Локально выпуклое топологическое векторное пространство

Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.

В функциональном анализе и смежных областях математики локально выпуклые топологические векторные пространства ( LCTVS ) или локально выпуклые пространства являются примерами топологических векторных пространств (TVS), которые обобщают нормированные пространства . Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых порождается перемещением сбалансированных , поглощающих , выпуклых множеств . В качестве альтернативы их можно определить как векторное пространство с семейством полунорм , а топологию можно определить в терминах этого семейства. Хотя в целом такие пространства не обязательно являются нормируемыми , существование выпуклой локальной базы для нулевого вектора достаточно сильно для выполнения теоремы Хана-Банаха , что дает достаточно богатую теорию непрерывных линейных функционалов .

Пространства Фреше — это локально выпуклые пространства, вполне метризуемые (с выбором полной метрики). Они являются обобщениями банаховых пространств , которые являются полными векторными пространствами относительно метрики, порожденной нормой .

История

Метризуемые топологии векторных пространств изучаются с момента их введения в докторскую диссертацию Мориса Фреше 1902 года Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel (где впервые было введено понятие метрики ) . После того, как понятие общего топологического пространства было определено Феликсом Хаусдорфом в 1914 году ^[1] , хотя локально выпуклые топологии неявно использовались некоторыми математиками, до 1934 года только Джон фон Нейман , казалось, явно определил слабую топологию на гильбертовых пространствах и сильная операторная топология операторов в гильбертовых пространствах. ^{[2] [3]} Наконец, в 1935 году фон Нейман ввел общее определение локально выпуклого пространства (названного им выпуклым пространством ). ^{[4] [5]}

Ярким примером результата, который должен был дождаться развития и распространения общих локально выпуклых пространств (среди других понятий и результатов, таких как сети , топология произведения и теорема Тихонова ), чтобы быть доказанным во всей своей общности, является уравнение Банаха – Алаоглу. теорема , которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального аргумента для случая сепарабельных нормированных пространств ^[6] (в этом случае единичный шар двойственного метризуем ).

Определение

Предположим, это векторное пространство над подполем комплексных чисел (обычно само или ). Локально выпуклое пространство определяется либо через выпуклые множества, либо, что то же самое, через полунормы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение через выпуклые множества

Топологическое векторное пространство (ТВП) называетсялокально выпукло, если оно имеетбазис окрестностей(т. е. локальную базу) в начале координат, состоящий из сбалансированныхвыпуклых множеств.^[7]Терминлокально выпуклое топологическое векторное пространство иногда сокращается долокально выпуклое пространство илиЛКТВС .

Подмножество в называется ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. Выпуклый, если для всех и Другими словами, содержит все отрезки между точками в ${\displaystyle x,y\in C,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
2. Обведено if для всех и скаляры if then Если это означает, что оно равно своему отражению через начало координат. Это означает, что любой содержит окружность с центром в начале координат в одномерном комплексном подпространстве, порожденном ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|=1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$
3. Сбалансированный if для всех и скаляры if then. Если это означает, что if then содержит отрезок между и For, это означает, что forany содержит диск с на его границе, с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном Эквивалентно, a сбалансированное множество - это конус с окружностью (в TVS шар с центром в начале радиуса принадлежит , не принадлежит, C не является конусом, но C сбалансирован, sx находится в C , для всех x, принадлежащих C , и скаляра s для которого ). ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle C={}}$ ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle x=(1,1)}$ ${\textstyle s=2}$ ${\textstyle sx=(2,2)}$ ${\textstyle |s|<1}$
4. Конус (когда базовое поле упорядочено ) , если для всех и ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. Поглощающий или поглощающий, если для каждого существует такое, что удовлетворяет всем . Набор можно масштабировать на любое «большое» значение, чтобы поглотить каждую точку пространства. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in tC}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |t|>r.}$ ${\displaystyle C}$
   • В любом TVS каждая окрестность начала является поглощающей. ^[7]
6. Абсолютно выпуклая илидиск , если он одновременно сбалансирован и выпукл. Это эквивалентно тому, что он замкнут относительно линейных комбинаций, сумма коэффициентов которых равна; такое множество является поглощающим, если оно охватывает все ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X.}$

