стирзакер (2005). Стохастические процессы и модели. Oxford University Press. стр. 45. ISBN 978-0-19-856814-8.
71. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Oxford University Press. стр. 91.
72. Джон А. Губнер (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков. Cambridge University Press. стр. 383. ISBN 978-1-139-45717-0.
73. Kiyosi Itō (2006). Основы стохастических процессов. Американское математическое общество. стр. 13. ISBN 978-0-8218-3898-3.
74. М. Лоэв (1978). Теория вероятностей II. Springer Science & Business Media. стр. 163. ISBN 978-0-387-90262-3.
75. Пьер Бремо (2014). Анализ Фурье и стохастические процессы. Springer. стр. 133. ISBN 978-3-319-09590-5.
76. Гусак и др. (2010), с. 1
77. Ричард Ф. Басс (2011). Стохастические процессы. Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 978-1-139-50147-7.
78. , Джон Ламперти (1977). Стохастические процессы: обзор математической теории. Springer-Verlag. стр. 3. ISBN 978-3-540-90275-1.
79. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 55. ISBN 978-1-86094-555-7.
80. Ionut Florescu (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 293. ISBN 978-1-118-59320-2.
81. Флореску, Ионут (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 301. ISBN 978-1-118-59320-2.
82. Берцекас, Дмитрий П.; Цициклис, Джон Н. (2002). Введение в вероятность. Афина Сайентифик. п. 273. ИСБН 978-1-886529-40-3.
83. Айб, Оливер С. (2013). Элементы случайных блужданий и диффузионных процессов. John Wiley & Sons. стр. 11. ISBN 978-1-118-61793-9.
84. Ахим Кленке (2013). Теория вероятностей: всеобъемлющий курс. Springer. стр. 347. ISBN 978-1-4471-5362-7.
85. Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: Современное введение. Cambridge University Press. стр. 1. ISBN 978-1-139-48876-1.
86. Олав Калленберг (2002). Основы современной теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 136. ISBN 978-0-387-95313-7.
87. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 383. ISBN 978-1-118-59320-2.
88. Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Cambridge University Press. стр. 277. ISBN 978-1-139-49113-6.
89. Weiss, George H. (2006). "Случайные блуждания". Энциклопедия статистических наук . стр. 1. doi :10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN 978-0471667193.
90. Арис Спанос (1999). Теория вероятностей и статистический вывод: эконометрическое моделирование с данными наблюдений. Cambridge University Press. стр. 454. ISBN 978-0-521-42408-0.
91. Fima C. Klebaner (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 81. ISBN 978-1-86094-555-7.
92. Аллан Гут (2012). Вероятность: курс для выпускников. Springer Science & Business Media. стр. 88. ISBN 978-1-4614-4708-5.
93. Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (2001). Вероятность и случайные процессы. OUP Oxford. стр. 71. ISBN 978-0-19-857222-0.
94. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 56. ISBN 978-1-86094-555-7.
95. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив журнала History of Exact Sciences . 5 (1): 1–2. doi :10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
96. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Notices of the AMS . 51 (11): 1338.
97. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». С. 21. ISBN 978-0-486-69387-3.
98. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 471. ISBN 978-1-118-59320-2.
99. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 21, 22. ISBN 978-0-08-057041-9.
100. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. VIII. ISBN 978-1-4612-0949-2.
101. Дэниел Ревуз ; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. п. IX. ISBN 978-3-662-06400-9.
102. Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc. стр. 186. ISBN 978-981-310-165-4.
103. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 33. ISBN 978-1-4612-3166-0.
104. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 118. ISBN 978-1-4684-9305-4.
105. Peter Mörters; Yuval Peres (2010). Броуновское движение. Cambridge University Press. стр. 1, 3. ISBN 978-1-139-48657-6.
106. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. стр. 78. ISBN 978-1-4612-0949-2.
107. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. стр. 61. ISBN 978-1-4612-0949-2.
108. Стивен Э. Шрив (2004). Стохастическое исчисление в финансах II: Модели непрерывного времени. Springer Science & Business Media. стр. 93. ISBN 978-0-387-40101-0.
