Ядро (линейная алгебра)

В математике ядро линейного отображения , также известное как нулевое пространство или нулевое пространство , представляет собой часть области , которая отображается в нулевой вектор со-области; ядро всегда является линейным подпространством области. ^[1] То есть, если задано линейное отображение $L$ $:$ $V$ $\to$ $W$ между двумя векторными пространствами $V$ и $W$ , ядро $L$ представляет собой векторное пространство всех элементов $v$ из $V,$ таких что $L$ $($ $v$ $) =$ $0$ , где $0$ обозначает нулевой вектор в $W$ , ^[2] или более символически: $\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v})=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\ mathbf {0} ).$

Характеристики

Ядро $L$ является линейным подпространством области $V.$ ^[3]^[2] В линейном отображении два элемента $V$ имеют один и тот же образ в $W$ тогда и только тогда , когда их разность лежит в ядре $L$ , то есть, $L:V\to W,$ $L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ тогда и только тогда, когда }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .$

Из этого по первой теореме об изоморфизме следует , $что$ образ $L$ изоморфен фактору V по ядру: $\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$ В случае, когда V конечномерно $,$ это подразумевает теорему о ранге–ничтожности : где член $\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).$ ранг относится к размеру изображения $L$ ,тогда как $\dim(\operatorname {im} L),$ Недействительность относится к размерности ядра $L$ ,^[4] То есть, так что теорему о ранге–недействительности можно переформулировать как $\dim(\ker L).$ $\operatorname {Ранг} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ и }}\qquad \operatorname {Ноль} (L)=\dim(\ker L),$ $\operatorname {Ранг} (L)+\operatorname {Нульсеность} (L)=\dim \left(\operatorname {домен} L\right).$

Когда $V$ — пространство внутреннего произведения , частное можно отождествить с ортогональным дополнением в $V$ для . Это обобщение на линейные операторы пространства строк или кообраза матрицы. $V/\ker(L)$ $\ker(L)$

Обобщение по модулям

Понятие ядра также имеет смысл для гомоморфизмов модулей , которые являются обобщениями векторных пространств, где скаляры являются элементами кольца , а не поля . Областью отображения является модуль, а ядро составляет подмодуль . Здесь понятия ранга и недействительности не обязательно применимы .

В функциональном анализе

Если $V$ и $W$ — топологические векторные пространства , причем $W$ конечномерно, то линейный оператор $L : V \to W$ непрерывен тогда и только тогда, когда ядро $L$ является замкнутым подпространством $V$ .

Представление в виде умножения матриц

Рассмотрим линейное отображение, представленное как матрица $A размером$ $m \times n$ с коэффициентами в поле $K$ (обычно или ), которое работает с векторами-столбцами $x$ с $n$ компонентами над $K$ . Ядро этого линейного отображения является множеством решений уравнения $A$ $x$ $=$ $0$ , где $0$ понимается как нулевой вектор . Размерность ядра A называется нулевым значением A . В нотации set-builder матричное уравнение эквивалентно однородной системе линейных уравнений : Таким образом, ядро A совпадает с множеством решений для приведенных выше однородных уравнений. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Свойства подпространства

Ядро матрицы $A$ $размера$ $m \times n$ над полем $K$ является линейным подпространством K $n$ . То есть ядро $A$ , множество $Null($ $A$ $)$ , обладает следующими тремя свойствами:

$Null(A)$ всегда содержит нулевой вектор , так как $A 0 = 0$ .
Если $x \in Null(A)$ и $y \in Null(A)$ , то $x + y \in Null(A)$ . Это следует из дистрибутивности умножения матриц относительно сложения.
Если $x \in Null(A)$ и $c$ — скаляр $c \in K$ , то $c x \in Null(A)$ , поскольку $A (c x) = c (A x) = c 0 = 0$ .

Пространство строк матрицы

Произведение A x можно записать через скалярное произведение векторов следующим образом: $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.$

Здесь $a 1, ... , a m$ обозначают строки матрицы $A$ . Отсюда следует, что $x$ принадлежит ядру матрицы $A$ , если и только если $x$ ортогонален (или перпендикулярен) каждому из векторов-строк матрицы $A$ (поскольку ортогональность определяется как скалярное произведение, равное 0) .