Действительно, каждая локально выпуклая TVS имеет базис окрестности начала координат, состоящий изабсолютно выпуклые множества (т. е. диски), где этот базис окрестности также может быть выбран так, чтобы он также состоял полностью из открытых множеств или полностью из закрытых множеств.^[8] Каждая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из сбалансированных множеств, но только локально выпуклая TVS имеет базис окрестности в начале координат, состоящий из множеств, которые одновременно сбалансированыивыпуклы. TVS может иметьнекоторыеокрестности начала координат, которые являются выпуклыми, но не являются локально выпуклыми, поскольку у него нет базиса окрестности в начале координат, состоящего полностью из выпуклых множеств (т. е. каждый базис окрестности в начале координат содержит некоторые невыпуклые множества). выпуклое множество); например, каждая нелокально выпуклая TVSсама (т. е.) имеет выпуклую окрестность начала координат. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Поскольку перевод непрерывен (по определению топологического векторного пространства ), все переводы являются гомеоморфизмами , поэтому каждая база окрестностей начала координат может быть переведена в базу окрестностей любого заданного вектора.

Определение через полунормы

Полунорма на – это отображение такое, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$является неотрицательным или положительно полуопределенным: ; ${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$является положительно однородным или положительно масштабируемым: для каждого скаляра So, в частности, ; ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$является субаддитивным. Он удовлетворяет неравенству треугольника: ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Если удовлетворяет положительной определенности, которая гласит, что если то то является нормой . Хотя в целом полунормы не обязательно должны быть нормами, для семейств полунорм существует аналог этого критерия - разделенность, определенный ниже. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle p}$

Если — векторное пространство и семейство полунорм, то подмножество его называется базой полунорм , если для всех существуют a и вещественное число такие, что ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$

Определение (вторая версия): Локально выпуклое пространство определяется как векторное пространство вместе с семейством полунорм на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Полунормальная топология

Предположим, что это векторное пространство, в котором находятся либо действительные, либо комплексные числа. Семейство полунорм в векторном пространстве индуцирует топологию канонического векторного пространства на , называемую исходной топологией , индуцированной полунормами, превращая ее в топологическое векторное пространство (TVS). По определению, это самая грубая топология, в которой все отображения непрерывны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Локально выпуклая топология пространства может быть индуцирована семейством норм, но не быть нормируемой (т. е. чтобы ее топология индуцировалась одной нормой). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Базис и подбазы

Пусть обозначает открытый шар радиуса в . Семейство множеств как пробегов по семейству полунорм и пробегов по положительным действительным числам является подосновой в начале топологии, индуцированной . Эти множества выпуклы, как это следует из свойств 2 и 3 полунорм. Пересечения конечного числа таких множеств также являются выпуклыми, и поскольку совокупность всех таких конечных пересечений является базисом в начале координат, из этого следует, что топология локально выпукла в смысле первого определения, данного выше. ${\displaystyle B_{<r}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle p^{-1}\left(B_{<r}\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Напомним, что топология TVS является трансляционно-инвариантной, что означает, что если есть какое-либо подмножество, содержащее начало координат, то для любого является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда является окрестностью ; таким образом, достаточно определить топологию в начале координат. База окрестностей для этой топологии получается следующим образом: для каждого конечного подмножества и каждого пусть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

Базы полунорм и насыщенные семейства

Если — локально выпуклое пространство и если — совокупность непрерывных полунорм на , то называется базой непрерывных полунорм , если она является базой полунорм для совокупности всех непрерывных полунорм на . ^[9] Явно это означает, что для всех непрерывных полунорм на существует a и вещественное число такое, что ^[9] Если является базой непрерывных полунорм для локально выпуклой TVS, то семейство всех множеств вида as варьируется по и меняется по положительным действительным числам, является базой окрестностей начала координат в (а не просто подбазисом, поэтому нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств). ^{[9] [доказательство 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Семейство полунорм в векторном пространстве называется насыщенным , если для любого и в полунорме, определенной выражением, принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

Если это насыщенное семейство непрерывных полунорм, которое индуцирует топологию, то совокупность всех множеств вида пробегает и пробегает все положительные действительные числа, образует базис окрестности в начале координат, состоящий из выпуклых открытых множеств; ^[9] Это формирует базис в начале координат, а не просто подбазис, так что, в частности, нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

