Пространство между строками и столбцами

В линейной алгебре пространство столбцов (также называемое диапазоном или образом ) матрицы A — это диапазон (множество всех возможных линейных комбинаций ) ее векторов столбцов . Пространство столбцов матрицы — это образ или диапазон соответствующего матричного преобразования .

Пусть будет полем . Пространство столбцов матрицы $m$ $\times$ $n$ с компонентами из является линейным подпространством m -пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превышает $min($ $m$ $,$ $n$ $)$ . ^[1] Также возможно определение для матриц над кольцом . $F$ $F$ $F^{м}$ $R$

Пространство между строками определяется аналогично.

Пространство строк и пространство столбцов матрицы $A$ иногда обозначаются как $C (A T)$ и $C (A)$ соответственно. ^[2]

В данной статье рассматриваются матрицы действительных чисел . Пространства строк и столбцов являются подпространствами действительных пространств и соответственно. ^[3] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{м}$

Обзор

Пусть $A$ — матрица размером $m$ $на n$ . Тогда

$ранг(A) = размерность(строкиsp(A)) = размерность(колсп(A))$ , ^[4]
$ранг (A)$ = количество опорных точек в любой ступенчатой форме $A$ ,
$rank(A)$ = максимальное число линейно независимых строк или столбцов $A$ . ^[5]

Если матрица представляет собой линейное преобразование , то пространство столбцов матрицы равно образу этого линейного преобразования.

Пространство столбцов матрицы $A$ — это множество всех линейных комбинаций столбцов в $A.$ Если $A = [a 1 \dots a n]$ , то $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ .

Для данной матрицы $A$ действие матрицы $A$ на вектор $x$ возвращает линейную комбинацию столбцов $A$ с координатами $x$ в качестве коэффициентов; то есть столбцы матрицы генерируют пространство столбцов.

Пример

Дана матрица $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

строки — это , , , . Следовательно, пространство строк $J$ является подпространством , охватываемым { $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $,$ $r$ $3$ $,$ $r$ $4$ $}$ $.$ Поскольку эти четыре вектора строк линейно независимы , пространство строк является 4 $-$ мерным. Более того, в этом случае можно увидеть, что все они ортогональны вектору $n$ $= [6, -1, 4, -4, 0]$ ( $n$ — элемент ядра J ) , поэтому можно вывести, что пространство строк состоит из всех векторов в , которые ортогональны $n$ . $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$

Пространство между колоннами

Определение

Пусть $K$ — поле скаляров . Пусть $A$ — матрица $m$ $\times$ $n$ с векторами-столбцами $v 1$ $,$ v $2$ $,$ $...$ $,$ $v$ $n$ . Линейной комбинацией этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

где $c 1, c 2, ..., c n$ — скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций $v 1, ..., v n$ называется пространством столбцов матрицы $A$ . То есть пространство столбцов матрицы $A$ — это диапазон векторов $v 1, ..., v n$ .

Любую линейную комбинацию векторов-столбцов матрицы $A$ можно записать как произведение $A$ на вектор-столбец:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Следовательно, пространство столбцов матрицы $A$ состоит из всех возможных произведений $A x$ для $x \in K n$ . Это то же самое, что и образ (или диапазон ) соответствующего матричного преобразования .

Пример

Если , то векторы-столбцы равны $v$ $1$ $= [1, 0, 2]$ $T$ и $v$ $2$ $= [0, 1, 0]$ $T$ . Линейная комбинация v ₁ и v ₂ — это любой вектор вида Множество всех таких векторов — это пространство столбцов матрицы $A$ . В этом случае пространство столбцов — это в точности множество векторов $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) \in$ $R$ $3 ,$ удовлетворяющих уравнению $z$ $= 2$ $x$ (используя декартовы координаты , это множество представляет собой плоскость, проходящую через начало координат в трехмерном пространстве ). $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$

Основа

Столбцы $A$ охватывают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис , если векторы столбцов не являются линейно независимыми . К счастью, элементарные операции над строками не влияют на отношения зависимости между векторами столбцов. Это позволяет использовать редукцию строк для поиска базиса для пространства столбцов.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Столбцы этой матрицы охватывают пространство столбцов, но они могут не быть линейно независимыми , в этом случае некоторое их подмножество будет образовывать базис. Чтобы найти этот базис, мы приводим $A$ к форме сокращенного ступенчатого ряда :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

На этом этапе становится ясно, что первый, второй и четвертый столбцы линейно независимы, а третий столбец является линейной комбинацией первых двух. (В частности, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) Таким образом, первый, второй и четвертый столбцы исходной матрицы являются базисом для пространства столбцов:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Обратите внимание, что независимые столбцы приведенной ступенчатой формы строки — это именно столбцы с поворотами . Это позволяет определить, какие столбцы линейно независимы, сводя только к ступенчатой форме .

