Pushforward (дифференциал)

Линейная аппроксимация гладких отображений на касательных пространствах

Если отображение φ переносит каждую точку многообразия M в многообразие N, то преобразование φ переносит векторы из касательного пространства в каждой точке M в касательное пространство в каждой точке N.

В дифференциальной геометрии , pushforward является линейным приближением гладких отображений (формулирующих многообразие) на касательных пространствах. Предположим, что является гладким отображением между гладкими многообразиями ; тогда дифференциал в точке , обозначаемый , является, в некотором смысле, наилучшим линейным приближением вблизи . Его можно рассматривать как обобщение полной производной обычного исчисления. Явно, дифференциал является линейным отображением из касательного пространства в в касательное пространство в , . Следовательно, его можно использовать для проталкивания касательных векторов на вперед к касательным векторам на . Дифференциал отображения также называется, разными авторами, производной или полной производной от . ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Мотивация

Пусть будет гладким отображением из открытого подмножества в открытое подмножество . Для любой точки в якобиан в (относительно стандартных координат) является матричным представлением полной производной в , которая является линейным отображением ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

между их касательными пространствами. Обратите внимание, что касательные пространства изоморфны и , соответственно. Pushforward обобщает эту конструкцию на случай, когда это гладкая функция между любыми гладкими многообразиями и . ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Дифференциал гладкого отображения

Пусть будет гладким отображением гладких многообразий. Учитывая дифференциал at , является линейным отображением ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

из касательного пространства в точке в касательное пространство в точке Изображение касательного вектора под точкой иногда называют прямым проецированием точки по точке Точное определение прямого проецирования зависит от определения, используемого для касательных векторов (различные определения см. в касательном пространстве ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x).}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}X}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Если касательные векторы определяются как классы эквивалентности кривых , для которых тогда дифференциал задается выражением ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Здесь — кривая в точке , а — касательный вектор к кривой в точке Другими словами, вектор, направленный вперед от касательного вектора к кривой в точке , является касательным вектором к кривой в точке ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$

В качестве альтернативы, если касательные векторы определяются как производные, действующие на гладкие действительные функции, то дифференциал задается выражением

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

для произвольной функции и произвольного вывода в точке ( вывод определяется как линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница , см.: определение касательного пространства через вывод ). По определению, прямой перенос находится в и, следовательно, сам является выводом, . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

После выбора двух диаграмм вокруг и вокруг локально определяется гладким отображением между открытыми множествами и , и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

в записи суммирования Эйнштейна , где частные производные вычисляются в точке, соответствующей на данной диаграмме. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Расширение по линейности дает следующую матрицу

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Таким образом, дифференциал является линейным преобразованием между касательными пространствами, связанным с гладким отображением в каждой точке. Поэтому в некоторых выбранных локальных координатах он представлен матрицей Якоби соответствующего гладкого отображения из в . В общем случае дифференциал не обязательно должен быть обратимым. Однако, если является локальным диффеоморфизмом , то является обратимым, а обратное дает пулбэк ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

Дифференциал часто выражается с помощью различных других обозначений, таких как

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

Из определения следует, что дифференциал композита является композитом дифференциалов (т.е. функториальным поведением). Это цепное правило для гладких отображений.

Кроме того, дифференциал локального диффеоморфизма является линейным изоморфизмом касательных пространств.

Дифференциал на касательном расслоении

Дифференциал гладкого отображения очевидным образом индуцирует отображение расслоения (фактически гомоморфизм векторного расслоения ) из касательного расслоения в касательное расслоение , обозначаемое как , которое вписывается в следующую коммутативную диаграмму : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d\varphi }$

где и обозначают проекции касательных расслоений и соответственно. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$индуцирует отображение расслоения из в обратное расслоение φ ^∗ TN через ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (\varphi (m),\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

где и Последнее отображение, в свою очередь, можно рассматривать как сечение векторного расслоения Hom( TM , φ ^∗ TN ) над M . Отображение расслоения также обозначается и называется касательным отображением . Таким образом, является функтором . ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T}$

Продвижка векторных полей

При наличии гладкого отображения φ  : M → N и векторного поля X на M обычно невозможно идентифицировать pushforward X с помощью φ с некоторым векторным полем Y на N . Например, если отображение φ не является сюръективным, то нет естественного способа определить такой pushforward вне образа φ . Кроме того, если φ не является инъективным, то может быть более одного выбора pushforward в заданной точке. Тем не менее, можно сделать эту трудность точной, используя понятие векторного поля вдоль отображения.

Сечение φ ∗ TN над M называется векторным полем вдоль φ . Например, если M — подмногообразие N , а φ — включение, то векторное поле вдоль φ — ^это просто сечение касательного расслоения N вдоль M ; в частности, векторное поле на M определяет такое сечение через включение TM внутрь TN . Эта идея обобщается на произвольные гладкие отображения.

Предположим, что X — векторное поле на M , т. е. сечение TM . Тогда, в указанном выше смысле, даёт прямой проецирующий элемент φ _∗ X , который является векторным полем вдоль φ , т. е . сечением φ ^∗ TN над M. ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Любое векторное поле Y на N определяет обратную секцию φ ^∗ Y для φ ^∗ TN с ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Говорят, что векторное поле X на M и векторное поле Y на N являются φ -связанными , если φ _∗ X = φ ^∗ Y как векторные поля вдоль φ . Другими словами, для всех x в M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

В некоторых ситуациях, если задано векторное поле X на M , существует единственное векторное поле Y на N , которое φ -связано с X. Это верно, в частности, когда φ является диффеоморфизмом . В этом случае прямой проталкивание определяет векторное поле Y на N , заданное как

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Более общая ситуация возникает, когда φ сюръективно (например, проекция расслоения расслоения). Тогда векторное поле X на M называется проектируемым, если для всех y в N dφ _x ( X _x ) не зависит от выбора x в φ ⁻¹ ({ y }). Это как раз то условие, которое гарантирует , что прямой проброс X как векторного поля на N определен корректно.

Примеры

Прогрессивный подход от умножения групп Ли

При наличии группы Ли мы можем использовать карту умножения для получения карт левого умножения и правого умножения . Эти карты можно использовать для построения левых или правых инвариантных векторных полей на из ее касательного пространства в начале координат (которое является ее связанной алгеброй Ли ). Например, при условии мы получаем связанное векторное поле на , определенное для каждого . Это можно легко вычислить с помощью определения кривых отображений прямого проталкивания. Если у нас есть кривая , где мы получаем , так как является постоянной относительно . Это подразумевает, что мы можем интерпретировать касательные пространства как . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$ ${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$ $${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{g}G}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

Продвижение некоторых групп Ли

Например, если группа Гейзенберга задана матрицами, то она имеет алгебру Ли, заданную набором матриц, поскольку мы можем найти путь, дающий любое действительное число в одном из верхних элементов матрицы с (i-й строкой и j-м столбцом). Тогда для мы имеем что равно исходному набору матриц. Это не всегда так, например, в группе мы имеем ее алгебру Ли как набор матриц, следовательно, для некоторой матрицы мы имеем что не является тем же набором матриц. ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$ ${\displaystyle i<j}$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

Смотрите также

• Обратный откат (дифференциальная геометрия)
• Генеративная модель на основе потока

Ссылки

• Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Springer Graduate Texts in Mathematics. Том 218.
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. раздел 1.6 .
• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. См. разделы 1.7 и 2.3 .