Основа норм

Из следующей теоремы следует, что если пространство локально выпуклое, то его топология может быть определена семейством непрерывных норм на ( норма — это полунорма , где подразумевается ) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на . ^[10] Это связано с тем, что сумма нормы и полунормы является нормой, поэтому, если локально выпуклое пространство определяется некоторым семейством полунорм (каждая из которых обязательно непрерывна), то семейство (также непрерывных) норм, полученное добавлением некоторая заданная непрерывная норма для каждого элемента обязательно будет семейством норм, определяющим ту же самую локально-выпуклую топологию. Если существует непрерывная норма в топологическом векторном пространстве , то она обязательно является Хаусдорфовой, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[11]  —  Пусть пространство Фреше над полем. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$не допускает непрерывной нормы (т. е. любая непрерывная полунорма на не может быть нормой). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$содержит векторное подпространство, TVS-изоморфное ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$содержит дополняемое векторное подпространство , TVS-изоморфное ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Сети

Предположим, что топология локально выпуклого пространства индуцирована семейством непрерывных полунорм на . Если и если является сетью в , то в тогда и только тогда, когда для всех ^[12] Более того, если сеть Коши в , то то же самое верно для каждого ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

Эквивалентность определений

Хотя определение в терминах базы окрестности дает лучшую геометрическую картину, на практике с определением в терминах полунорм легче работать. Эквивалентность двух определений следует из конструкции, известной как функционал Минковского или калибровка Минковского. Ключевым свойством полунорм, обеспечивающим выпуклость их - шаров, является неравенство треугольника . ${\displaystyle \varepsilon }$

Для поглощающего множества такого, что если тогда всякий раз определить функционал Минковского как ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle tx\in C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

Из этого определения следует, что является полунормой, если она уравновешена и выпукла (по предположению она также поглощающая). И наоборот, если задано семейство полунорм, множества образуют основу выпуклых поглощающих сбалансированных множеств. ${\displaystyle \mu _{C}}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

Способы определения локально выпуклой топологии.

Теорема ^[7]  —  Предположим, что это (действительное или комплексное) векторное пространство и пусть это база фильтров подмножеств такого, что: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Все выпукло , сбалансировано и поглощающе ;​ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. Для каждого существует такое реальное удовлетворение , что ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r\leq 1/2}$ ${\displaystyle rB\in {\mathcal {B}}.}$

Тогда – база окрестности в 0 для локально выпуклой TVS-топологии на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема ^[7]  —  Предположим, что это (вещественное или комплексное) векторное пространство, и пусть это непустой набор выпуклых, сбалансированных и поглощающих подмножеств. Тогда набор всех положительных скалярных кратных конечных пересечений множеств в образует окрестность база в начале координат локально выпуклой TVS-топологии на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$

Пример: вспомогательные нормированные пространства

Если является выпуклым и поглощающим в , то симметричное множество будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ) в дополнение к поглощающему в. Это гарантирует, что функционал Минковского будет полунормой , тем самым превращаясь в полунормированный пространство , несущее свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных в виде диапазонов (или любого другого набора ненулевых скаляров, имеющих предельную точку) образует базис окрестности поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если это топологическое векторное пространство и если это выпуклое поглощающее подмножество также является ограниченным подмножеством , то поглощающий диск также будет ограничен, и в этом случае он будет нормой и образует так называемое вспомогательное нормированное пространство . Если это нормированное пространство является банаховым, то оно называется банаховым диском . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Дальнейшие определения