109. Олав Калленберг (2002). Основы современной теории вероятностей. Springer Science & Business Media. С. 225, 260. ISBN 978-0-387-95313-7.
110. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. стр. 70. ISBN 978-1-4612-0949-2.
111. Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Cambridge University Press. стр. 131. ISBN 978-1-139-48657-6.
112. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-555-7.
113. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. ISBN 978-1-4612-0949-2.
114. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Notices of the AMS . 51 (11): 1341.
115. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 340. ISBN 978-0-08-057041-9.
116. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 124. ISBN 978-1-86094-555-7.
117. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. стр. 47. ISBN 978-1-4612-0949-2.
118. Уббо Ф. Виерсема (2008). Броуновское исчисление движения. Джон Уайли и сыновья. п. 2. ISBN 978-0-470-02171-2.
119. Хенк К. Теймс (2003). Первый курс по стохастическим моделям. Wiley. стр. 1, 2. ISBN 978-0-471-49881-0.
120. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. С. 19–36. ISBN 978-0-387-21564-8.
121. Марк А. Пинский; Сэмюэл Карлин (2011). Введение в стохастическое моделирование. Academic Press. стр. 241. ISBN 978-0-12-381416-6.
122. JFC Kingman (1992). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. 38. ISBN 978-0-19-159124-2.
123. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 19. ISBN 978-0-387-21564-8.
124. JFC Kingman (1992). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. 22. ISBN 978-0-19-159124-2.
125. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. С. 118, 119. ISBN 978-0-08-057041-9.
126. Леонард Клейнрок (1976). Системы массового обслуживания: Теория . Wiley. стр. 61. ISBN 978-0-471-49110-1.
127. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Oxford University Press. стр. 94.
128. Martin Haenggi (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Cambridge University Press. стр. 10, 18. ISBN 978-1-107-01469-5.
129. Sung Nok Chiu; Dietrich Stoyan; Wilfrid S. Kendall; Joseph Mecke (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 41, 108. ISBN 978-1-118-65825-3.
130. JFC Kingman (1992). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. 11. ISBN 978-0-19-159124-2.
131. Roy L. Streit (2010). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. стр. 1. ISBN 978-1-4419-6923-1.
132. JFC Kingman (1992). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. v. ISBN 978-0-19-159124-2.
133. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 528. ISBN 978-1-4471-5201-9.
134. Георг Линдгрен; Хольгер Рутцен; Мария Сандстен (2013). Стационарные стохастические процессы для ученых и инженеров. CRC Press. стр. 11. ISBN 978-1-4665-8618-5.
135. Ауманн, Роберт (декабрь 1961 г.). «Структуры Бореля для функциональных пространств». Illinois Journal of Mathematics . 5 (4). doi : 10.1215/ijm/1255631584 . S2CID  117171116.
136. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. С. 93, 94. ISBN 978-3-540-26312-8.
137. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
138. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 104. ISBN 978-3-540-26312-8.
139. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 296. ISBN 978-1-118-59320-2.
140. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Limited. стр. 493. ISBN 978-81-265-1771-8.
141. Бернт Оксендаль (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями. Springer Science & Business Media. стр. 10. ISBN 978-3-540-04758-2.
142. Питер К. Фриз ; Николас Б. Виктор (2010). Многомерные стохастические процессы как неровные пути: теория и приложения. Cambridge University Press. стр. 571. ISBN 978-1-139-48721-4.
143. Сидни И. Резник (2013). Приключения в случайных процессах. Springer Science & Business Media. С. 40–41. ISBN 978-1-4612-0387-2.
144. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: Введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. стр. 23. ISBN 978-0-387-21748-2.
145. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. стр. 4. ISBN 978-0-521-83263-2.
146. Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. стр. 10. ISBN 978-3-662-06400-9.
147. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. стр. 123. ISBN 978-1-107-71749-7.
148. Джон Ламперти (1977). Стохастические процессы: обзор математической теории. Springer-Verlag. стр. 6 и 7. ISBN 978-3-540-90275-1.
149. Иосиф И. Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». С. 4. ISBN 978-0-486-69387-3.
150. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. SIAM. стр. 14, 15. ISBN 978-0-89871-693-1.
151. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Вилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 112. ISBN 978-1-118-65825-3.
152. Джозеф Л. Дуб (1990). Стохастические процессы. Wiley. С. 94–96.
153. Ionut Florescu (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 298, 299. ISBN 978-1-118-59320-2.
154. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». С. 8. ISBN 978-0-486-69387-3.
155. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Cambridge University Press. стр. 93, 94. ISBN 978-0-521-40605-5.
156. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. С. 22–23. ISBN 978-1-86094-555-7.
157. Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Cambridge University Press. стр. 37. ISBN 978-1-139-48657-6.
158. LCG Rogers; David Williams (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Cambridge University Press. стр. 130. ISBN 978-1-107-71749-7.
159. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 530. ISBN 978-1-4471-5201-9.
160. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 48. ISBN 978-1-86094-555-7.
161. Бернт Оксендаль (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями. Springer Science & Business Media. стр. 14. ISBN 978-3-540-04758-2.
162. Ionut Florescu (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 472. ISBN 978-1-118-59320-2.
163. Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. стр. 18–19. ISBN 978-3-662-06400-9.
164. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. стр. 20. ISBN 978-0-521-83263-2.
165. Хироши Кунита (1997). Стохастические потоки и стохастические дифференциальные уравнения. Cambridge University Press. стр. 31. ISBN 978-0-521-59925-2.
166. Олав Калленберг (2002). Основы современной теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 35. ISBN 978-0-387-95313-7.
167. Моник Жанблан ; Марк Йор ; Марк Чесни (2009). Математические методы для финансовых рынков. Springer Science & Business Media. стр. 11. ISBN 978-1-85233-376-8.
168. Киёси Ито (2006). Основы стохастических процессов. Американское математическое общество. стр. 32–33. ISBN 978-0-8218-3898-3.
169. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». С. 150. ISBN 978-0-486-69387-3.
170. Petar Todorovic (2012). Введение в стохастические процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. С. 19–20. ISBN 978-1-4613-9742-7.
171. Илья Молчанов (2005). Теория случайных множеств. Springer Science & Business Media. стр. 340. ISBN 978-1-85233-892-3.
172. Patrick Billingsley (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Limited. С. 526–527. ISBN 978-81-265-1771-8.
173. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 535. ISBN 978-1-4471-5201-9.
174. Гусак и др. (2010), стр. 22
175. Джозеф Л. Дуб (1990). Стохастические процессы. Wiley. стр. 56.
176. Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 155. ISBN 978-0-387-21631-7.
177. Лапидот, Амос, Основы цифровой коммуникации , Cambridge University Press, 2009.
178. Кун Иль Пак, Основы теории вероятностей и стохастических процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
179. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: Введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. С. 78–79. ISBN 978-0-387-21748-2.
180. Гусак и др. (2010), с. 24
181. Владимир И. Богачев (2007). Теория меры (том 2). Springer Science & Business Media. стр. 53. ISBN 978-3-540-34514-5.
182. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 4. ISBN 978-1-86094-555-7.
183. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 420. ИСБН 978-0-387-00211-8.
184. Патрик Биллингсли (2013). Сходимость вероятностных мер. John Wiley & Sons. стр. 121. ISBN 978-1-118-62596-5.
185. Ричард Ф. Басс (2011). Стохастические процессы. Cambridge University Press. стр. 34. ISBN 978-1-139-50147-7.
186. Николас Х. Бингем; Рюдигер Кизель (2013). Оценка, нейтральная к риску: ценообразование и хеджирование финансовых производных. Springer Science & Business Media. стр. 154. ISBN 978-1-4471-3856-3.
187. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 532. ISBN 978-1-4471-5201-9.
188. Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 148–165. ISBN 978-0-387-21631-7.
189. Петар Тодорович (2012). Введение в стохастические процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. стр. 22. ISBN 978-1-4613-9742-7.
190. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: Введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. стр. 79. ISBN 978-0-387-21748-2.
191. Ричард Серфозо (2009). Основы прикладных стохастических процессов. Springer Science & Business Media. стр. 2. ISBN 978-3-540-89332-5.
192. Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 58. ИСБН 978-1-4613-8190-7.
193. Шелдон М. Росс (1996). Стохастические процессы. Wiley. С. 235, 358. ISBN 978-0-471-12062-9.
194. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. С. 373, 374. ISBN 978-1-118-59320-2.
195. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 49. ISBN 978-0-08-057041-9.
196. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-0-387-00211-8.
197. Эмануэль Парзен (2015). Стохастические процессы. Courier Dover Publications. стр. 188. ISBN 978-0-486-79688-8.
198. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. С. 29, 30. ISBN 978-0-08-057041-9.
199. Джон Ламперти (1977). Стохастические процессы: обзор математической теории. Springer-Verlag. С. 106–121. ISBN 978-3-540-90275-1.
200. Шелдон М. Росс (1996). Стохастические процессы. Wiley. С. 174, 231. ISBN 978-0-471-12062-9.
201. Шон Мейн; Ричард Л. Твиди (2009). Цепи Маркова и стохастическая устойчивость. Cambridge University Press. стр. 19. ISBN 978-0-521-73182-9.
202. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 47. ISBN 978-0-08-057041-9.
203. Реувен Ю. Рубинштейн; Дирк П. Крозе (2011). Моделирование и метод Монте-Карло. Джон Уайли и сыновья. п. 225. ИСБН 978-1-118-21052-9.
204. Дани Геймерман; Хедиберт Ф. Лопес (2006). Марковская цепь Монте-Карло: Стохастическое моделирование для байесовского вывода, второе издание. CRC Press. ISBN 978-1-58488-587-0.
205. Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 61. ИСБН 978-1-4613-8190-7.
206. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 27. ISBN 978-1-4612-3166-0.
207. Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. стр. 253. ISBN 978-1-4757-3124-8.
208. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Imperial College Press. стр. 65. ISBN 978-1-86094-555-7.
209. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Springer. стр. 11. ISBN 978-1-4612-0949-2.
210. Джозеф Л. Дуб (1990). Стохастические процессы. Wiley. С. 292, 293.
211. Жиль Пизье (2016). Мартингалы в банаховых пространствах. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-67946-3.
212. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 12, 13. ISBN 978-1-4684-9305-4.
213. P. Hall; CC Heyde (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Elsevier Science. стр. 2. ISBN 978-1-4832-6322-9.
214. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 115. ISBN 978-1-4684-9305-4.
215. Шелдон М. Росс (1996). Стохастические процессы. Wiley. стр. 295. ISBN 978-0-471-12062-9.
216. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 11. ISBN 978-1-4684-9305-4.
217. Олав Калленберг (2002). Основы современной теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 96. ISBN 978-0-387-95313-7.
218. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 371. ISBN 978-1-4684-9305-4.
219. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 22. ISBN 978-1-4684-9305-4.
220. Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (2001). Вероятность и случайные процессы. OUP Oxford. стр. 336. ISBN 978-0-19-857222-0.
221. Glasserman, Paul; Kou, Steven (2006). «Разговор с Крисом Хейдом». Статистическая наука . 21 (2): 292, 293. arXiv : math/0609294 . Bibcode : 2006math......9294G. doi : 10.1214/088342306000000088. ISSN  0883-4237. S2CID  62552177.
222. Франсуа Бачелли; Пьер Бремо (2013). Элементы теории очередей: исчисление Palm Martingale и стохастические повторения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-11657-9.
223. P. Hall; CC Heyde (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Elsevier Science. стр. x. ISBN 978-1-4832-6322-9.
224. Жан Бертуан (1998). Процессы Леви. Cambridge University Press. стр. viii. ISBN 978-0-521-64632-1.
225. Applebaum, David (2004). "Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам". Notices of the AMS . 51 (11): 1336.
226. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. стр. 69. ISBN 978-0-521-83263-2.
227. Леонид Коралов; Яков Г. Синай (2007). Теория вероятностей и случайных процессов. Springer Science & Business Media. стр. 171. ISBN 978-3-540-68829-7.
228. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. стр. 19. ISBN 978-0-521-83263-2.
229. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Вилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 109. ISBN 978-1-118-65825-3.
230. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Вилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 108. ISBN 978-1-118-65825-3.
231. Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Cambridge University Press. стр. 10. ISBN 978-1-107-01469-5.
232. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 194. ISBN 978-0-387-21564-8.
233. Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Точечные процессы . CRC Press. стр. 3. ISBN 978-0-412-21910-8.
234. JFC Kingman (1992). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
235. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 7. ISBN 978-0-203-49693-0.
236. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 31. ISBN 978-0-08-057041-9.
237. Фолькер Шмидт (2014). Стохастическая геометрия, пространственная статистика и случайные поля: модели и алгоритмы. Springer. стр. 99. ISBN 978-3-319-10064-7.
238. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21564-8.
239. Дэвид, ФН (1955). «Исследования по истории вероятности и статистики I. Игра в кости и азартные игры (Заметка об истории вероятности)». Biometrika . 42 (1/2): 1–15. doi :10.2307/2333419. ISSN  0006-3444. JSTOR  2333419.
240. Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Elsevier Science. стр. 1. ISBN 978-1-4832-1863-2.
241. Seneta, E. (2006). "Вероятность, история". Энциклопедия статистических наук . стр. 1. doi :10.1002/0471667196.ess2065.pub2. ISBN 978-0471667193.
242. Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Infobase Publishing. С. 24–26. ISBN 978-0-8160-6873-9.
243. Беллхаус, Дэвид (2005). «Расшифровка Liber de Ludo Aleae Кардано». История Математики . 32 (2): 180–202. дои : 10.1016/j.hm.2004.04.001 . ISSN  0315-0860.
244. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года. John Wiley & Sons. стр. 221. ISBN 978-0-471-72517-6.
245. Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Elsevier Science. стр. 56. ISBN 978-1-4832-1863-2.
246. Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Infobase Publishing. стр. 37. ISBN 978-0-8160-6873-9.
247. Чунг, Кай Лай (1998). «Вероятность и Дуб». Американский математический ежемесячник . 105 (1): 28–35. дои : 10.2307/2589523. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589523.
248. Бингем, Н. (2000). «Исследования по истории вероятности и статистики XLVI. Мера в вероятность: от Лебега до Колмогорова». Biometrika . 87 (1): 145–156. doi :10.1093/biomet/87.1.145. ISSN  0006-3444.
249. Бензи, Маргарита; Бензи, Мишель; Сенета, Евгений (2007). «Франческо Паоло Кантелли. Род. 20 декабря 1875 г., ум. 21 июля 1966 г.». Международный статистический обзор . 75 (2): 128. doi :10.1111/j.1751-5823.2007.00009.x. ISSN  0306-7734. S2CID  118011380.
250. Дуб, Джозеф Л. (1996). «Развитие строгости в математической вероятности (1900-1950)». The American Mathematical Monthly . 103 (7): 586–595. doi :10.2307/2974673. ISSN  0002-9890. JSTOR  2974673.
251. Крамер, Харальд (1976). «Полвека с теорией вероятностей: некоторые личные воспоминания». Анналы вероятности . 4 (4): 509–546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
252. Truesdell, C. (1975). "Ранние кинетические теории газов". Архив History of Exact Sciences . 15 (1): 22–23. doi :10.1007/BF00327232. ISSN  0003-9519. S2CID  189764116.
253. Браш, Стивен Г. (1967). «Основания статистической механики 1845–1915». Архив для History of Exact Sciences . 4 (3): 150–151. doi :10.1007/BF00412958. ISSN  0003-9519. S2CID  120059181.
254. Truesdell, C. (1975). "Ранние кинетические теории газов". Архив History of Exact Sciences . 15 (1): 31–32. doi :10.1007/BF00327232. ISSN  0003-9519. S2CID  189764116.
255. Браш, С. Г. (1958). «Развитие кинетической теории газов IV. Максвелл». Annals of Science . 14 (4): 243–255. doi :10.1080/00033795800200147. ISSN  0003-3790.
256. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив журнала History of Exact Sciences . 5 (1): 15–16. doi :10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
257. Кендалл, Д. Г.; Бэтчелор, Г. К.; Бингем, Н. Х.; Хейман, В. К.; Хайленд, Дж. М. Э.; Лоренц, Г. Г.; Моффат, Х. К.; Парри, В.; Разборов, А. А.; Робинсон, К. А.; Уиттл, П. (1990). "Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)". Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 33. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN  0024-6093.
258. Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои :10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN 978-0471667193.
259. Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 4. дои :10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN 978-0471667193.
260. Snell, J. Laurie (2005). "Некролог: Джозеф Леонард Дуб". Journal of Applied Probability . 42 (1): 251. doi : 10.1239/jap/1110381384 . ISSN  0021-9002.
261. Линдвалл, Торгни (1991). "W. Doeblin, 1915-1940". Анналы вероятности . 19 (3): 929–934. doi : 10.1214/aop/1176990329 . ISSN  0091-1798.
262. Getoor, Ronald (2009). "JL Doob: Основы стохастических процессов и вероятностной теории потенциала". Анналы вероятности . 37 (5): 1655. arXiv : 0909.4213 . Bibcode : 2009arXiv0909.4213G. doi : 10.1214/09-AOP465. ISSN  0091-1798. S2CID  17288507.
263. Bingham, NH (2005). «Doob: полвека спустя». Journal of Applied Probability . 42 (1): 257–266. doi : 10.1239/jap/1110381385 . ISSN  0021-9002.
264. Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.
265. «Киёси Ито получает Киотскую премию» . Уведомления АМС . 45 (8): 981–982. 1998.
266. Жан Бертуан (1998). Процессы Леви. Cambridge University Press. стр. viii и ix. ISBN 978-0-521-64632-1.
267. J. Michael Steele (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 176. ISBN 978-1-4684-9305-4.
268. P. Hall; CC Heyde (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Elsevier Science. стр. 1, 2. ISBN 978-1-4832-6322-9.
269. Дынкин, ЭБ (1989). «Колмогоров и теория марковских процессов». Анналы вероятности . 17 (3): 822–832. doi : 10.1214/aop/1176991248 . ISSN  0091-1798.
270. Эллис, Ричард С. (1995). «Обзор теории больших отклонений и ее применение в статистической механике». Scandinavian Actuarial Journal . 1995 (1): 98. doi :10.1080/03461238.1995.10413952. ISSN  0346-1238.
271. Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2008). «Интервью со Шринивасой Варадханом». Уведомления AMS . 55 (2): 238–246.
272. Мальте Хенкель; Драги Каревски (2012). Конформная инвариантность: введение в циклы, интерфейсы и стохастическую эволюцию Левнера. Springer Science & Business Media. стр. 113. ISBN 978-3-642-27933-1.
273. "Награждены медалями Филдса 2006 года". Извещения AMS . 53 (9): 1041–1044. 2015.
274. Куастел, Джереми (2015). «Работа лауреатов премии Филдса 2014 года». Notices of the AMS . 62 (11): 1341–1344.
275. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. С. 1–4. ISBN 978-0-387-21564-8.
276. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года. John Wiley & Sons. стр. 226. ISBN 978-0-471-72517-6.
277. Joel Louis Lebowitz (1984). Неравновесные явления II: от стохастики к гидродинамике. North-Holland Pub. стр. 8–10. ISBN 978-0-444-86806-0.
278. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 374. ISBN 978-1-118-59320-2.
279. Оливер С. Айб (2013). Элементы случайных блужданий и диффузионных процессов. John Wiley & Sons. стр. 5. ISBN 978-1-118-61793-9.
280. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года. John Wiley & Sons. стр. 63. ISBN 978-0-471-72517-6.
281. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года. John Wiley & Sons. стр. 202. ISBN 978-0-471-72517-6.
282. Ионут Флореску (2014). Вероятность и стохастические процессы. John Wiley & Sons. стр. 385. ISBN 978-1-118-59320-2.
283. Барри Д. Хьюз (1995). Случайные блуждания и случайные среды: случайные блуждания. Clarendon Press. стр. 111. ISBN 978-0-19-853788-5.
