Индуцированное отображение между дуальными пространствами двух векторных пространств
В линейной алгебре транспонирование линейного отображения между двумя векторными пространствами, определенное над одним и тем же полем , является индуцированным отображением между дуальными пространствами двух векторных пространств. Транспонирование или алгебраическое сопряжение линейного отображения часто используется для изучения исходного линейного отображения. Это понятие обобщается сопряженными функторами .
Определение
Пусть обозначает алгебраическое сопряженное пространство векторного пространства
Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем
Если — линейное отображение , то его алгебраическое сопряженное или сопряженное отображение определяется соотношением
Полученный функционал называется обратным образом отображения
Непрерывное сопряженное пространство топологического векторного пространства (TVS) обозначается через
Если и являются TVS, то линейное отображение слабо непрерывно тогда и только тогда, когда в этом случае мы обозначим ограничение на
Отображение называется транспонированием или алгебраическим сопряженным к
Следующее тождество характеризует транспонирование : [3]
где — естественное спаривание , определяемое соотношением
Характеристики
Присваивание производит инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов из в и пространством линейных операторов из в
Если тогда пространство линейных отображений является алгеброй относительно композиции отображений , и присваивание тогда является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что
На языке теории категорий взятие двойственного векторных пространств и транспонирование линейных отображений является, следовательно, контравариантным функтором из категории векторных пространств в себя. Можно идентифицировать с использованием естественной инъекции в двойной двойственный.
- Если и являются линейными отображениями, то [4]
- Если — ( сюръективный ) изоморфизм векторного пространства, то таковым является и транспонирование.
- Если и — нормированные пространства , то
и если линейный оператор ограничен, то норма оператора равна норме ; то есть
и, более того,
Поляры
Предположим теперь, что — слабо непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами и с непрерывными сопряженными пространствами и соответственно. Пусть обозначает каноническую сопряженную систему , определяемую соотношением , где и называются ортогональными, если
Для любых подмножеств и пусть
обозначает ( абсолютную ) полярную функцию в (соответственно в ) .
- Если и являются выпуклыми, слабо замкнутыми множествами, содержащими начало координат, то следует
- Если и тогда [4]
и
Аннигиляторы
Предположим, что и являются топологическими векторными пространствами , а — слабо непрерывный линейный оператор (так что ). Даны подмножества и , определяем их аннуляторы (относительно канонической двойственной системы) по формуле
и
- Ядро — это подпространство, ортогональное образу :
- Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда его образ является слабо плотным подмножеством (то есть образ плотен в , когда задана слабая топология, индуцированная ).
- Транспонирование непрерывно, когда оба и наделены слабой-* топологией (соответственно, оба наделены сильной двойственной топологией, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах).
- ( Сюръекция пространств Фреше ): Если и являются пространствами Фреше , то непрерывный линейный оператор сюръективен тогда и только тогда, когда (1) транспонирование инъективно , и (2) образ транспонирования является слабо замкнутым (т.е. слабо- * замкнутым) подмножеством
Двойственные пространства факторпространств
Пусть будет замкнутым векторным подпространством хаусдорфова локально выпуклого пространства и обозначим каноническое факторное отображение через
Предположим, что наделено факторной топологией, индуцированной факторным отображением
Тогда транспонирование факторного отображения имеет значения в и
является TVS-изоморфизмом на
Если является банаховым пространством, то также является изометрией .
Используя это транспонирование, каждый непрерывный линейный функционал на факторном пространстве канонически отождествляется с непрерывным линейным функционалом в аннуляторе
Дуалы векторных подпространств
Пусть — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства.
Если и если — непрерывное линейное расширение до , то присвоение индуцирует изоморфизм векторного пространства
, который является изометрией, если — банахово пространство.
Обозначим отображение включения как
Транспонированное отображение включения есть
ядром которого является аннулятор и которое является сюръективным по теореме Хана–Банаха . Это отображение индуцирует изоморфизм векторных пространств
Представление в виде матрицы
Если линейная карта представлена матрицей относительно двух оснований и затем представлена транспонированной матрицей относительно дуальных оснований и отсюда название. В качестве альтернативы, как представлено действием вправо на векторы-столбцы, представлено той же матрицей, действующей влево на векторы-строки. Эти точки зрения связаны каноническим внутренним произведением, на котором отождествляется пространство векторов-столбцов с дуальным пространством векторов-строк.
Отношение к эрмитовому сопряженному
Тождество, характеризующее транспонирование, то есть формально похоже на определение эрмитово сопряженного , однако транспонирование и эрмитово сопряженное не являются одним и тем же отображением. Транспонирование является отображением и определено для линейных отображений между любыми векторными пространствами и без необходимости какой-либо дополнительной структуры. Эрмитово сопряженное отображает и определено только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку оно определяется в терминах скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Поэтому эрмитово сопряженное требует большей математической структуры, чем транспонирование.
Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой, такой как евклидово скалярное произведение или другое вещественное скалярное произведение . В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения векторных пространств и их двойственных пространств, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение
Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение является полуторалинейным, а не билинейным, и эти преобразования изменяют транспонирование в сопряженное отображение.
Точнее: если и являются гильбертовыми пространствами, а — линейное отображение, то транспонированное и эрмитово сопряженное, которые мы обозначим соответственно через и , связаны между собой. Обозначим через и канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств и на их сопряженные. Тогда имеет место следующая композиция отображений:
Приложения к функциональному анализу
Предположим, что и являются топологическими векторными пространствами , а это линейное отображение, тогда многие свойства отражаются в
- Если и являются слабо замкнутыми, выпуклыми множествами, содержащими начало координат, то следует [4]
- Нулевое пространство является подпространством, ортогональным к диапазону [ 4]
- является инъективным тогда и только тогда, когда область значений слабо замкнута. [4]
Смотрите также
Ссылки
- ^ Халмош (1974, §44)
- ^ abcde Шефер и Вольф 1999, стр. 129–130
Библиография
- Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4
- Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.