• Семейство полунорм называется полным или разделенным , или говорят, что оно разделяет точки , если всякий раз, когда оно выполняется для каждого , то обязательно. Локально выпуклое пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно имеет разделенное семейство полунорм. Многие авторы принимают за определение критерий Хаусдорфа. ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$
• Псевдометрика - это обобщение метрики, которое не удовлетворяет условию, что только тогда, когда локально выпуклое пространство псевдометризуемо, что означает, что его топология возникает из псевдометрики, тогда и только тогда, когда оно имеет счетное семейство полунорм. Действительно, тогда псевдометрика, индуцирующая ту же топологию, задается формулой (где можно заменить любой положительной суммируемой последовательностью ). Эта псевдометрика является трансляционно-инвариантной, но не однородной по смыслу и, следовательно, не определяет (псевдо)норму. Псевдометрика является честной метрикой тогда и только тогда, когда семейство полунорм разделено, поскольку это имеет место тогда и только тогда, когда пространство хаусдорфово. Если, кроме того, пространство полно, оно называется пространством Фреше . ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$ ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является равномерным . Таким образом, можно говорить о равномерной непрерывности , равномерной сходимости и последовательностях Коши .
• Сеть Коши в локально выпуклом пространстве — это сеть такая, что для каждой полунормы существует такой индекс , что для всех индексов. Другими словами, сеть должна быть Коши во всех полунормах одновременно. Определение полноты дается здесь в терминах сетей, а не более знакомых последовательностей , поскольку в отличие от метризуемых пространств Фреше, общие пространства могут определяться несчетным семейством псевдометрик . Последовательностей, счетных по определению, недостаточно для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая сеть Коши сходится. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{\alpha },}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• Семейство полунорм становится предупорядоченным множеством в соответствии с отношением тогда и только тогда, когда существует такое, что для всех говорят, что это ориентированное семейство полунорм, если это семейство представляет собой направленное множество со сложением в качестве соединения , другими словами, если для каждого и существует такое, что каждое семейство полунорм имеет эквивалентное направленное семейство, то есть семейство, определяющее ту же топологию. Действительно, пусть семейство является множеством конечных подмножеств, и тогда для каждого определения можно проверить, является ли оно эквивалентным ориентированным семейством. ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F\in \Phi }$ $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• Если топология пространства индуцирована одной полунормой, то пространство полунормируемо . Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо. Более того, если пространство хаусдорфово (семейство разделено), то оно нормируемо, норма которого определяется суммой полунорм. В терминах открытых множеств локально выпуклое топологическое векторное пространство является полунормируемым тогда и только тогда, когда начало координат имеет ограниченную окрестность.

Достаточные условия

Свойство расширения Хана – Банаха

Пусть будет ТВС. Скажем, что векторное подпространство обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на можно продолжить до непрерывного линейного функционала на . ^[13] Скажите, что оно обладает свойством расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство обладает свойством расширения. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Хана -Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых ТВС имеет место обратное:

Теорема ^[13]  (Калтон)  .  Любая полная метризуемая ТВС со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукла.

Если векторное пространство имеет несчетную размерность и если мы наделим его тончайшей векторной топологией , то это TVS с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. ^[13] ${\displaystyle X}$

Характеристики

Всюду — семейство непрерывных полунорм, порождающих топологию ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическое замыкание

Тогда и тогда тогда и только тогда, когда для любого конечного набора существует такой , что ^[14] Замыкание in равно ^[15] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

Топология хаусдорфовых локально выпуклых пространств

Всякое хаусдорфово локально выпуклое пространство гомеоморфно векторному подпространству произведения банаховых пространств . ^[16] Теорема Андерсона-Кадека утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведений счетного числа копий (этот гомеоморфизм не обязательно должен быть линейным отображением ). ^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свойства выпуклых подмножеств

Алгебраические свойства выпуклых подмножеств

Подмножество является выпуклым тогда и только тогда, когда для всех ^[18] или, что то же самое, тогда и только тогда, когда для всех положительных вещественных чисел ^[19] где, поскольку всегда выполняется, знак равенства можно заменить на Если это выпуклое множество, содержащее начало координат, то звездообразной формы в начале координат и для всех неотрицательных действительных ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

Сумма Минковского двух выпуклых множеств выпукла; более того, скаляр, кратный выпуклому множеству, снова выпуклый. ^[20]