Вышеуказанный алгоритм может быть использован в общем случае для поиска отношений зависимости между любым набором векторов и для выбора базиса из любого охватывающего набора. Также нахождение базиса для пространства столбцов $A$ эквивалентно нахождению базиса для пространства строк транспонированной матрицы $A T$ .

Для нахождения базиса в практических условиях (например, для больших матриц) обычно используется сингулярное разложение .

Измерение

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу опорных точек в приведенной форме эшелона строк и является максимальным числом линейно независимых столбцов, которые можно выбрать из матрицы. Например, матрица 4 × 4 в примере выше имеет ранг три.

Поскольку пространство столбцов является образом соответствующего матричного преобразования , ранг матрицы совпадает с размерностью изображения. Например, преобразование, описанное матрицей выше, отображает все в некоторое трехмерное подпространство . $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

Нулевость матрицы — это размерность нулевого пространства , которая равна числу столбцов в приведенной ступенчатой форме строк, не имеющих опорных точек. ^[7] Ранг и нулевость матрицы $A$ с $n$ столбцами связаны уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Это известно как теорема о ранге–нуле .

Отношение к левому нулевому пространству

Левое нулевое пространство матрицы $A$ — это множество всех векторов $x,$ таких что $x T A = 0 T$ . Это то же самое, что и нулевое пространство транспонированной матрицы A . Произведение матрицы $A$ $T$ и вектора $x$ можно записать в терминах скалярного произведения $векторов$ :

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

поскольку векторы-строки матрицы A $T являются$ транспонированными векторами-столбцами $v k$ матрицы $A.$ Таким образом, $A T x = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ ортогонален ( перпендикулярен ) каждому из векторов-столбцов матрицы $A.$

Отсюда следует, что левое нулевое пространство (нулевое пространство $A T$ ) является ортогональным дополнением к пространству столбцов $A$ .

Для матрицы $A$ пространство столбцов, пространство строк, нулевое пространство и левое нулевое пространство иногда называют четырьмя фундаментальными подпространствами .

Для матриц над кольцом

Аналогично пространство столбцов (иногда неоднозначно определяемое как пространство правых столбцов) может быть определено для матриц над кольцом $K$ как

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

для любого $c 1, ..., c n$ , с заменой векторного $m$ -пространства на « правый свободный модуль », который изменяет порядок скалярного умножения вектора $v k$ на скаляр $c k$ таким образом, что он записывается в необычном порядке вектор – скаляр . ^[8]

Пространство между строками

Определение

Пусть $K$ — поле скаляров . Пусть $A$ — матрица $m$ $\times$ $n$ с векторами-строками r $1$ $,$ $r$ $2$ $,$ $...,$ $r$ $m$ . Линейной комбинацией этих векторов является любой вектор вида

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

где $c 1, c 2, ..., c m$ — скаляры. Множество всех возможных линейных комбинаций $r 1, ..., r m$ называется пространством строк матрицы $A$ . То есть пространство строк матрицы $A$ — это диапазон векторов $r 1, ..., r m$ .

Например, если

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

тогда векторы-строки $r 1 = [1, 0, 2]$ и $r 2 = [0, 1, 0]$ . Линейной комбинацией $r 1$ и $r 2$ является любой вектор вида

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

Множество всех таких векторов является пространством строк матрицы $A.$ В этом случае пространство строк — это в точности множество векторов $(x, y, z) \in K3,$ удовлетворяющих уравнению $z = 2x ($ в декартовых координатах это множество является плоскостью, проходящей через начало координат в трехмерном пространстве ).

Для матрицы, представляющей однородную систему линейных уравнений , пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые следуют из уравнений системы.

Пространство столбцов матрицы $A$ равно пространству строк матрицы $A T$ .

Основа

Пространство строк не затрагивается элементарными операциями над строками . Это позволяет использовать редукцию строк для поиска основы для пространства строк.

Например, рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Строки этой матрицы охватывают пространство строк, но они могут не быть линейно независимыми , в этом случае строки не будут базисом. Чтобы найти базис, мы приводим $A$ к форме ступенчатости строк :

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ представляют строки.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Как только матрица находится в ступенчатой форме, ненулевые строки являются базисом для пространства строк. В этом случае базисом является ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ . Другой возможный базис ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ получается в результате дальнейшего сокращения. ^[9]

Этот алгоритм может быть использован в общем случае для поиска базиса для диапазона набора векторов. Если матрица далее упрощается до сокращенной формы ступенчатой строки , то полученный базис однозначно определяется пространством строк.