Пространство строк , или кообраз, матрицы $A$ — это диапазон векторов строк матрицы $A.$ По приведенным выше рассуждениям ядро матрицы $A$ является ортогональным дополнением к пространству строк. То есть вектор $x$ лежит в ядре матрицы $A$ , если и только если он перпендикулярен каждому вектору в пространстве строк матрицы $A.$

Размерность пространства строк $A$ называется рангом A , а размерность ядра $A$ называется нуллизмом A. Эти величины связаны теоремой о ранге–нуллизме [ $4$ ^] $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

Оставлено пустое пространство

Левое нулевое пространство , или коядро , матрицы $A$ состоит из всех векторов-столбцов $x$ таких, что $x T A = 0 T$ , где T обозначает транспонирование матрицы. Левое нулевое пространство $A$ совпадает с ядром $A T$ . Левое нулевое пространство $A$ является ортогональным дополнением к пространству столбцов A и является двойственным к коядру соответствующего линейного преобразования. Ядро, пространство строк, пространство столбцов и левое нулевое пространство $A$ являются четырьмя фундаментальными подпространствами, $связанными$ с матрицей $A$ .

Неоднородные системы линейных уравнений

Ядро также играет роль в решении неоднородной системы линейных уравнений: если $u$ и $v$ — два возможных решения приведенного выше уравнения, то Таким образом, разность любых двух решений уравнения $A$ $x$ $=$ $b$ лежит в ядре $A.$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$ $A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0}$

Отсюда следует, что любое решение уравнения $A x = b$ может быть выражено как сумма фиксированного решения $v$ и произвольного элемента ядра. То есть, решение, заданное для уравнения $A x = b$ , равно Геометрически это говорит о том, что решение, заданное для $A$ $x$ $=$ $b,$ является переносом ядра $A$ на вектор $v$ . См. также альтернативу Фредгольма и плоскость (геометрия) . $\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},$

Иллюстрация

Ниже приведена простая иллюстрация вычисления ядра матрицы (см. § Вычисление методом исключения Гаусса ниже для методов, лучше подходящих для более сложных вычислений). Иллюстрация также затрагивает пространство строк и его связь с ядром.

Рассмотрим матрицу Ядро этой матрицы состоит из всех векторов $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) \in$ $R3$ $,$ для которых которую можно выразить в виде однородной системы линейных уравнений, содержащих $x$ , $y$ и $z$ : $A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$ ${\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$ ${\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}$

Те же линейные уравнения можно записать в матричной форме следующим образом: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

С помощью метода исключения Гаусса-Жордана матрицу можно свести к виду: $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

Переписывая матрицу в виде уравнения, получаем: ${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}$

Элементы ядра могут быть далее выражены в параметрической векторной форме следующим образом: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )$

Поскольку $c$ — свободная переменная, пробегающая все действительные числа, это можно выразить так: Ядро $A$ — это в точности набор решений этих уравнений (в данном случае линия, проходящая через начало координат в $R$ $3$ ). Здесь, поскольку вектор $(-1,-26,16)$ $T$ составляет базис ядра $A$ . Нулевое значение $A$ равно 1. ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$

Следующие скалярные произведения равны нулю: что иллюстрирует, что векторы в ядре $A$ ортогональны каждому из векторов- строк $A.$ ${\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,$

Эти два (линейно независимых) вектора-строки охватывают пространство строк матрицы $A$ — плоскость, ортогональную вектору $(-1,-26,16) T$ .

При ранге 2 матрицы $A$ , нулевом значении 1 матрицы $A$ и размерности 3 матрицы $A$ мы имеем иллюстрацию теоремы о ранге-нульном значении.

Примеры

Если $L : R m \to R n$ , то ядро $L$ является множеством решений однородной системы линейных уравнений . Как и на приведенной выше иллюстрации, если $L$ является оператором: то ядро $L$ является множеством решений уравнений $L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$ ${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$
Пусть $C [0,1]$ обозначает векторное пространство всех непрерывных действительных функций на интервале [0,1] и определим $L : C [0,1] \to R$ по правилу Тогда ядро $L$ состоит из всех функций $f$ $\in$ $C$ $[0,1],$ для которых $f$ $(0,3) = 0$ . $L(f)=f(0.3).$
Пусть $C \infty (R)$ — векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций $R \to R$ , а $D : C \infty (R) \to C \infty (R)$ — оператор дифференцирования : Тогда ядро $D$ состоит из всех функций из $C$ $\infty$ $($ $R$ $),$ производные которых равны нулю, т.е. множества всех постоянных функций . $D(f)={\frac {df}{dx}}.$
Пусть $R \infty$ — прямое произведение бесконечного числа копий $R$ , и пусть $s : R \infty \to R \infty$ — оператор сдвига. Тогда ядро $s$ — это одномерное подпространство, состоящее из всех векторов $($ $x$ $1$ $, 0, 0, 0, ...)$ . $s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$
Если $V$ — пространство скалярного произведения , а $W$ — подпространство, то ядро ортогональной проекции $V \to W$ является ортогональным дополнением к $W$ в $V$ .

Вычисление методом исключения Гаусса

Базис ядра матрицы можно вычислить методом исключения Гаусса .