Топологические свойства выпуклых подмножеств

• Предположим, что это TVS (не обязательно локально выпуклая или хаусдорфова) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества в — это в точности те, которые имеют вид для некоторого и некоторого положительного непрерывного сублинейного функционала из ^[21] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y.}$
• Внутренность и замыкание выпуклого подмножества TVS снова выпуклы. ^[20]
• Если – выпуклое множество с непустой внутренностью, то замыкание равно замыканию внутренности ; при этом внутренняя часть равна внутренней части замыкания ^{[20] [22]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
  • Таким образом, если внутренность выпуклого множества непуста, то оно является замкнутым (соответственно открытым) множеством тогда и только тогда, когда оно является регулярным замкнутым (соответственно регулярным открытым) множеством. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Если является выпуклым, то ^[23] Явно это означает, что если является выпуклым подмножеством TVS (не обязательно Хаусдорфовым или локально выпуклым), принадлежит замыканию и принадлежит внутренней части тогда соединяющегося открытого отрезка прямой и принадлежит внутренняя часть этого ^{[22] [24] [доказательство 2]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• Если — замкнутое векторное подпространство (не обязательно хаусдорфово) локально выпуклого пространства — является выпуклой окрестностью начала координат в, а если — вектор, не входящий в , то существует выпуклая окрестность начала координат в такая, что и ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=U\cap M}$ ${\displaystyle z\not \in U.}$
• Замыкание выпуклого подмножества локально выпуклого хаусдорфова пространства одинаково для всех локально выпуклых хаусдорфовых TVS-топологий, на которых совместимо с двойственностью между и его непрерывным дуальным пространством. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• В локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки вполне ограниченного множества вполне ограничены. ^[7]
• В полном локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки компакта компактны. ^[7]
  • В более общем смысле, если — компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка (соответственно дисковая оболочка ) компактна тогда и только тогда, когда она полна. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• В локально выпуклом пространстве ограничены выпуклые оболочки ограниченных множеств. Это не относится к ТВС в целом. ^[26]
• В пространстве Фреше замкнутая выпуклая оболочка компакта компактна. ^[27]
• В локально-выпуклом пространстве любая линейная комбинация вполне ограниченных множеств вполне ограничена. ^[26]

Свойства выпуклых оболочек

Для любого подмножества ТВС выпуклая оболочка (соответственно замкнутая выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка , выпуклая сбалансированная оболочка ) обозначаемая (соответственно ), есть наименьшее выпуклое (соответственно замкнутое выпуклое, сбалансированное, выпуклое сбалансированное) подмножество, содержащее ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

• Выпуклая оболочка компактного подмножества гильбертова пространства не обязательно замкнута и, следовательно, не обязательно компактна. Например, пусть — сепарабельное гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей с обычной нормой , а — стандартный ортонормированный базис (то есть в -координате). Замкнутое множество компактно, но его выпуклая оболочка не является замкнутым множеством, поскольку принадлежит замыканию in но (поскольку каждая последовательность представляет собой конечную выпуклую комбинацию элементов и поэтому обязательно во всех координатах, кроме конечного числа, что неверно для ). ^[28] Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого компактного подмножества компактна. Векторное подпространство является предгильбертовым пространством, если оно наделено подструктурой, которую индуцирует на нем гильбертово пространство, но оно не является полным и (поскольку ). Замкнутая выпуклая оболочка in (здесь «замкнутая» означает относительно , а не относительно, как раньше) равна тому, что не является компактным (поскольку оно не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
• В хаусдорфовом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества не обязательно компактна, хотя она является предкомпактным (также называемым «вполне ограниченным») подмножеством, а это означает, что его замыкание, взятое в пополнение , будет компактным (здесь так что тогда и только тогда, когда полно); то есть будет компактным. Так, например, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества предгильбертова пространства всегда является предкомпактным подмножеством, и поэтому замыкание в любом гильбертовом пространстве, содержащем (например, в хаусдорфовом пополнении ), будет компактным (это это имеет место в предыдущем примере выше). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$ ${\displaystyle X={\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• В квазиполном локально выпуклом TVS замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно.
• В хаусдорфовой локально выпуклой TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. ^[29] Следовательно, в полном хаусдорфовом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна. ^[30]
• В любой TVS выпуклая оболочка конечного объединения выпуклых компактов компактна (и выпукла). ^[7]
  • Отсюда следует, что в любой хаусдорфовой ТВС выпуклая оболочка конечного объединения выпуклых компактов замкнута (помимо компактности ^[31] и выпуклости); в частности, выпуклая оболочка такого объединения равна замкнутой выпуклой оболочке этого объединения.
  • Вообще говоря, замкнутая выпуклая оболочка компакта не обязательно компактна. Однако каждое компактное подмножество (где ) имеет компактную выпуклую оболочку. ^[31] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$
  • В любой нехаусдорфовой ТВС существуют компактные (и, следовательно, полные), но не замкнутые подмножества.
• Биполярная теорема утверждает, что биполярная (то есть полярная полярная) подмножества локально выпуклой хаусдорфовой TVS равна замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке этого множества. ^[32]
• Сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно является выпуклой.
• Если и являются выпуклыми подмножествами топологического векторного пространства , и если тогда существуют такие действительные числа, что ^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• Если векторное подпространство TVS является выпуклым подмножеством и выпуклым подмножеством такого, что тогда ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ ${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• Напомним, что наименьшее сбалансированное подмножество содержащего множество называется сбалансированной оболочкой и обозначается. Ибо любое подмножество выпуклой сбалансированной оболочки, обозначаемое через, является наименьшим подмножеством содержащего , которое является выпуклым и сбалансированным. ^[33] Выпуклая сбалансированная оболочка равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки (т.е. ), но выпуклая сбалансированная оболочка не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклой оболочки (т.е. не обязательно равна к ). ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• Если являются подмножествами TVS и если является скаляром, то ^[34] и более того, если компактно, то ^[35] Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой; Например, в ^[34] множество замкнуто, но его выпуклая оболочка является открытым множеством. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$ ${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• Если – подмножества ТВС, замкнутые выпуклые оболочки которых компактны, то ^[35] ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• Если - выпуклое множество в комплексном векторном пространстве и существует такое , что тогда для всех действительных чисел таких, что В частности, для всех скаляров таких, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ ${\displaystyle rz+siz\in S}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$ ${\displaystyle az\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• Теорема Каратеодори : Если есть какое-либо подмножество (где ), то для каждого существует конечное подмножество , содержащее не более точек, выпуклая оболочка которых содержит (то есть и ). ^[36] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |F|\leq n+1}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$