Иногда удобно найти базис для пространства строк среди строк исходной матрицы (например, этот результат полезен для предоставления элементарного доказательства того, что детерминантный ранг матрицы равен ее рангу). Поскольку операции со строками могут влиять на линейные зависимости векторов строк, такой базис вместо этого находится косвенно, используя тот факт, что пространство столбцов $A T$ равно пространству строк $A$ . Используя пример матрицы $A$ выше, найдите $A T$ и приведите ее к форме ступенчатой строки:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Повороты указывают, что первые два столбца матрицы $A T$ образуют базис пространства столбцов матрицы $A T.$ Следовательно, первые две строки матрицы $A$ (до любых сокращений строк) также образуют базис пространства строк матрицы $A$ .

Измерение

Размерность пространства строк называется рангом матрицы. Это то же самое, что и максимальное количество линейно независимых строк, которые можно выбрать из матрицы, или, что эквивалентно, количество опорных точек. Например, матрица 3 × 3 в примере выше имеет ранг два. [ ^9]

Ранг матрицы также равен размерности пространства столбцов . Размерность нулевого пространства называется нулем матрицы и связана с рангом следующим уравнением:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

где $n$ — число столбцов матрицы $A.$ Уравнение выше известно как теорема о ранге–нуле .

Отношение к нулевому пространству

Нулевое пространство матрицы $A$ — это множество всех векторов $x,$ для которых $A x = 0.$ Произведение матрицы $A$ и вектора $x$ можно записать в терминах скалярного произведения векторов:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

где $r 1, ..., r m$ — векторы-строки матрицы $A.$ Таким образом, $A x = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ ортогонален ( перпендикулярен ) каждому из векторов-строк матрицы $A.$

Из этого следует, что нулевое пространство $A$ является ортогональным дополнением к пространству строк. Например, если пространство строк является плоскостью, проходящей через начало координат в трех измерениях, то нулевое пространство будет перпендикулярной прямой, проходящей через начало координат. Это дает доказательство теоремы о ранге–нуле (см. измерение выше).

Пространство строк и нулевое пространство являются двумя из четырех основных подпространств, связанных с матрицей $A$ (два других — это пространство столбцов и левое нулевое пространство ).

Отношение к изображению

Если $V$ и $W$ — векторные пространства , то ядро линейного преобразования $T : V \to W$ — это множество векторов $v \in V$ , для которых $T (v) = 0.$ Ядро линейного преобразования аналогично нулевому пространству матрицы.

Если $V$ — пространство внутреннего произведения , то ортогональное дополнение к ядру можно рассматривать как обобщение пространства строк. Иногда это называют кообразом T. Преобразование $T$ $является$ однозначным на своем кообразе, а кообраз изоморфно отображается на образ $T.$

Если $V$ не является пространством внутреннего произведения, то прообраз $T$ можно определить как фактор-пространство $V / ker(T)$ .

Смотрите также

Евклидово подпространство

Ссылки и примечания

^ Линейная алгебра, как обсуждается в этой статье, является очень хорошо устоявшейся математической дисциплиной, для которой существует множество источников. Почти весь материал в этой статье можно найти в Lay 2005, Meyer 2001 и Strang 2005.
^ Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (Пятое изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. С. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ Антон (1987, стр. 179)
^ Антон (1987, стр. 183)
^ Борегар и Фрели (1973, стр. 254)
^ Это вычисление использует алгоритм Гаусса–Жордана по редукции строк. Каждый из показанных шагов включает несколько элементарных операций над строками.
^ Столбцы без опорных точек представляют свободные переменные в связанной однородной системе линейных уравнений .
^ Важно только если $K$ не коммутативно . На самом деле эта форма является просто произведением $A c$ матрицы $A$ на вектор-столбец $c$ из $K n$ , где порядок множителей сохраняется , в отличие от формулы выше.
^ ab Пример справедлив для действительных чисел , рациональных чисел и других числовых полей . Он не обязательно верен для полей и колец с ненулевой характеристикой .

Дальнейшее чтение

Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Баннерджи, Судипто; Рой, Аниндья (6 июня 2014 г.), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики (1-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Внешние ссылки

В Wikibooks есть книга по теме: Линейная алгебра/Пространства столбцов и строк

Вайсштейн, Эрик В. «Пространство строк». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Пространство столбцов». MathWorld .
Гилберт Стрэнг , Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о четырех фундаментальных подпространствах на Google Video, от MIT OpenCourseWare
Видеоурок Академии Хана
Лекция о пространстве столбцов и нулевом пространстве Гилберта Стрэнга из Массачусетского технологического института
Пространство между строками и столбцами