284. Тиле, Торвальд Н. (1880). «Ом Anvendelse af Mindste Kvadraterbs Methode и nogle Tilfælde, hvoren Complikation af Visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder, дающем Fejleneen «систематический» характер». Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . Серия 5 (12): 381–408.
285. Хальд, Андерс (1981). «Вклад Т. Н. Тиле в статистику». Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique . 49 (1): 1–20. doi :10.2307/1403034. ISSN  0306-7734. JSTOR  1403034.
286. Lauritzen, Steffen L. (1981). «Анализ временных рядов в 1880 году: обсуждение вкладов Т. Н. Тиле». Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique . 49 (3): 319–320. doi :10.2307/1402616. ISSN  0306-7734. JSTOR  1402616.
287. Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляций» (PDF) . Энн. наук. Эк. Норм. Супер. Серия 3, 17: 21–89. дои : 10.24033/asens.476 . Архивировано (PDF) из оригинала 5 июня 2011 г.
288. Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляции». Ann. Sci. Éc. Norm. Supér . Serie 3, 17: 21–89 (перевод на английский язык Дэвида Р. Мэя, 2011). doi : 10.24033/asens.476 .
289. Курто, Жан-Мишель; Кабанов, Юрий; Брю, Бернар; Крепель, Пьер; Лебон, Изабель; Ле Маршан, Арно (2000). «Луи Башелье о столетии теории спекуляции» (PDF) . Математические финансы . 10 (3): 339–353. doi :10.1111/1467-9965.00098. ISSN  0960-1627. S2CID  14422885. Архивировано (PDF) из оригинала 21.07.2018.
290. Йованович, Франк (2012). «Башелье: не забытый предшественник, каким его изображали. Анализ распространения работ Луи Башелье в экономике» (PDF) . Европейский журнал истории экономической мысли . 19 (3): 431–451. doi :10.1080/09672567.2010.540343. ISSN  0967-2567. S2CID  154003579. Архивировано (PDF) из оригинала 21.07.2018.
291. Браш, Стивен Г. (1968). "История случайных процессов". Архив History of Exact Sciences . 5 (1): 25. doi :10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
292. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив History of Exact Sciences . 5 (1): 1–36. doi :10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
293. DJ Daley; D. Vere-Jones (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. С. 8–9. ISBN 978-0-387-21564-8.
294. Эмбрехтс, Пауль; Фрей, Рюдигер; Фуррер, Хансйорг (2001). "Стохастические процессы в страховании и финансах". Стохастические процессы: теория и методы . Справочник по статистике. Том 19. С. 367. doi :10.1016/S0169-7161(01)19014-0. ISBN 978-0444500144. ISSN  0169-7161.
295. Крамер, Харальд (1969). «Исторический обзор работ Филипа Лундберга по теории риска». Scandinavian Actuarial Journal . 1969 (sup3): 6–12. doi :10.1080/03461238.1969.10404602. ISSN  0346-1238.
296. Чарльз Миллер Гринстед; Джеймс Лори Снелл (1997). Введение в теорию вероятностей. Американское математическое общество. стр. 464–466. ISBN 978-0-8218-0749-1.
297. Pierre Bremaud (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. стр. ix. ISBN 978-1-4757-3124-8.
298. Hayes, Brian (2013). «Первые звенья в цепи Маркова». American Scientist . 101 (2): 92–96. doi :10.1511/2013.101.92.
299. Сенета, Э. (1998). «И. Ж. Бьенеме [1796-1878]: критичность, неравенство и интернационализация». Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique . 66 (3): 291–292. doi :10.2307/1403518. ISSN  0306-7734. JSTOR  1403518.
300. Брю, Б.; Герц, С. (2001). «Морис Фреше». Статистики веков . стр. 331–334. дои : 10.1007/978-1-4613-0179-0_71. ISBN 978-0-387-95283-3.
301. Марк Барбут; Бернард Локер; Лоран Мазлиак (2016). Поль Леви и Морис Фреше: 50 лет переписки в 107 письмах. Спрингер Лондон. п. 5. ISBN 978-1-4471-7262-8.
302. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 146. ISBN 978-3-540-26312-8.
