Линейная независимость

Векторы, линейные комбинации которых не равны нулю

Линейно независимые векторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Линейно зависимые векторы на плоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

В теории векторных пространств набор векторов называетсялинейно независимы, если не существует нетривиальнойлинейной комбинациивекторов, равной нулевому вектору. Если такая линейная комбинация существует, то векторы называютсялинейно зависимая . Эти понятия являются центральными для определенияизмерения.^[1]

Векторное пространство может иметь конечную или бесконечную размерность в зависимости от максимального количества линейно независимых векторов. Определение линейной зависимости и способность определять, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейно зависимым, имеют решающее значение для определения размерности векторного пространства.

Определение

Последовательность векторов из векторного пространства V называется линейно зависимой , если существуют скаляры , не все равные нулю, такие, что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

где обозначает нулевой вектор. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Это означает, что по крайней мере один из скаляров не равен нулю, скажем , и приведенное выше уравнение можно записать как ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

если и если ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle k=1.}$

Таким образом, набор векторов линейно зависим тогда и только тогда, когда один из них равен нулю или является линейной комбинацией остальных.

Последовательность векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, т. е. если уравнение ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

может быть удовлетворено только для. Это означает, что ни один вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственным представлением ее как линейной комбинации ее векторов является тривиальное представление, в котором все скаляры равны нулю. ^[2] Еще более кратко: последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ее можно представить как линейную комбинацию ее векторов единственным способом. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Если последовательность векторов дважды содержит один и тот же вектор, она обязательно зависима. Линейная зависимость последовательности векторов не зависит от порядка членов последовательности. Это позволяет определить линейную независимость для конечного набора векторов: конечный набор векторов является линейно независимым, если последовательность, полученная путем их упорядочивания, линейно независима. Другими словами, получаем следующий результат, который часто оказывается полезным.

Последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда она не содержит один и тот же вектор дважды и множество ее векторов линейно независимо.

Бесконечный случай

Бесконечное множество векторов линейно независимо, если каждое непустое конечное подмножество линейно независимо. И наоборот, бесконечный набор векторов является линейно зависимым, если он содержит конечное подмножество, которое линейно зависимо, или, что то же самое, если некоторый вектор в наборе является линейной комбинацией других векторов в наборе.

Индексированное семейство векторов является линейно независимым, если оно не содержит один и тот же вектор дважды и если множество его векторов линейно независимо. В противном случае семейство называется линейно зависимым .

Набор векторов, который линейно независимый и охватывает некоторое векторное пространство, образует основу этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от x над действительными числами имеет в качестве основы (бесконечное) подмножество {1, x , x ² , ...} .

Геометрические примеры

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$и независимы и определяют плоскость P. ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, и являются зависимыми, поскольку все три содержатся в одной плоскости. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$и зависимы, потому что они параллельны друг другу. ${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, и независимы, поскольку и независимы друг от друга и не являются их линейной комбинацией или, что то же самое, потому, что они не принадлежат одной плоскости. Три вектора определяют трехмерное пространство. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Векторы (нулевой вектор, компоненты которого равны нулю) и зависимы, так как ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

Географическое положение

Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Оно находится в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическую систему координат можно рассматривать как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место находится в 5 милях к северо-востоку отсюда». Последнее утверждение верно , но не обязательно находить местоположение.

В этом примере вектор «3 мили на север» и вектор «4 мили на восток» линейно независимы. То есть вектор севера нельзя описать через вектор востока, и наоборот. Третий вектор «5 миль к северо-востоку» представляет собой линейную комбинацию двух других векторов и делает набор векторов линейно зависимым , то есть один из трех векторов не нужен для определения конкретного местоположения на плоскости.

Также обратите внимание, что если высоту не игнорировать, возникает необходимость добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем, для описания всех мест в n -мерном пространстве требуются n линейно независимых векторов .

Оценка линейной независимости

Нулевой вектор

Если один или несколько векторов из данной последовательности векторов являются нулевым вектором , то эти вектора обязательно линейно зависимы (и, следовательно, они не являются линейно независимыми). Чтобы понять почему, предположим, что это индекс (т. е. элемент ) такой, что Тогда пусть (альтернативно, допустимое равенство любого другого ненулевого скаляра также будет работать), а затем пусть все остальные скаляры будут (явно это означает, что для любого индекс , отличный от (т.е. для ), пусть так, что следовательно ). Упрощение дает: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{i}:=1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle a_{j}:=0}$ ${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Поскольку не все скаляры равны нулю (в частности, ), это доказывает, что векторы линейно зависимы. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

Как следствие, нулевой вектор не может принадлежать какому-либо набору векторов, который является линейно независимым .

Теперь рассмотрим специальный случай, когда последовательность имеет длину (т.е. случай, когда ). Набор векторов, состоящий ровно из одного вектора, является линейно зависимым тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю. Явно, если - любой вектор, то последовательность (которая является последовательностью длины ) линейно зависима тогда и только тогда, когда ; альтернативно, коллекция линейно независима тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Линейная зависимость и независимость двух векторов

В этом примере рассматривается особый случай, когда имеется ровно два вектора из некоторого вещественного или комплексного векторного пространства. Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из следующих условий: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$является скалярным кратным (явно это означает, что существует такой скаляр, что ) или ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$является скаляром, кратным (явно это означает, что существует такой скаляр, что ). ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Если тогда, установив, мы имеем (это равенство выполняется независимо от значения ), что показывает, что (1) верно в этом конкретном случае. Аналогично, if then (2) истинно, потому что If (например, если они оба равны нулевому вектору ), тогда и (1), и (2) истинны (при использовании для обоих). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=1}$