Для этой цели, имея матрицу $A$ $размером m \times n$ , мы сначала строим расширенную матрицу строк , где $I$ — единичная матрица $размером n$ $\times$ $n$ . ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},$

Вычисляя ее ступенчатую форму столбцов методом исключения Гаусса (или любым другим подходящим методом), мы получаем матрицу $A$ , базис ядра которой состоит из ненулевых столбцов $C,$ таких, что соответствующий столбец $B$ является нулевым столбцом . ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.$

Фактически, вычисление можно остановить, как только верхняя матрица примет форму столбцового эшелона: оставшаяся часть вычисления заключается в изменении базиса векторного пространства, генерируемого столбцами, верхняя часть которых равна нулю.

Например, предположим, что Тогда $A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$ ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Приведение верхней части к столбцовой ступенчатой форме с помощью операций над столбцами на всей матрице дает ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Последние три столбца матрицы $B$ являются нулевыми столбцами. Следовательно, три последних вектора матрицы C $являются$ базисом ядра матрицы $A.$ $\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$

Доказательство того, что метод вычисляет ядро: Поскольку операции столбцов соответствуют пост-умножению на обратимые матрицы, тот факт, что сводится к означает, что существует обратимая матрица такая, что с в ступенчатой форме столбцов. Таким образом , , и . Вектор-столбец принадлежит ядру (то есть ) тогда и только тогда, когда , где . Как и в ступенчатой форме столбцов, , тогда и только тогда, когда ненулевые элементы соответствуют нулевым столбцам . Умножая на , можно вывести, что это так, если и только тогда, когда является линейной комбинацией соответствующих столбцов . ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}$ $P$ ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},$ $B$ $AP=B$ $IP=C$ $AC=B$ $\mathbf {v}$ $A$ $A\mathbf {v} =\mathbf {0}$ $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ $\mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v}$ $B$ $B\mathbf {w} =\mathbf {0}$ $\mathbf {w}$ $B$ $C$ $\mathbf {v} =C\mathbf {w}$ $C$

Численные вычисления

Проблема вычисления ядра на компьютере зависит от характера коэффициентов.

Точные коэффициенты

Если коэффициенты матрицы — это точно заданные числа, то ступенчатая форма столбцов матрицы может быть вычислена с помощью алгоритма Барейса более эффективно, чем с помощью исключения Гаусса. Еще более эффективно использовать модульную арифметику и китайскую теорему об остатках , что сводит задачу к нескольким аналогичным задачам над конечными полями (это позволяет избежать накладных расходов, вызванных нелинейностью вычислительной сложности целочисленного умножения). ^{[ необходима цитата ]}

Для коэффициентов в конечном поле метод исключения Гаусса работает хорошо, но для больших матриц, которые встречаются в криптографии и вычислениях на основе базиса Грёбнера , известны лучшие алгоритмы, которые имеют примерно такую же вычислительную сложность , но работают быстрее и лучше ведут себя с современным компьютерным оборудованием . ^{[ требуется ссылка ]}

Вычисления с плавающей точкой

Для матриц, элементы которых являются числами с плавающей точкой , проблема вычисления ядра имеет смысл только для матриц, таких, что число строк равно их рангу: из-за ошибок округления матрица с плавающей точкой почти всегда имеет полный ранг , даже когда она является приближением матрицы гораздо меньшего ранга. Даже для матрицы полного ранга можно вычислить ее ядро, только если она хорошо обусловлена , т. е. имеет низкое число обусловленности . ^[5]^{[ необходима цитата ]}

Даже для хорошо обусловленной матрицы полного ранга гауссовское исключение ведет себя некорректно: оно вносит ошибки округления, которые слишком велики для получения значимого результата. Поскольку вычисление ядра матрицы является частным случаем решения однородной системы линейных уравнений, ядро может быть вычислено с помощью любого из различных алгоритмов, разработанных для решения однородных систем. Современным программным обеспечением для этой цели является библиотека Lapack . ^{[ необходима цитата ]}

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Weisstein, Eric W. "Kernel". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-09 .
^ ab "Ядро (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Получено 2019-12-09 .
^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, является очень хорошо устоявшейся математической дисциплиной, для которой существует множество источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и лекциях Стрэнга.
^ ab Weisstein, Eric W. "Теорема о ранге-нуле". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-09 .
^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-08-29 . Получено 2015-04-14 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

Библиография

Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7.
Мейер, Карл Д. (2001), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 2009-10-31.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3.
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International.
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall.
Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Springer. ISBN 9780387964126.
Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид III (1997), Численная линейная алгебра, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Линейная алгебра/Нуль-пространства

«Ядро матрицы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Khan Academy , Введение в нулевое пространство матрицы