Пусть – гладкое отображение между гладкими многообразиями и . Тогда существует ассоциированное линейное отображение пространства 1-форм на ( линейное пространство сечений кокасательного расслоения ) в пространство 1-форм на . Эта линейная карта известна как обратный ход (по ) и часто обозначается . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – может быть возвращено к использованию .
Когда отображение является диффеоморфизмом , то обратный ход вместе с выталкиванием вперед можно использовать для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если это диффеоморфизм между открытыми подмножествами и , рассматриваемый как замена координат (возможно, между различными картами на многообразии ), то обратный и прямой переход описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (координатно-зависимых ) подходы к предмету.
Идея, лежащая в основе отката, по сути, заключается в идее предварительного соединения одной функции с другой. Однако, объединив эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции возврата. Эта статья начинается с простейших операций, а затем используется для построения более сложных операций. Грубо говоря, механизм обратного хода (с использованием предкомпозиции) превращает несколько конструкций дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .
Пусть – гладкое отображение между (гладкими) многообразиями и , и предположим, что – гладкая функция на . Тогда обратный откат by является гладкой функцией , определяемой . Аналогично, если является гладкой функцией на открытом множестве в , то та же самая формула определяет гладкую функцию на открытом множестве в . (На языке пучков обратный образ определяет морфизм пучка гладких функций на прямой образ пучка гладких функций на .)
В более общем смысле, если является гладким отображением из в любое другое многообразие , то является гладким отображением из в .
Если векторное расслоение (или любое расслоение ) над и является гладким отображением, то расслоение обратного образа является векторным расслоением (или расслоением ), над которым слой над in задается выражением .
В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию возврата на разделах : если это раздел over , то раздел возврата является разделом over .
Пусть Φ: V → W — линейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть
быть полилинейной формой на W (также известной как тензор – не путать с тензорным полем – ранга (0, s ) , где s — количество множителей W в произведении). Тогда обратный образ Φ ∗ F формы F с помощью Φ является полилинейной формой на V , определенной предкомпозицией F с Φ. Точнее, заданные векторы v 1 , v 2 , ..., v s в V , Φ ∗ F определяются по формуле
которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ ∗ — (линейный) оператор перехода от полилинейных форм на W к полилинейным формам на V . В качестве частного случая отметим, что если F — линейная форма (или (0,1)-тензор) на W , так что F — элемент W ∗ , двойственного к W пространства , то Φ ∗ F является элементом V ∗ , и поэтому обратный образ по Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в направлении, противоположном самому линейному отображению Φ:
С тензорной точки зрения естественно попытаться распространить понятие обратного образа на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W , принимающие значения в тензорном произведении r копий W , т. е. W ⊗ W ⊗ ⋅ ⋅⋅ ⊗ Вт . Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным путем: вместо этого существует операция продвижения вперед от V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V к W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная формулой
Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратима, обратный ход можно определить с помощью обратной функции Φ −1 . Объединение этих двух конструкций дает операцию продвижения вперед по обратимому линейному отображению для тензоров любого ранга ( r , s ) .
Пусть – гладкое отображение гладких многообразий . Тогда дифференциал , записанный , , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из касательного расслоения в расслоение обратного образа . Таким образом , транспонирование является отображением расслоения из в , кокасательное расслоение .
Теперь предположим, что это часть ( 1 -формы на ), и предварительно скомпонуйте с , чтобы получить раздел обратного преобразования . Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратный откат by , который является 1-формой on , определенной for in и in .
Конструкция предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга любого натурального числа : тензорное поле на многообразии — это сечение тензорного расслоения, на слое которого в in есть пространство полилинейных -форм . ) дифференциал гладкого отображения от до , возврат полилинейных форм можно объединить с возвратом сечений, чтобы получить тензорное поле обратного преобразования на . Точнее, если -тензорное поле на , то обратный путь от by - это -тензорное поле on, определенное посредством для in и in .
Частным важным случаем возврата ковариантных тензорных полей является возврат дифференциальных форм . Если - дифференциальная -форма, т. е. сечение внешнего расслоения (послойно) чередующихся -форм на , то обратный образ - это дифференциальная -форма на, определяемая той же формулой, что и в предыдущем разделе: для in и in .
Обращение дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.
Когда отображение между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкое обратное, тогда обратный образ может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм и, следовательно, в более широком смысле, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. . Линейная карта
можно перевернуть, чтобы дать
Общее смешанное тензорное поле затем преобразуется с помощью и в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного расслоения в копии и . Когда , то возврат и движение вперед описывают свойства преобразования тензора на многообразии . Говоря традиционным языком, обратный образ описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается сдвигом вперед .
Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда – диффеоморфизм многообразия в себя. В этом случае производная является частью . Это вызывает обратное действие на сечениях любого расслоения, связанного с расслоением фреймов представлением полной линейной группы (где ).
См. производную Лия . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемых векторным полем на , и дифференцируя по параметру, получается понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.
Если является связностью (или ковариантной производной ) на векторном расслоении над и является гладким отображением из в , то существует обратное соединение на над , однозначно определяемое условием, что