If then возможно только в том случае, если и ; в этом случае можно умножить обе части на и сделать вывод. Это показывает, что если и то (1) истинно тогда и только тогда, когда (2) истинно; то есть в данном конкретном случае либо оба (1) и (2) истинны (и векторы линейно зависимы), либо оба (1) и (2) ложны (и векторы линейно независимы ) . Если вместо этого хотя бы один из и должен быть равен нулю. Более того, если ровно одно из и равно (а другое не равно нулю), то ровно одно из (1) и (2) истинно (а другое ложно). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Векторы и линейно независимы тогда и только тогда, когда не является скалярным кратным и не является скалярным кратным . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Векторы в R 2

Три вектора: рассмотрим набор векторов , а затем условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Строка уменьшит это матричное уравнение, вычитая первую строку из второй, чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Продолжайте сокращение строки, (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Перестановка этого уравнения позволяет получить

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

который показывает, что существуют ненулевые a _i такие, которые можно определить через и Таким образом, три вектора линейно зависимы. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Два вектора. Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов и проверим: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

То же сокращение строк, представленное выше, дает:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Это показывает, что означает, что векторы и линейно независимы. ${\displaystyle a_{i}=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

Векторы в R 4

Чтобы определить, совпадают ли три вектора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Строка сократит это уравнение, чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Перестановим, чтобы решить для v ₃ , и получим:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Это уравнение легко решить, чтобы определить ненулевое значение a _i ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

где можно выбирать произвольно. Таким образом, векторы и линейно зависимы. ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Альтернативный метод с использованием определителей

Альтернативный метод основан на том факте, что векторы в линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы , сформированной путем принятия векторов в качестве ее столбцов, не равен нулю. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Нас интересует, будет ли A Λ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя , который ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Поскольку определитель не равен нулю, векторы и линейно независимы. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (-3,2)}$

В противном случае предположим, что у нас есть векторы координат: Тогда A — матрица размера n × m , а Λ — вектор-столбец с элементами, и нас снова интересует A Λ = 0 . Как мы видели ранее, это эквивалентно списку уравнений. Рассмотрим первые строки , первые уравнения; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. Фактически, если _{⟨ i 1 ,..., im} ⟩ — _любой список строк , то уравнение должно быть верным для этих строк. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m<n.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Более того, верно и обратное. То есть мы можем проверить, являются ли векторы линейно зависимыми, проверив, являются ли ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

для всех возможных списков строк. (В случае для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если , то это теорема о том, что векторы должны быть линейно зависимыми.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m>n}$

Больше векторов, чем измерений

Если векторов больше, чем размерностей, векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано в приведенном выше примере трех векторов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Естественные базисные векторы

Пусть и рассмотрим следующие элементы в , известные как естественные базисные векторы: ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Тогда линейно независимы. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Доказательство

Предположим, что это действительные числа такие, что ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .}$

С

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),}$

тогда для всех ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Линейная независимость функций

Пусть – векторное пространство всех дифференцируемых функций действительной переменной . Тогда функции и in линейно независимы. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle V}$

Доказательство

Предположим , и - два действительных числа такие, что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Возьмите первую производную приведенного выше уравнения:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

для всех значений Нам нужно показать это и Для того, чтобы сделать это, мы вычитаем первое уравнение из второго, давая . Поскольку для некоторых не равно нулю , отсюда следует и это. Следовательно, согласно определению линейной независимости, и линейно независимы. ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle be^{2t}=0}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$

Пространство линейных зависимостей

Линейная зависимость или линейное отношение _между векторами v ₁ , ..., v _n представляет собой кортеж ( a ₁ , ..., an ) с n скалярными компонентами такой, что

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой составляющей, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между v ₁ , ..., v _n образуют векторное пространство.

Если векторы выражаются своими координатами, то линейные зависимости представляют собой решения однородной системы линейных уравнений с координатами векторов в качестве коэффициентов. Таким образом , базис векторного пространства линейных зависимостей может быть вычислен методом исключения Гаусса .

Обобщения

Аффинная независимость

Набор векторов называется аффинно зависимым , если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае множество называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация является линейной; следовательно, каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. И наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимо.

Рассмотрим набор векторов размера каждый и набор расширенных векторов размера каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда дополненные векторы линейно независимы. ^{[3] : 256} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ ${\displaystyle n+1}$

Линейно независимые векторные подпространства

Два векторных подпространства и векторное пространство называются линейно независимыми, если ^[4] В более общем смысле, набор подпространств называется линейно независимым, если для каждого индекса , где ^[4] Векторное пространство называется прямой суммой того , являются ли эти подпространства линейно независимыми и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

Смотрите также

• Матроид  – абстракция линейной независимости векторов.

Рекомендации

1. Г. Е. Шилов, Линейная алгебра (пер. Р. А. Сильверман), Dover Publications, Нью-Йорк, 1977.
2. Фридберг, Стивен; Инсель, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2003). Линейная алгебра . Пирсон, 4-е издание. стр. 48–49. ISBN 0130084514.
3. Ловас, Ласло ; Пламмер, доктор медицинских наук (1986), Теория соответствия , Анналы дискретной математики, том. 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, МР  0859549
4. Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. ОСЛК  829157984.стр. 3–7

Внешние ссылки

• «Линейная независимость», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
• Учебник и интерактивная программа по линейной независимости.
• Введение в линейную независимость в ХанАкадемии.