Примеры и непримеры

Самая тонкая и самая грубая локально выпуклая топология.

Самая грубая векторная топология

Любое векторное пространство , наделенное тривиальной топологией (также называемой недискретной топологией ), является локально выпуклой TVS (и, конечно, это самая грубая такая топология). Эта топология хаусдорфова тогда и только тогда. Недискретная топология превращает любое векторное пространство в полное псевдометризуемое локально выпуклое TVS. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Напротив, дискретная топология образует векторную топологию тогда и только тогда. Это следует из того факта, что каждое топологическое векторное пространство является связным пространством . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Наилучшая локально выпуклая топология

Если — вещественное или комплексное векторное пространство и если — множество всех полунорм на, то локально выпуклая топология TVS, обозначаемая как индуцирующая на, называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$тончайшая локально выпуклая топология в^[37]. Эту топологию можно также описать как TVS-топологию,имеющую в качестве базы окрестности в начале координат множество всехпоглощающихдисковиз^[37]. Любая локально выпуклая TVS-топология наобязательно является подмножествомявляетсяХаусдорф.^[15] Любое линейное отображение изв другую локально выпуклую TVS обязательно непрерывно.^[15]В частности, каждый линейный функционал нанепрерывен и каждое векторное подпространствозамкнуто в;^[15] поэтому, еслионо бесконечномерно, тооно не псевдометризуемо (и, следовательно, не метризуемо).^[37] Более того,этоединственнаяхаусдорфова локально выпуклая топология,обладающая тем свойством, что любое линейное отображение из нее в любое хаусдорфово локально выпуклое пространство непрерывно.^[38]Пространствоявляетсяборнологическим пространством.^[39] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$

Примеры локально выпуклых пространств

Каждое нормированное пространство является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, и большая часть теории локально выпуклых пространств обобщает части теории нормированных пространств. Семейство полунорм можно принять за единую норму. Каждое банахово пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым пространством, в частности, пространства с локально выпуклы. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

В более общем смысле любое пространство Фреше локально выпукло. Пространство Фреше можно определить как полное локально выпуклое пространство с отделенным счетным семейством полунорм.

Пространство вещественнозначных последовательностей с семейством полунорм, заданным выражением, локально выпукло. Счетное семейство полунорм полно и сепарабельно, поэтому это пространство Фреше, которое не является нормируемым. Это также предельная топология пространств , вложенных естественным путем путем пополнения конечных последовательностей с бесконечным числом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ $${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle 0.}$

Любое векторное пространство и набор линейных функционалов на нем можно превратить в локально выпуклое топологическое векторное пространство, придав ему самую слабую топологию, сделав все линейные функционалы непрерывными . Это известно как слабая топология или исходная топология, определяемая Коллекция может быть алгебраически двойственной или любой другой коллекцией. Семейство полунорм в этом случае задается формулой для всех в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