303. Бернстайн, Джереми (2005). «Башелье». Американский журнал физики . 73 (5): 398–396. Bibcode : 2005AmJPh..73..395B. doi : 10.1119/1.1848117. ISSN  0002-9505.
304. Уильям Дж. Андерсон (2012). Цепи Маркова с непрерывным временем: подход, ориентированный на приложения. Springer Science & Business Media. стр. vii. ISBN 978-1-4612-3038-0.
305. Кендалл, Д. Г.; Бэтчелор, Г. К.; Бингем, Н. Х.; Хейман, В. К.; Хайленд, Дж. М. Э.; Лоренц, Г. Г.; Моффат, Х. К.; Парри, В.; Разборов, А. А.; Робинсон, К. А.; Уиттл, П. (1990). «Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 57. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN  0024-6093.
306. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Cambridge University Press. стр. 67. ISBN 978-0-521-83263-2.
307. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. SIAM. стр. 13. ISBN 978-0-89871-693-1.
308. Кришна Б. Атрея; Соумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятности. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-32903-1.
309. Бернт Оксендаль (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: Введение с приложениями. Springer Science & Business Media. стр. 11. ISBN 978-3-540-04758-2.
310. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Cambridge University Press. стр. 124. ISBN 978-0-521-40605-5.
311. Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Cambridge University Press. стр. 410. ISBN 978-1-139-49113-6.
312. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Limited. С. 493–494. ISBN 978-81-265-1771-8.
313. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. С. 529–530. ISBN 978-1-4471-5201-9.
314. Кришна Б. Атрея; Соумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 221. ISBN 978-0-387-32903-1.
315. Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 14. ISBN 978-0-387-48116-6.
316. Кришна Б. Атрея; Соумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 211. ISBN 978-0-387-32903-1.
317. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 536. ISBN 978-1-4471-5201-9.
318. Бенджамин Якир (2013). Экстремумы в случайных полях: теория и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 5. ISBN 978-1-118-72062-2.
319. Блэк, Фишер; Шоулз, Майрон (1973). «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств». Журнал политической экономии . 81 (3): 637–654. doi :10.1086/260062. ISSN  0022-3808. JSTOR  1831029.
320. Мертон, Роберт С. (июль 2005 г.), «Теория рационального ценообразования опционов», Теория оценки (2-е изд.), WORLD SCIENTIFIC, стр. 229–288, doi :10.1142/9789812701022_0008, ISBN 978-981-256-374-3, получено 2024-09-30
321. Хестон, Стивен Л. (1993). «Закрытое решение для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к опционам на облигации и валюты». Обзор финансовых исследований . 6 (2): 327–343. doi :10.1093/rfs/6.2.327. ISSN  0893-9454. JSTOR  2962057.
322. Росс, Шелдон М. (2010). Введение в вероятностные модели (10-е изд.). Амстердам-Гейдельберг: Elsevier. ISBN 978-0-12-375686-2.
323. Росс, Шелдон М. (2010). Введение в вероятностные модели (10-е изд.). Амстердам-Гейдельберг: Elsevier. ISBN 978-0-12-375686-2.

Дальнейшее чтение

Статьи

• Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Notices of the AMS . 51 (11): 1336–1347.
• Крамер, Харальд (1976). «Полвека с теорией вероятностей: некоторые личные воспоминания». Анналы вероятности . 4 (4): 509–546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
• Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуйля и свойством Sharp Markov? Некоторая история стохастических точечных процессов». International Statistical Review . 80 (2): 253–268. doi :10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
• Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). "Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: ранние годы, 1880–1970". Юбилейный сборник Германа Рубина . Заметки лекций Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–91. doi :10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170.
• Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.

Книги

• Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
• Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6.
• Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8.
• Джозеф Л. Дуб (1990). Стохастические процессы. Wiley.
• Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их приложений до 1750 года. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72517-6.
• Криспин Гардинер (2010). Стохастические методы. Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Иосиф И. Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1996). Введение в теорию случайных процессов. Корпорация «Курьер». ISBN 978-0-486-69387-3.
• Эмануэль Парзен (2015). Стохастические процессы. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-79688-8.
• Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Oxford University Press.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные со стохастическими процессами на Wikimedia Commons