Пространства дифференцируемых функций дают и другие ненормируемые примеры. Рассмотрим пространство гладких функций таких, что где и – мультииндексы . Семейство полунорм, определенное как , разделено и счетно, а пространство полно, поэтому это метризуемое пространство является пространством Фреше. Оно известно как пространство Шварца , или пространство функций быстрого убывания, а его двойственное пространство — пространство умеренных распределений . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Важным функциональным пространством в функциональном анализе является пространство гладких функций с компактным носителем в. Топология этого пространства требует более детального построения, поскольку оно не полно в равномерной норме. Топология на определяется следующим образом: для любого фиксированного компакта пространство функций с является пространством Фреше со счетным семейством полунорм (это фактически нормы, а пополнение пространства нормой является банаховым пространством ). Дан любой набор компактов, направленных по включению и такой, что их объединение равно форме прямой системы , и определяется как предел этой системы. Такой предел пространств Фреше известен как пространство ЛФ . Более конкретно, это объединение всех с сильнейшей локально выпуклой топологией, которая делает каждое отображение включения непрерывным. Это пространство локально выпуклое и полное. Однако оно не метризуемо и поэтому не является пространством Фреше. Двойственное пространство — это пространство распределений на ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$ ${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle D^{m}(K)}$ ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Более абстрактно, учитывая топологическое пространство, пространство непрерывных (не обязательно ограниченных) функций может быть задано топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Эта топология определяется полунормами (которые изменяются по направленному множеству всех компактных подмножеств ). Когда локально компактно (например, открытое множество в ), применяется теорема Стоуна-Вейерштрасса - в случае вещественнозначных функций любая подалгебра, разделяющая точки и содержащая постоянные функции (например, подалгебра многочленов), равна плотный . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(X)}$

Примеры пространств без локальной выпуклости

Многие топологические векторные пространства локально выпуклы. Примеры пространств, в которых отсутствует локальная выпуклость, включают следующее:

• Пространства для наделены F-нормой. Они ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ не являются локально выпуклыми, поскольку единственной выпуклой окрестностью нуля является все пространство. В более общем смысле пространства с безатомной конечной мерой не являются локально выпуклыми. ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• Пространство измеримых функций на единичном интервале (где мы отождествляем две функции, равные почти всюду ) имеет топологию векторного пространства, определяемую трансляционно-инвариантной метрикой (которая вызывает сходимость по мере измеримых функций; для случайных величин сходимость по мере есть сходимость по вероятности ): Это пространство часто обозначают ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$ ${\displaystyle L_{0}.}$

Оба примера обладают тем свойством, что любое непрерывное линейное отображение действительных чисел является. В частности, их двойственное пространство тривиально, то есть содержит только нулевой функционал. ${\displaystyle 0.}$

• Пространство последовательностей не является локально выпуклым. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$

Непрерывные отображения

Теорема ^[40]  —  Пусть — линейный оператор между TVS, где он локально выпуклый (обратите внимание, что он не обязательно должен быть локально выпуклым). Тогда является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ T\leq p.}$

Поскольку локально выпуклые пространства являются топологическими пространствами, а также векторными пространствами, естественными функциями, которые следует рассматривать между двумя локально выпуклыми пространствами, являются непрерывные линейные отображения . Используя полунормы, можно задать необходимый и достаточный критерий непрерывности линейного отображения, который очень напоминает более известное условие ограниченности, обнаруженное для банаховых пространств.

В локально выпуклых пространствах и с семействами полунорм и соответственно линейное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого существуют такие , что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle v\in X,}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$$

Другими словами, каждая полунорма области значений ограничена сверху некоторой конечной суммой полунорм в области . Если семья является направленной семьей и ее всегда можно выбрать направляемой, как объяснено выше, то формула становится еще проще и привычнее: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$$

Класс всех локально выпуклых топологических векторных пространств образует категорию с непрерывными линейными отображениями в качестве морфизмов .

Линейные функционалы

Теорема ^[40]  —  Если — TVS (не обязательно локально выпуклый) и если — линейный функционал на , то он непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма на такой, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Если — вещественное или комплексное векторное пространство, — линейный функционал на и — полунорма на , то тогда и только тогда, когда ^[41] Если — ненулевой линейный функционал на вещественном векторном пространстве и если — полунорма на , то тогда и только тогда, когда ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Мультилинейные карты

Пусть — целое число, — ТВС (не обязательно локально выпуклые), пусть — локально выпуклая ТВС, топология которой определяется семейством непрерывных полунорм, и пусть — полилинейный оператор , линейный по каждой из своих координат. Следующие действия эквивалентны: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle M}$является непрерывным.
2. Для каждого существуют непрерывные полунормы на соответственно такие, что для всех ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Для каждого существует некоторая окрестность начала координат, на которой ограничено. ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle q\circ M}$

Смотрите также

• Выпуклое метрическое пространство  - метрическое пространство, обладающее свойством: любой сегмент, соединяющий две точки в этом пространстве, помимо конечных точек, имеет в себе и другие точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Крейна – Милмана  - Когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек.
• Линейная форма  - Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров.
• Локально выпуклая векторная решетка
• Функционал Минковского  - функция, составленная из множества.
• Полунорма  - неотрицательная вещественнозначная функция в вещественном или комплексном векторном пространстве, удовлетворяющая неравенству треугольника и абсолютно однородная.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сублинейный функционал  - Тип функции в линейной алгебре.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическая группа  - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.
• Векторное пространство  - алгебраическая структура в линейной алгебре

Примечания

1. Хаусдорф, Ф. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
2. фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. стр. 94–104
3. Дьедонн, Дж. История функционального анализа, глава VIII. Секция 1.
4. фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. стр. 508–527
5. Дьедонн, Дж. История функционального анализа, глава VIII. Раздел 2.
6. Банах, С. Теория линейных операций с. 75. Гл. VIII. Разд. 3. Теорема 4 в переводе из Theorie des Operations Lineaires (1932).
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 67–113.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 83.
9. Narici & Beckenstein 2011, стр. 122.
10. Ярчоу 1981, с. 130.
11. Ярчоу 1981, стр. 129–130.
12. Narici & Beckenstein 2011, с. 126.
13. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 149.
15. Narici & Beckenstein 2011, стр. 149–153.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
17. Бессага и Пелчинский 1975, с. 189
18. Рудин 1991, с. 6.
19. Рудин 1991, с. 38.
20. Тревес 2006, с. 126.
21. Наричи и Бекенштейн, 2011, стр. 177–220.
22. Schaefer & Wolff 1999, стр. 38.
23. Ярчоу 1981, стр. 101–104.
24. Конвей 1990, с. 102.
25. Тревес 2006, с. 370.
26. Narici & Beckenstein 2011, стр. 155–176.
27. Рудин 1991, с. 7.
28. Алипрантис и Бордер 2006, с. 185.
29. Тревес 2006, с. 67.
30. Тревес 2006, с. 145.
31. Рудин 1991, стр. 72–73.
32. Тревес 2006, с. 362.
33. Treves 2006, стр. 68.
34. Narici & Beckenstein 2011, с. 108.
35. Данфорд 1988, стр. 415.
36. Рудин 1991, стр. 73–74.
37. Narici & Beckenstein 2011, стр. 125–126.
38. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 476.
39. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 446.
40. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
41. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 126–128.

1. Пусть - открытый единичный шар, связанный с полунормой, и обратите внимание, что если действительно, то и так. Таким образом, основная открытая окрестность начала координат, индуцированная, - это конечное пересечение формы, где и - все положительные действительные числа. Пусть которая является непрерывной полунормой и, более того, Пиком и такой, что где это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Таким образом желаемое. ${\displaystyle V_{p}=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rV_{p}=\{rx\in X:p(x)<1\}=\{z\in X:p(z)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}=V_{(1/r)p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{p}=V_{rp}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle p:=\max \left\{r_{1}p_{1},\ldots ,r_{n}p_{n}\right\},}$ ${\displaystyle V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\leq rq,}$ ${\displaystyle V_{rq}\subseteq V_{p}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{q}=V_{rq}\subseteq V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}},}$
2. Fix , так что остается показать, что принадлежит. Заменяя при необходимости на, мы можем без ограничения общности считать, что и так остается показать, что это окрестность начала координат. Пусть так, что Так как скалярное умножение на является линейным гомеоморфизмом Поскольку и отсюда следует, что там, где поскольку открыто, существует некоторое , которое удовлетворяет Определить по которому является гомеоморфизмом, потому что множество, таким образом, является открытым подмножеством, которое, кроме того, содержит Если тогда , поскольку оно выпукло, и что доказывает, что Таким образом, это открытое подмножество , содержащее начало координат и содержащееся в КЭД. ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Рекомендации

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. ОСЛК  262692874.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe wyd. науке.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.